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Máquina Síncrona e Geração Trifásica

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Sistemas de Energia 
EE.421 
Aula 06 
 
Prof. José Ubirajara Núñez de Nunes 
02/2012 
 
Instituto Federal Sul rio-grandense 
Escola de Engenharia 
Departamento de Engenharia Elétrica 
A máquina síncrona 
Descrição da máquina síncrona 
3 
• As duas partes principais de uma máquina síncrona são 
estruturas ferromagnéticas, conhecidas como estator e o 
rotor 
 
• O estator ou armadura apresenta ranhuras longitudinais 
nas quais estão localizadas as bobinas do enrolamento 
da armadura 
 
• O rotor é a parte da máquina que é montada sobre o 
eixo e gira dentro do estator 
4 Descrição da máquina síncrona 
• No enrolamento da armadura circula a corrente que é 
fornecida a uma carga elétrica ou a um sistema por um 
gerador, ou é a corrente recebida por um motor de uma 
fonte CA 
 
• O enrolamento do rotor é chamado de enrolamento de 
campo e é alimentado em corrente contínua. O campo 
magnético produzido pelo rotor é o campo magnético 
principal da máquina 
 
• A força magneto-motriz (fmm) muito elevada produzida 
pelo enrolamento de campo se combina com a fmm 
produzida pela corrente do enrolamento da armadura. O 
fluxo resultante no entreferro, entre estator e rotor gera 
tensão no enrolamento da armadura e cria o torque 
eletromagnético entre estator e rotor 
5 Descrição da máquina síncrona 
• A corrente CC é fornecida ao enrolamento de campo por 
uma excitatriz que pode ser um gerador montado sobre 
o eixo ou uma fonte CC separada e conectada ao 
enrolamento de campo através de escovas 
 
• Se a máquina é um gerador, o seu eixo é acionado por 
uma máquina primária que normalmente é uma turbina a 
vapor ou uma turbina hidráulica 
 
• O torque eletromagnético, desenvolvido por um gerador 
quando este entrega potência, opõe-se ao torque 
mecânico fornecido pela máquina primária 
 
• No motor o torque eletromagnético desenvolvido, 
descontadas as perdas no ferro e de atrito, é entregue 
ao eixo que aciona a carga mecânica 
6 Descrição da máquina síncrona 
- Gerador CA elementar, de polos lisos, trifásico bipolar 
Os lados opostos de uma bobina estão distanciados de 
180° (por ex.: a e a′) e os lados de bobinas a, b, e c estão 
distanciados de 120°. 
7 Descrição da máquina síncrona 
- Gerador CA, de polos salientes, trifásico tetrapolar 
Os lados opostos de uma bobina estão distanciados de 90° 
(por ex.: a e a′) e os lados de bobinas a, b, e c estão 
distanciados de 60°. 
8 Descrição da máquina síncrona 
• As máquinas de polos salientes possuem enrolamentos 
amortecedores, os quais, consistem em barras de 
cobre curto-circuitadas incrustadas na face polar 
 
• A finalidade do enrolamento amortecedor é reduzir as 
oscilações mecânicas do rotor em torno da velocidade 
síncrona 
 
• Na máquina bipolar é gerado um ciclo de tensão para 
cada rotação do rotor, na máquina tetrapolar, dois 
ciclos são gerados em cada bobina por rotação 
9 Descrição da máquina síncrona 
Como o número de ciclos por rotação é igual ao número de 
pares de polos, a frequência da tensão gerada é 
 Hz
2 60 2 m
P N Pf f= = (1) 
onde P é o número de polos, N é a velocidade do rotor em 
rotações por minuto e fm = N/60 é a frequência mecânica 
em rotações por segundo (rps). 
“Como um ciclo de tensão é gerado a cada vez que um 
par de polos passa por uma bobina devemos distinguir 
graus elétricos, usados para expressar tensão e corrente, 
de graus mecânicos, para expressar a posição do rotor - 
conclui-se, que o número de graus elétricos é igual a P/2 
vezes o número de graus mecânicos de qualquer máquina” 
10 
Geração trifásica 
• Os enrolamentos de campo e de armadura de uma 
máquina síncrona estão distribuídos em ranhuras ao 
longo da periferia do entreferro 
 
• Os enrolamentos distribuídos, entretanto, podem ser 
substituídos por bobinas concentradas com 
indutâncias próprias e mútuas adequadas 
 
