Cálculo 1 - capitulo 11 Velocidade, Aceleração e Outras Taxas de Variação - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 11
Velocidade, Acelerac¸a˜o e Outras Taxas de
Variac¸a˜o
11.1 Introduc¸a˜o
Ate´ aqui entendemos a derivada de uma func¸a˜o como a inclinac¸a˜o da reta tangente ao seu gra´fico. Veremos a seguir
que o conceito de derivada esta´ relacionado a muitas outras interpretac¸o˜es. Dentre estas, talvez a mais importante
seja o problema de calcular a velocidade de um objeto mo´vel. Os conceitos de velocidade e de acelerac¸a˜o, definidos
como taxas de variac¸a˜o instantaˆnea, desempenharam um papel de primordial importaˆncia no desenvolvimento do
Ca´lculo feito por Newton, em seus esforc¸os para descobrir os princ´ıpios da Dinaˆmica e compreender os movimentos
dos planetas. As ide´ias a serem discutidas nesta sec¸a˜o mostram que a interpretac¸a˜o da derivada como taxa da variac¸a˜o
entre duas quantidades, ou melhor, como uma raza˜o de variac¸a˜o entre a varia´vel dependente e a varia´vel independente
e´ importante em va´rios ramos da Cieˆncia, incluindo as Cieˆncias Biolo´gicas e Sociais e a Economia.
11.2 Velocidade me´dia
Suponha que voceˆ fac¸a uma viagem de carro do Rio a Sa˜o Paulo pela Via Dutra. Quando parte do Rio voceˆ zera o
hodoˆmetro e comec¸a a cronometrar o tempo. Considere s a distaˆncia percorrida pelo carro, dada em km, como uma
func¸a˜o do tempo decorrido t, dado em horas. Veja a tabela que indica, para algumas localizac¸o˜es do carro durante o
percurso, o tempo transcorrido e a distaˆncia percorrida.
 Percurso Rio B. do Pira´ı Resende Taubate´ A. do Norte S. Bernardo SPt 0 1.5 2 2.7 3 4 5
s(t) 0 100 150 240 280 350 420

A partir dos dados desta tabela e´ poss´ıvel calcular a velocidade me´dia desta viagem. Como sabemos, a velocidade
me´dia e´ definida como:
velocidade me´dia =
distaˆncia percorrida
tempo trancorrido
Neste caso, portanto, a velocidade me´dia desenvolvida pelo automo´vel no percurso completo do Rio a S. Paulo, foi
de 4205 = 84 km/h.
Fac¸amos uma ana´lise da viagem estudando o gra´fico da distaˆncia como func¸a˜o do tempo:
0
100
200
300
400
1 2 3 4 5
153
154 Cap. 11. Velocidade, Acelerac¸a˜o e Outras Taxas de Variac¸a˜o
Podemos calcular, facilmente, a velocidade me´dia, vm, entre cada cidade do percurso assinalada na tabela. Assim,
a velocidade me´dia desenvolvida por este automo´vel no trecho Rio-Barra do Pira´ı foi de
100
1, 5
= 66, 67; no trecho Barra
do Pira´ı-Resende,
150− 100
2− 1, 5 = 100; no trecho Resende-Taubate´,
240− 150
2, 7− 2 = 128, 6, e assim por diante.
Note que estas velocidades me´dias correspondem a`s declividades das retas que ligam os pontos cujas coordenadas
fornecem, respectivamente, o tempo transcorrido e a distaˆncia percorrida pelo automo´vel, para cada cidade assinalada
no percurso. Por exemplo, no percurso do Rio (que corresponde no gra´fico ao ponto (0,0) = (0,s(0))) a Barra do Pira´ı
(ponto (1.5, 100) = (1,5; s(1.5)), no gra´fico) a velocidade me´dia desenvolvida pelo automo´vel foi de 66.7 km/h pois,
distaˆncia percorrida
tempo transcorrido
=
s(1.5)− s(0)
1, 5
=
100
1, 5
= 66, 67.
Geometricamente, este valor representa a inclinac¸a˜o da reta que liga os pontos (0, 0) a (1.5, 100). De modo geral, a
velocidade me´dia, desenvolvida pelo automo´vel, no percurso Rio de Janeiro, ponto (t0, s(t0)), a cada uma das cidades
destacadas na tabela, ponto (t, s(t)), e´ dada pela fo´rmula
vm =
s(t)− s(to)
t− to =
∆ s
∆ t
.
A velocidade me´dia nos fornece uma medida da velocidade desenvolvida pelo automo´vel durante todo o trajeto,
ou parte dele, mas a questa˜o que se coloca agora e´ como determinar a velocidade que o veloc´ımetro do automo´vel
indicava no exato instante em que passava por um determinado ponto do percurso, por exemplo, pelo kiloˆmetro 78 da
rodovia.
A leitura do veloc´ımetro mede o que chamamos de velocidade instantaˆnea, ou, simplesmente, velocidade do au-
tomo´vel, e e´ este conceito que abordaremos no exemplo estudado na pro´xima sec¸a˜o.
11.3 Velocidade instantaˆnea
Suponha que uma bola e´ lanc¸ada verticalmente para cima. Sua distaˆncia ao solo em cada instante t (em segundos) e´
conhecida e dada por s(t) = −t2 + 4 t metros .
> s:=t->-t^2+4*t;
s := t→ −t2 + 4 t
> plot(s(x),x=0..5,s=0..5);
0
1
2
3
4
5
s
1 2 3 4 5x
O problema que queremos resolver e´ o de determinar a velocidade da bola em cada instante de tempo t, isto e´,
determinar a velocidade instantaˆnea da bola para cada t fixado, por exemplo em t0 = 1 segundo.
Ja´ que na˜o sabemos, ate´ o momento, como calcular velocidades instantaˆneas e nem mesmo como definir matem-
aticamente este conceito, vamos tentar, pelo menos, obter uma resposta aproximada para este problema.
Parece razoa´vel tomar como aproximac¸a˜o para a velocidade da bola no instante t0 = 1, a velocidade me´dia calculada
sobre um intervalo de tempo ∆ t = t− t0, com t pro´ximo de t0. Por exemplo, para t = 2 segundos, temos ∆ t = 1 e
vm =
s(1 + ∆ t)− s(1)
∆ t
= s(2)− s(1).
