Cálculo 1 - capitulo 19 Funções Inversas e suas Derivadas - Waldecir Bianchini

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Cap´ıtulo 19
Func¸o˜es Inversas e suas Derivadas
19.1 Motivac¸a˜o
Muitas obras de arte expostas em museus precisam ser protegidas
por medidas de seguranc¸a especiais para impedir atos de vandal-
ismo. Suponha que se deseja colocar uma corda de isolamento
paralela a` parede onde um quadro famoso esta´ exposto. Calcule
o aˆngulo α de visa˜o de um observador junto a` corda em func¸a˜o da
distaˆncia x da corda a` parede. Considere que a altura me´dia (a)
dos visitantes e´ de 1,70 m, a distaˆncia da base do quadro ao solo
(b) e´ de 2,70 m e que a altura do quadro (c) e´ de 3 m, conforme
mostra o esquema ao lado.
dβα
x
c
b
a
Este ca´lculo e´ importante para se determinar a distaˆncia da corda de isolamento que permita um aˆngulo ma´ximo
de visa˜o ao observador.
De acordo com o nosso conhecimento de func¸o˜es trigonome´tricas, as grandezas esta˜o relacionadas pelo seguinte
sistemas de equac¸o˜es
tg(α+ β) =
c+ d
x
tg(β) =
d
x
Para resolver o problema proposto, e´ necessa´rio determinar o valor de um aˆngulo sabendo-se o valor do seu seno
ou do seu cosseno ou a da sua tangente, isto e´, conhecendo-se x encontrar α, tal que, por exemplo, sen(α) = x. Isto
equivale a achar uma func¸a˜o g tal que g(x) = α.
Em muitas situac¸o˜es pra´ticas, como a do problema anterior, e´ preciso refazer uma sequ¨encia de passos desfazendo
o que foi feito em cada etapa, na ordem inversa. A seguir sa˜o dados outros exemplos em que este procedimento e´
usado:
1. Qual e´ o nu´mero que multiplicado por cinco e somado com treˆs e´ igual a 18?
2. Qual e´ o nu´mero positivo que elevado ao quadrado e´ igual a 4?
3. Se um trem se movimenta com velocidade constante v em um trecho reto de uma estrada de ferro, sua posic¸a˜o
em cada instante de tempo t e´ dada pela equac¸a˜o s = v t+ s0, onde s0 representa a posic¸a˜o do trem no momento
em que se iniciou a contagem do tempo. Voceˆ e´ capaz de achar a expressa˜o que define t como uma func¸a˜o de
s? (Para o chefe da estac¸a˜o, as duas informac¸o˜es sa˜o importantes, a primeira para que ele possa programar as
partidas dos trens que saem de sua estac¸a˜o em sentido contra´rio e a segunda para informar a hora de embarque
aos que desejam viajar.)
O problema acima e´ equivalente a: sendo dada uma func¸a˜o arbitra´ria y = f(x), determinar x como func¸a˜o de y,
isto e´, a partir da func¸a˜o y = f(x), determinar x = g(y). Neste caso, dizemos que f e g sa˜o func¸o˜es inversas. Os
exemplos estudados na pro´xima sec¸a˜o determinam as condic¸o˜es necessa´rias a` resoluc¸a˜o de problemas deste tipo.
249
250 Cap. 19. Func¸o˜es Inversas e suas Derivadas
19.2 Func¸o˜es inversas
Considere as func¸o˜es s(x) = x2 e f(x) = x3 e seus respectivos gra´ficos:
0
20
40
60
80
100
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x –30
–20
–10
0
10
20
30
y
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
A func¸a˜o f(x) = x3 goza das seguintes propriedades:
1. Cada reta horizontal corta o gra´fico de f no ma´ximo uma vez (veja o gra´fico a` esquerda, a seguir).
2. Para cada nu´mero y no conjunto imagem de f , a equac¸a˜o y = f(x) = x3 tem exatamente uma soluc¸a˜o (veja o
gra´fico a` direita). Por exemplo, tomando-se y = −8, temos −8 = x3 ⇔ x = −2, e mais geralmente, y = x3 ⇔
x = y
1
3 .
–30
–20
–10
0
10
20
30
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10
–30
–20
–10
0
10
20
30
y
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
3. Se voceˆ refletir o gra´fico de f em relac¸a˜o a` diagonal principal, o novo conjunto obtido e´ o gra´fico de uma func¸a˜o.
