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Transformadores: Conceitos e Funcionamento

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Sistemas de Energia 
EE.421 
Aula 05 
 
Prof. José Ubirajara Núñez de Nunes 
02/2012 
 
Instituto Federal Sul rio-grandense 
Escola de Engenharia 
Departamento de Engenharia Elétrica 
Transformadores 
O transformador ideal 
3 
• Os transformadores consistem de duas ou mais bobinas 
situadas de tal forma que são enlaçadas pelo mesmo 
fluxo 
 
• Num transformador de potência, as bobinas são 
colocadas sobre um núcleo de ferro de modo que quase 
todo o fluxo confinado enlace todas as bobinas 
 
• As várias bobinas podem ser conectadas em série ou 
em paralelo, formando um enrolamento e podem ser 
empilhadas sobre o núcleo de forma alternada 
4 O transformador ideal 
A figura a seguir mostra como as bobinas podem ser 
posicionadas sobre um núcleo de ferro para constituir um 
transformador monofásico do tipo núcleo envolvente. 
5 O transformador ideal 
• Para uma análise inicial, vamos supor que o fluxo varie 
senoidalmente no núcleo e que o transformador seja 
ideal 
 
• Um transformador ideal apresenta (1) permeabilidade 
magnética do núcleo infinita, (2) todo o fluxo confinado 
no núcleo e, portanto, enlaçando todas as espiras de 
ambos enrolamentos e (3) perdas no núcleo e 
resistência dos enrolamentos igual a zero 
 
• As quedas de tensão na resistência dos enrolamentos é 
igual a zero, de modo que a tensão terminal nas bobinas 
é igual a tensão induzida nelas 
6 O transformador ideal 
Com base na Lei das tensões de Kirchhoff e na Lei de 
Faraday, obtém-se, 
1 1 1
dv e N
dt
φ
= = ⋅
2 2 2
dv e N
dt
φ
= = ⋅
(1) 
(2) 
onde φ é o valor instantâneo do fluxo e N1 e N2 são os 
números de espiras dos enrolamentos 1 e 2. 
7 O transformador ideal 
Relacionando as tensões nos enrolamentos 1 e 2, que 
estão em fase de acordo com a marcação do ponto, e 
convertendo-as para a forma fasorial, tem-se 
1 1 1
2 2 2
V E N
V E N
= = (3) 
Para se obter a relação entre as correntes nos 
enrolamentos 1 e 2, aplicamos a Lei de Ampère: 
H ds i• =∫ (4) 
Por convenção, considera que a força magneto-motriz 
(fmm) é positiva quando a corrente entra no terminal do 
ponto no enrolamento e negativa em caso contrário. 
8 O transformador ideal 
Assim, as fmm’s nos enrolamentos 1 e 2 estão em sentidos 
opostos. Aplicando a Lei ao redor dos caminhos fechados 
de fluxo (linhas tracejadas), tem-se: 
(5) 1 1 2 2H ds N i N i• = ⋅ − ⋅∫
A integral da intensidade de campo H ao redor do caminho 
fechado é nula quando a permeabilidade é infinita. 
Fazendo tal consideração e convertendo para a notação 
fasorial, 
1 1 2 2 0N I N I⋅ − ⋅ = (6) 
então, 
1 2
2 1
I N
I N
= (7) 
9 O transformador ideal 
Observe que I1 e I2 estão em fase se adotarmos a corrente 
como sendo positiva quando entra pelo terminal marcado 
de um enrolamento e deixa o terminal marcado de outro. 
(8) 
2
1 2
1
NI I
N
= ⋅
Da equação (7), obtém-se: 
Analisando a equação (8), verifica-se que num 
transformador ideal I1 deve ser nulo se I2 também for nulo. 
“Em sistemas de potência, a energia geralmente circula em 
ambos os sentidos através de um transformador e a 
designação de primário e secundário perde o sentido” 
10 O transformador ideal 
A figura abaixo é uma representação esquemática do 
transformador ideal estudado até então. 
2
2
2
VZ
I
=
Se uma impedância é conectada ao enrolamento 2, no 
circuito da figura acima, tem-se 
(9) 
11 O transformador ideal 
Substituindo as equações (3) e (7), em (9), 
( )
( )
2 1 1
2
1 2 1
N N V
Z
N N I
⋅
=
⋅
e essa impedância vista do primário será: 
2
' 1 1
2 2
1 2
V NZ Z
I N
 
= = ⋅ 
 
“A impedância refletida do secundário para o primário é 
obtida pelo quadrado da relação de espiras (tensões) 
vezes a impedância no secundário” 
(10) 
(11) 
12 O transformador ideal 
É possível comprovar a partir das eqs. (3) e (7) que as 
potências complexas, absorvida no primário e fornecida no 
secundário, são iguais para um transformador ideal, 
* * *1 2
1 1 2 2 2 2
2 1
N NV I V I V I
N N
   
⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅   
   
(12) 
de modo que, 
1 2S S= (13) 
13 O transformador ideal 
Exemplo: Se um transformador ideal apresenta N1 = 2000 e N2 = 500 e 
se V1 = 1200 ∠0° V e I1 = 5 ∠-30° V com uma impedância Z2 ligada ao 
secundário, achar V2, I2, Z2 e a impedância Z2’ que é definida como o 
valor de Z2 referido ao lado primário do transformador. 
Solução: 
( )22 1
1
500 1200 0 300 0 V
2000
NV V
N
= ⋅ = ⋅ ∠ = ∠ 
( )12 1
2
2000 5 30 30 30 A
500
NI I
N
= ⋅ = ⋅ ∠ = ∠− 
2
2
2
300 0 15 30 
20 30
VZ
I
∠
= = = ∠ Ω
∠−