• Para fins didáticos, é comum nos referirmos a máquina 
de rotor cilíndrico (ou de polos lisos) ao abordar o 
princípio de geração trifásica de tensão 
11 Geração trifásica 
- Gerador trifásico de polos lisos idealizado 
12 Geração trifásica 
• A máquina de polos lisos idealizada, ilustrada na figura, 
apresenta 
(1) três bobinas a, b e c que representam os três 
enrolamentos da armadura no estator; e 
(2) uma bobina concentrada f que representa o 
enrolamento de campo distribuído no rotor 
 
• As três bobinas da armadura estacionárias são idênticas 
em todos aspectos e cada um de seus dois terminais 
são conectados a um ponto comum o 
 
• O eixo da bobina a é selecionado em θd = 0°, e 
percorrendo o entreferro no sentido anti-horário, estão os 
eixos da bobina b, em θd = 120°, e da bobina c, em θd = 
240° 
13 Geração trifásica 
• Para uma máquina de rotor cilíndrico (polos lisos), são 
feitas as seguintes considerações: 
(1) Cada uma das bobinas concentradas a, b e c tem 
uma indutância própria Ls, que é igual as indutâncias 
próprias Laa, Lbb, Lcc dos enrolamentos da armadura 
distribuídos que as bobinas representam, tal que 
(2) As indutâncias mútuas Lab, Lbc, Lca entre cada par de 
enrolamentos concentrados são constantes 
negativas representadas por – Ms , tal que 
s aa bb ccL L L L= = = (2) 
s ab bc caM L L L− = = = (3) 
14 Geração trifásica 
(3) As indutâncias entre as bobinas de campo f e cada 
uma das bobinas do estator varia com a posição do 
rotor θd como uma função cosinusoidal com valor 
máximo de Mf, tal que 
cosaf f dL M θ=
(4) ( )cos 120bf f dL M θ= − 
( )cos 240cf f dL M θ= − 
A bobina de campo tem uma indutância própria constante 
Lff. Isto é porque na máquina de rotor cilíndrico (e também, 
na de polos salientes), o enrolamento de campo no eixo-d 
produz fluxo através de um trajeto magnético similar no 
estator para todas as posições do rotor. 
15 Geração trifásica 
a aa a ab b ac c af fL i L i L i L iλ = + + +
(5) 
O fluxo que se enlaça com cada uma das bobinas a, b e c, 
e f é devido a sua própria corrente e as correntes nas 
outras três bobinas. As equações de enlaçamento de fluxo 
são portanto escritas todas as quatro bobinas como segue: 
( )s a s b c af fL i M i i L i= − + +
b ba a bb b bc c bf fL i L i L i L iλ = + + +
( )s b s a c bf fL i M i i L i= − + +
c ca a cb b cc c cf fL i L i L i L iλ = + + +
( )s c s a b cf fL i M i i L i= − + +
Armadura: 
16 Geração trifásica 
f af a bf b cf c ff fL i L i L i L iλ = + + + (6) 
Se ia, ib e ic são um conjunto trifásico equilibrado de 
correntes, então 
0a b ci i i+ + =
Campo: 
(7) 
Rearranjando (7), tem-se ia = – (ib + ic), ib = – (ia + ic) e ic = – 
(ia + ib) e substituindo nas eqs. (5): 
( )a s s a af fL M i L iλ = + +
(8) ( )b s s b bf fL M i L iλ = + +
( )c s s c cf fL M i L iλ = + +
17 Geração trifásica 
dd
dt
θ ω= (9) 
No momento, estamos interessados nas condições de 
regime permanente. Consideremos, portanto, que a 
corrente if é contínua com um valor constante If e que o 
campo gira a uma velocidade angular constante ω de modo 
que para a máquina de dois polos 
0d dtθ ω θ= +e 
A posição inicial do enrolamento de campo é dada por θd0, 
que pode arbitrariamente ser escolhida em t = 0. As eqs. 
(4) fornecem as expressões para Laf, Lbf e Lcf em termos de 
θd. 
18 Geração trifásica 
Substituindo θd0 por (ωt + θd0) e usando os resultados 
obtidos juntamente com if = If nas eqs. (8), obtém-se: 
( ) ( )0cosa s s a f f dL M i M I tλ ω θ= + + +
( ) ( )0cos 120b s s b f f dL M i M I tλ ω θ= + + + − 
( ) ( )0cos 240c s s c f f dL M i M I tλ ω θ= + + + − 
(10) 
A primeira das equações mostra que λa tem duas 
componentes de fluxo concatenado – uma delas devido a 
corrente de campo If, e a outra, devido a correntede 
armadura ia, que está fluindo para fora da máquina pela 
ação da geração. 
19 Geração trifásica 
Se a bobina a tem resistência R, então a queda de tensão 
va na bobina do terminal a até o terminal o é dado por: 
a
a a
dv Ri
dt
λ
= − −
(11) 
O sinal negativo indica que a máquina está atuando como 
gerador e o último termo da eq. (11) representa a tensão 
interna gerada, que será representada por ea′. Esta tensão 
interna pode ser escrita por 
( ) ( )0sinaa s s f f d
diRi L M M I t
dt
ω ω θ= − − + + +
( )' 02 sina i de E tω θ= + (12) 
20 Geração trifásica 
O valor rms de Ei, proporcional a corrente de campo, é 
definido por 
2
f f
i
M I
E
ω
= (13) 
A ação da corrente de campo produz ea’, que aparece sob 
os terminais da fase a quando ia é zero, e de modo que 
esta é chamada de tensão a vazio, tensão de circuito 
aberto, tensão interna da máquina síncrona, ou tensão 
gerada emf da fase a. 
O ângulo θd0 indica a posição do enrolamento de campo (e 
do eixo d) relativo a fase a em t = 0. Assim, δ = θd0 − 90° 
indica a posição do eixo q, que está 90° atrasado do eixo d. 
21 Geração trifásica 
Por último, verifica-se que θd0 = δ + 90°, e então tem-se 
( ) ( )0 90d dt tθ ω θ ω δ= + = + +  (14) 
onde θd, ω e δ são expressas em unidades de medida 
angular. 
Substituindo a eq. (14) em (12) e observando que sen (α + 
90°) = cos α, obtém-se a tensão de circuito aberto na fase 
a, por 
( )' 2 sina ie E tω δ= + (15) 
22 Geração trifásica 
A tensão terminal va da eq. (11) é então dada por 
(16) 
Esta equação corresponde ao circuito da fase a do 
diagrama do gerador trifásico idealizado, onde a tensão a 
vazio ea’. 
( ) ( )
'
2 sin
a
a
a a s s i
e
div Ri L M E t
dt
ω δ= − − + + +