Calculando este valor, obtemos:
> s(2)-s(1);
1
Para t = 1, 5 segundos, temos ∆ t = 0, 5 e
vm =
s(1 + ∆ t)− s(1)
∆ t
=
s(1, 5)− s(1)
0, 5
.
Calculando este novo valor, obtemos:
> (s(1.5)-s(1))/0.5;
W.Bianchini, A.R.Santos 155
1.500000000
Para t = 1, 01 segundos, temos ∆ t = 0, 1 e
vm =
s(1 + ∆ t)− s(1)
∆ t
=
s(1, 1)− s(1)
0, 1
e da´ı, obtemos:
> (s(1.1)-s(1))/0.1;
1.9
Prosseguindo com este racioc´ınio, tomando valores de t cada vez mais pro´ximos de 1, isto e´, fazendo ∆ t se
aproximar cada vez mais de zero, obteremos uma sequ¨eˆncia de valores para vm que parece convergir para dois, como
mostra a tabela a seguir:

t vm
1.500000000 1.500000000
1.250000000 1.750000000
1.125000000 1.875000000
1.062500000 1.937500000
1.031250000 1.968750000
1.015625000 1.984375000
1.007812500 1.992187500
1.003906250 1.996093750
1.001953125 1.998046875
1.000976563 1.999023438

Para obter aproximac¸o˜es cada vez melhores para a velocidade instantaˆnea em t = 1, basta calcularmos a velocidade
me´dia sobre intervalos de tempo progressivamente mais curtos. Estas observac¸o˜es indicam que e´ poss´ıvel definir a
velocidade em t = 1 como o limite destas velocidades me´dias. Assim, temos:
v(1) = lim
t→1
s(t)− s(1)
t− 1
e este limite e´ precisamente a derivada da func¸a˜o s(t) calculada em t = 1. Assim, podemos escrever, simplesmente:
v(t) = s′(t) = lim
∆ t→0
∆ s
∆ t
.
Portanto, no problema que estamos estudando, a velocidade da bola em t = 1 s, e´ dada por
v(1) = s′(1) = Dt (−t2 + 4 t)
∣∣
t=1
= −2 t+ 4|t=1 = 2 m/s ,
ou, usando o Maple:
> v:=D(s);
v := t→ −2 t+ 4
> v(1);
2
De um modo geral, a velocidade instantaˆnea em um ponto t0 qualquer e´ definida por:
v(t0) = lim
∆ t→0
s(t0 +∆ t)− s(t0)
∆ t
= lim
t→t0
s(t)− s(t0)
t− t0 = s
′(t0).
Como vimos no para´grafo anterior, conhecendo-se a func¸a˜o s(t), que fornece, para cada instante de tempo t, a
distaˆncia percorrida por uma part´ıcula em movimento, a velocidade me´dia desta part´ıcula, calculada em um intervalo
de tempo ∆ t = t− t0, coincide com a inclinac¸a˜o da reta secante ao gra´fico da func¸a˜o s(t) que passa pelos pontos
(t0, s(t0)) e (t, s(t)). Sabemos que, a` medida que estes dois pontos se aproximam um do outro, isto e´, quando ∆ t→ 0,
a inclinac¸a˜o da reta secante ao gra´fico de s(t) se aproxima da inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva em t = t0. Assim, o
valor da velocidade instantaˆnea coincide com o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de s(t) no instante t =
t0.
156 Cap. 11. Velocidade, Acelerac¸a˜o e Outras Taxas de Variac¸a˜o
Resumindo, se a func¸a˜o s(t) fornece, para cada instante de tempo t0, a distaˆncia percorrida por uma part´ıcula
em movimento, a sua derivada s′(t0) fornece a velocidade da part´ıcula neste instante, e esta velocidade pode ser
interpretada, geometricamente,como a inclinac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico da func¸a˜o s no ponto t0.
Tornando a observar o gra´fico da func¸a˜o s(t), vemos que, em determinados pontos, por exemplo, em t0 = 3, a
inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva e´ negativa, isto indica que a velocidade da bola, neste instante, tambe´m e´ negativa.
- Como e´ poss´ıvel interpretar, fisicamente, este resultado?
Exemplo
Considere uma bola lanc¸ada do solo, cuja altura em cada instante t (segundos) e´ dada por s(t) = −4 t2 + 20 t
(metros).
(a) Qual a velocidade da bola no instante do lanc¸amento?
(b) Em que instante sua velocidade e´ igual a zero?
(c) Em que intervalos de tempo a velocidade da bola e´ positiva? Em que intervalos e´ negativa?
(d) Qual a altura ma´xima atingida pela bola?
(e) Estude geometricamente o movimento da bola.
Soluc¸a˜o Vamos resolver este problema usando o Maple para efetuar os ca´lculos necessa´rios
(a) Primeiro, definimos a func¸a˜o s, que fornece a altura da bola para cada instante de tempo t:
> s:=t->-4*t^2+20*t;
s := t→ −4 t2 + 20 t
A velocidade da bola e´ dada pela derivada de s:
> v:=unapply(diff(s(t),t),t);
v := t→ −8 t+ 20
No instante do lanc¸amento, temos t = 0. Consequ¨entemente, a velocidade da bola neste instante sera´ dada por:
> v(0);
20
(b) Para calcular o instante em que a velocidade e´ zero, precisamos resolver a equac¸a˜o v(t) = 0. Assim
> fsolve({v(t)=0},{t});
{t = 2.500000000}
(c) Calcular os intervalos de tempo onde a velocidade e´ positiva e onde ela e´ negativa e´ equivalente a resolver
as desigualdades v(t) > 0 e v(t) < 0, para t variando no intervalo onde s(t) – a func¸a˜o deslocamento – e´ positiva.
Resolvendo estas desigualdades, temos:
> solve(v(t)>0);
RealRange(−∞, Open(5
2
))
> solve(v(t)<0);
RealRange(Open(
5
2
), ∞)
Como s(t) > 0, para t em (0, 5), temos que v(t) > 0 para t em [0, 2.5) e v(t) < 0 para t em (2.5, 5).