( )
2 2
' 1
2 2
2
200015 30 240 30 
500
NZ Z
N
   = ⋅ = ∠ ⋅ = ∠ Ω   
  
 
14 
Bobinas magneticamente acopladas 
• Um transformador prático (real) apresenta as seguintes 
características: 
(1) a permeabilidade não é infinita e as indutâncias de 
dispersão estão presentes; 
(2) nem todo o fluxo que enlaça um enrolamento 
também enlaça os demais; 
(3) os enrolamentos apresentam uma certa resistência 
elétrica; 
(4) ocorrem perdas no núcleo de ferro devido as 
variações cíclicas da direção do fluxo. 
15 Bobinas magneticamente acopladas 
Bobinas acopladas mutuamente com: (a) fluxo mútuo devido as 
correntes i1 e i2; (b) fluxo disperso φ1l e φ21 devido a i1 apenas; (c) fluxo 
disperso φ2l e φ12 devido a i2 apenas; 
16 Bobinas magneticamente acopladas 
Momentaneamente, continuemos desprezando as perdas 
no ferro, entretanto, considerando as outras três 
características físicas de um transformador prático. 
Os enlaces de fluxo da bobina 1, devido a i1 somente, 
11 1 11 11 1N L iλ φ= ⋅ = ⋅ (14) 
onde N1 é o número de espiras da bobina 1 e L11 é a 
indutância própria da bobina 1. Sob a mesma condição de 
i1 atuando sozinha, os enlaces de fluxo da bobina 2, 
21 2 21 21 1N L iλ φ= ⋅ = ⋅ (15) 
onde N2 é o número de espiras da bobina 2 e L21 é a 
indutância mútua entre as bobinas. 
17 Bobinas magneticamente acopladas 
Definições similares se aplicam também quando i2 atua 
sozinha. 
Os enlaces de fluxo da bobina 2, devido a i2 somente, 
22 2 22 22 2N L iλ φ= ⋅ = ⋅ (16) 
onde N2 é o número de espiras da bobina 2 e L22 é a 
indutância própria da bobina 2. O fluxo da bobina 1 devido 
a corrente i2 atuando sozinha, 
12 1 12 12 2N L iλ φ= ⋅ = ⋅ (17) 
onde L12 é a indutância mútua entre as bobinas. 
18 Bobinas magneticamente acopladas 
Quando ambas correntes atuam juntas, os enlaces de fluxo 
se adicionam, 
1 11 12 11 1 12 2L i L iλ λ λ= + = ⋅ + ⋅
(18) 
A ordem dos subscritos L12 e L21 não é importante, uma vez 
que a indutância mútua é uma propriedade recíproca das 
bobinas, 
12 21L L=
2 21 22 21 1 22 2L i L iλ λ λ= + = ⋅ + ⋅
O sentido das correntes e a orientação das bobinas 
determina o sinal da indutância mútua, que é positiva no 
desenho das bobinas acopladas magneticamente. 
19 Bobinas magneticamente acopladas 
Quando os enlaces de fluxo variam com o tempo, as 
quedas de tensão nas bobinas são, 
1 1 2
1 1 1 1 1 11 12
d di div r i r i L L
dt dt dt
λ
= ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ (19) 
Os sinais positivos nas eqs. (19) e (20) são geralmente 
associados a uma bobina que absorve potência de uma 
fonte como se a bobina fosse a “carga”. Na figura, v2 e i2 
têm valores positivos simultaneamente, então a potência 
instantânea está sendo “absorvida”. 
2 2 2
2 2 2 2 2 21 22
d di div r i r i L L
dt dt dt
λ
= ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ (20) 
20 Bobinas magneticamente acopladas 
Se a queda de tensão na bobina 2 fosse agora invertida, de 
modo que, 
2
'
2v v= −2
' 2 1 2
2 2 2 2 2 21 22
d di div v r i r i L L
dt dt dt
λ
= − = − ⋅ − = − ⋅ − ⋅ − ⋅ (21) 
ter-se-ia, 
Para valores instantâneos positivos de v2’ e de i2 a potência 
é “fornecida” pela bobina 2. Portanto, os sinais negativos 
na eq. (21) são características de uma bobina atuando 
como um “gerador” entregando potência (energia) para 
uma carga externa. 
21 Bobinas magneticamente acopladas 
Em regime permanente, as tensões e as correntes CA nas 
bobinas, eqs. (19) e (20) assumem a forma fasorial, 
( ) ( )
11 12
1 1 11 1 12 2
Z Z
V r j L I j L Iω ω= + ⋅ + ⋅
  (22) 
A letra minúscula zij é usada para distinguir a impedância 
mútua da impedância de nó Zij. Na forma vetor-matriz, as 
eqs. (22) e (23) tornam-se 
( ) ( )
21 22
2 21 1 2 22 2
Z Z
V j L I r j L Iω ω= ⋅ + + ⋅
  (23) 
1 11 12 1
2 21 22 2
V z z I
V z z I
     
