Apostila Cálculo I

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Apostila de CÁLCULO I
Introdução
O considerável avanço na ciência durante os últimos séculos procede em
grande parte do desenvolvimento da Matemática. Por exemplo, o ramo da
Matemática conhecida comoCálculo é um instrumento natural e poderoso para
atacar múltiples problemas que surgem em F́ısica, Astronomı́a, Engenharia, e
em outras áreas, incluindo recentemente alguns problemas de ciências sociais.
Conjuntos
Em Matemática, a palavra conjunto é usada para representar uma coleção
de objetos considerada como um único ente ou entidade. As coleções desig-
nadas com nomes tais como “rebanho”, “tribo”, “multidão” e “eleitores”são
todas exemplos de conjunto. Os objetos que conformam a coleção se llaman
elementos ou membros do conjunto.
Usualmente conjuntos são designadas com letras maiúsculas: A, B, C, ...,
X, Y , Z: e os elementos com minúsculas: a, b, c, ..., x, y, z. Usamos a notação
x ∈ S
para indicar que “x é um elemento de S” ou que “x pertence a S”. Se x não
pertence a S escrevemos x /∈ S.
Sempre que necessário, designaremos conjuntos escrevendo os elementos en-
tre colchetes; por exemplo, o conjunto dos inteiros positivos pares e menores
que 10 se expressa com o śımbolo {2, 4, 6, 8} enquanto que o conjunto de to-
dos os inteiros positivos se representa com {1, 2, 3, ...}; os três pontos indicam
“e assim por diante”. O método de citar explicitamente os elementos de um
conjunto entre colchetes é muitas vezes chamado a notação em lista.
Igualdade de Conjuntos
Se diz que dois conjuntos A e B são iguais (ou idênticos) se compreendem
exatamente os mesmos elementos, em cujo caso escrevemos A = B. Se um dos
conjuntos contém qualquer elemento que não esteja no outro, dizemos que os
conjuntos são diferentes e escrevemos A ̸= B.
Exemplo 1. A partir da definição, os dois conjuntos {2, 4, 6, 8} e {2, 8, 4,
6} são iguais, dado que ambos estão conformados de quatro elementos 2, 4, 6
e 8. Assim, quando usamos a notação em lista para expressar um conjunto, a
ordem em que os elementos aparecem é indiferente.
1
2
Exemplo 2. Os conjuntos {2, 4, 6, 8} e {2, 2, 4, 4, 6, 8} são iguais mesmo
que no segundo conjunto os elementos 2 e 4 estejam listados duas vezes. Ambos
os conjuntos contém quatro elementos 2, 4, 6, 8 e não outros, assim a partir
da definição estes conjuntos são considerados iguais. Este exemplo mostra que
não devemos exigir que os elementos mencionados na notação lista sejam todos
diferentes. Da mesma forma o conjunto de letras na palavra Mississipi é idêntico
ao conjunto {M, i, s, p} que consiste em quatro letras diferentes M, i, s, e p.
A partir de um determinado conjunto pode-se formar novos conjuntos, cha-
mados subconjuntos desse conjunto. Por exemplo, o conjunto dos inteiros posi-
tivos menores que 10 e diviśıvel por 4 (que é o conjunto {4, 8}) é um subconjunto
dos inteiros positivos pares e menores que 10. Em geral, nós damos a seguinte
definição.
Subconjunto
Dizemos que um conjunto A é um subconjunto do conjunto B, e escrevemos
A ⊆ B
quando todo elemento de A também pertence a B. Dizemos também que A
está contido em B ou B contém A. O śımbolo ⊆ é usado para representar a
relação de inclusão de conjuntos. Por exemplo, sejam os conjuntos A = {2, 4} e
B = {2, 2, 4, 4}, logo, notamos que A ⊆ B.
A relação A ⊆ B não exclui a possibilidade de que B ⊆ A. Na realidade,
podemos ter as duas relações A ⊆ B e B ⊆ A porém este ocorre apenas se A e
B têm os mesmos elementos. Em outras palavras,
A = B se e somente se A ⊆ B e B ⊆ A
Se A ⊆ B porém A ̸= B, dizemos que A é um subconjunto próprio de B;
indicamos isso escrevendo A ⊂ B.
Em muitas aplicações irá ocorrer que tendo fixado antecipadamente um
determinado conjunto S, temos interesse apenas nos subconjuntos de aquele.
Aquele conjunto S será considerado com o conjunto universal. E a notação
{x |x ∈ S e x satisfaz P}
designa o conjunto cujos elementos x pertencem a S e satisfazem a propriedade
ou condição P . Por exemplo, o conjunto, {x |x ∈ Inteiros e x < 10}.
Quando o conjunto universal a que nos referimos é sobreentendido, omi-
tiremos de citar-lho e abreviamos a notação colocando {x |x satisfaz P}. Os
conjuntos representados desta forma são caracterizados por uma propriedade
definidora, e dizemos que está na notação construtora de conjuntos.
Pode ser que um conjunto não contenha elementos. Um tal conjunto é
chamado conjunto vazio, e é representado pelo śımbolo ∅. Frequentemente
nos ajudamos de diagramas para representar conjuntos. Por exemplo, podemos
pensar que o conjunto universal S é uma região no plano, e cada um de seus
elementos um ponto. Os subconjuntos de S podem ser imaginados como coleções
de pontos interiores a S. As ajudas gráficas deste tipo se chamam diagramas
de Venn.
3
União
A partir de dois conjuntos A e B, sempre podemos formar um novo conjunto
chamado união de A e B. Esse novo conjunto se representa pelo śımbolo A∪B
(se lê: “A união B”) e se define como o conjunto de elementos que pertencem a
A ou a B ou a ambos.