(d) A bola atingira´ a altura ma´xima quando a velocidade for zero, ou seja, para t = 2.5. Ate´ este instante a
bola estara´ subindo (velocidade positiva). A partir deste instante ela comec¸a a cair (velocidade negativa). A altura
ma´xima sera´, portanto, dada por
> s(2.5));
25
(e) Os gra´ficos fornecem, respectivamente, a posic¸a˜o e a velocidade da part´ıcula para cada instante de tempo t e
descrevem, geometricamente, o seu movimento.
W.Bianchini, A.R.Santos 157
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
y
1 2 3 4 5x
pos. x tempo
–20
–10
0
10
20
1 2 3 4 5x
vel. x tempo
11.4 Taxas de variac¸a˜o
A velocidade me´dia e a velocidade instantaˆnea sa˜o exemplos dos conceitos de taxa de variac¸a˜o me´dia e taxa de variac¸a˜o
instantaˆnea, respectivamente, que sa˜o ba´sicos para todas as cieˆncias.
Nas aplicac¸o˜es, encaramos o quociente s(t)−s(t0)t−t0 como uma taxa de variac¸a˜o me´dia da func¸a˜o s(t) quando t varia
num intervalo do tipo [t0, t]. Tomando o limite desta raza˜o quando ∆ t = t− t0 tende a zero, encontramos a taxa de
variac¸a˜o da func¸a˜o s(t), no instante t0. Quando s e´ uma func¸a˜o que fornece a posic¸a˜o de um objeto mo´vel, para cada
instante de tempo t, a diferenc¸a s(t)− s(t0) e´ uma mudanc¸a de posic¸a˜o. Dividindo esta diferenc¸a pelo tempo t− t0,
gasto para atingir a nova posic¸a˜o, temos a velocidade me´dia deste objeto (raza˜o entre variac¸a˜o do espac¸o percorrido
e o tempo transcorrido), calculada sobre o intervalo [t0, t] ou, em outras palavras, a taxa de variac¸a˜o me´dia de s
sobre este intervalo. Nessa terminologia, a velocidade instantaˆnea e´, simplesmente, a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea da
posic¸a˜o em relac¸a˜o ao tempo. (Quando o tempo e´ a varia´vel independente, omitimos, frequ¨entemente, a frase “com
relac¸a˜o ao tempo” e falamos somente “taxa de variac¸a˜o”.)
De um modo geral, se f e´ uma func¸a˜o da varia´vel independente x, enta˜o
lim
∆ x→0
f(a+∆x)− f(a)
∆x
= lim
∆ x→0
∆ f
∆x
e´ chamado de taxa de variac¸a˜o instantaˆnea de y = f(x) em relac¸a˜o a x , calculada no ponto x = a. Como o limite
acima e´ a derivada da func¸a˜o f no ponto a, esta derivada pode ser interpretada como a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea
da func¸a˜o em relac¸a˜o a sua varia´vel, neste ponto. Intuitivamente, esta e´ a variac¸a˜o em y, que seria produzida por um
acre´scimo de uma unidade em x, se a derivada de f permanecesse constante.
f ’(a)
x = 1∆
0
1
2
3
4
5
y
1 2 3 4 5x
A notac¸a˜o de Leibniz (Veja Cap. 9 ) e´ particularmente apropriada nessas aplicac¸o˜es. Por exemplo, se s(t) e´ a func¸a˜o
que fornece a posic¸a˜o de um mo´vel no instante t, enta˜o, na notac¸a˜o de Leibniz, a velocidade no instante t (a derivada
da func¸a˜o posic¸a˜o) e´ representada por dsdt . Esta notac¸a˜o tem a vantagem de exibir as unidades apropriadamente: se
s e´ dado em metros e t em segundos, a velocidade dsdt e´ dada em metros/segundo, como e´ sugerido pela notac¸a˜o.
11.4.1 Exemplos
Exemplo 1
Um tanque cil´ındrico conte´m inicialmente 400 litros de a´gua. Suponha que uma torneira existente na base do
tanque seja aberta no instante t = 0. Suponha ainda que o volume V de a´gua no tanque, apo´s t minutos, seja dado
por V(t) = ( 14 )(40− t)2 litros. Sabendo que este tanque leva 40 minutos para esvaziar completamente apo´s a torneira
ser aberta, calcule:
1. A taxa me´dia de escoamento da a´gua do tanque durante os 10 minutos entre os instantes t = 10 e t = 20 minutos.
2. A taxa instantaˆnea segundo a qual a a´gua esta´ escoando do tanque nos instantes t = 10 e t = 20.
Veja a animac¸a˜o no texto eletroˆnico que ilustra esquematicamente este problema.
158 Cap. 11. Velocidade, Acelerac¸a˜o e Outras Taxas de Variac¸a˜o
Soluc¸a˜o
O volume da a´gua contida no tanque em qualquer instante de tempo t e´ dado por:
> v:=t->1/4*(40-t)^2;
V := t→ 1
4
(40− t)2
Observe o gra´fico desta func¸a˜o:
> plot(V(t),t=0..45);
0
100
200
300
400
10 20 30 40t
Para achar a taxa me´dia de escoamento da a´gua do tanque durante o intervalo de tempo dado, precisamos calcular
a raza˜o V(20)−V(10)10 . Assim, temos:
> Vm:=(v(20)-v(10))/10;
Vm :=
−25
2
= −12.5
A taxa negativa significa que o volume d’a´gua no tanque esta´ diminuindo, ou seja, a a´gua esta´ escoando a uma
velocidade me´dia de 12, 5 l/min. A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea nos instantes t = 10 e t = 20 sera´ dada por V ′(10) e
V ′(20), respectivamente. Usando o Maple para fazer estes ca´lculos, teremos:
> Diff(‘V(t)‘,t)=D(V)(t);
∂
∂t V (t) = −20 +
1
2
t
> Diff(‘V(10)‘,t)=D(V)(10);
∂
∂t V (10 ) = −15
> Diff(‘V(20)‘,t)=D(V)(20);
∂
∂t V (20 ) = −10
Exemplo 2
1. Determine a taxa de variac¸a˜o me´dia do volume de uma esfera em relac¸a˜o ao seu raio r, quando o raio varia entre
2 e 4 metros.
2. Mostre que a taxa de variac¸a˜o instantaˆnea do volume da esfera em relac¸a˜o ao seu raio e´ igual a` a´rea da superf´ıcie
da esfera.