= ⋅     
     
(24) 
22 Bobinas magneticamente acopladas 
Observa-se que os V’s são as quedas de tensão nos 
terminais das bobinas e os I’s são as correntes circulando 
nas bobinas. 
A partir da matriz admitância e das tensões terminais do 
transformador é possível determinar as correntes nos 
enrolamentos 1 e 2. 
(25) 
( )
1
11 12 11 12 22 12
21 22 21 22 21 1111 22 12 21
1y y z z z z
y y z z z zz z z z
−
−     
= = ⋅     −⋅ − ⋅     
O inverso dos coeficientes é a matriz de admitâncias, dada 
por: 
23 Bobinas magneticamente acopladas 
Multiplicando a eq. (24) pela matriz admitância por: 
Evidentemente, os parâmetros y e z com os mesmos 
subscritos não são simplesmente o inverso um do outro. 
(26) 1 11 12 1
2 21 22 2
I y y V
I y y V
     
= ⋅     
     
Se os terminais da bobina 2 estão abertos, então I2 = 0 e a 
eq. (24) mostra que a impedância de circuito-aberto na 
bobina 1 é 
2
1
11
1 0I
V z
I
=
= (27) 
24 Bobinas magneticamente acopladas 
Se os terminais da bobina 2 estão fechados, então V2 = 0 e 
a eq. (26) mostra que a impedância de curto-circuito na 
bobina 1 é 
Através da equação (28), percebe-se que a reatância da 
bobina diminui com a presença do curto-circuito nos 
terminais da bobina 2 
11
2
2
11 12
11
1 220V
V zy y
I z
−
=
= = − (28) 
25 Bobinas magneticamente acopladas 
Um circuito equivalente importante para bobinas acopladas 
mutuamente é mostrado abaixo. 
• A corrente no lado da bobina 2 aparece como I2/a 
 
• A tensão no lado da bobina 2 aparece como a.V2 
 
• A constante a = N1 / N2 
 
• As indutâncias nos colchetes são as indutâncias de 
dispersão L1l e L2l das bobinas 
26 Bobinas magneticamente acopladas 
As indutâncias de dispersão nas bobinas 1 e 2 são 
explicitadas a partir das eqs. (14) até a (17), como segue, 
( )
1
1 11 1 2 21 1
1 11 21 11 21
1 2 1 1
l
l
N N N NL L a L
i N i i
φ
φ φ
φ φ
⋅ ⋅
− ⋅ = − ⋅ = ⋅ −

(29) 
( )
2
2 22 2 1 12 2
2 22 21 22 12
2 1 2 2
l
l
N N N NL L L a
i N i i
φ
φ φ
φ φ
⋅ ⋅
− = − ⋅ = ⋅ −

(30) 
onde os fluxos φ1l e φ2l são os fluxos dispersos das 
bobinas. 
27 Bobinas magneticamente acopladas 
A indutância em paralelo é a indutância de magnetização 
associada ao fluxo mútuo φ21 que enlaça a bobina devido a 
corrente i1, conforme, 
1 2 21 1
21 21
2 1 2
N N NaL
N i N
φ
φ
⋅
= ⋅ = ⋅ (31) 
Ao definir as reatâncias de dispersão x1 = ω⋅L1l e x2 = 
ω⋅L2l, e a susceptância de magnetização shunt Bm = 
(ω⋅a⋅L21)-1, se obtém o circuito equivalente ilustrado abaixo, 
que é base para o circuito do transformador. 
28 
O circuito equivalente de um 
transformador monofásico 
• O circuito equivalente visto na seção anterior está 
próximo de se igualar às características de um 
transformador prático 
 
• No entanto, este ainda apresenta as seguintes 
limitações: 
(1) não reflete qualquer transformação de tensão ou de 
corrente; 
(2) não fornece isolação elétrica entre o primário e o 
secundário; 
(3) não considera as perdas no núcleo. 
 
29 O circuito equivalente de um transformador monofásico 
• Quando uma tensão sinusoidal é aplicada ao 
enrolamento primário de um transformador prático com o 
enrolamento secundário aberto, flui uma pequena 
corrente Ie chamada corrente de excitação 
 
• A corrente Ie se subdivide em duas componentes, sendo 
a maior delas, a corrente de magnetização, Im, e a 
menor, a corrente de perdas no núcleo, Ic 
 
• A corrente Im é responsável pela produção de fluxo 
(magnetização do núcleo). Esta componente forma um 
ângulo de 90° com relação a tensão primária 
 
• A corrente Ic corresponde as perdas no núcleo devido a 
histerese e as perdas por correntes parasitas. Esta 
componente está em fase com a tensão primária 
30 O circuito equivalente de um transformador monofásico 
• As perdas por histerese são aquelas que ocorrem devido 
as variações cíclicas de sentido do fluxo dentro do 
núcleo, que requerem que uma quantidade de energia 
seja dissipada em forma de calor 
 
• Já as perdas por correntes parasitas ocorrem devido a 
circulação de correntes induzidas no núcleo devido ao 
fluxo variável, e estas correntes por sua vez também 
dissipam energia em forma de calor 
 
• No segundo caso, a medida corretiva adotada é a de 
construir um núcleo de ferro com chapas isoladas entre 
si. Esta medida é conhecida como laminação do núcleo 
31 O circuito equivalente de um transformador monofásico 
No circuito equivalente, Ie pode ser representada por 
completo através de um ramo de condutância, Gc, em 
paralelo com a susceptância de magnetização, Bm, 
conforme mostrado abaixo. 
A transformação de tensão e de corrente e a isolação 
elétrica do primário pode ser obtida pela adição de um 
transformador ideal com relação de espiras a = N1 / N2. 
32 O circuito equivalente de um transformador monofásico 
• Em um transformador bem projetado, a densidade de 
fluxo máxima ocorre no “joelho” da curva de saturação 
B-H (curva não-linear) do transformador. 
 
