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Aula_05

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Sistemas de Energia 
EE.421 
Aula 05 
 
Prof. José Ubirajara Núñez de Nunes 
02/2012 
 
Instituto Federal Sul rio-grandense 
Escola de Engenharia 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Transformadores 
O transformador ideal 
3 
• Os transformadores consistem de duas ou mais bobinas 
situadas de tal forma que são enlaçadas pelo mesmo 
fluxo 
 
• Num transformador de potência, as bobinas são 
colocadas sobre um núcleo de ferro de modo que quase 
todo o fluxo confinado enlace todas as bobinas 
 
• As várias bobinas podem ser conectadas em série ou 
em paralelo, formando um enrolamento e podem ser 
empilhadas sobre o núcleo de forma alternada 
4 O transformador ideal 
A figura a seguir mostra como as bobinas podem ser 
posicionadas sobre um núcleo de ferro para constituir um 
transformador monofásico do tipo núcleo envolvente. 
5 O transformador ideal 
• Para uma análise inicial, vamos supor que o fluxo varie 
senoidalmente no núcleo e que o transformador seja 
ideal 
 
• Um transformador ideal apresenta (1) permeabilidade 
magnética do núcleo infinita, (2) todo o fluxo confinado 
no núcleo e, portanto, enlaçando todas as espiras de 
ambos enrolamentos e (3) perdas no núcleo e 
resistência dos enrolamentos igual a zero 
 
• As quedas de tensão na resistência dos enrolamentos é 
igual a zero, de modo que a tensão terminal nas bobinas 
é igual a tensão induzida nelas 
6 O transformador ideal 
Com base na Lei das tensões de Kirchhoff e na Lei de 
Faraday, obtém-se, 
1 1 1
dv e N
dt
φ
= = ⋅
2 2 2
dv e N
dt
φ
= = ⋅
(1) 
(2) 
onde φ é o valor instantâneo do fluxo e N1 e N2 são os 
números de espiras dos enrolamentos 1 e 2. 
7 O transformador ideal 
Relacionando as tensões nos enrolamentos 1 e 2, que 
estão em fase de acordo com a marcação do ponto, e 
convertendo-as para a forma fasorial, tem-se 
1 1 1
2 2 2
V E N
V E N
= = (3) 
Para se obter a relação entre as correntes nos 
enrolamentos 1 e 2, aplicamos a Lei de Ampère: 
H ds i• =∫ (4) 
Por convenção, considera que a força magneto-motriz 
(fmm) é positiva quando a corrente entra no terminal do 
ponto no enrolamento e negativa em caso contrário. 
8 O transformador ideal 
Assim, as fmm’s nos enrolamentos 1 e 2 estão em sentidos 
opostos. Aplicando a Lei ao redor dos caminhos fechados 
de fluxo (linhas tracejadas), tem-se: 
(5) 1 1 2 2H ds N i N i• = ⋅ − ⋅∫
A integral da intensidade de campo H ao redor do caminho 
fechado é nula quando a permeabilidade é infinita. 
Fazendo tal consideração e convertendo para a notação 
fasorial, 
1 1 2 2 0N I N I⋅ − ⋅ = (6) 
então, 
1 2
2 1
I N
I N
= (7) 
9 O transformador ideal 
Observe que I1 e I2 estão em fase se adotarmos a corrente 
como sendo positiva quando entra pelo terminal marcado 
de um enrolamento e deixa o terminal marcado de outro. 
(8) 
2
1 2
1
NI I
N
= ⋅
Da equação (7), obtém-se: 
Analisando a equação (8), verifica-se que num 
transformador ideal I1 deve ser nulo se I2 também for nulo. 
“Em sistemas de potência, a energia geralmente circula em 
ambos os sentidos através de um transformador e a 
designação de primário e secundário perde o sentido” 
10 O transformador ideal 
A figura abaixo é uma representação esquemática do 
transformador ideal estudado até então. 
2
2
2
VZ
I
=
Se uma impedância é conectada ao enrolamento 2, no 
circuito da figura acima, tem-se 
(9) 
11 O transformador ideal 
Substituindo as equações (3) e (7), em (9), 
( )
( )
2 1 1
2
1 2 1
N N V
Z
N N I
⋅
=
⋅
e essa impedância vista do primário será: 
2
' 1 1
2 2
1 2
V NZ Z
I N
 
= = ⋅ 
 
“A impedância refletida do secundário para o primário é 
obtida pelo quadrado da relação de espiras (tensões) 
vezes a impedância no secundário” 
(10) 
(11) 
12 O transformador ideal 
É possível comprovar a partir das eqs. (3) e (7) que as 
potências complexas, absorvida no primário e fornecida no 
secundário, são iguais para um transformador ideal, 
* * *1 2
1 1 2 2 2 2
2 1
N NV I V I V I
N N
   