Em verdade, e´ o gra´fico da func¸a˜o g(x) = x
1
3 .
–2
–1
0
1
2
y
–2 –1 1 2
x
Neste caso, dizemos que x = (f−1)(y) = g(y). As func¸o˜es f e g sa˜o ditas inversas.
Ale´m disso, como g deve “desfazer ou anular” o efeito de f , temos tambe´m que
(f ◦ g)(y) = y, qualquer que seja y no domı´nio de g e
(g ◦ f)(x) = x, qualquer que seja x no domı´nio de f .
Vamos examinar agora a func¸a˜o s(x) = x2. Esta func¸a˜o na˜o goza de nenhuma das propriedades enunciadas acima
para a func¸a˜o f , a saber:
1. Retas horizontais cortam duas vezes o gra´fico de s.
2. Para y > 0, a equac¸a˜o y = x2 tem duas soluc¸o˜es: x =
√
y e x = −√y. Veja as figuras:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
y
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x 0
2
4
6
8
10
y
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
W.Bianchini, A.R.Santos 251
3. Se voceˆ refletir o gra´fico de s em relac¸a˜o a` diagonal principal, o novo conjunto de pontos obtido na˜o e´ o gra´fico
de nenhuma func¸a˜o, pois retas verticais interceptam este gra´fico duas vezes.
–2
–1
0
1
2
y
–2 –1 1 2
x
As observac¸o˜es anteriores permitem concluir que esta func¸a˜o na˜o e´ invert´ıvel.
Se voceˆ raciocinar um pouco chegara´ a conclusa˜o de que as treˆs condic¸o˜es enunciadas acima sa˜o equivalentes. Neste
caso, dizemos que a func¸a˜o e´ biun´ıvoca .
Definic¸a˜o 1
Uma func¸a˜o f e´ dita biun´ıvoca quando uma reta horizontal cortar o seu gra´fico em apenas um ponto, ou, equiva-
lentemente, quando a equac¸a˜o y = f(x) tiver uma u´nica soluc¸a˜o.
Esta condic¸a˜o pode ser expressa em termos alge´bricos, da seguinte maneira:
Definic¸a˜o 1’
Sejam x1 e x2 no domı´nio de f , tais que x1 6= x2. Dizemos que f e´ biun´ıvoca se f(x1) 6= f(x2).
Assim, se uma func¸a˜o f e´ biun´ıvoca, a equac¸a˜o y = f(x) pode ser resolvida para x, ou seja, e´ poss´ıvel determinar
a func¸a˜o g tal que x = g(y). Neste caso, f e´ invert´ıvel e g e´ a func¸a˜o inversa de f .
Definic¸a˜o 2
Uma func¸a˜o f , biun´ıvoca, e´ tambe´m invert´ıvel e sua inversa e´ uma func¸a˜o g calculada da seguinte maneira:
x = g(y)⇔ y = f(x) .
Repare que o domı´nio de g e´ a imagem de f e a imagem de g e´ o domı´nio de f .
Para a func¸a˜o f(x) = x3, temos y = f(x) ⇔ y = x3 ⇔ x = y 13 . Assim, a inversa da func¸a˜o f(x) = x3 e´ a func¸a˜o
g(x) = x
1
3 . Como seria de se esperar, o procedimento inverso de “elevar ao cubo” e´ “extrair a raiz cu´bica”.
Se f e g sa˜o func¸o˜es inversas, a definic¸a˜o acima nos diz que o ponto (x, y) esta´ no gra´fico de f se, e somente se, o
ponto (y, x) esta´ no gra´fico de g. Vamos interpretar geometricamente esta informac¸a˜o:
A reta y = x e´ formada pelos pontos que teˆm abscissa igual a ordenada. Assim, dado um ponto qualquer (x, y)
do plano, o ponto (y, x) e´ o seu sime´trico, isto e´, a sua imagem espelhada em relac¸a˜o a esta reta. Em outras palavras,
a reta y = x e´ a mediatriz do segmento que liga (x, y) a (y, x). (Veja o gra´fico a` esquerda.) Assim, podemos obter o
gra´fico de uma func¸a˜o a partir do gra´fico da sua inversa e vice-versa, refletindo cada um dos pontos de um dos gra´ficos
em relac¸a˜o a` reta y = x (Observe o gra´fico a seguir, a` direita).