• Assim, a corrente Im necessária para produzir o fluxo 
variável no transformador não é sinusoidal, devido a não 
linearidade existente entre a força magneto-motriz e o 
fluxo produzido 
 
• Em torno de 40% de Ie é composta predominantemente 
da harmônica de terceira ordem, e em menor 
quantidade, de harmônicas de ordem mais elevadas 
 
• Como Ie é pequena comparada a corrente nominal, esta 
é tratada como sinusoidal por conveniência, e assim, é 
aceitável o uso de Gc e de Bm no circuito equivalente 
33 O circuito equivalente de um transformador monofásico 
• O transformador ideal pode ser omitido do circuito 
equivalente se todos os componentes forem referidos 
para o lado de alta ou para o lado de baixa tensão 
 
• Além disso, se a corrente de excitação é desprezada em 
função desta ser muito pequena quando comparada as 
correntes de carga, isto resultará no circuito abaixo 
2
1 1 2R r a r= + ⋅ (32) 
2
1 1 2X x a x= + ⋅
34 O circuito equivalente de um transformador monofásico 
(33) 2, 2,
2,
100%NL FL
FL
V V
VR
V
−
= ⋅
No circuito equivalente simplificado, mostrado 
anteriormente, todos os elementos foram referidos do 
circuito secundário para o circuito primário do 
transformador. 
Regulação de tensão (VR) 
É definida como a diferença entre a magnitude da tensão 
nos terminais da carga do transformador a plena carga e a 
vazio, em percentual da tensão a plena carga mantendo-se 
a tensão de entrada constante. 
onde V2,NL é a magnitude da tensão V2 a vazio e V2,FL 
é a magnitude de V2 a plena carga com V1 constante. 
35 O circuito equivalente de um transformador monofásicoExemplo: Um transformador monofásico tem 2000 espiras no 
enrolamento primário e 500 espiras no enrolamento secundário. As 
resistências dos enrolamentos são r1 = 2,0 Ω e r2 = 0,125 Ω. As 
resistências de dispersão são x1 = 8,0 Ω e x2 = 0, 5 Ω. A resistência da 
carga Z2 é 12 Ω. Se a tensão aplicada aos terminais do enrolamento 
primário é 1200 V, encontre V2 e a regulação de tensão. Despreze a 
corrente de magnetização. 
Solução: 
1
2
2000 4
500
Na
N
= = =
( )21 2 0,125 4 4,0 R = + ⋅ = Ω
( )21 8 0,5 4 16 X = + ⋅ = Ω
- Circuito equivalente 
( )2'2 12 4 192 Z = ⋅ = Ω
36 O circuito equivalente de um transformador monofásico 
continuação... 
1
1200 0 6,10 4,67 A
192 4 16
I
j
∠
= = ∠−
+ +


Os parâmetros do circuito equivalente podem ser calculados, 
( )2 192 6,10 4,67 1171,6 4,67 Va V⋅ = ⋅ ∠− = ∠− 
1200 4 292,9 0,0242 ou 2,42 %
292,9
VR −= =
Como V2,NL = V1/a, 
2
1171,6 4,67 292,9 4,67 V
4
V ∠−= = ∠−


37 
Impedâncias em p.u. em circuitos 
de transformadores monofásicos 
• Os valores ôhmicos da resistência e da reatância de 
dispersão de um transformador dependem de onde são 
feitas as medidas, no lado de alta ou no lado de baixa 
tensão 
 
• Se estas são expressas em p.u., a base de potência 
aparente é entendida como sendo a própria potência 
nominal do transformador 
 
• A base de tensão depende do lado no qual os valores 
ôhmicos de resistência e de reatância estão referidos no 
circuito do transformador 
38 Impedâncias em p.u. em circuitos de transformadores monofásicos 
• Se os valores ôhmicos de resistência e da reatância de 
dispersão estão referidos para o lado de baixa tensão, 
a tensão-base é a tensão nominal de baixa tensão 
 
• Da mesma maneira, se estes valores ôhmicos estão 
referidos para o lado de alta tensão, então a tensão-
base é a tensão nominal de alta tensão 
 
• A impedância em p.u. de um transformador é a mesma, 
independentemente do fato desta ter sido obtida a partir 
dos dados de base no lado de alta ou no lado de baixa 
39 Impedâncias em p.u. em circuitos de transformadores monofásicos 
Exemplo: Os valores nominais de um transformador monofásico são 
2,5 kVA, 110 / 440 V. A reatância de dispersão medida no lado de baixa 
tensão é de 0,06 Ω. Determine a reatância de dispersão em p.u. 
Solução: 
( )2
3
110
4,84 
2,5 10BTbase
Z = = Ω
⋅
0,06 0,0124 pu
4,84
X = =
24400,06 0,96 
110
X  = ⋅ = Ω 
 
Se a medição fosse feita no 
lado de alta, 
Em p.u. 
( )2
3
440
77,5 
2,5 10ATbase
Z = = Ω
⋅
0,96 0,0124 pu
77,5
X = =
Em p.u. 
40 Impedâncias em p.u. em circuitos de transformadores monofásicos 
• Uma grande vantagem em se trabalhar com valores em 
p.u. é obtida por meio da escolha adequada de 
diferentes bases para os circuitos conectados entre si 
através de um transformador 
 
• Para se obter tal vantagem em um sistema monofásico, 
as bases de tensão para os circuitos conectados 
através de um transformador devem ter a mesma 
relação de espiras do transformador 
 