Os fluxos concatenados λb e λc dados pela eq. (10) podem 
ser tratados da mesma forma que λa. Como os 
enrolamentos são idênticos, resultados similares aos das 
eqs. (15) e (16) podem ser encontrados para as tensões eb’ 
e ec’, que se atrasam de ea’ em 120° e 240°, 
respectivamente. 
23 Geração trifásica 
- Circuito equivalente da armadura para o gerador trifásico 
idealizado com as três fases balanceadas 
24 Geração trifásica 
O conjunto trifásico equilibrado de fems fornece à linha 
trifásica equilibrada correntes, descritas por 
(17) 
( )2 cosa a ai I tω δ θ= + −
( )2 cos 120b a ai I tω δ θ= + − − 
( )2 cos 240c a ai I tω δ θ= + − − 
onde Ia, é o valor rms θa é o ângulo de fase de atraso da 
corrente ia em relação a ea’. 
25 Geração trifásica 
As expressões para Laf, Lbf e Lcf nas eqs. (3) podem ser 
substituídas na eq. (6) para obter 
(18) 
( ) ( )cos cos 120 cos 240f ff f f a d b d c dL I M i i iλ θ θ θ = + + − + −  
O primeiro termo dentro do colchetes pode ser expresso de 
acordo com as eqs. (14) e (17), conforme: 
( ) ( )cos 2 cos cos 90a d a ai I t tθ ω δ θ ω δ= + − + +  (19) 
O uso da identidade trigonométrica 2cosαcosβ = cos(α−β) 
+ cos(α+β) na eq. (19) resulta em 
( )( ){ }cos sin sin 2
2
a
a d a a
I
i tθ θ ω δ θ= − − + − (20) 
26 Geração trifásica 
Os termos ib e ic na eq. (18) podem ser expandidos de 
forma similar, resultando em 
(21) 
( ) ( )( ){ }cos 120 sin sin 2 120
2
a
b d a a
I
i tθ θ ω δ θ− = − − + − − 
(22) 
( ) ( )( ){ }cos 240 sin sin 2 240
2
a
c d a a
I
i tθ θ ω δ θ− = − − + − − 
Os termos envolvendo 2ωt nas eqs. (20) – (22) são 
componentes sinusoidais de segunda harmônica que 
somadas resultam em zero em cada instante de tempo. 
27 Geração trifásica 
A adição dos termos nos colchetes da eq. (18) juntos, 
resultam em 
( ) ( ) 3cos cos 120 cos 240 sin
2
a
a d b d c d a
I
i i iθ θ θ θ + − + − = − 
 