(y,x)
(x,y)
0
1
2
3
1 2 3x –2
–1
0
1
2
y
–2 –1 1 2
x
Como vimos, a func¸a˜o s(x) = x2, definida em toda a reta na˜o e´ biun´ıvoca, portanto, na˜o tem inversa. No entanto,
se restringirmos o domı´nio dessa func¸a˜o ao intervalo [0,+∞), esta nova func¸a˜o e´ biun´ıvoca e a reflexa˜o do seu gra´fico
em relac¸a˜o a` reta y = x da´ origem ao gra´fico de uma outra func¸a˜o que sera´ a sua inversa. Esta inversa e´ a raiz
quadrada positiva, porque se x ≥ 0,
y = x2 ⇔ x = √y.
Assim, a func¸a˜o g(x) =
√
x e´ a inversa de f(x) = x2, com domı´nio restrito a [0,+∞), como mostra o gra´fico:
252 Cap. 19. Func¸o˜es Inversas e suas Derivadas
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
y
0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
x
Este mesmo racioc´ınio pode ser empregado para achar inversas das demais func¸o˜es poteˆncias positivas, restritas
ao intervalo [0,+∞).
19.3 Derivada da func¸a˜o inversa
O objetivo desta sec¸a˜o e´ deduzir uma maneira de calcular a derivada da inversa de uma func¸a˜o deriva´vel f . Para isso
vamos raciocinar geometricamente. Considere um ponto(x1, y1) do gra´fico de f
−1. O ponto correspondente no gra´fico
de f e´ o ponto (y1, x1). E´ inteiramente razoa´vel supor que, se o gra´fico de f tem uma tangente, na˜o vertical, no ponto
(y1, x1), enta˜o o gra´fico obtido pela reflexa˜o deste u´ltimo em torno da reta y = x tem uma tangente, na˜o vertical, em
(x1, y1), e a tangente do gra´fico refletido e´ a reflexa˜o da tangente ao gra´fico original, como ilustra a figura a` esquerda.
A declividade da reta original e´ dada por m1 =
d−b
c−a . A declividade da reta refletida e´ m2 =
c−a
d−b . Consequ¨entemente,
m2 =
1
m1
, se m1 6= 0. Veja o gra´fico a` direita.
(y1,x1)
(x1,y1)
x1
(c,d)
(a,b)
(d,c)
(b,a)
Vamos retornar agora a` func¸a˜o f e a` sua inversa f−1. Suponha que f tenha uma reta tangente com declividade
m2 6= 0 em (y1, x1). Enta˜o, a declividade da reta tangente a` f−1, em (x1, y1) e´ 1m2 . Mas, m2 = f ′(y1) e y1 = f−1(x1).
Consequ¨entemente,
m2 = f
′(f−1(x1))⇒ m1 = 1
f ′(f−1(x1))
.
Mas m1 e´ precisamente o valor da derivada de f
−1 em x = x1. Assim, obtemos a fo´rmula:
(∗) (f−1)′(x1) = 1
f ′(f−1(x1))
e esta fo´rmula vale qualquer que seja o ponto x = x1 do domı´nio de f
−1, tal que o denominador da frac¸a˜o acima seja
diferente de zero. Uma vez que se saiba isto, a fo´rmula acima pode ser deduzida como uma aplicac¸a˜o simples da regra
da cadeia. Como f e f−1 sa˜o func¸o˜es inversas, temos f(f−1(x)) = x. Usando a regra da cadeia para derivar esta
equac¸a˜o, obtemos f ′(f−1(x)) [Df−1(x)] = 1 e da´ı segue a fo´rmula (*). Esta segunda maneira de deduzir a fo´rmula (*)
e´ mais fa´cil de usar que a pro´pria fo´rmula. Vamos exemplificar com alguns casos que ja´ conhecemos.
Exemplo 1: A func¸a˜o raiz cu´bica
A func¸a˜o raiz cu´bica f(x) = x(
1
3 ) satisfaz a equac¸a˜o
(1) (f(x))3 = (x
1
3 )
3
= x.
(Repare que com isto estamos afirmando que f e´ a func¸a˜o inversa de g(x) = x3.)