• Com essa escolha de bases de tensão e com a mesma 
base de potência, o valor em p.u. de uma impedância 
será o mesmo independendo do lado do transformador 
escolhido para o cálculo 
41 Impedâncias em p.u. em circuitos de transformadores monofásicos 
“O transformador é representado completamente por sua 
impedância (R + jX) em p.u. quando a corrente de 
magnetização é desprezada. Consequentemente, não há 
necessidade de transformação de tensão em p.u., visto 
que as componentes em p.u. são as mesmas em ambos 
lados do transformador, se a corrente de magnetização for 
desprezada.” 
42 Impedâncias em p.u. em circuitos de transformadores monofásicos 
Exemplo: Três partes de um sistema elétrico monofásico são 
designadas por A, B e C e estão interligadas entre si através de 
transformadores, como mostra a figura abaixo. As características dos 
transformadores são: 
A-B 10.000 kVA, 13,8/138 kV, reatância de dispersão 10 % 
B-C 10.000 kVA, 138/69 kV, reatância de dispersão 8 % 
Se as bases no circuito B escolhidas forem 10.000 kVA e 138 kV, 
calcular a impedância em p.u. da resistência da carga de 300 Ω no 
circuito C referida aos circuitos C, B e A. Trace o diagrama de 
impedância, desprezando a corrente de magnetização, as resistências 
dos transformadores e a impedância da linha. Determine a regulação 
de tensão se a tensão na carga for 66 kV com a suposição de que a 
tensão de entrada em no circuito A permaneça constante. 
43 Impedâncias em p.u. em circuitos de transformadores monofásicos 
Solução: 
( )0,1 0,1 138 13,8 kVA Bbase baseV V= ⋅ = ⋅ =
( )0,5 0,5 138 69 kVC Bbase baseV V= ⋅ = ⋅ =
( )2 213,8 19,04 
10
baseA
Abase
base
V
Z
S
= = = Ω
( )2 2138 1904 
10
baseB
Bbase
base
V
Z
S
= = = Ω
( )2 269 476 
10
baseC
Cbase
base
V
Z
S
= = = Ω
As bases de tensão, nos trechos A e C, são: 
As impedâncias de bases, nos trechos A, B e C, são: 
44 Impedâncias em p.u. em circuitos de transformadores monofásicos 
continuação... 
2
1
10 13,80,1 0,1 pu
10 13,8T
Z j j = ⋅ ⋅ = 
 
As impedâncias em p.u. dos transformadores e da carga na base do 
sistema são: 
2
2
10 1380,08 0,08 pu
10 138T
Z j j = ⋅ ⋅ = 
 
carga
300 0,63 pu
476
Z = = (na base da carga) 
(na base do sistema) 
(na base do sistema) 
2
carga
10 690,63 0,63 pu
10 69
Z  = ⋅ ⋅ = 
 
(na base do sistema) 
45 Impedâncias em p.u. em circuitos de transformadores monofásicos 
continuação... 
Diagrama de impedâncias do sistema-exemplo: 
O cálculo da regulação é 
carga
66 0 0,957 0 pu
69
V ∠= = ∠


carga
0,957 0 1,52 0 pu
0,63 0
I ∠= = ∠
∠



( ) ( )entrada 1,52 0 0,10 0,08 0,957 0 0,995 puV j j= ∠ ⋅ + + ∠ = 
0,995 0,957 100 3,97 %
0,957
VR −= ⋅ =
46 Impedâncias em p.u. em circuitos de transformadores monofásicos 
• Com base no exemplo anterior, os seguintes aspectos 
devem ser ressaltados: 
(1) são selecionadas uma base de tensão e uma base 
de potência em uma parte do sistema; 
(2) a base de potência deve ser a mesma em todas as 
partes do sistema; 
(3) a escolha da base de tensão em uma parte do 
sistema determina os valores de base de tensão 
para as outras partes do sistema, de acordo com as 
relações de transformação dos transformadores; 
(4) as informações sobre transformadores trifásicos são 
geralmente expressas em p.u., tomando como base 
os seus valores de potência e tensão nominais; 
(5) em sistemas trifásicos, os valores de base são a 
potência trifásica e a tensão de linha. 
47 
Transformadores trifásicos 
• Um transformador trifásico pode ser obtido a partir de 
uma única unidade trifásica, ou alternativamente, por um 
banco constituído de três transformadores monofásicos 
 
• A primeira abordagem requer menos núcleo, e portanto, 
é mais leve, mais econômica e ligeiramente mais 
eficiente que a segunda 
 
• Já as unidades monofásicas, tem a vantagem de poder 
substituir uma das unidades do banco em caso de falha 
e remover a unidade afetada para manutenção 
48 Transformadores trifásicos 
• A teoria de um transformador trifásico é a mesma de um 
banco trifásico de transformadores monofásicos 
 
• As conexões básicas de um transformador trifásico (ou 
de um banco trifásico) são as seguintes: 
(1) Conexão Y-Y 
(2) Conexão ∆-Y 
(3) Conexão Y-∆ 
(4) Conexão ∆-∆ 
 