(23) 
e a expressão para λf assume uma forma mais simples 
3 3sin
22
f a
f ff f a ff f f d
M I
L I L I M iλ θ= − = − (24) 
onde a corrente contínua id é obtida por 
3 sind a ai I θ= − (25) 
28 Geração trifásica 
Ao observar a eq. (24), verifica-se que os enlaces de fluxo 
com o enrolamento de campo devidos a combinação de ia, 
ib e ic não variam com o tempo. 
“Considera-se que os enlaces de fluxo provenientes da 
corrente CC estável id, localizada em um circuito CC 
fictício, coincidem com o eixo d, e portanto, estão 
estacionários com relação a corrente de campo” 
Os dois circuitos (o de campo e o da armadura fictício) 
giram juntos em sincronismo e tem uma indutância mútua 
(√3/2)Mf entre eles. 
29 Geração trifásica 
- Representação da armadura de uma máquina síncrona 
por um enrolamento de eixo direto de indutância mútua 
√3/2 Mf com o enrolamento de campo 
30 Geração trifásica 
Em geral, o enrolamento de campo com resistência Rf e 
corrente de campo if tem uma tensão terminal vff’ dada por 
'
f
ff f f
d
v R i
dt
λ
= + (26) 
Como λf não varia com o tempo em regime permanente e 
considerando que if = If pode ser fornecido por uma fonte 
CC, então a tensão de campo torna-se 
'ff f fv R I=
31 Geração trifásica 
• Com relação a corrente contínua id, dada pela eq. (25), 
os seguintes aspectos devem ser ressaltados: 
(1) o seu valor numérico depende da magnitude da 
corrente de armadura Ia e de seu ângulo de fase 
de atraso θa relativo a tensão interna da máquina; 
(2) para fatores de potência em atraso θa é positivo.... 
32 
Reatância síncrona e circuitos 
equivalentes 
• O modelo elétrico trifásico da máquina síncrona obtido 
considera uma máquina de rotor cilíndrico, girando a 
uma velocidade síncrona ω e que a corrente CC de 
campo If é estável 
 
• Como este circuito é simétrico nas três fases, o gerador 
pode ser representado por uma única fase, a qual, é 
tomada como referência em relação as demais 
33 Reatância síncrona e circuitos equivalentes 
- Circuito equivalente para a ‘fase a’ de referência de uma 
máquina síncrona que representa as tensões e as 
correntes nas formas: a) cosinusoidal e b) fasorial 
34 Reatância síncrona e circuitos equivalentes 
Foi visto anteriormente que a corrente ia na eq. (17) foi 
escolhida com relação a tensão a vazio ea’ da fase a. Na 
prática, ea’ não pode ser medido sob carga, e portanto é 
preferível tomar a tensão terminal va como referência e 
medir o ângulo de fase ia com relação a va. Portanto, 
definimos que 
2 cosa av V tω=
(27) ( )' 2 cosa ie E tω δ= +
( )2 cosa ai I tω θ= −
Observa-se que ea’ corresponde a eq. (15) e que ia difere 
da eq. (17) somente com relação ao ângulo de fase, que 
agora, é medido com relação a tensão terminal va. 
35 Reatância síncrona e circuitos equivalentes 
Os fasores equivalentes das eqs. (27) são 
0a aV V= ∠
 (28) 'a iE E δ= ∠ a aI I θ= ∠
Quando a corrente Ia adianta-se a Va, o ângulo θ é 
numericamente negativo; e quando Ia atrasa-se de Va, o 
ângulo θ é numericamente positivo. As equações fasoriais 
correspondentes a eq. (29) podem ser escritas para as 
fases b e c, devido as condições de simetria das fases. 
e estas são marcadas no circuito equivalente para o qual a 
equação fasorial das tensão é 
 
Gerada Devido a Devido a Devido a 
a vazio resistência indutância indutância 
da armadura própria da mútua da 
armadura armadura
a i a s a s aV E RI j L I j M Iω ω= − − −  (29) 
36 Reatância síncrona e circuitos equivalentes 
A componente combinada ω(Ls + Ms) da eq. (29) tem 
dimensões de uma reatância e é costume chamá-la de 
reatância síncrona Xd da máquina. A impedância 
síncrona Zd da máquina é definida por 
(30) ( )d d s sZ R jX R j L Mω= + = + +
e a eq. (29) então pode ser escrita na forma mais compacta 
(31) a i a d i a a dV E I Z E I R jI X= − = − −
a partir da qual se obtém o circuito equivalenteda fig. (a). 
O circuito equivalente do motor síncrono, fig. (b), é idêntico 
ao do gerador, exceto no sentido de Ia que é invertido, e 
tem-se 
(32) a i a d i a a dV E I Z E I R jI X= + = + +
37 Reatância síncrona e circuitos equivalentes 
• A maioria das máquinas síncronas – exceto os 
geradores ilhados que suprem as suas próprias cargas – 
são conectados a grandes sistemas de potência 
interconectados, de modo que Va (Vt – tensão terminal) 
não é alterada em função do carregamento da máquina 
 