Soluc¸a˜o
(a) O volume de uma esfera de raio r (metros) e´ dado por V (r) = 4pi r
3
3 (metros cu´bicos). Assim a taxa me´dia de
variac¸a˜o do volume da esfera, quando o raio r varia de 2 a 4 metros e´ dada pelo quociente V(4)−V(2)2 . Utilizando o
Maple para efetuar estes ca´lculos, teremos:
> V:=r->4/3*Pi*r^3;
V := r → 4pi r
3
3
> taxa_media:=(V(4)-V(2))/2;
taxa media :=
112
3
pi
(b) A taxa de variac¸a˜o instantaˆnea do volume da esfera em relac¸a˜o ao seu raio sera´ dada pela derivada da func¸a˜o
V(r) e, portanto, sera´ igual a
> taxa_instantanea:=diff(V(r),r);
W.Bianchini, A.R.Santos 159
taxa instantanea := 4pi r2,
que e´ a a´rea da superf´ıcie desta esfera.
11.5 Acelerac¸a˜o e outras taxas de variac¸a˜o
11.5.1 Acelerac¸a˜o
A velocidade e´ importante para estudar o movimento de um mo´vel ao longo de uma reta, mas a maneira como a
velocidade varia tambe´m e´ muito importante.
Em f´ısica, a acelerac¸a˜o e´ definidacomo a taxa de variac¸a˜o da velocidade em relac¸a˜o ao tempo, isto e´, se a velocidade
no instante t e´ dada por v(t), enta˜o a acelerac¸a˜o neste instante sera´ v′(t).
No caso de um objeto em queda livre, veremos que a velocidade e´ um polinoˆmio do primeiro grau, v(t) = a+ b t.
Neste caso, a acelerac¸a˜o e´ v′(t) = lim
t→t0
v(t)− v(t0)
t− t0 = b.
11.5.2 Densidade
Em f´ısica, definimos densidade linear de uma barra, haste ou fio como sendo a sua massa por unidade de comprimento.
Ale´m disso, uma barra, haste ou fio de um material qualquer e´ dito na˜o-homogeˆneo quando algumas de suas partes
sa˜o mais pesadas por unidade de comprimento do que outras.
Suponha que uma haste reta, na˜o-homogeˆnea, de comprimento L, esteja disposta ao longo do eixo dos x de tal
maneira que uma de suas extremidades coincida com a origem e todos os seus pontos possam ser indentificados com
um nu´mero do intervalo [0, L]. Como e´ poss´ıvel encontrar a densidade linear da haste em um ponto c qualquer da
mesma? E´ fa´cil obter uma resposta aproximada para este problema: poder´ıamos cortar um pequeno pedac¸o da haste,
por exemplo o pedac¸o de c ate´ c+ h, com h > 0, pesar este pedac¸o e dividir a massa por h (comprimento do pedac¸o).
Quanto menor for o comprimento do pedac¸o melhor sera´ a aproximac¸a˜o para a densidade no ponto c Vamos chamar
de M(x ) a massa do pedac¸o da haste entre 0 e qualquer um de seus pontos x. Enta˜o, M(c+ h)−M(c) e´ a massa do
pedac¸o compreendido entre c e c + h, e conforme explicamos acima, M(c+h)−M(c)h e´ uma aproximac¸a˜o da densidade
desta haste em c. Esta aproximac¸a˜o melhora a` medida que h se torna pequeno. Assim, a densidade em c pode ser
obtida fazendo-se na raza˜o acima h→ 0, isto e´, se M(x ) e´ a func¸a˜o que fornece a massa da haste em cada pedac¸o do
tipo [0, x], a densidade desta haste no ponto c e´ definida como:
Densidade em c =M ′(c) = lim
h→0
M(c+ h)−M(c)
h
.
Exemplo
Uma haste esta´ situada entre os pontos x = 0 e x = 1 do eixo das abscissas e a sua massa em cada pedac¸o do tipo
[0, x] e´ dada por M(x) = 5x− 2x2.
(a) Ache a densidade da haste em qualquer um dos seus pontos x.
(b) Qual das suas extremidades e´ mais densa x = 0 ou x = 1.
Soluc¸a˜o
(a) A densidade em qualquer ponto x da haste e´ dada por m′(x) = 5− 4x.
(b) A densidade em x = 0 e em x = 1 e´ dada, respectivamente, por M ′(0) e M ′(1). Como M ′(0) = 5 e M ′(1) = 1,
conclu´ımos que a densidade em x = 0 e´ maior que a densidade no ponto x = 1.
11.5.3 Crescimento populacional
Uma func¸a˜o que fornece o nu´mero de objetos em alguma colec¸a˜o sobre um certo intervalo de tempo e´ chamada uma
func¸a˜o de populac¸a˜o. As func¸o˜es que fornecem o nu´mero de habitantes da Terra, o nu´mero de bacte´rias numa coloˆnia
ou o nu´mero de reais em uma conta banca´ria, num determinado instante de tempo, sa˜o exemplos de func¸o˜es deste
tipo.
A taxa de variac¸a˜o de func¸o˜es de populac¸a˜o e´ geralmente dada como um aumento ou decre´scimo percentual na
unidade de tempo. Por exemplo, tomando-se como base os dados do censo de 1991, sabemos que a populac¸a˜o do
Brasil esta´ aumentando a uma taxa de 1,7% ao ano; tomando-se por base a meia-vida do radio radioativo, podemos
160 Cap. 11. Velocidade, Acelerac¸a˜o e Outras Taxas de Variac¸a˜o
afirmar que a quantidade de radio numa determinada amostra decresce a uma taxa de 35% por mileˆnio e que uma
determinada quantia aplicada em caderneta de poupanc¸a rende 6% de juros reais ao ano.
Estas taxas sa˜o dadas em percentual em lugar de valores absolutos, porque, ao menos em curto prazo, taxas
percentuais sa˜o mais constantes que taxas absolutas. Esta afirmac¸a˜o e´ particularmente verdadeira no caso de amostras
radiativas. Na realidade, a lei do decaimento radiativo estabelece que o decre´scimo percentual no nu´mero de a´tomos
de um determinado elemento radiativo presentes em uma amostra e´ realmente uma constante dada por A(t0)−A(t0+h)A(t0) ,
onde A(t) e´ a func¸a˜o que fornece o nu´mero de a´tomos presentes na amostra no instante t. A raza˜o acima depende
somente de h, portanto, podemos escrever
A(t0)−A(t0 + h)
A(t0)
= f(h).