• Para um transformador monofásico, o ponto é situado 
em um terminal de cada enrolamento, ou 
alternativamente, representa-se por H1 o terminal 
marcado no lado de alta tensão, e por X1, o terminal 
marcado no lado de baixa tensão. Os terminais opostos 
sãorepresentados por H2 e por X2, respectivamente 
49 Transformadores trifásicos 
- Diagrama de enrolamentos para um transformador Y-Y: 
Os terminais de alta tensão são marcados por H1, H2 e H3, 
e os de baixa tensão, são marcados por X1, X2 e X3. Nas 
conexões de transformadores trifásicos, a marcação do 
ponto é feita de maneira que as tensões fase-neutro nos 
terminais H1, H2 e H3 estejam em fase com as tensões 
fase-neutro X1, X2 e X3. 
50 Transformadores trifásicos 
Evidentemente, as conexões ∆ não possuem neutro, mas a 
parte do sistema na qual o enrolamento ∆ está conectado 
terá uma conexão para a terra. Portanto, a terra pode 
servir como neutro efetivo sob condições equilibradas, 
e então podemos dizer que existe o neutro para as 
conexões ∆. 
“Para cumprir os padrões norte-americanos, os terminais 
dos transformadores Y-∆ e ∆-Y são marcados de modo que 
as tensões fase-neutro H1, H2 e H3 se adiantem em 30° em 
relação as tensões fase-neutro X1, X2 e X3, 
respectivamente.” 
51 Transformadores trifásicos 
• Com relação as conexões de transformadores trifásicos, 
serão feitas as seguintes considerações: 
(1) a tensão entre fase e neutro numa conexão Y é 
proporcional ao número de espiras do enrolamento; 
(2) numa conexão ∆, a tensão entre fase e neutro é 
proporcional ao número de espiras dividido por raiz 
de três, supondo que o sistema seja equilibrado; 
(3) a relação de tensões (a) é definida como sendo a 
relação entre as tensões entre fase e neutro dos 
enrolamentos primário e secundário; 
(4) a impedância referida do lado de BT para o lado de 
AT é obtida através impedância no lado de BT vezes 
o quadrado da relação de espiras do transformador; 
(5) a impedância referida de AT para a BT é obtida 
através impedância no lado de AT dividida pelo 
quadrado da relação de espiras do transformador. 
52 Transformadores trifásicos 
- Conexão Y-Y: reflexão de impedância por fase 
1
2
LN
ln
V Na
V N
= =
A “relação de tensões” é dada por 
1
2
LN
ln
V N
V N
=
A relação entre as tensões nos “enrolamentos” é dada por 
53 Transformadores trifásicos 
A relação entre as tensões “de linha” é dada por 
1 1
22
3
3
LL
ll
V N N
V NN
= =
2
H LZ a Z= ⋅
A impedância referida do lado de BT para o lado de AT é 
2
1
2
H L
NZ Z
N
 
= ⋅ 
 
2
LL
H L
ll
VZ Z
V
= ⋅ou 
onde ZH é a impedância no lado de AT e ZL é a impedância 
no lado de BT. 
54 Transformadores trifásicos 
- Conexão Y-∆: reflexão de impedância por fase 
1
23 3
LN
ll
V Na
V N
= =
1
2
LN
ll
V N
V N
=
A relação entre as tensões nos “enrolamentos” é dada por 
A “relação de tensões” é dada por 
55 Transformadores trifásicos 
A relação entre as tensões “de linha” é dada por 
1 1
2 2
3 3LL
ll
V N N
V N N
⋅
= = ⋅
2
H LZ a Z= ⋅
A impedância referida do lado de BT para o lado de AT é 
2
1
2 3
H L
NZ Z
N
 
= ⋅ 
 
2
LL
H L
ll
VZ Z
V
= ⋅ou 
56 Transformadores trifásicos 
- Conexão ∆-Y: reflexão de impedância por fase 
1
2
3 3LL
ln
V Na
V N
= =
1
2
LL
ln
V N
V N
=
A relação entre as tensões nos “enrolamentos” é dada por 
A “relação de tensões” é dada por 
57 Transformadores trifásicos 
A relação entre as tensões “de linha” é dada por 
1 1
22
1
3 3
LL
ll
V N N
V NN
= = ⋅
2
H LZ a Z= ⋅
A impedância referida do lado de BT para o lado de AT é 
2
1
2
3
H L
NZ Z
N
 
= ⋅ 
 
2
LL
H L
ll
VZ Z
V
= ⋅ou 
58 Transformadores trifásicos 
- Conexão ∆- ∆: reflexão de impedância por fase 
1 1
22
3 3
3 3
LL
ll
V N Na
NV N
= = =
1
2
LL
ll
V N
V N
=
A relação entre as tensões nos “enrolamentos” é dada por 
A “relação de tensões” é dada por 
59 Transformadores trifásicos 
A relação entre as tensões “de linha” é dada por 
1
2
LL
ll
V N
V N
=
2
H LZ a Z= ⋅
A impedância referida do lado de BT para o lado de AT é 
2
1
2
3
3H L
NZ Z
N
 
= ⋅ 
 
2
LL
H L
ll
VZ Z
V
= ⋅ou 
60 Transformadores trifásicos 
• A análise feita para os diferentes tipos de conexões, 
prova que para os cálculos em por unidade envolvendo 
transformadores em circuitos trifásicos é necessário que 
as tensões de base nos dois lados do transformador 
tenham a mesma relação que as tensões de linha 
(fase-fase) nominais em ambos lados 
 