Interseção
A interseção de A e B que se representa pelo śımbolo A ∩ B (se lê: “A
interseção B”) se define como o conjunto de elementos comuns a A e a B. Dois
conjunto se chamam disjuntos se A ∩ B = ∅ (é dizer que A e B não têm
elementos comuns).
Diferença
Se define a diferença A − B (que também se chama complemento de B
relativo a A) como o conjunto de elementos de A que não pertencem a B.
Assim, na notação construtora de conjuntos temos
A−B = {x |x ∈ A e x /∈ B}
Exerćıcio 1. Utilizar a notação em lista para representar os seguintes con-
juntos de números reais.
(a) A = {x |x2 − 1 = 0}
(b) B = {x |x3 − 2x2 + x = 2}
(c) C = {x |x+ 8 = 9}
(d) D = {x | (x+ 8)2 = 92}
Números Reais
A noção de número é uma das mais fundamentais da matemática. Elaborada
na antiguidade, ela sofreu no decurso dos séculos um longo processo de extensão
e de generalização, por exemplo, começando desde a noção de números naturais
até a noção de números complexos.
Os números inteiros Z = {−∞, ...,−2,−1, 0, 1, 2, ...,+∞}, e os números fra-
cionários positivos e negativos (compreendendo o número zero), são chamados
números racionais, e conformam o conjunto de números racionais, que sim-
bolizamos com a letra Q. Qualquer número racional pode ser posto na forma
de quociente
p
q
de dois números inteiros p e q, onde q ̸= 0. Por exemplo,
0, 5 =
1
2
− 1, 25 = −5
4
Em part́ıcular, todo número inteiro p pode ser considerado como quociente dos
números inteiros p e 1, é dizer p1 . Por exemplo, 6 =
6
1 , e 0 =
0
1 .
4
Os números racionais podem ser postos na forma de decimais limitadas ou
ilimitadas periódicas, por exemplo
1
2
= 0, 5000... = 0, 50
2
3
= 0, 6666... = 0, 6
157
495
= 0, 3171717... = 0, 317
9
7
= 1, 285714285714... = 1, 285714
a barra indica que a sequência de d́ıgitos se repete indefinidamente (periódica).
Os números expressados mediante decimais ilimitadas não periódicas, são
denominados números irracionais, e conformam o conjunto de números ir-
racionais, que simbolizamos com a letra I. Por exemplo, os seguintes números
são irracionais
√
2 = 1, 414213562373095... π = 3.141592653589793...
A união dos conjuntos de números racionais e de irracionais (Q ∪ I) confor-
mam o conjunto de números reais, denotado pela letra R. Os números reais
podem ser representados por pontos sobre uma reta, como na Figura 1.
-3 -2 -1 0 1 2 3
−37
√
2 π
1
2−2, 63
Figura 1: Eixo real
A direção positiva (à direita) é indicada por uma flecha. Escolhemos um
ponto de refêrencia arbitrário, O, denominado origem, que corresponde ao
número real 0. Dada qualquer unidade de medida, cada número positivo x é
representado pelo ponto da reta que está a x unidades, à direita da origem,
e cada número negativo −x é representado pelo ponto sobre a reta que está
x unidades de distância, à esquerda, da origem. Assim, todo númeroreal é
representado por um único ponto sobre a reta, e a todo ponto P sobre a reta
corresponde exatamente um único número real.
O número real associado ao ponto P é chamado coordenada de P , e a
reta é dita então eixo coordenado, ou eixo dos números reais, ou simples-
mente eixo real. Frequentemente identificamos o ponto com sua coordenada e
pensamos em um número como sendo um ponto no eixo real.
Os números reais constituem um conjunto ordenado, isto é, estão ordenados
de forma crescente sobre o eixo real (na direção da flecha). Dizemos que a é
menor que b e escrevemos a < b se b − a for um número positivo. Geometri-
camente, isso significa que a está à esquerda de b sobre o eixo real. De maneira
equivalente, podemos dizer que b é maior que a e escrevemos b > a. O śımbolo
a ≤ b (ou b ≥ a) significa que ou a < b ou a = b e deve ser lido como “a é menor
que ou igual a b”. Por exemplo, são verdadeiras as seguintes desigualdades:
7 < 7, 4 < 7, 5 − 3 > −π
√
2 < 2
√
2 ≤ 2 2 ≤ 2
Intervalos
Certos conjuntos de números reais, denominados intervalos, ocorrem fre-
quentemente no cálculo e correspondem geometricamente a segmentos de reta.
5
Por exemplo, se a < b, o intervalo aberto de a até b consiste em todos os
números entre a e b e é denotado pelo śımbolo ]a, b[. Usando a notação cons-
trutora de conjuntos, podemos escrever
]a, b[= {x | a < x < b}
a b
Figura 2: Intervalo aberto ]a, b[
Note que os pontos extremos do intervalo (isto é, a e b) estão exclúıdos. Isso
é indicado pelos colchetes abertos “] [” e pelas bolinhas vazias na Figura 2. O
intervalo fechado de a até b é o conjunto
[a, b] = {x | a ≤ x ≤ b}
a b
Figura 3: Intervalo fechado [a, b]
Aqui os pontos extremos do intervalo estão inclúıdos, e isso é indicado pelos
colchetes fechados “[ ]” e pelas bolinhas cheias na Figura 3. É necessário também
considerar os intervalos infinitos, como
]a,+∞[= {x |x > a}
Isso não significa que +∞ (“mais infinito”) seja um número. A notação ]a,+∞[
representa o conjunto de todos os números maiores que a; dessa forma, o śımbolo
+∞ indica que o intervalo se estende indefinidamente na direção positiva.