• Nestes casos, o ponto de conexão é chamado de 
barramento infinito, que representa uma barra capaz 
de manter a tensão e a frequência constantes, 
independentemente de variações operacionais na 
máquina síncrona 
 
• Os parâmetros da máquina e as suas grandezas de 
operação (V’s e I’s) são normalmente expressas em p.u. 
usando bases correspondentes aos dados de placa da 
máquina, os quais, são fornecidos pelo fabricante 
38 Reatância síncrona e circuitos equivalentes 
• As máquinas de projeto similar tem seus parâmetros 
normalizados, caindo numa faixa muito estreita 
independente do tamanho, o que é muito útil quando os 
dados particulares de uma máquina não estão 
disponíveis 
 
• Na armadura das máquinas trifásicas, em geral, as 
bases de potência aparente e de tensão correspondem, 
respectivamente, a potência nominal trifásica da 
máquina, em MVA ou kVA, e a sua tensão nominal de 
linha (fase-fase), em kV 
 
• Em conformidade, o circuito equivalente tem como 
bases de potência aparente e de tensão, a potência 
nominal por fase da máquina, e a sua tensão nominal 
entre fase e neutro 
39 Reatância síncrona e circuitos equivalentes 
Exemplo: Um gerador síncrono trifásico de 60 Hz, com resistência de 
armadura desprezível, tem os seguintes parâmetros de indutância: 
 Laa = Ls = 2,7656 mH Mf = 31,6950 mH 
 Laa = Ls = 1,3828 mH Lff = 433,6569 mH 
A máquina tem os valores nominais de 635 MVA, fator de potência em 
atraso de 0,9, 3.600 rpm e 24 kV. Quando se opera sob condições de 
carga nominal, a tensão terminal entre fase e neutro e a corrente de 
linha da fase a podem se descrever por 
 va = 19.596 cos ωt V ia = 21.603 cos (ωt − 25,8419°) A 
Considere a máquina descrita acima suprindo uma carga nominal e 
operando em regime permanente. Escolhendo a base da armadura 
igual aos valores nominais da máquina, determine a reatância síncrona 
e as expressões fasoriais em p.u. das componentes do estator, Va, Ia e 
Ei. Se a corrente de campo de base é igual ao valor de If, que produz a 
tensão terminal nominal sob condições de circuito aberto, determine o 
valor de If sob as condições de operação especificadas. 
40 Reatância síncrona e circuitos equivalentes 
Solução: 
635 MVAbaseS =
3635 10 15275,726 A
3 24base
I ⋅= =
⋅
( )224 0,9071 
635base
Z = = Ω
As bases de potência trifásica, de tensão de linha, de corrente de linha 
e de impedância, são: 
24 kVbaseV =
( ) ( ) 3120 2,7656 1,3828 10 1,5639 d s sX L Mω π −= + = + ⋅ = Ω
Usando os valores fornecidos para os parâmetros de indutância Ls e 
Ms da armadura, calcula-se a reatância síncrona: 
41 Reatância síncrona e circuitos equivalentes 
continuação... 
1,5639 1,7241 pu
0,9071d
X = =
Tal reatância em p.u., é obtida por: 
1,0 0 puaV = ∠

A carga está sendo suprida por uma tensão nominal igual a tensão de 
base especificada e portanto, se usarmos Va como fasor de referência, 
obtém-se 
A corrente de carga tem a magnitude rms Ia = 635⋅103/(√3*24) A, que 
é igualmente a corrente de armadura de base. Portanto, Ia = 1,0 p.u., 
e como o ângulo do fator de potência da carga é θ = acos(0,9) = 
25,8419° em atraso, a forma fasorial da corrente Ia é 
1,0 25,8419 pua aI I θ= ∠− = ∠−

42 Reatância síncrona e circuitos equivalentes 
continuação... 
i a d aE V jX I= +
A tensão interna síncrona Ei pode ser calculada por 
A tensão terminal nominal (de pico) sob condições de circuito aberto é 
√2(24.000/√3) = 19.596 V, e a corrente de campo nessas condições é 
32 19596 10 1640 A
120 31,695
i
f
f
E
I
Mω π
⋅
= = =
×
1,0 0 1,7241 1,0 25,8419iE j= ∠ + × ∠−
 
1,7515 1,5517 2,340 41,5384 puiE j= + = ∠

Como Ei é diretamente proporcional a If, a corrente de excitação sob 
as condições especificadas é 
2,34 1640 3838 AfI = × =
43 
Controle das potências ativa e 
reativa 
• Quando uma máquina síncrona é conectada a um 
barramento infinito, a sua velocidade e a sua tensão 
terminal são fixas e inalteráveis 
 