Como A(t0+h)−A(t0)h = − f(h) A(t0)h , fazendo h tender a zero, obtemos a seguinte relac¸a˜o entre a func¸a˜o A(t) e a sua
derivada:
A′(t0) = lim
h→0
A(t0 + h)−A(t0)
h
= −kA(t0),
onde k e´ uma constante dada por k = lim
h→0
f(h)
h
.
O projeto O Me´todo de Euler e o Paraquedista (Cap. 19) estabelece um me´todo de “reconstruirmos” a func¸a˜o
A(t) a partir da relac¸a˜o acima. Posteriormente, neste texto, aprenderemos como obter, analiticamente, a func¸a˜o A(t)
a partir desta relac¸a˜o.
Para obter a relac¸a˜o acima, consideramos intervalos de tempo suficientemente pequenos, isto e´, tomamos o limite
quando t → 0. Ha´ uma objec¸a˜o se´ria a este racioc´ınio. Para um intervalo de tempo suficientemente pequeno, a
variac¸a˜o da populac¸a˜o e´ um ou zero e o seu gra´fico e´ parecido com a figura:
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
As retas tangentes a este gra´fico sa˜o todas ou horizontais ou verticais. Considerar que a func¸a˜o A(t), neste caso,
e´ deriva´vel exige uma hipo´tese simplificadora: o gra´fico verdadeiro e´ substitu´ıdo por uma curva suave.
0
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5x
Repare, ainda, que esta e´ uma hipo´tese bastante razoa´vel considerando que, em comparac¸a˜o ao grande nu´mero de
a´tomos presentes em qualquer amostra, a variac¸a˜o de um a´tomo e´ praticamente desprez´ıvel.
Com algumas outras hipo´teses simplificadoras, a mesma espe´cie de lei se aplica ao crescimento de populac¸o˜es, como
a de pessoas ou de bacte´rias, isto e´, podemos considerar que o crescimento (ou decrescimento) de uma populac¸a˜o e´
proporcional ao seu tamanho naquele instante. Chamando de P (t) o nu´mero de indiv´ıduos ou bacte´rias que compo˜em
a populac¸a˜o em estudo, teremos que
P ′(t) = k P (t),
onde k representa a taxa de crescimento vegetativo da populac¸a˜o, isto e´, a diferenc¸a entre a taxa de natalidade e a de
mortalidade daquela populac¸a˜o, podendo, portanto, pode ser positivo ou negativo.
11.5.4 Taxa de reac¸a˜o
Uma reac¸a˜o qu´ımica, chamada produto, resulta da formac¸a˜o de uma ou mais substaˆncias iniciais, chamadas reagentes.
Por exemplo, a equac¸a˜o 2H2 + O2 −→ 2H2O indica que duas mole´culas de hidrogeˆnio e uma mole´cula de oxigeˆnio
formam uma mole´cula de a´gua.
W.Bianchini, A.R.Santos 161
Considere a reac¸a˜o A + B −→ C, onde A e B sa˜o os reagentes e C e´ o produto. A concentrac¸a˜o de um reagente
A e´ o nu´mero de moles (6, 022 × 1023 mole´culas) por litro e e´ denotada por [A]. A concentrac¸a˜o varia durante uma
reac¸a˜o. Desse modo [A], [B] e [C] sa˜o todas func¸o˜es do tempo t. A taxa me´dia de reac¸a˜o do produto C no intervalo
t1 ≤ t ≤ t2 e´ dada por
∆ [C]
∆ t
=
[C](t2)− [C](t1)
t2 − t1 .
Em Qu´ımica, pore´m, estamos mais interessados na taxa de reac¸a˜o instantaˆnea, d [C]d t , que e´ obtida tomando-se o
limite da taxa me´dia de reac¸a˜o quando o intervalo de tempo ∆ t se aproxima de zero, isto e´
d [C]
d t
= lim
∆ t→0
∆[C]
∆ t]
.
Como a concentrac¸a˜o do produto aumenta, a` medida em que a reac¸a˜o prossegue, a derivada d [C]d t e´ positiva. A
concentrac¸a˜o dos reagentes, entretanto, decresce durante a reac¸a˜o, e como [A] e [B] decrescem a` mesma taxa em que
[C] aumenta, temos que d [C]d t =
(
−d [A]d t
)
+
(
−d [B]d t
)
.
Mais geralmente, se temos uma reac¸a˜o da forma
aA+ bB −→ cC + dD,
enta˜o
−1
a
d [A]
d t
− 1
b
d [B]
d t
= −1
c
d [C]
d t
− 1
d
d [D]
d t
.
Existem te´cnicas que permitem, a partir da taxa de reac¸a˜o, determinar uma fo´rmula expl´ıcita para a concentrac¸a˜o
como func¸a˜o do tempo. O projeto O Me´todo de Euler e o Paraquedista (Cap. 19) mostra como isto pode ser feito
nume´rica e graficamente.
11.5.5 Aplicac¸o˜es a` Economia
Em Economia,a taxa de variac¸a˜o de uma quantidade Q com relac¸a˜o a uma conveniente varia´vel independente e´
chamada, usualmente, “Q marginal”. Assim, temos custo marginal, receita marginal, lucro marginal, etc. Considere,
por exemplo, uma operac¸a˜o de venda em que as quantidades a serem medidas sa˜o o nu´mero x de itens vendidos, o
custo de sua produc¸a˜o C(x), a receita obtida com a venda R(x) e o lucro l´ıquido (L(x)) resultante. Enta˜o as derivadas
C ′(x), R′(x) e L′(x) sa˜o chamadas, respectivamente custo marginal, receita marginal e lucro marginal. Em muitos
casos, x e´ um nu´mero grande, e assim 1 e´ pequeno comparado com x, da´ı, C ′(x) = dCdx e´ aproximadamente igual a
C(x+ 1)− C(x). Por esta raza˜o, muitos economistas descrevem o custo marginal como “o custo de produzir uma pec¸a
a mais”. Esta mesma observac¸a˜o vale para a receita e o lucro marginais.