Desigualdades
Para trabalhar com as desigualdades devemos observar as seguintes regras:
(I) Se a < b, então a+ c < b+ c;
(II) Se a < b e c < d, então a+ c < b+ d;
(III) Se a < b e c > 0, então ac < bc;
(IV) Se a < b e c < 0, então ac > bc;
(V) Se 0 < a < b, então 1a >
1
b .
Exerćıcio 2. Resolva as seguintes desigualdades
(a) 1 + x < 7x+ 5
(b) 4 ≤ 3x− 2 < 13
6
Exemplo 3. Resolva a seguinte desigualdade x2 − 5x+ 6 ≤ 0.
Solução. Primeiro vamos fatorar o lado esquerdo, é dizer
(x− 2)(x− 3) ≤ 0
esta desigualdade é satisfeita, se
(i) (x− 2) ≥ 0 e (x− 3) ≤ 0 ou se
(ii) (x− 2) ≤ 0 e (x− 3) ≥ 0
42 310-1
Figura 4: Intervalo fechado [2, 3]
Simplificando a desigualdade (i) obtemos a primeira solução (veja a Figura 4)
R1 = {x |x ≥ 2} ∩ {x |x ≤ 3} ⇒ R1 = {x | 2 ≤ x ≤ 3}
Simplificando a desigualdade (ii) obtemos a segunda solução
R2 = {x |x ≤ 2} ∩ {x |x ≥ 3} ⇒ R2 = ∅
Juntando ambos os soluções obtemos
R = R1 ∪R2 ⇒ R = {x | 2 ≤ x ≤ 3}
Valor Absoluto
O valor absoluto de um número a, denotado por |a|, é a distância de a até
0 sobre o eixo real. Como as distâncias são sempre positivas ou 0, então temos
|a| ≥ 0 para todo número a
Por exemplo,
|3| = 3 | − 3| = 3 |0| = 0 |
√
2− 1| =
√
2− 1 |3− π| = π − 3
Em geral, temos
|a| =
{
a se a ≥ 0
−a se a < 0
Exerćıcio 3: Expresse |3x− 2| sem usar o śımbolo de valor absoluto.
Lembre-se de que o śımbolo
√
significa “raiz quadrada positiva de”. Logo,
√
r = s significa s2 = r e s ≥ 0. Portanto a equação
√
a2 = a não é sempre
verdadeira. Só é verdadeira quando a ≥ 0. Se a < 0, então −a > 0; portanto,
temos
√
a2 = −a. Assim em vista da definição de valor absoluto, temos então
a equação √
a2 = |a|
que é verdadeira para todos os valores de a.
7
Propriedades do Valor Absoluto. Suponhamos que a e b sejam números
reais e n um número inteiro. Então
(I) |a · b| = |a| · |b|
(II)
∣∣a
b
∣∣ = |a||b| (b ̸= 0)
(III) |an| = |a|n
Agora suponhamos que a ≥ 0, então
(IV) |x| = a se e somente se x = ±a
(V) |x| ≤ a se e somente se −a ≤ x ≤ a
(VI) |x| ≥ a se e somente se x ≥ a ou x ≤ −a
Exerćıcio 4: Resolva a seguinte igualdade e desigualdade
(a) |2x− 5| = 3
(b) |x− 5| < 2
A Desigualdade Triangular. Se a e b forem quaisquer números reais, então
|a+ b| ≤ |a|+ |b|
Prova. Dado que a = |a| ou a = −|a|, se têm −|a| ≤ a ≤ |a|, da mesma foma
−|b| ≤ b ≤ |b|. Somando ambas desigualdades se têm
−(|a|+ |b|) ≤ a+ b ≤ |a|+ |b|
e portanto em virtude da propriedade (V) (substitúındo x por a+ b) conclui-se
que:
|a+ b| ≤ |a|+ |b|
que é o que queremos mostrar.
Caṕıtulo 1
Funções
As funções são o objeto fundamental do cálculo, por isso a importância de
estudar elas. As funções surgem quando uma quantidade depende de outra.
Consideremos as seguintes situações:
(a) A área A de um ćırculo depende de seu raio r. A lei que conecta r e A é
dada pela equação A = πr2. A cada número r positivo existe associado
um único valor de A, e dizemos que A é uma função de r.
(b) O custo C de enviar uma carta pelo correio depende de seu peso w. Embora
não haja uma fórmula simples conectando w e C, o correio tem uma
fórmula que permite calcular C quando é dado w. É dizer C é uma função
de w.
1.1 Grandezas Variáveis e Grandezas Constan-
tes
Quando medimos certas grandezas f́ısicas, tais como o tempo, o compri-
mento, o volume, a velocidade, etc., estabelecemos os valores numéricos destas
grandezas f́ısicas. As matemáticas estudam as grandezas sem ter em conta o
seu conteúdo concreto. No que segue, quando falarmos de grandeza, teremos
em vista os seus valores numéricos unicamente.
Chama-se grandeza variável ou variável uma grandeza suscept́ıvel de to-
mar diferentes valores numéricos, por exemplo, o tempo. A uma grandeza cujos
valores numéricos não mudam chama-se grandeza constante ou constante,
por exemplo, a razão do comprimento de uma circunferência com o seu diâmetro
é uma constante cujo valor é π ≈ 3, 14159.
1.2 Domı́nio de Definição de uma Variável
Uma variável é suscept́ıvel de tomar valores numéricos diferentes. O conjunto
destes valores pode variar segundo o carácter do problema considerado. Por
exemplo, a temperatura da água aquecida nas condições normais pode variar
desde a temperatura ambiente, 15 ◦C ou 18 ◦C, até o ponto de ebulição, 100 ◦C.
8
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES 9
Definição 1.1. Chama-se domı́nio de definição de uma variável ao conjunto
dos valores numéricos que ela é suscept́ıvel de tomar.