Derivando a equac¸a˜o (1), obtemos
3 f2 f ′ = 1
e da´ı vem que
f ′(x) =
1
3 f2(x)
=
1
3x
2
3
=
x−
2
3
3
.
W.Bianchini, A.R.Santos 253
Exemplo 2: A func¸a˜o raiz n-e´sima
A func¸a˜o f(x) = x
1
n , para 0 < x <∞, satisfaz a equac¸a˜o
[f(x)]n = x, para 0 < x <∞ ,
pois f e´ definida como sendo a inversa de g(y) = yn, 0 < y < ∞. Supondo que f tem derivada, podemos derivar
ambos os lados da equac¸a˜o e obter
n [f(x)](n−1) f ′(x) = 1 , para 0 < x <∞ ,
logo,
f ′(x) =
1
n [f(x)](n−1)
=
1
nx(
n−1
n )
=
x(
1
n−1)
n
,para 0 < x <∞
Quando n e´ ı´mpar, o mesmo racioc´ınio se aplica para −∞ < x <∞ e na˜o somente para 0 < x <∞.
A fo´rmula deduzida acima conduz diretamente a fo´rmula ana´loga para a derivada de x(
m
n ). Usando a notac¸a˜o de
Leibniz, temos
d(x(
m
n ))
dx
=
m
n
x(
m
n −1) .
Os exemplos acima sugerem que as derivadas das func¸o˜es inversas podem ser facilmente calculadas, mas em cada
caso foi necessa´rio supor, de partida, que a derivada existia. Esta hipo´tese e´ justificada pelo teorema a seguir, que
mostra que, em todos os casos razoa´veis, a func¸a˜o inversa realmente possui derivada.
Teorema da func¸a˜o inversa
Suponha que o domı´nio de g e´ um intervalo aberto I e que
(i) g′(y) > 0 para todos os pontos y em I ou
(ii) g′(y) < 0 para todos os pontos y em I.
Enta˜o g e´ biun´ıvoca (o que implica que g tem uma inversa) e a sua inversa f tem derivada em todos os pontos do
seu domı´nio. Ale´m disso
f ′(x) =
1
g′(f(x))
Observac¸a˜o: A demonstrac¸a˜o desse teorema e´ complicada, mas, como ja´ vimos antes, geometricamente e´ fa´cil
observar que o resultado e´ verdadeiro. Se g′(y) > 0 ou (g′(y) < 0), para todos os y em I a func¸a˜o g e´ crescente (ou
decrescente) e possui uma tangente na˜o horizontal em todos os pontos deste intervalo, cuja inclinac¸a˜o e´ dada por g′.
O gra´fico refletido tera´, portanto, uma tangente na˜o vertical e a inclinac¸a˜o desta tangente fornece o valor de f ′.
Para calcular a derivada da inversa de uma func¸a˜o, procedemos como nos exemplos dados, simplificando, no passo
final, a expressa˜o g′(f(x)). Os detalhes desta simplificac¸a˜o dependem da func¸a˜o que esta´ sendo derivada.
19.4 As func¸o˜es trigonome´tricas inversas e suas derivadas
Nenhuma func¸a˜o trigonome´trica e´ invert´ıvel, pois, como estas func¸o˜es sa˜o perio´dicas, retas horizontais cortara˜o seu
gra´fico um nu´mero infinito de vezes. Assim, dado um nu´mero entre [−1, 1] a equac¸a˜o x = sen(θ) tem uma infinidade
de soluc¸o˜es. Veja esta afirmac¸a˜o ilustrada no gra´fico da func¸a˜o seno.
> plot([sin(x),0.5],x=-30..30);
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
–30 –20 –10 10 20 30x
No entanto, como no caso da func¸a˜o f(x) = x2, podemos restringir o domı´nio das func¸o˜es trigonome´tricas de tal
modo que elas sejam invert´ıveis em algum intervalo.
254 Cap. 19. Func¸o˜es Inversas e suas Derivadas
19.4.1 As func¸o˜es arcsen(x) e arccos(x)
Define-se o valor principal da func¸a˜o seno como sendo a restric¸a˜o do seno ao intervalo [−pi2 , pi2 ]. Continuamos
denotando esta func¸a˜o por seno (sen).
A func¸a˜o valor principal do seno tem uma inversa (por queˆ?) que vamos chamar de arco seno (arcsen). Assim,
y = arcsen(x)⇔ x = sen(y).