• O controle do sistema de excitação, se aplica tanto a um 
gerador como a um motor para fornecer ou absorver 
uma quantidade variável de potência reativa 
 
• Como a máquina síncrona gira a uma velocidade 
constante, a única forma de controlar a potência ativa é 
através do torque no eixo pela máquina primária no caso 
do gerador, ou da carga mecânica no caso do motor 
44 Controle das potências ativa e reativa 
É conveniente desprezar a resistência quando se considera 
o controle de potência reativa de um gerador de rotor 
cilíndrico. Suponha que o gerador está entregando 
potência de modo que haja um certo ângulo δ entre 
terminais da máquina Vt e a tensão gerada Ei. A potência 
complexa entregue ao sistema pelo gerador é dada em p.u. 
por 
(33) ( )* cos sint a t aS P jQ V I V I jθ θ= + = = +
Igualando-se as partes real e imaginária em ambos os 
lados da equação (33), obtém-se 
(34) cost aP V I θ= sint aQ V I θ=
Observa-se que Q é positivo para fatores de potência em 
atraso (indutivo) visto que o ângulo θ é positivo. 
45 Controle das potências ativa e reativa 
• Se decidirmos manter uma certa quantidade de potência 
entregue P a um sistema de tensão constante, fica 
evidente que o termo Iacosθ deve permanecer 
constante; 
 
• Conforme varia-se a corrente de campo CC If sob estas 
condições, a tensão gerada Ei varia proporcionalmente 
mas sempre de modo a manter o termo Iacosθ 
constante 
 
• O controle de excitação de máquinas síncronas pode ser 
melhor entendido através da demonstração de seus 
diagramas fasoriais 
46 Controle das potências ativa e reativa 
- Diagramas fasoriais mostrando P constante em um (a) 
gerador síncrono (a) sobrexcitado e (b) subexcitado 
47 Controle das potências ativa e reativa 
• Com base nos diagramas fasoriais do gerador 
síncrono, são feitas as seguintes afirmações: 
(1) a excitação normal ocorre quando 
(2) o gerador encontra-se sobrexcitado quando Eicosδ 
> Vt, e subexcitada quando Eicosδ < Vt 
cosi tE Vδ = (35) 
(3) para a condição (a) o gerador está sobrexcitado 
fornecendo P e fornecendo Q ao sistema, atuando 
como um capacitor – ou seja, fornecendo uma 
corrente em atraso ao sistema 
(4) para a condição (b) o gerador está subexcitado 
fornecendo P e absorvendo Q do sistema, atuando 
como um indutor – ou seja, fornecendo uma 
corrente em avanço ao sistema 
48 Controle das potências ativa e reativa 
- Diagramas fasoriais mostrando P constante em um 
motor síncrono (a) sobrexcitado e (b) subexcitado 
49 Controle das potências ativa e reativa 
• Com base nos diagramas fasoriais do motor síncrono, 
são feitas as seguintes afirmações: 
 
(1) o motor encontra-se sobrexcitado quando Eicosδ > 
Vt, e subexcitado, quando Eicosδ < Vt; 
 
(2) para a condição (a) o motor está sobrexcitado 
absorvendo P e fornecendo Q ao sistema, atuando 
como um capacitor – ou seja, absorvendo uma 
corrente em avanço do sistema 
 
(3) para a condição (b) o motor está subexcitado 
absorvendo P e absorvendo Q do sistema, atuando 
como um indutor – ou seja, absorvendo uma 
corrente em atraso do sistema 
50 Controle das potências ativa e reativa 
Com base na análise fasorial feita para geradores emotores síncronas, conclui-se que, 
“Geradores e motores sobrexcitados fornecem potência 
reativa ao sistema, e geradores e motores subexcitados 
absorvem potência reativa do sistema.” 
Agora, consideremos que a potência ativa P é controlada 
pela abertura ou fechamento de válvulas através da qual o 
vapor (ou a água) passa pela turbina. 
51 Controle das potências ativa e reativa 
• Se a potência de entrada no gerador é aumentada pela 
máquina primária, a velocidade (a vazio) do rotor 
aumentará, e se a corrente de campo If e portanto Ei 
são constantes, o ângulo δ entre Ei e Vt aumentará 
 
• O aumento de δ resulta em uma componente Iacosθ 
maior, que pode ser visto pela rotação anti-horária do 
fasor Ei nos diagramas fasoriais (a) e (b) do gerador 
 