Exemplo 1.1. O domı́nio de definição da variável x = cosα, para todos os
valores de α, é o intervalo fechado [−1, 1]; pode-se também expressar mediante
as desigualdades −1 ≤ x ≤ 1.
Definição 1.2. Chama-se vizinhança de um ponto x0, a todo intervalo aberto
]a, b[ contendo este ponto, isto é, um intervalo ]a, b[ para o qual sejam verificadas
as desigualdades a < x0 < b. Escolhe-se muitas vezes a vizinhança de modo que
o ponto x0 se encontre no meio. O ponto x0 é então chamado o centro de
vizinhança e o número b−a2 o raio de vizinhança.
A Figura 1.1 mostra a vizinhança ]x0 − ϵ, x0 + ϵ[ de centro x0 e de raio ϵ.
x0 + ϵ
x
0
ϵ ϵ
x0x0 − ϵ
Figura 1.1: Vizinhança de centro x0.
1.3 Função
Definição 1.3. Diremos que y é uma função de x e escrevemos y = f(x), se
a cada valor da variável x pertencendo a um certo domı́nio, corresponde um
único valor da variável y. A variável x é chamada variável independente, e
a variável y é chamada variável dependente.
A letra f que aparece na dependência funcional y = f(x), indica que é
necessário aplicar certas operações a x para obter o valor correspondente de y.
As vezes simplesmente escrevemos y = y(x).
Definição 1.4. O conjunto dos valores numéricos de x para os quais o va-
lor númerico da função y = f(x) exista é chamadodomı́nio de existência
da função (ou domı́nio de definição da função). E o conjunto dos valores
numéricos da função y = f(x) é chamado imagem da função.
Exemplo 1.2. A função y = senx é definida para todos os valores de x. Logo,
o seu domı́nio de existência é o intervalo infinito −∞ < x < ∞. E a imagem
da função é o intervalo fechado −1 ≤ y ≤ 1.
Exemplo 1.3. A função y =
√
x é definida para valores não negativos de x, é
dizer x ≥ 0, assim seu domı́nio de existência é o intervalo semi-aberto [0,∞[.
E a imagem é também o intervalo semi-aberto [0,∞[.
Exerćıcio 1.1. Encontre o domı́nio e imagem de cada função.
(a) f(x) =
√
x+ 2
(b) g(x) = 1x2−x
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES 10
(c) h(x) = x+1x−1
(d) f(x) =
√
1− x2
Definição 1.5. A função y = f(x) diz-se crescente se a um maior valor da
variável independente corresponde um maior valor da função. É dizer, se para
todo x2 > x1, se cumpre f(x2) > f(x1), então a função é crescente. Define-se
duma maneira análoga a função decrescente.
Exemplo 1.4. A função A = πR2 é uma função crescente para 0 < R < +∞;
porque a um maior valor de R corresponde um maior valor de A.
1.4 Representação das Funções
1.4.1 Representação via Tabelas
Neste processo dispõe-se em uma certa ordem os valores da variável inde-
pendente x1, x2, ..., xn e os valores correspondentes da função y1, y2, ..., yn.
x x1 x2 xn
y y1 y2 yn
Tais são, por exemplo, as tabelas das funções trigonométricas, as tabelas
de logaŕıtmos, etc. A representação das funções via tabelas é muito usual no
estudo experimental de certos fenómenos da natureza. Por exemplo, as variações
da temperatura do ar em uma estação metereológica durante um dia dá-nos o
quadro seguinte:
t [horas] 1 2 3 4 5 6 7 8 9
T [◦C] 0 -1 -2 -2 -0,5 1 3 3,5 4
Este quadro define a temperatura T em função do tempo t.
1.4.2 Representação Gráfica
O método mais comum de visualizar uma função consiste em fazer seu
gráfico. Consideremos no plano um sistema de coordenadas rectangulares. Se
f for uma função com domı́nio A, então seu gráfico será o conjunto de pontos
sobre o plano coordenado, com coordenadas (x, f(x)), em que x pertence ao
domı́nio A, é dizer, o conjunto dos pontos do plano cujas abcissas são os valo-
res da variável independente e as ordenadas são os valores correspondentes da
função.
O gráfico de uma função f nos dá uma imagem proveitosa do comportamento
ou da “história de vida” de uma função. Uma vez que a ordenada y de qualquer
ponto (x, y) sobre o gráfico é y = f(x), podemos entender o valor f(x) como
a altura do ponto no gráfico acima de x (veja a Figura 1.2). O gráfico de f
também nos permite visualizar o domı́nio sobre o eixo x e a imagem sobre o
eixo y, como na Figura 1.3.
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES 11
1 20
f (1)
f (2)
f (x)
(x, f (x))
x
y
x
Figura 1.2:
0 x
y
y = f (x)
imagem
domı́nio
Figura 1.3:
Teste da Reta Vertical. Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função
de x se e somente se nenhuma reta vertical corta a curva mais de uma vez.
Exerćıcio 1.2. Esboce o gráfico e encontre o domı́nio e a imagem de cada
função.
(a) f(x) = 1− x
(b) g(x) = x2
Exerćıcio 1.3. O gráfico de uma função f está na Figura 1.4.
(a) Encontre os valores de f(1) e f(5).
(b) Como são o domı́nio e a imagem de f?
1.4.3 Representação Anaĺıtica
Precisamos em primeiro lugar entender o que é uma “expressão anaĺıtica”.
Chamaremos expressão anaĺıtica à notação simbólica do conjunto de operações
matemáticas conhecidas (adição, subtração, raiz quadrada, etc.) que se deve
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES 12
0 1
1
y
x
Figura 1.4:
aplicar em uma certa ordem aos números ou a letras que representam grandezas
constantes ou variáveis.