• Qual o domı´nio da func¸a˜o arco seno? Qual a sua imagem?
• Qual o valor de arcsen(12 )? E de arcsen(−1)?
Repare abaixo o gra´fico da func¸a˜o arcsen(x), obtido a partir de uma reflexa˜o em relac¸a˜o a` diagonal principal do
gra´fico da func¸a˜o y = sen(x), definida no intervalo [−pi2 , pi2 ].
> plot(arcsin(x),x=-1..1,scaling=constrained);
–1.5
–1
–0.5
0.5
1
1.5
–1 –0.5 0.5 1
x
De maneira ana´loga, definimos o valor principal do coseno como sendo a restric¸a˜o do cosseno ao intervalo [0, pi], a
qual continuamos chamando de coseno. Esta func¸a˜o e´ invert´ıvel e sua inversa denotada por arccos(x ) .
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.5 1 1.5 2 2.5 3
x
Cos(x)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1x
arccos(x)
Vamos agora calcular as derivadas das func¸o˜es arcsen e arccos.
Pelo teorema da func¸a˜o inversa,
arcsen′(x) =
1
cos(arcsen(x))
para todo x em (−1, 1)
Seja arcsen(x) = θ. Sabemos que
cos(θ) = ±
√
1− sen2 θ = ±
√
1− [sen(arcsen(x))]2 = ±
√
1− x2.
Como para −pi2 < θ < pi2 , cos(θ) > 0, tem-se
arcsen′(x) =
1√
1− x2 para x ∈ (−1, 1)
Note que, para x ∈ (−1, 1), arcsen′(x) e´ sempre positiva, como o gra´fico dessa func¸a˜o mostrava que deveria ser.
Nos pontos extremos deste gra´fico as tangentes sa˜o verticais.
De maneira semelhante prova-se que arccos′(x) = − 1√
1−x2 , para x ∈ (−1, 1). Esta derivada e´ negativa, como o
gra´fico do arco cosseno indicava.
19.4.2 As func¸o˜es arctg(x) e arcsec(x)
Define-se o valor principal da func¸a˜o tangente como sendo a restric¸a˜o da tangente ao intervalo (−pi2 , pi2 ).
Continuamos denotando esta func¸a˜o por tangente (tg).
W.Bianchini, A.R.Santos 255
A func¸a˜o valor principal da tangente tem uma inversa (por queˆ?) que vamos chamar de arco tangente (arctg) .
Assim
y = arctg(x)⇔ x = tg(y)
• Qual o domı´nio da func¸a˜o arco tangente? Qual a sua imagem?
• Qual o valor de arctg(1)? E de arctg(−1)?
Observe os gra´ficos das func¸o˜es tg(x) e arctg(x).
–3
–2
–1
0
1
2
3
y
–1.5 –1 –0.5 0.5 1 1.5x
Tg(x)
–1.2
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
–3 –2 –1 1 2 3x
arctg(x)
• Quais sa˜o as ass´ıntotas horizontais ao gra´fico dessa func¸a˜o?
Da mesma forma que nos casos anteriores, vamos calcular a derivada da func¸a˜o arctg. Pelo teorema da func¸a˜o
inversa,
arctg′(x) =
1
[sec(arctg(x))]2
para todo x real.
Seja θ = arctg(x). Como sec2 θ = 1 + tg2 θ,
[sec(arctg(x))]2 = 1 + [tg(arctg(x))]2 = 1 + x2
Logo,
arctg′(x) =
1
1 + x2
, para todo x real.
Paraa func¸a˜o secante a situac¸a˜o e´ um pouco pior. Examine o gra´fico desta func¸a˜o:
–4
–2
0
2
4
y
–6 –4 –2 2 4 6x
Em primeiro lugar, e´ preciso escolher um intervalo apropriado onde esta func¸a˜o tenha inversa e, portanto, seja poss´ıvel
aplicar o teorema da func¸a˜o inversa para calcular a sua derivada. O gra´fico da secante consiste de va´rias partes a`s
quais o teorema se aplica, por exemplo, uma para 0 < θ < pi2 e outra para
pi
2 < θ < pi. Consideraremos o primeiro
intervalo e definiremos uma nova func¸a˜o g como a restric¸a˜o da secante ao intervalo (0, pi2 ), isto e´,
g(θ) = sec(θ), para 0 < θ <
pi
2
.