• A potência aparente de base é a mesma em ambos 
lados do transformador 
61 Transformadores trifásicos 
Exemplo: Três transformadores, cada um com valores nominais de 25 
MVA, 38,1 / 3,81 kV, são conectados com uma carga equilibrada que 
consiste em três resistências de 0,6 Ω, conectadas em Y. Selecione 
uma base de 75 MVA, 66 kV para o lado de alta tensão do 
transformador e especifique a base no lado de baixa tensão. Determine 
a resistência por unidade da carga na base do lado de baixa tensão. 
Então, determine RL em ohms referida ao lado de alta tensão, assim 
como o valor por unidade desta resistência na base selecionada. 
Solução: 
Como √3 x 38,1 kV = 66 kV, os valores nominais do transformador 
como banco trifásico é 75 MVA, 66 Y / 3,81 ∆ kV. 
BT AT
BT
base base
AT
VV V
V
= ⋅
Como a tensão de base no lado de AT é 66 kV, a tensão de base no 
lado de BT é 
3,81 66 kV 3,81 kV
66BTbase
V = ⋅ =→ 
62 Transformadores trifásicos 
continuação... 
Então, as base para o lado de baixa tensão é de 75 MVA, 3,81 kV. 
( )266 58,1 
75ATbase
Z = = Ω
A impedância de base para os lados de AT e de BT, são 
0,6 3,10 pu
0,1935L
R = =
e a resistência da carga, em p.u., é 
( )23,81 0,1935 
75BTbase
Z = = Ω
63 Transformadores trifásicos 
continuação... 
A resistência da carga referida para o lado de AT é 
2
' 66 0,6 180 
3,81L
R  = ⋅ = Ω 
 
' 180 3,10 pu
58,1L
R = =
e a resistência da carga referida, em p.u., é 
Os valores da resistência e da reatância de um transformador trifásico 
são medidos através de um ensaio de curto-circuito. Em um circuito 
equivalente trifásico R e X são conectados em cada linha a um 
transformador trifásico ideal. Como R e X terão o mesmo valor em p.u., 
referidos para o lado de AT ou para o lado de BT do transformador, 
então o circuito equivalente por fase contará com uma impedância 
R+jX sem o transformador ideal, se o deslocamento de fase não for 
importante nos cálculos e todas as componentes estiverem em p.u. 
com a seleção das bases adequadas. 
64 
Deslocamento de fase e circuitos 
equivalentes 
• A análise do deslocamento angular em transformadores 
Y-∆ ou ∆-Y é um pré-requisito para o estudo de faltas, 
que baseia-se no uso das componentes de sequência 
positiva - ABC, e negativa - ACB 
 
• As componentes de sequência positiva são 
representadas pelo subscrito 1, enquanto as de 
sequência negativa, são representadas pelo subscrito 2 
65 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
• Num conjunto de tensões de sequência positiva fase-
neutro, VB(1) se atrasa em 120° a VA(1), enquanto que 
VC(1) se atrasa em 240° a VA(1) 
 
• Num conjunto de tensões de sequência negativa fase-
neutro, VB(2) se adianta em 120° a VA(2), enquanto que 
VC(2) se adianta em 240° a VA(1) 
 
• É importante ressaltar que as tensões entre fase e 
neutro podem distinguir das tensões entre fase e a terra, 
sob condições de desequilíbrio 
66 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
A figura abaixo mostra o esquemático de um transformador 
Y-∆, onde o Y é o lado de AT. 
• As letras maiúsculas (A, B e C) são aplicadas ao lado de 
AT eas minúsculas (a, b, e c), ao lado de BT 
 
• Os enrolamentos desenhados paralelamente estão 
acoplados pelo mesmo fluxo 
67 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
• Os padrões norte-americanos exigem que, para 
representar dos terminais H1 e X1 em transformadores Y-
∆, a tensão entre fase e neutro de sequência positiva em 
H1 se adiante em 30° da tensão entre fase e neutro de 
sequência positiva em X1, independendo se o 
enrolamento ∆ ou Y está no lado de alta tensão 
 
• De forma similar, a tensão em H2 para o neutro se 
adianta em 30° da tensão em X2 para o neutro e, a 
tensão em H3 para o neutro se adianta em 30° da tensão 
em X3 para o neutro 
 
• Através do diagrama de enrolamentos, verifica-se que 
VA(1) e Vab(1) estão em fase de acordo com a marcação 
dos pontos. A partir daí, determina-se as outras tensões 
para a construção do diagrama fasorial 
68 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
- Componentes de sequência positiva 
• Observa-se que VA(1) se adianta em 30° de Va(1) e o 
terminal “a” deve ser marcado com “X1” para satisfazer o 
padrão norte-americano 
 
• Os terminais b e c são marcados com X2 e X3, 
respectivamente 
69 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
- Componentes de sequência negativa 
• Pelo diagrama acima, verifica-se que VA(2) está em fase 
com de Vab(2) 
• Além disso, VA(2) se atrasa em 30° de Va(2) 
 
• Desta forma, os terminais a, b e c devem ser marcados 
com X1, X2 e X3, respectivamente (padrão americano) 
70 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
Se N1 e N2 representam o número de espiras dos 
enrolamentos de AT e de BT, respectivamente, de qualquer 
fase, então o diagrama de conexões mostra que 
( ) ( )1 11
2
A ab
NV V
N
= ⋅
( ) ( )1 11
2
3 30
A a
NV V
N
= ⋅ ∠ 
( ) ( )2 21
2
A ab
NV V
N
= ⋅
(34) 
e 
por ação do transformador. 
Seguindo a geometria dos diagramas fasoriais de 
sequência positiva e negativa, tem-se: 
( ) ( )2 21
2
3 30
A a
NV V
N
= ⋅ ∠ − 
71 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
• De forma similar, as correntes nos transformadores Y-∆ 
estão deslocadas de 30° entre si, de modo que os seus 
ângulos de fase em relação as tensões são 
determinados pelas impedâncias das cargas 
 