Consideremos exemplos de expressões anaĺıticas:
4× 52 − 7; x4 − 2; log x− cosx
5x2 + 1
; 2x −
√
5 + 3x, etc.
Se a dependência funcional y = f(x) é tal que f é uma expressão anaĺıtica,
então dizemos que a função y de x é dada anaĺıticamente. Por exemplo:
y = x4 − 2; y = x+ 1
x− 1
; y = cosx; A = πR2, etc.
Nestes exemplos as funções estão expressas anaĺıticamente por uma única fórmula.
Chama-se fórmula à igualdade entre duas expressões anaĺıticas.
1.5 Funções Definidas por Partes
A função no exemplo a seguir é definida por fórmulas diversas em diferentes
partes de seu domı́nio.
Exemplo 1.5. Seja f a função definida pelas fórmulas
f(x) =
{
1− x se x ≤ 1
x2 se x > 1
Calcule f(0), f(1) e f(2) e esboce o gráfico.
Solução. Lembre-se de que toda função é uma regra. Para essa função em
particular a regra é a seguinte: Se tivermos que x ≤ 1, então o valor de f(x)
será 1− x. Por outro lado, se x > 1, então o valor de f(x) será x2.
• Uma vez que 0 ≤ 1, temos f(0) = 1− 0 = 1.
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES 13
• Uma vez que 1 ≤ 1, temos f(1) = 1− 1 = 0.
• Uma vez que 2 > 1, temos f(2) = 22 = 4.
Como fazer o gráfico de f? Observamos que se x ≤ 1, então f(x) = 1 − x,
assim, a parte do gráfico de f à esquerda da reta vertical x = 1 deve coincidir
com a reta y = 1−x. Se x > 1, dáı f(x) = x2, e, dessa forma, a parte do gráfico
de f à direita da reta x = 1 deve coincidir com o gráfico de y = x2, que é uma
parábola. Tudo isso nos permite esboçar o gráfico da Figura 1.5. O pontinho
cheio indica que o ponto (1,0) está incluso no gráfico, e pontinho vazio indica
que o ponto (1,1) está exclúıdo do gráfico.
1
1
y
x
Figura 1.5:
Exerćıcio 1.4. Esboce o gráfico da função valor absoluto f(x) = |x|.
Exerćıcio 1.5. Encontre uma fórmula para a função f cujo gráfico está na
Figura 1.6.
y
x1
1
0
Figura 1.6:
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES 14
Exerćıcio 1.6. Seja a função custo C(w) do envio pelo correio de uma carta
com peso w, definida por partes da seguinte forma
C(w) =

0, 3 se 0 < w ≤ 1
0, 6 se 1 < w ≤ 2
0, 8 se 2 < w ≤ 3
1, 0 se 3 < w ≤ 4
e chamada função escada, esboce o gráfico desta função.
1.6 Principais Funções Elementares
Existe uma série de tipos importantes de funções que frequentemente encon-
tramos em cálculo. Vamos identificá-los e resumi-los brevemente nesta seção.
1.6.1 Funções Lineares
Uma função com a forma f(x) = mx+ b, para constantes m e b, é chamada
função linear. A Figura 1.7 mostra um conjunto de retas f(x) = mx, onde
b = 0, de modo que todas passam pela origem. A constante m representa a
inclinação da reta, pode-se mostrar quem é igual a tangente do ângulo que forma
a reta com o eixo x, por esta razão m é muitas vezes chamada de coeficiente
angular.
1
y
x
m = −3 m = 2
m = 1
m = 12
1
m = −1
y = −x
y = x
y = 12x
y = 2x
y = −3x
Figura 1.7: O conjunto de retas y = mx tem coeficiente angular m e todas as
retas passam pela origem.
Funções constantes ocorrem quando o coeficiente angular m = 0, por exem-
plo, veja a Figura 1.8), onde apresentamos a função constante y = 32 , o gráfico
de esta função é uma reta paralela ao eixo x. O gráfico de qualquer função
linear y = mx+ b cruza o eixo y no ponto (0, b).
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES 15
x
2
1
1 2
y
0
y = 32
Figura 1.8: Uma função constante tem coeficiente angular m = 0.
1.6.2 Funções Potências
Uma função f(x) = xa, onde a é uma constante, é chamada função potência.
Existem vários casos importantes a considerar.
(a) Se a = n, um inteiro positivo: Os gráficos de f(x) = xn, para n = 1, 2,
3, 4, são mostrados na Figura 1.9. Essas funções são definidas para todos
os valores reais de x. Observe que, à medida que a potência n fica maior,
as curvas tendem a se achatar sobre o eixo x no intervalo ]-1,1[ e também
a subir e/ou descer mais repentinamente em |x| > 1. Todas as curvas
passam pelo ponto (1,1) e pela origem.
y
1-1
-1
1
1 1 1
1 1 1
-1
-1 -1
-1
-1
-1
y yy = x2 y = x3 y = x4
x x x x
yy = x
Figura 1.9: Gráficos de f(x) = xn, n = 1, 2, 3, 4, definidos para −∞ < x < +∞.
(b) Se a = −1 e a = −2: Os gráficos das funções f(x) = x−1= 1/x e g(x) =
x−2 = 1/x2 são mostrados na Figura 1.10. As duas funções são definidas
para todos os x ̸= 0 (nunca se pode dividir por zero). O gráfico de y = 1/x
é a hipérbole xy = 1, que se aproxima dos eixos das coordenadas longe
da origem. O gráfico de y = 1/x2 também se aproxima dos eixos das
coordenadas.