Como g′(θ) = sec(θ) tg(θ), temos que para 0 < θ < pi2 , g
′(θ) > 0 e o teorema da func¸a˜o inversa garante que a func¸a˜o
inversa de g, que designaremos por arcsec(x ), tem derivada e que
arcsec′(x) =
1
sec(arcsec(x)) tg(arcsec(x))
.
Ja´ sabemos que sec(θ) = x. Precisamos simplificar o fator tg(arcsec(x)). Para isso, como das outras vezes, vamos
chamar arcsec(x) = θ. Usando a igualdade sec2 θ = tg2 θ + 1, temos que tg(arcsec(x)) = ±√x2 − 1. Como 0 < θ < pi2 ,
vemos que tg(θ) = tg(arcsec(x)) > 0. Portanto, podemos abandonar o radical negativo. Assim,
arcsec′(x) =
1
x
√
x2 − 1 , para 1 < x <∞.
256 Cap. 19. Func¸o˜es Inversas e suas Derivadas
Refazendo os ca´lculos acima, considerando agora g(θ) = sec(θ), para pi2 < θ < pi, obtemos
arcsec′(x) =
1
(−x)√x2 − 1 , para −∞ < x < −1.
Combinando estes dois resultados, obtemos uma func¸a˜o cujo domı´nio consiste nos dois intervalos (−∞, −1) e
(1, ∞). Veja o seu gra´fico:
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4
x
Observe que o termo 1√
x2−1 na˜o esta´ definido para |x | ≤ 1. Para x = 1 e x = −1, o gra´fico da func¸a˜o arcsec(x )
apresenta uma tangente vertical e portanto a derivada na˜o existe nestes pontos. Para x < −1 e x > 1, podemos
combinar os dois resultados obtidos acima e escrever que
arcsec′(x) =
1
|x | √x2 − 1 .
Exemplo 3
Retornando ao problema da corda de isolamento de um quadro, t´ınhamos que
tg(α+ β) =
c+ d
x
e
tg(β) =
d
x
.
Assim, α, que e´ o aˆngulo que queremos tornar ma´ximo, pode ser expresso como
α = arctg(
c+ d
x
)− arctg(d
x
).
Substituindo os valores de c e d, derivando esta func¸a˜o e igualando o resultado a zero, obtemos:
> f:=x->arctan(4/x)-arctan(1/x):
> g:=diff(f(x),x);
g := − 4
x2 (1 +
16
x2
)
+
1
x2 (1 +
1
x2
)
> g1:=simplify(g);
g1 := −3 x
2 − 4
(x2 + 16) (x2 + 1)
> solve(g1=0,x);
2, −2
Como x e´ a distaˆncia da parede ao observador, podemos desprezar a raiz negativa. Vamos agora usar o teste
da derivada primeira para comprovar que este e´ o ponto de ma´ximo procurado. Como o denominador da expressa˜o
− 3 (x2−4)(x2+16) (x2+1) e´ sempre positivo, o sinal da derivada depende do termo −3x2 + 12. Como −3x2 + 12 > 0 para
x < −2 e −3x2 + 12 < 0 para x > 2, conclu´ımos, imediatamente, que no ponto x = 2 o aˆngulo α atinge o seu ma´ximo
absoluto. Devemos, portanto, colocar a corda de isolamento a dois metros da parede onde o quadro esta´ pendurado.
19.5 Exerc´ıcios
1. Considere a func¸a˜o dada pela tabela:
x -1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0
f(x) 0,1 0,12 0,15 0,2 0,25 0,31 0,39 0,5 0,6 0,7 1
W.Bianchini, A.R.Santos 257
(a) Determine o domı´nio e a imagem de f .
(b) Construa a tabela da func¸a˜o g inversa de f.
2. (a) Mostre que f(x) = 3x− 5 e´ invert´ıvel e ache sua inversa g. Calcule f(g(x)) e g(f(x)).
(b) Calcule a func¸a˜o g(x) inversa de f(x) = 2 x+1x+1 . Verifique que f(g(x)) = g(f(x)) = x.
(c) De um modo geral, se a, b, c, d, sa˜o constantes tais que ad − bc 6= 0 e f(x) = ax+bcx+d , existe uma func¸a˜o
g(x) = αx+βγ x+δ tal que f(g(x)) = g(f(x)) = x. Calcule as constantes α, β, γ, δ em func¸a˜o de a, b, c, d. Por
que a condic¸a˜o ad − bc 6= 0 e´ necessa´ria? Qual a relac¸a˜o existente entre f e g ?