• A relação entre os valores nominais da tensão de linha 
(fase-fase) do enrolamento Y e da tensão de linha do 
enrolamento ∆ é igual a √3⋅N1/N2. Assim, ao escolher as 
bases de tensão de linha nos dois lados com a mesma 
relação, se obtém em p.u.: 
( ) ( )1 1 30
A a
V V= ∠ 
(35) 
( ) ( )1 1 30
A a
I I= ∠ 
( ) ( )2 2 30
A a
V V= ∠−  ( ) ( )2 2 30
A a
I V= ∠− 
72 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
• A impedância do transformador e as correntes de 
magnetização são manipuladas separadamente do 
deslocamento de fase, o qual pode ser representado 
por um transformador ideal 
 
• Geralmente, os enrolamentos de AT em um 
transformador Y-∆ são conectados em Y – os custos de 
isolação para uma dada elevação de tensão são deste 
modo reduzidas, visto que, tal conexão tem a vantagem 
do fato que a transformação de tensão do lado de BT 
para o lado de AT do transformador é dada por √3⋅N1/N2 
 
• Se os enrolamentos de AT são conectados em ∆, a 
relação de transformação das tensões de linha é 
reduzida em vez de aumentada 
73 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
A figura abaixo mostra o esquemático de um transformador 
∆-Y, onde o ∆ é o lado de AT. 
• Verifica-se que os fasores tensões são exatamente os 
mesmos apresentados para a conexão Y-∆, sendo Y o 
lado de AT, e as eqs. (34) e (35) continuam válidas 
 
• Estas equações continuam válidas mesmo se 
invertêssemos os sentidos de todas as correntes no 
diagrama de enrolamentos 
74 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
• Sob condições normais de operação somente as 
componentes de sequência positiva estão envolvidas 
e então a regra geral para qualquer transformador Y-∆ ou 
∆-Y é que a tensão seja adiantada em 30° quando esta 
for elevada 
 
• Conforme já mencionado, o deslocamento de fase na 
tensão pode ser pode ser representado por um 
transformador ideal cuja relação de espiras complexa é 
dada por 1:εjπ/6 
 
• Como VA(1)/IA(1) = Va(1)/Ia(1) na eq. (35), os valores de 
impedância em por unidade são os mesmos quando 
movidos de um lado para o outro do transformador 
75 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
• O fluxo de potência ativa e reativa também não é afetado 
pelo deslocamento de fase porque o deslocamento de 
fase da corrente compensa o deslocamento de fase da 
tensão, como mostra a eq. (36) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 * 1 1 1 1 *30 30
A A a a a a
V I V I V I= ∠ × ∠− =  (36) 
 Portanto, se somente as componentes P e Q são 
exigidas, não é necessário incluir o transformador ideal 
para o deslocamento de fase de transformadores Y-∆ e 
∆-Y no diagrama de impedância 
76 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
• O único caso em que o transformador ideal não pode ser 
ignorado é em qualquer porção de um sistema contendo 
um circuito fechado – estes casos são encontrados em 
conexões paralelas de transformadores reguladores de 
tensão 
 
• Os ângulos de fase das tensões e das correntes podem 
ser encontradas se necessário observando no diagrama 
unifilar a posição as posições dos transformadores Y-∆ e 
∆-Y e aplicando as regras da eq. (35), a saber: 
“Quando eleva-se a tensão do lado de BT para o lado de 
AT de um transformador Y-∆ ou ∆-Y, as tensões de 
sequência positiva e as correntes se adiantam em 30° e 
as tensões de sequência negativa e as correntes se 
atrasam em 30°” 
77 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
• Muito embora nos diagramas de circuitos sejam 
mostradas apenas as relações de tensão, é importante 
sabermos como relacionar esta com a relação de 
correntes do transformador 
 
• A relação de corrente de qualquer transformador com 
deslocamento de fase é o inverso do complexo 
conjugado da relação de tensão, conforme a eq. (37) 
( )
( )
( )
( )
11 1 *
1 1 *
A A
a a
I V
I V
−
 
=  
 
 
(37) 
78 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
- Diagrama unifilar de um sistema de potência 
• O diagrama unifilar indica um transformador Y-∆ para 
elevar a tensão de um gerador para a linha de 
transmissão e um rebaixador, para rebaixar a tensão a 
um nível mais baixo para a distribuição 
79 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
- Circuitos equivalentes por fase com parâmetros em p.u. 
• No circuito equivalente, a resistência e a reatância de 
dispersão estão em p.u. e a corrente de excitação é 
desprezada 
 
• Os transformadores ideais indicando o deslocamento de 
fase são mostrados juntamente com o circuito 
equivalente das linhas de transmissão simplificado 
80 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
• No circuito acima é mostrado um simplificação maior, 
onde as resistências, as capacitâncias shunt e os 
transformadores ideais são desprezados 
- Circuito equivalente por fase com resistência, 
capacitância e transformadores ideais desprezados 
81 Deslocamento de fase e circuitos equivalentes 
Demais tópicos 
• O autotransformador 
 
• Impedâncias por unidade em transformadores de três 
enrolamentos 
 
• Mudança de TAP e regulação de transformadores 
Referências 
82 IFSul/EE – Sistemas de Energia – 02/2012 
• Power System Analysis. 5 ed. 
− Grainger, J. J.; Stevenson, Jr. W. 
• http://www.dee.ufc.br 
	Sistemas de Energia
	Transformadores
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