• O gerador com um ângulo δ maior, por sua vez, entrega 
uma maior potência a rede, exercendo um torque 
contrário maior na máquina primária 
 
• A entrada de energia mecânica da máquina primária é 
restabelecida a uma velocidade (a vazio) correspondente 
a frequência do barramento infinito 
52 Controle das potências ativa e reativa 
Um raciocínio similar ao anterior, aplica-se a motores 
síncronos. 
A dependência de P do ângulo de carga δ é mostrada a 
seguir. Se 
0t tV V= ∠

i t
a
d
E V
I
jX
δ∠ −
= (36) 
i iE E δ= ∠e 
onde Vt e Ei são tensões entre fase e neutro, expressas em 
volts ou em p.u., então 
* i t
a
d
E V
I
jX
δ∠− −
=
−
e 
53 Controle das potências ativa e reativa 
Portanto, a potência complexa entregue ao sistema nos 
terminais do gerador é dada por 
2
* t i t
t a
d
V E V
S P jQ V I
jX
δ∠− −
= + = =
(37) ( )
2cos sint i t
d
V E j V
jX
δ δ− −
=
−
As partes real e imaginária da eq. (37) são 
sint i
d
V E
P
X
δ= ( )sin cost i t
d
V
Q E V
X
δ= − (38) 
54 Controle das potências ativa e reativa 
• Referente as eqs. (38), os seguintes aspectos devem ser 
ressaltados: 
 
(1) as tensões Vt e Ei são tensões entre fase e neutro, 
portanto, as componentes P e Q são componentes 
por fase; 
 
(2) se valores entre fase e fase (tensões de linha) forem 
substituídos em Vt e Ei, serão fornecidos os valores 
trifásicos para P e Q; 
 
(3) os valores em p.u. de P e Q, podem ser 
multiplicados pela potência aparente trifásica ou pela 
potência aparente por fase, dependendo se o valor 
desejado é a potência trifásica ou por fase; 
55 Controle das potências ativa e reativa 
• continuação... 
 
(4) o valor de P é dependente do ângulo δ, se Ei e 
Vt são constantes; 
 
(5) se P e Vt são constantes, o ângulo δ deve diminuir 
se Ei for aumentado pelo aumento de If; 
 
(6) com P constante, o aumento em Ei e a redução no 
ângulo δ significa que Q irá aumentar em magnitude 
se esta já for positiva, ou diminuir em magnitude e 
talvez tornar-se positiva, se Q for negativa antes de 
alterar a excitação do campo. 
56 Controle das potências ativa e reativa 
Exemplo: Um gerador síncrono trifásico (do exemplo anterior), com 
dados nominais de 635 MVA, fator de potência de 0,9 indutivo, 3.600 
rpm, 24 kV, 60 Hz, apresenta uma reatância síncrona de 1,7241 p.u. e 
é conectado a um grande sistema. A tensão terminal é de 1,0 ∠ 0° p.u. 
e o gerador está fornecendo ao sistema uma corrente de 0,8 p.u. com 
um fator de potência de 0,9 indutivo. Todos os valores em p.u. estão na 
base da máquina. Desprezando a resistência, encontre a magnitude e 
o ângulo da tensão interna síncrona Ei, assim como as potência P e Q 
entregues ao barramento infinito. Determine o ângulo δ entre Ei e a 
tensão na barra, assim como a potência Q fornecida pelo gerador a 
barra, se a potência ativa na saída do gerador permanece constante, 
mas a sua excitação (a) for aumentada em 20% e (b) for reduzida em 
20%. 
Solução: 
O ângulo do fator de potência é θ = acos (0,9) = 25,8419° indutivo, e 
assim a tensão interna síncrona é calculada por 
i i t d aE E V jX Iδ= ∠ = +
57 Controle das potências ativa e reativa 
continuação... 
1,0 0 1,7241 0,8 25,8419iE j= ∠ + × ∠−
 
( )1,0 2,0261sin 37,7862 0,7200 pu1,7241P
×
= =
Os valores de P e Q fornecidos na saída do gerador, são 
1,6012 1,2414 2,0261 37,7862 puiE j= + = ∠−

[ ]1,0 1,6012 1,0 0,3487 pu
1,7241
Q = − =
(a) Aumentando a excitação em 20% com P e Vt constantes, obtém-se 
1,0 1,2 2,0261sin sin 0,72
1,7241
t i
d
V E
X
δ δ× ×= =
58 Controle das potências ativa e reativa 
continuação... 
( )1,0 1,20 2,0261cos 30,7016 1,0 0,6325 pu1,7241Q  = × − = 

e o novo valor de Q fornecido pelo gerador é 
(b) Reduzindo a excitação em 20% com P e Vt constantes, obtém-se 
1 0,72 1,7241sin 30,7016
1,2 2,0261
δ − × = = × 