Enquanto R′ for maior que C ′, o lucro pode ser aumentado pela produc¸a˜o (e venda) de mais itens, pois R′ > C ′
significa, simplesmente, que um pequeno aumento no nu´mero de itens produzidos e vendidos causa um aumento maior
na receita do que nos custos. Se R′ < C ′, menos itens deveriam ser produzidos. Quando R′ = C ′, podemos ter
esperanc¸a de que o lucro esteja maximizado.
A objec¸a˜o ao fato de tomarmos derivadas, que foi levantada na discussa˜o do aumento populacional, se aplica aqui
ainda mais fortemente. Sua refutac¸a˜o e´ a mesma: o processo exige uma hipo´tese simplificadora, que e´ razoa´vel se uma
grande quantidade de itens e´ fabricada e vendida.
11.6 Atividades de laborato´rio
Usando um computador e o Maple, fac¸a as atividades propostas no arquivo labtaxa.mws da versa˜o eletroˆnica deste
texto.
11.7 Exerc´ıcios
1. Considere o gra´fico da func¸a˜o k:
162 Cap. 11. Velocidade, Acelerac¸a˜o e Outras Taxas de Variac¸a˜o
B
A
F
E
D
C
0
1
2
3
4
5
6
1 2 3 4 5x
(a) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa me´dia de variac¸a˜o de k e´ maior?
(b) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa me´dia de variac¸a˜o de k e´ negativa?
(c) Entre quais pares de pontos consecutivos a taxa me´dia de variac¸a˜o de k e´ pro´xima de zero?
(d) Entre quais pares de pontos consecutivos as taxas me´dias de variac¸a˜o de k sa˜o pro´ximas?
2. Um boeˆmio, perambulando pela calc¸ada numa noite escura, observa ao passar sob um poste iluminado que o
comprimento de sua sombra varia com sua posic¸a˜o em relac¸a˜o ao poste. Suponha que o poste tenha 9 metros
de altura e o boeˆmio 1,80 metros. Considere ainda que o boeˆmio caminhe a uma velocidade de 1 m/s. Pede-se:
(a) a velocidade com que sua sombra cresce;
(b) a velocidade com que a sombra de sua cabec¸a se afasta do poste;
(c) a velocidade com que a sombra de sua cabec¸a se afasta da laˆmpada do poste.
3. Prove que a taxa de variac¸a˜o do volume de um cubo em relac¸a˜o ao comprimento de sua aresta e´ igual a` metade
da a´rea da superf´ıcie do cubo.
4. Considere um cilindro cuja altura e´ sempre igual ao dobro do seu raio. Mostre que a taxa de variac¸a˜o de seu
volume em relac¸a˜o ao raio e´ igual a` area de sua superf´ıcie total.
5. Uma bola e´ lanc¸ada num instante t = 0 (s) de cima de um edif´ıcio de altura 60 metros. Sua altura do cha˜o em
cada instante e´ dada por s(t) = − t23 + 8 t3 + 60. Calcule a velocidade de impacto quando a bola toca o cha˜o.
6. Uma pedra e´ lanc¸ada em um lago, gerando uma onda circular que se propaga a partir do ponto de impacto a 3
m/s. A que taxa m2/s a a´rea do c´ırculo esta´ aumentando, decorridos 20 segundos apo´s o lanc¸amento?
7. Uma bola de neve com raio de 6 metros comec¸a a degelar e seu raio decresce numa taxa constante. Ela demora
3 horas para derreter totalmente.
Calcule a taxa de variac¸a˜o do volume da bola depois de 2 horas.
8. Uma bola de bilhar e´ atingida e movimenta-se em linha reta. Se s cm for a distaˆncia da bola de sua posic¸a˜o
inicial apo´s t segundos, enta˜o, s = 100 t2 + 100 t.
Com que velocidade a bola atingira´ a tabela, a partir da posic¸a˜o inicial que esta´ a 39 cm?
9. Se a a´gua de uma piscina esta´ sendo escoada e V litros e´ o volume de a´gua na piscina t minutos apo´s o
escoamento ter comec¸ado, onde V = 250(40− t)2, encontre com que rapidez a a´gua flui da piscina 5 minutos
apo´s o escoamento ter comec¸ado?
10. Se um cilindro reto de base circular tem altura de 10 cm, encontre a raza˜o de variac¸a˜o instantaˆnea do volume
em relac¸a˜o ao raio de sua base quando o raio e´ 5 cm.
11.8 Problemas propostos
1. A figura a seguir mostra o gra´fico de treˆs func¸o˜es posic¸a˜o s(t), de treˆs func¸o˜es velocidade v(t) e de treˆs func¸o˜es
acelerac¸a˜o a(t), mas a velocidade em uma coluna na˜o corresponde necessariamente a` func¸a˜o posic¸a˜o da mesma
coluna, o mesmo acontecendo para as func¸o˜es acelerac¸a˜o. Para cada func¸a˜o posic¸a˜o no primeiro grupo, escolha
a velocidade e a acelerac¸a˜o que lhe corresponde no segundo e terceiro grupos, respectivamente.
Func¸a˜o Posic¸a˜o
W.Bianchini, A.R.Santos 163
(i) (ii) (iii)
Func¸a˜o Velocidade
(I) (II) (III)
Func¸a˜o Acelerac¸a˜o
(a) (b) (c)
2. A posic¸a˜o de uma part´ıcula se deslocando durante 10 minutos em linha reta e´ dada em cada instante por
s(t) = t3 − 14 t2 + 50 t. Analise graficamente o movimento da part´ıcula respondendo a`s seguintes questo˜es:
(a) A part´ıcula esta´ se afastando ou se aproximando do seu ponto de partida para t entre 3 e 6? E entre t =
1 e t = 2? Por queˆ?
(b) Para quais valores de t a velocidade da part´ıcula e´ zero? A que distaˆncia do ponto de partida isto ocorre?
(c) Para quais valores de t a velocidade e´ positiva e para quais ela e´ negativa?
(d) O gra´fico da velocidade mostra que a part´ıcula esta´ se aproximando ou se distanciando do ponto de partida
para t > 8? Que propriedade geome´trica do gra´fico evidencia esta questa˜o?