(c) Se a = 12 e a =
1
3 : As funções f(x) = x
1/2 =
√
x e g(x) = x1/3 = 3
√
x são
as funções raiz quadrada e raiz cúbica, respectivamente. O domı́nio
da função raiz quadrada é [0,∞[, mas a função raiz cúbica é definida para
todos os x reais. Seus gráficos são mostrados na Figura 1.11.
1.7 Funções Pares e Ímpares: Simetria
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES 16
x x
yy
1
1
y = 1x
y = 1x2
1
1
-1
-1
-1
-1
Imagem: y ̸= 0
Domı́nio: x ̸= 0 Domı́nio: x ̸= 0
Imagem: y > 0
Figura 1.10: Gráfico das funções potência f(x) = 1/x e f(x) = 1/x2.
x x
yy
1 1
Domı́nio: x ≥ 0
Imagem: y ≥ 0 Imagem: −∞ < y < ∞
1 1
y =
√
x
Domı́nio: −∞ < x < ∞
y = 3
√
x
Figura 1.11: Gráfico das funções potência f(x) = x1/2 e f(x) = x1/3.
Definição 1.6. Uma função y = f(x) é uma
• função par de x se f(−x) = f(x)
• função ı́mpar de x se f(−x) = −f(x)
para qualquer x dentro do domı́nio da função.
Os nomes par e ı́mpar vêm das potências de x.
• Se y é uma potência par de x, como em y = x2 ou y = x4, então é uma
função par de x [pois (−x)2 = x2 e (−x)4 = x4].
• Se y é uma potência ı́mpar de x, como em y = x ou y = x3, então é uma
função ı́mpar de x [pois (−x)1 = −x e (−x)3 = −x3].
O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y. Uma vez
que f(−x) = f(x), um ponto (x, y) estará no gráfico se e somente se o ponto
(−x, y) estiver no gráfico (veja a Figura 1.12). Uma reflexão ao longo do eixo y
não altera o gráfico.
O gráfico de uma função ı́mpar é simétrico em relação à origem. Uma
vez que f(−x) = −f(x), um ponto (x, y) estará no gráfico se e somente se o
ponto (−x,−y) estiver no gráfico (veja a Figura 1.12). Uma rotação de 180◦ em
relação à origem não altera o gráfico. Observe que as definições implicam que
x e −x estejam ambos no domı́nio de f .
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES 17
x
yy
y = x2
x
(x, y)
(x, y)
(−x, y)
y = x3
(−x,−y)
Figura 1.12: Esquerda: O gráfico de y = x2 (função par) é simétrico em relação
ao eixo y. Direita: O gráfico de y = x3 (função ı́mpar) é simétrico em relação
à origem.
Exerćıcio 1.7. Diga se as seguintes funções são par, ı́mpar ou nenhuma delas.
(a) f(x) = x2 + 1
(b) f(x) = 1x2−1
(c) g(x) = xx2−1
(d) g(t) = 1t−1
1.8 Funções Compostas
Definição 1.7. Se f e g são duas funções, a função composta f ◦ g (“ f
composta com g”) é definida por
(f ◦ g)(x) = f(g(x))
O domı́nio de f ◦g consiste nos valores de x do domı́nio de g para os quais g(x)
fica no domı́nio de f .
A definição diz que f ◦ g pode ser formada quando a imagem de g fica no
domı́nio de f . Para determinar (f ◦ g)(x), primeiro devemos determinar g(x)
e, depois, f(g(x)). A Figura 1.13 mostra a composição como um diagrama de
setas.
Exemplo 1.6. A função y =
√
1− x2 pode ser pensada calculando-se, primeiro,
1−x2 e, depois, tomando a raiz quadrada do resultado. A função y é a composta
da função g(x) = 1 − x2 com a função f(x) =
√
x. Note que 1 − x2 não pode
ser negativa, assim o domı́nio da função composta fica [−1, 1].
Exerćıcio 1.8. Se f(x) =
√
x e g(x) = x+ 1, determine
(a) (f ◦ g)(x)
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES 18
f ◦ g
g(x)
f (g(x))
x
g f
Figura 1.13: Diagrama de setas para f ◦ g.
(b) (g ◦ f)(x)
(c) (f ◦ f)(x)
(d) (g ◦ g)(x)
1.9 Translação de um Gráfico
Para transladar o gráfico de uma função y = f(x) para cima, adicione uma
constante positiva no lado direito da fórmula y = f(x). E para transladar para
baixo, adicione uma constante negativa no lado direito da fórmula y = f(x).
Para transladar o gráfico de y = f(x) para a esquerda, adicione uma cons-
tante positiva a x. E para transladar para a direita, adicione uma constante
negativa a x.
Translação vertical:
y = f(x) + k
Se k > 0, translada o gráfico de f(x) k unidades para cima. Se k < 0,
translada o gráfico de f(x) |k| unidades para baixo.
Translação horizontal:
y = f(x+ h)
Se h > 0, translada o gráfico de f(x) h unidades para a esquerda. Se
h < 0, translada o gráfico de f(x) |h| unidades para a direita.
1.10 Funções Exponenciais
A função f(x) = 2x é chamada função exponencial, pois a variável x, é
o expoente. Ela não deve ser confundida com a função potência g(x) = x2, na
qual a variável é a base. Em geral, uma função exponencial é uma função da
forma
f(x) = ax
onde a é uma constante positiva. O gráfico de uma função exponencial deve
cruzar o eixo y no ponto (0,1), pois a0 = 1 sempre.
CAPÍTULO 1. FUNÇÕES 19
y = 2x
m ≈ 0, 7
y
x
1
0
y
x
1
0
y = 3x
m ≈ 1, 1
Figura 1.14: Função exponencial y = 2x e y = 3x.