1,0 0,8 2,0261sin sin 0,72
1,7241
t i
d
V E
X
δ δ× ×= =
1 0,72 1,7241sin 49,9827
0,8 2,0261
δ − × = = × 

59 Controle das potências ativa e reativa 
continuação... 
e o valor de Q agora fornecido pelo gerador é 
Assim, verifica-se como a excitação controla a potência reativa na 
saída do gerador. 
( )1,0 0,80 2,0261cos 49,9827 1,0 0,0245 pu1,7241Q  = × − = 

60 
Diagrama de capacidade de 
carregamento 
• Todas as condições normais de operação de um gerador 
de rotor cilíndrico conectado a uma barra infinita podem 
ser representadas em um único diagrama, chamado de 
diagrama de capacidade de carregamento ou carta 
de operação da máquina 
 
• Tal diagrama, é construído sob a suposição de que o 
gerador tem uma tensão terminal Vt fixa e que a 
resistência de armadura é desprezível – o diagrama 
apresenta Vt como fasor de referência 
61 Diagrama de capacidade de carrregamento 
- Diagrama fasorial do gerador com eixos P e Q invertidos 
62 Diagrama de capacidade de carrregamento 
• O diagrama fasorial das tensões ao ser girado (no 
sentido anti-horário) e rebatido, apresenta o seu eixo 
horizontal correspondente a potência ativa, e o seu 
eixo vertical, correspondente a potência reativa 
 
• Os lugares geométricos obtidos no diagrama passam 
pelo ponto m, o qual representa o ponto de operação 
do gerador 
 
• Os lugares geométricos obtidos correspondem aos cinco 
modos de operação possíveis, em cada um deles, um 
parâmetro da unidade de geração é mantida constante 
 
• Multiplicando o comprimento de cada fasor no diagrama 
fasorial das tensões por um fator de escala de Vt/Xd, 
obtém-se o diagrama capacidade de carregamento 
63 Diagrama de capacidade de carrregamento 
- Diagrama de capacidade de carregamento (capabilidade) 
64 Diagrama de capacidade de carrregamento 
• Excitação constante. O círculo de excitação constante 
tem o ponto n como centro e raio de comprimento n-m 
igual a magnitude da tensão interna da máquina Ei, 
que pode ser mantida constante se If for constante 
 
• Ia constante: O círculo para a corrente de armadura 
constante tem o ponto o como centro e raio de 
comprimento o-m proporcional ao valor fixo de Ia. 
Como Vt é fixo, os pontos de operação desta curvatura 
correspondem a potência aparente de saída (VtIa) 
 
• Potência constante. A potência ativa de saída da 
máquina é dada por P = VtIacosθ em p.u. Como Vt 
é constante, a linha vertical m-p, fixada pela distância 
VtIacosθ a partir do eixo vertical n-o representa o 
locus dos pontos de operação para P constante 
65 Diagrama de capacidade de carrregamento 
• Potência reativa constante. A potência reativa de saída 
da máquina é dada por Q = VtIasenθ em p.u, quando 
o ângulo θ é definido como positivo para fatores de 
potência em atraso. Quando Vt é constante, a linha 
horizontal q-m, fixada pela distância VtIasenθ a partir 
do eixo horizontal representa o locusdos pontos de 
operação para Q constante 
 
• Fator de potência constante: A linha radial o-m 
corresponde a um ângulo de fator de potência fixo θ 
entre a corrente de armadura Ia e a tensão terminal Vt. 
Quando θ = 0, o fator de potência é unitário e o ponto de 
operação está sobre o eixo horizontal o-p. A metade 
inferior do plano aplica-se para fatores de potência em 
avanço. 
66 Diagrama de capacidade de carrregamento 
De acordo com o diagrama de capabilidade, as eqs. (38) 
podem ser rearranjadas, de modo que as potências ativa e 
reativa sejam obtidas, respectivamente por 
sini t
d
E V
P
X
δ=
2
2 2 i t
d
E V
P Q
X
 
+ =  
 
(40) 
Observando que sen2δ+ cos2δ = 1, a soma dos quadrados 
de P e Q, resulta em 
cosi t
d
E V
Q
X
δ= (39) 
que apresenta a forma de (x − a)2 + (y − b)2 = r2 para um 
círculo de centro (x = a, y = b) e raio igual a r. 
Referências 
67 IFSul/EE – Sistemas de Energia – 02/2012 
• Power System Analysis. 5 ed. 
− Grainger, J. J.; Stevenson, Jr. W.