3. Ache expresso˜es alge´bricas para as seguintes func¸o˜es, especificando o seu domı´nio:
(a) sen(arctg(x )) (b) tg(arcsen(x )) (c) cos(arctg(x ))
19.6 Problemas propostos
1. Prove que cada uma das func¸o˜es dadas abaixo e´ invert´ıvel no intervalo considerado. Deduza a fo´rmula para a
derivada da sua inversa e esboce o gra´fico desta inversa especificando o seu domı´nio.
(a) g(θ) = cotg(θ), 0 < θ < pi. g(θ) = cossec(θ) 0 < | θ | < pi2 .
2. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de uma func¸a˜o f no ponto (2, f(2)), sabendo que f(2) = 7 e
D(f−1)(7) = 8.
3. Seja f(x) =
√
x3 + 3 para 0 < x < ∞. Usando o teorema da func¸a˜o inversa, mostre que f e´ invert´ıvel e calcule
(f−1)′)(2). Encontre a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f−1 no ponto (2, 1).
4. Seja a func¸a˜o f(x) = x5 + x3 + 3x.
(a) Em que conjunto a func¸a˜o admite inversa? Justifique.
(b) Determine (f−1)′(5).
5. Use o teorema da func¸a˜o inversa para mostrar que f(x) = (x5 + 7)
1
3 , x > 0 e´ invert´ıvel e calcule (f−1)′(2).
Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f−1 no ponto (2, 1).
6. Seja f(x) = arctg(x
3
3 − x), x > 1.
(a) Usando o teorema da func¸a˜o inversa, mostre que f e´ invert´ıvel e calcule D(f−1)(0).
(b) Encontre uma equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f−1 no ponto (0, f−1(0)).
7. Use o teorema da func¸a˜o inversa para mostrar que f(x) = arctg(x2 − 1), x > 0 e´ invert´ıvel e calcule D(f−1)(pi4 ).
19.7 Para voceˆ meditar: Inversas?
Vimos que se f e g sa˜o func¸o˜es inversas, enta˜o f(g(x)) = x e g(f(x)) = x. Observe os gra´ficos das func¸o˜es sen(arcsen(x ))
e arcsen(sen(x )):
> plot(sin(arcsin(x)),x=-10..10);
–10
–8
–6
–4
–2
2
4
6
8
10
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
> plot(arcsin(sin(x)),x=-10..10);
–1.5
–1
–0.5
0.5
1
1.5
–10 –8 –6 –4 –2 2 4 6 8 10x
1. Observando os gra´ficos acima, e´ poss´ıvel concluir que se g e f sa˜o func¸o˜es inversas tem-se que f(g(x)) = x e
g(f(x)) = x?
2. Para que valores de x valem essas identidades?
258 Cap. 19. Func¸o˜es Inversas e suas Derivadas
3. Qual o domı´nio da func¸a˜o arcsen(sen(x))?
4. Em que intervalo essa func¸a˜o coincide com a func¸a˜o h(x) = x?
5. Em que intervalos a func¸a˜o y = sen(x) e´ invert´ıvel?
6. Trace os gra´ficos de arcsen(sen(x)) e sen(arcsen(x)) e explique a diferenc¸a para o exemplo anterior.
7. Fac¸a essa mesma ana´lise para os pares de func¸o˜es abaixo:
(a) arccos(x) e cos(x) (b) arctg(x) e tg(x) (c) x2 e
√
x .
8. Para que valores de x e´ poss´ıvel calcular arcsen(sen(x)).
9. Explique porque arcsen(sen(pi3 )) = arcsen(sen(
2pi
3 )).
10. O que se pode afirmar a respeito do valor de arcsen(sen(x+ 2pi))?
11. Calcule essa func¸a˜o nos seguintes casos:
(a) para x em [−pi2 , pi2 ] . (b) para x em [pi2 , 3pi2 ] .
(c) para x em [(2 k − 12 )pi, (2 k + 12 )pi] onde k e´ um inteiro qualquer.
(d) para x em [(2 k + 12 )pi, (2 k +
3
2 )pi] onde k e´ um inteiro qualquer.