1.10.1 O Número e
Dentre todas as bases posśıveis para uma função exponencial, há uma que é
mais conveniente para os propósitos do cálculo. Na escolha de uma base a pesa
muito a forma como a função y = ax cruza o eixo y [é dizer o ponto (0,1)]. A
Figura 1.14 mostra as retas tangentes ao gráfico de y = 2x e y = 3x no ponto
(0,1). Se medirmos as inclinações das retas tangentes em (0,1), encontraremos
m ≈ 0, 7 para y = 2x e m ≈ 1, 1 para y = 3x.
Quando escolhemos para a base o número de Euler e = 2, 71828..., a reta
tangente de y = ex em (0,1) tem uma inclinação de exatamente 1 (veja Fi-
gura 1.15). A função exponencial com base e é chamada função exponencial
natural, esta é a mais importante função exponencial para a modelagem ou
estudo de fenómenos naturais, f́ısicos e econômicos.
y
x
1
0
m = 1
y = ex
Figura 1.15: A função exponencial natural cruza o eixo y com uma inclinação
igual a 1.
Exerćıcio 1.9. Começando com o gráfico de y = ex, encontre as equações dos
gráficos que resultam de
(a) deslocar 2 unidades para baixo
(b) deslocar 2 unidades para a direita
Caṕıtulo 2
Limite e Continuidade das
Funções
2.1 Limite de uma Grandeza Variável
Definição 2.1. O número constante a chama-se o limite da grandeza variável
x, se, para todo o número arbitrariamente pequeno ϵ > 0, se pode indicar um
valor da variável x tal que todos os valores consequentes da variável verifiquem
a desigualdade
|x− a| < ϵ
Se o número a é o limite da variável x, diz-se que x tende para o limite a e
escreve-se:
x → a ou limx = a
É dizer, o número constante a é o limite da variável x, se para toda vi-
zinhança dada, por mais pequena que seja, de centro a e de raio ϵ, se pode
encontrar um valor de x tal que todos seus valores consequentes pertençam a
esta vizinhança. Por exemplo, a Figura 2.1 mostra os valores de x em sequência:
x1; x2; x3; ...; xn−1; xn; xn+1; ..., todos os valores de x que seguem a xn−1 (in-
dicado por uma seta) pertençam a vizinhança de centro a e raio ϵ (|x− a| < ϵ),
assim podemos dizer que a constante a é o limite da variável x.
2ϵ
ϵϵ
xn xn+1
|xn − a|
ax1
x
0
x3 x2xn−1
Figura 2.1: Limite de uma grandeza variável
20
CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 21
Exemplo 2.1. A variável x toma sucessivamente os valores x1 = 1 + 1; x2 =
1 + 12 ; x3 = 1 +
1
3 ; · · · ; xn = 1 +
1
n ; · · · . Mostre que limx = 1 ou x → 1.
Solução: Vamos construir a seguinte tabela com os valores da variável x
n x
1 x1 = 2
2 x2 = 1, 5
3 x3 = 1, 333...
4 x4 = 1, 25
...
...
10 x10 = 1, 1
...
...
20 x20 = 1, 05
...
...
100 x100 = 1, 01
...
...
Dado que o valor de ϵ pode ser escolhido arbitrariamente, então nós esco-
lhemos ϵ = 0, 5, agora devemos encontrar o valor de x tal que seus valores
consequentes pertençam a vizinhança |x− 1| < ϵ = 0, 5. A partir da tabela an-
terior, notamos que os valores que seguem a x2 = 1, 5 pertençam a vizinhança,
por exemplo, para x3 obtemos
|x3 − 1| = |1, 333...− 1| = 0, 333.. assim |x3 − 1| < ϵ
assim podemos mostrarsucessivamente também para x4, x5, · · · .
A continuação mostremos que a variável x tem um limite igual à unidade
para qualquer valor de ϵ. Temos
|xn − 1| = |(1 +
1
n
)− 1| = 1
n
logo a partir da definição de limite
|xn − 1| < ϵ ⇒
1
n
< ϵ ⇒ 1
ϵ
< n ⇒ n > 1
ϵ
é dizer que valores de n maiores que 1/ϵ verificam a desigualdade
|xn − 1| < ϵ
Nota 1 O limite de uma grandeza constante é igual a essa constante, é dizer
lim c = c
Nota 2 Uma grandeza variável não pode ter dois limites.
Definição 2.2. A variável x tende para o infinito (+∞ ou -∞), se para cada
número positivo dado M se pode indicar um valor de x a partir do qual todos
os valores consequentes da variável verificam a desigualdade |x| > M .
CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 22
Se a variável x tende para o infinito, diz-se que é uma variável infinitamente
grande e escreve-se x → ∞.
• A variável x tende para mais infinito ou x → +∞ se para M > 0
arbitrário, a partir de um certo valor, todos os valores consequentes da
variável verificam a desigualdade x > M . Por exemplo, se o valores da
variável x toma os valores x1 = 1; x2 = 2; · · · ; xn = n; · · · , então
x → +∞.
• A variável x tende para menos infinito ou x → −∞ se para M > 0
arbitrário, a partir de um certo valor, todos os valores seguintes da variável
verificam a desigualdade x < −M . Assim, por exemplo, se o valores da
variável x toma os valores x1 = −1; x2 = −2; · · · ; xn = −n; · · · , então
x → −∞.
2.2 Limite de uma Função
Nesta seção vamos ver como surgem os limites quando tentamos encontrar
a tangente a uma curva ou a velocidade de um objeto.
2.2.1 O Problema da Tangente
A palavra tangente vem do latim tangens, que significa “tocando”. Assim,
uma tangente a uma curva é uma reta que toca a curva. Ou seja, uma reta
tangente deve ter a mesma inclinação que a curva no ponto de contato.