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅   
   
(12) 
de modo que, 
1 2S S= (13) 
13 O transformador ideal 
Exemplo: Se um transformador ideal apresenta N1 = 2000 e N2 = 500 e 
se V1 = 1200 ∠0° V e I1 = 5 ∠-30° V com uma impedância Z2 ligada ao 
secundário, achar V2, I2, Z2 e a impedância Z2’ que é definida como o 
valor de Z2 referido ao lado primário do transformador. 
Solução: 
( )22 1
1
500 1200 0 300 0 V
2000
NV V
N
= ⋅ = ⋅ ∠ = ∠ 
( )12 1
2
2000 5 30 30 30 A
500
NI I
N
= ⋅ = ⋅ ∠ = ∠− 
2
2
2
300 0 15 30 
20 30
VZ
I
∠
= = = ∠ Ω
∠−



( )
2 2
' 1
2 2
2
200015 30 240 30 
500
NZ Z
N
   = ⋅ = ∠ ⋅ = ∠ Ω   
  
 
14 
Bobinas magneticamente acopladas 
• Um transformador prático (real) apresenta as seguintes 
características: 
(1) a permeabilidade não é infinita e as indutâncias de 
dispersão estão presentes; 
(2) nem todo o fluxo que enlaça um enrolamento 
também enlaça os demais; 
(3) os enrolamentos apresentam uma certa resistência 
elétrica; 
(4) ocorrem perdas no núcleo de ferro devido as 
variações cíclicas da direção do fluxo. 
15 Bobinas magneticamente acopladas 
Bobinas acopladas mutuamente com: (a) fluxo mútuo devido as 
correntes i1 e i2; (b) fluxo disperso φ1l e φ21 devido a i1 apenas; (c) fluxo 
disperso φ2l e φ12 devido a i2 apenas; 
16 Bobinas magneticamente acopladas 
Momentaneamente, continuemos desprezando as perdas 
no ferro, entretanto, considerando as outras três 
características físicas de um transformador prático. 
Os enlaces de fluxo da bobina 1, devido a i1 somente, 
11 1 11 11 1N L iλ φ= ⋅ = ⋅ (14) 
onde N1 é o número de espiras da bobina 1 e L11 é a 
indutância própria da bobina 1. Sob a mesma condição de 
i1 atuando sozinha, os enlaces de fluxo da bobina 2, 
21 2 21 21 1N L iλ φ= ⋅ = ⋅ (15) 
onde N2 é o número de espiras da bobina 2 e L21 é a 
indutância mútua entre as bobinas. 
17 Bobinas magneticamente acopladas 
Definições similares se aplicam também quando i2 atua 
sozinha. 
Os enlaces de fluxo da bobina 2, devido a i2 somente, 
22 2 22 22 2N L iλ φ= ⋅ = ⋅ (16) 
onde N2 é o número de espiras da bobina 2 e L22 é a 
indutância própria da bobina 2. O fluxo da bobina 1 devido 
a corrente i2 atuando sozinha, 
12 1 12 12 2N L iλ φ= ⋅ = ⋅ (17) 
onde L12 é a indutância mútua entre as bobinas. 
18 Bobinas magneticamente acopladas 
Quando ambas correntes atuam juntas, os enlaces de fluxo 
se adicionam, 
1 11 12 11 1 12 2L i L iλ λ λ= + = ⋅ + ⋅
(18) 
A ordem dos subscritos L12 e L21 não é importante, uma vez 
que a indutância mútua é uma propriedade recíproca das 
bobinas, 
12 21L L=
2 21 22 21 1 22 2L i L iλ λ λ= + = ⋅ + ⋅
O sentido das correntes e a orientação das bobinas 
determina o sinal da indutância mútua, que é positiva no 
desenho das bobinas acopladas magneticamente. 
19 Bobinas magneticamente acopladas 
Quando os enlaces de fluxo variam com o tempo, as 
quedas de tensão nas bobinas são, 
1 1 2
1 1 1 1 1 11 12
d di div r i r i L L
dt dt dt
λ
= ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ (19) 
Os sinais positivos nas eqs. (19) e (20) são geralmente 
associados a uma bobina que absorve potência de uma 
fonte como se a bobina fosse a “carga”. Na figura, v2 e i2 
têm valores positivos simultaneamente, então a potência 
instantânea está sendo “absorvida”. 
2 2 2
2 2 2 2 2 21 22
d di div r i r i L L
dt dt dt
λ
= ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ (20) 
20 Bobinas magneticamente acopladas 
Se a queda de tensão na bobina 2 fosse agora invertida, de 
modo que, 
2
'
2v v= −