(e) Para que valores de t, a part´ıcula atinge a maior velocidade? E a menor?
3. A populac¸a˜o de uma cidade t anos apo´s a de´cada de 1980 e´ dada por P (t) = 20+2 t−0, 1 t2+0, 012 t3 (milhares).
(a) O gra´fico de P (t) mostra que a populac¸a˜o cresceu na de´cada de 80? Explique sua resposta.
(b) O gra´fico da derivada P ′(t) confirma a resposta dada em (a)? Explique por queˆ.
(c) Observando o gra´fico de P ′(t), em que ano se deu a menor taxa de crescimento da populac¸a˜o durante a
de´cada de 1980?
(d) Que pontos do gra´fico de P ′(t) correspondem ao(s) instante(s) em que a taxa instantaˆnea de variac¸a˜o de P
e´ igual a` sua taxa me´dia de variac¸a˜o durante a de´cada de 1980?
4. Uma func¸a˜o custo C(x) e´ conhecida para um determinado produto. Em cada um dos ı´tens abaixo, ache a func¸a˜o
custo marginal e compare o custo marginal da produc¸a˜o de 100 ı´tens desse produto com o custo marginal da
produc¸a˜o de 101 ı´tens.
(a) C(x) = 420 + 1, 5x+ 0, 002x2
(b) C(x) = 1200 + x10 +
x2
10000
(c) C(x) = 2500 + 2
√
x
5. A figura a seguir fornece o gra´fico do custo C(x) de produc¸a˜o de x ı´tens (pontilhado) e o gra´fico da receita R(x)
da venda de x ı´tens.
164 Cap. 11. Velocidade, Acelerac¸a˜o e Outras Taxas de Variac¸a˜o
(a) Em que intervalo a operac¸a˜o da´ lucro?
(b) Quando o lucro e´ ma´ximo? (Primeiro procure o lucro ma´ximo
diretamente no gra´fico, depois use a condic¸a˜o R′ = C ′).
(c) Construa o um gra´fico do lucro l´ıquido. (Note que L(x) = r(x)−
C(x).)
(d) Esboce o gra´fico do lucro marginal.
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
y
–3 –2 –1 1 2 3 4
x
6. Se uma mole´cula do produto C e´ formada de uma mole´cula do reagente A e uma mole´cula do reagente B e a
concentrac¸a˜o inicial de A e B e´ dada por [A] = [B] = a moles/l, enta˜o [C] = a2 k ta k t+1 , onde k e´ uma constante.
(a) Ache a taxa de reac¸a˜o em um instante t.
(b) Se [C] = x, mostre que d xd t = k (a− x)2.
7. Se R denota a reac¸a˜o de um corpo a qualquer est´ımulo de magnitude x, a sensitividadeS e´ definida como a taxa
de variac¸a˜o da reac¸a˜o em relac¸a˜o a` x. Por exemplo, quando uma fonte luminosa aumenta de intensidade, o olho
humano reage decrescendo o raio R da pupila. A fo´rmula experimental
R =
40 + 24x0,4
1 + 4x0,4
descreve a dependeˆncia de R em relac¸a˜o a x, onde R e´ medido em mm2 e x pela unidade apropriada de brilho.
(a) Ache a sensitividade.
(b) O que acontece com os valores de R e de S para valores pequenos de x?
8. Investigando a queda dos corpos, Galileu Galilei descobriu, experimentalmente, que este movimento era gov-
ernado pela lei s = c t2, onde s era o espac¸o percorrido pelo objeto em queda em t segundos. Em 1604, no
auge da sua carreira cient´ıfica Galileu conjecturou que no movimento retil´ıneo acelerado a velocidade aumentava
proporcionalmente a` distaˆncia percorrida pelo mo´vel.
(a) Prove que Galileu estava errado: se um corpo percorre uma distaˆncia s(t) em t segundos e s′(t) e´ propor-
cional a s, enta˜o s na˜o pode ser uma func¸a˜o da forma s(t) = c t2.
(b) Se s e´ da forma s(t) = a t
2
2 , prove que:
i. s′′(t) = a (a acelerac¸a˜o e´ constante).
ii. s′(t) =
√
2 a s(t)
(c) Se um objeto se move de tal maneira que sua velocidade v esta´ relacionada com a sua posic¸a˜o s pela equac¸a˜o
v =
√
2 g s+ c, onde g e c sa˜o constantes, mostre que a sua acelerac¸a˜o e´ constante.
11.9 Um pouco de histo´ria: Velocidade instantaˆnea, movimento cont´ınuo
e o princ´ıpio da incerteza
A velocidade instantaˆnea e´ um conceito teo´rico, uma abstrac¸a˜o que na˜o corresponde precisamente ao que se passa
no mundo real. Quando medimos velocidades, realmente calculamos velocidades me´dias considerando intervalos de
tempo muito pequenos. Tal procedimento na˜o fornece uma resposta exata, mas esta resposta pode estar ta˜o pro´xima
do valor limite quanto queiramos (lembre-se de que a velocidade s′(t) na˜o e´ s(t)−s(to)t−t0 para nenhum valor de t, mas este
quociente se aproxima de s′(t) a` medida que t se aproxima de t0.
Por outro lado, quando descrevemos um movimento por meio de func¸o˜es deriva´veis e portanto, cont´ınuas, estamos
criando uma idealizac¸a˜o da situac¸a˜o f´ısica. A ide´ia do movimento cont´ınuo na˜o e´ ta˜o simples como pode parecer a`
primeira vista. A ide´ia de velocidade, como vimos acima, esta´ necessariamente ligada a` considerac¸a˜o do que se passa
com a part´ıcula em um certo intervalo de tempo, por menor que ele seja. Por outro lado, quando consideramos a
posic¸a˜o de uma part´ıcula, temos de imagina´-la num determinado instante de tempo, portanto, sem se mover! Assim,
se determinarmos a posic¸a˜o perdemos o controle sobre a velocidade; esta, por sua vez, so´ pode ser determinada num
intervalo de tempo ∆ t, quando na˜o sabemos a posic¸a˜o exata da part´ıcula. Tais fatos nos conduzem a uma contradic¸a˜o,
visto que o movimento de uma part´ıcula e´ determinado por sua posic¸a˜o e sua velocidade, em cada instante de tempo
t.
