Uma partícula movendo-se começa numa posição inicial com uma r0 = ⟨1, 0, 0⟩( ) velocidade inicial. Sua aceleração é. Determine a v0 = i - j + k( ) ...

Para determinar a velocidade e a posição da partícula no momento t, podemos usar as fórmulas do movimento uniformemente acelerado. Dada a aceleração a = 4ti + 6tj + k, podemos integrar a aceleração em relação ao tempo para obter a velocidade: v(t) = ∫(4ti + 6tj + k) dt = 2t²i + 3t²j + kt + C A velocidade inicial v0 é dada como v0 = i - j + k. Podemos substituir t = 0 na equação da velocidade para encontrar o valor de C: v(0) = 2(0)²i + 3(0)²j + (0) + C v(0) = C Portanto, C = v0 = i - j + k. Substituindo esse valor na equação da velocidade, temos: v(t) = 2t²i + 3t²j + kt + v0 Agora, para determinar a posição da partícula no momento t, podemos integrar a velocidade em relação ao tempo: r(t) = ∫(2t²i + 3t²j + kt + v0) dt = (2/3)t³i + (3/4)t³j + (1/2)kt² + v0t + C' A posição inicial r0 é dada como r0 = ⟨1, 0, 0⟩. Podemos substituir t = 0 na equação da posição para encontrar o valor de C': r(0) = (2/3)(0)³i + (3/4)(0)³j + (1/2)(0)²k + v0(0) + C' r(0) = C' = r0 = ⟨1, 0, 0⟩ Portanto, C' = r0 = ⟨1, 0, 0⟩. Substituindo esse valor na equação da posição, temos: r(t) = (2/3)t³i + (3/4)t³j + (1/2)kt² + v0t + r0 Essas são as expressões para a velocidade e a posição da partícula no momento t, considerando a aceleração dada e as condições iniciais.