W.Bianchini, A.R.Santos 165
Os gregos, no se´culo V A.C., ja´ haviam sentido a dificuldade em conceber o movimento cont´ınuo, como ficou
evidente no famoso paradoxo de Zena˜o que “prova” a impossibilidade do movimento. Zena˜o argumentava que para
ir de uma posic¸a˜o A para outra posic¸a˜o B, o mo´vel tem que passar por uma posic¸a˜o intermedia´ria C e, antes desta,
por uma posic¸a˜o intermedia´ria entre A e C, e assim por diante. Como o mo´vel tem de passar por uma infinidade de
posic¸o˜es intermedia´rias num tempo finito, ele nunca chega a se mover!
Um outro aspecto vulnera´vel da Mecaˆnica e´ o pro´prio conceito de part´ıcula: um ponto dotado de massa! No estudo
do movimento planeta´rio, que florescia no se´culo XVII, todos os astros, incluindo o Sol, sa˜o considerados part´ıculas,
e esta simplificac¸a˜o e´ fact´ıvel devido as dimenso˜es destes planetas serem muito pequenas, quando comparadas a`s suas
distaˆncias relativas. No entanto, no estudo do movimento de um corpo qualquer que em geral tem dimenso˜es na˜o
desprez´ıveis, o que significa a ordenada s = s(t) da sua trajeto´ria? Poder´ıamos considera´-la como a func¸a˜o que descreve
a trajeto´ria do centro de massa do corpo? Neste u´ltimo caso, na˜o poder´ıamos assegurar nem a derivabilidade de s(t)
e sequer a sua continuidade!
No in´ıcio do se´culo XX, os f´ısicos descobriram que as ide´ias de ponto material, velocidade instantaˆnea e movimento
cont´ınuo, que tinham sido ta˜o bem sucedidas para descrever o fenoˆmeno do movimento em Mecaˆnica Cla´ssica, eram
insuficientes para a descric¸a˜o dos movimentos no domı´nio atoˆmico e subatoˆmico.
Em 1926, Werner Heisenberg (1901-1976), um dos fundadores da Mecaˆnica Quaˆntica, formulou um dos princ´ıpios
ba´sicos deste novo ramo da Cieˆncia, o chamado princ´ıpio da incerteza, segundo o qual na˜o e´ poss´ıvel determinar,
simultaneamente, a posic¸a˜o e a velocidade de uma part´ıcula. Quanto maior for a precisa˜o usada para se especificar a
sua posic¸a˜o, maior sera´ o grau de incerteza do seu momento, definido como o produto da sua massa pela sua velocidade.
Esta e´ uma exigeˆncia intr´ınseca da natureza, na˜o importando a precisa˜o das medic¸o˜es realizadas.
11.10 Para voceˆ meditar: Calculando velocidades
Problema 1
Um certo helico´ptero, em condic¸o˜es atmosfe´ricas favora´veis (sem vento), desenvolve uma velocidade de cruzeiro
de 100 km/h. Numa certa viagem, de uma cidade A a uma cidade B, localizada 100 km ao norte de A, o piloto
do helico´ptero enfrenta um vento contra´rio que sopra a uma velocidade de 50 km/h. Sua velocidade de cruzeiro,
em relac¸a˜o ao solo, se reduz, portanto, a 50 km/h . Ao atingir a cidade B, o piloto da´ a volta e regressa ao ponto
de partida. Agora o vento de 50 km/h sopra a seu favor e o helico´ptero desenvolve uma velocidade de 150 km/h,
em relac¸a˜o ao solo.
1. Qual a velocidade me´dia desenvolvida pelo helico´ptero em todo o percurso (ida e volta)?
Atenc¸a˜o: A resposta na˜o e´ 100 km/h!
2. Use um argumento vetorial para mostrar que um vento soprando em qualquer direc¸a˜o sempre aumentara´ o
tempo total de um percurso de ida e volta.
Problema 2
Numa prova contra-relo´gio entre duas cidades A e C, distantes 10 km uma da outra, um ciclista queria fazer
uma me´dia de 40 km por hora. Uma povoac¸a˜o B fica situada exatamente a meia distaˆncia entre A e C, no topo
de uma longa subida que comec¸a em A. Quando o ciclista, depois da escalada, atingiu B, calculou que a sua
velocidade me´dia na˜o tinha ido ale´m de 20 km/h.
• A que velocidade o ciclista deve descer de B para C, se ainda quiser atingir a velocidade me´dia global de 40
km por hora?
Problema 3
Voceˆ esta´ dirigindo por uma auto-estrada e a cada cinco minutos calcula a velocidade me´dia da sua viagem
dividindo a distaˆncia percorrida desde o comec¸o da viagem pelo tempo em que voceˆ esta´ dirigindo. Se a
velocidade marcada no seu veloc´ımetro aumenta, isto significa que a velocidade me´dia da sua viagem tambe´m
esta´ aumentando? Um poss´ıvel gra´fico da distaˆncia percorrida (em km) pelo tempo transcorrido (em minutos)
e´ dado a seguir.
0
10
20
30
40
d
10 20 30 40 50 60
t
166 Cap. 11. Velocidade, Acelerac¸a˜o e Outras Taxas de Variac¸a˜o
Problema 4
Imagine uma rodovia onde o limite de velocidade e´ especificado para cada ponto do percurso. Em outras palavras,
ha´ uma certa func¸a˜o L tal que, a x quiloˆmetros do comec¸o da rodovia, o limite de velocidade e´ dado por L(x).
Dois carros A e B esta˜o viajando nesta rodovia. A posic¸a˜o do carro A no tempo t e´ dada por a(t) e a posic¸a˜o
do carro B, por b(t).
1. Escreva a equac¸a˜o matema´tica que expressa o fato do carro A viajar sempre no limite de velocidade
permitido.
Atenc¸a˜o: A resposta na˜o e´ a′(t) = L(t)!
2. Suponha que A viaje sempre no limite de velocidade permitido e que a posic¸a˜o do carro B no instante t seja
sempre igual a posic¸a˜o do carro A no instante t− 1. Mostre que B tambe´m viaja no limitede velocidade
permitido durante todo o percurso.