Para um ćırculo a tangente é uma reta que intercepta o ćırculo uma única
vez, conforme a Figura 2.2(a). Para as curvas mais complicadas essa definição
é inadequada. A Figura 2.2(b) mostra duas retas, l e t, passando por um ponto
P sobre uma curva C. A reta l intercepta C somente uma vez, mas certamente
não aparenta ser uma reta tangente. A reta t, por outro lado, aparenta ser uma
tangente, mas intercepta C duas vezes.
(a) (b)
t
l
t
P
C
Figura 2.2:
No exemplo a seguir vamos examinar o problema de encontrar uma reta
tangente t à parábola y = x2.
Exemplo 2.1. Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x2 no
ponto P (1, 1).
CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 23
Solução: Se soubermos como encontrar a inclinação m da reta tangente t,
seremos capazes de achar a equação desta reta. A dificuldade está em termos
somente um ponto P , sobre t, e para calcular a inclinação são necessários dois
pontos. Porém, podemos encontrar um valor aproximado de m escolhendo um
ponto próximo Q(x, x2) sobre a parábola (veja a Figura 2.3) e computando a
inclinação mPQ da reta secante PQ.
y = x2
y
0 x
Q(x, x2)
P (1, 1)
t
Figura 2.3:
Vamos escolher x ̸= 1 de forma que Q ̸= P . Então
mPQ =
x2 − 1
x− 1
Por exemplo, para o ponto Q(1, 5; 2, 25), temos
mPQ =
2, 25− 1
1, 5− 1
=
1, 25
0, 5
= 2, 5
As seguintes tabelas mostram os valores de mPQ para vários valores de x, cada
vez mais próximos de 1
x mPQ
2 3
1,5 2,5
1,1 2,1
1,01 2,01
1,001 2,001
x mPQ
0 1
0,5 1,5
0,9 1,9
0,99 1,99
0,999 1,999
CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 24
Quanto mais próximo Q estiver de P , mais próximo x estará de 1, e fica
evidente que mPQ estará mais próximo de 2. Isso sugere que a inclinação da
reta tangente t deva serm = 2. Assim, dizemos que a inclinação da reta tangente
é o limite das inclinações das retas secantes, e expressamos isso simbolicamente
escrevendo que
lim
Q→P
mPQ = m e lim
x→1
x2 − 1
x− 1
= 2
A equação de qualquer reta pode-se escrever como y = mx+ b, onde m é a
inclinação da reta e b é ordenada do ponto na qual a reta cruza o eixo y. Em
nosso casso, a reta tangente t à parábola no ponto (1,1) tem inclinação m = 2,
assim, sua equação fica
y = 2x+ b
como o ponto (1,1) pertence a reta tangente t, então, este ponto deve resolver
a equação da reta t, assim substituindo, obtemos
1 = 2 · 1 + b ⇒ b = −1
Finalmente
y = 2x− 1
é a equação da reta tangente à parábola no ponto (1,1).
Exerćıcio 2.1. [O Problema da Velocidade] Suponha que uma bola é solta
a partir de uma altura de 20 m do solo. Encontre a velocidade da bola após 2
segundos. A lei de Galileu para a queda livre de um objeto é s(t) = 4, 9t2, onde
s(t) é a distância percorrida em metros após t segundos.
2.2.2 O Limite de uma Função
Na seção anterior explicamos como surgem os limites, por exemplo, quando
queremos encontrar as retas tangentes a uma curva, agora vamos voltar nossa
atenção para os limites em geral.
Vamos investigar o comportamento da função f definida por f(x) = x2 + 2
para valores de x próximos de 2. A tabela a seguir fornece os valores de f(x)
para valores de x próximos de 2, mas não iguais a 2.
x f(x) x f(x)
1,0 2,000000 3,0 8,000000
1,5 2,750000 2,5 5,750000
1,8 3,440000 2,2 4,640000
1,9 3,710000 2,1 4,310000
1,99 3,970100 2,01 4,030100
1,999 3,997001 2,001 4,003001
Da tabela e do gráfico de f mostrado na Figura 2.4 vemos que quando
x estiver próximo de 2 (de qualquer lado de 2), f(x) estará próximo de 4. De
fato, é evidente que podemos tornar os valores de f(x) tão próximos de 4 quanto
quisermos tornando x suficientemente próximo de 2. Expressamos isso dizendo
que “o limite da função f(x) = x2 − x + 2 quando x tende a 2 é igual a 4”. A
notação para isso é
lim
x→2
(x2 − x+ 2) = 4
CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 25
0
4
2
y
x
Quando x tende a 2
y = x2 − x + 2
tende a
4
f (x)
Figura 2.4:
Definição 2.3. Escrevemos
lim
x→a
f(x) = L
e dizemos “o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L”, se pudermos
tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L
quanto quisermos), tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os
lados de a) mas não igual a a.
Preste atenção na frase “mas x ̸= a” na definição de limite. Isso significa
que ao procurar o limite de f(x) quando x tende a a nunca consideramos x = a.
Na realidade, f(x) não precisa sequer estar definida quando x = a. A única
coisa que importa é como f está definida próximo de a.
y
x0 a
L
y
x0 a
L
y
x0 a
L
Figura 2.5: lim
x→a
f(x) = L nos três casos
A Figura 2.5 mostra os gráficos de três funções. Note que, na parte direita,
f(a) não está definida e, na parte centro, f(a) ̸= L. Mas em cada caso, não
importando o que acontece em a, lim
x→a
f(x) = L.
Exerćıcio 2.2. Encontre o valor de lim
x→1
x− 1
x2 − 1
.
CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 26
Exerćıcio 2.3. Encontre lim
x→0
senx
x
.
2.2.3 Limites Infinitos
Exemplo 2.2. Encontre se existir o lim
x→0
1
x2
Solução À medida que x se aproxima de 0, x2 também se aproxima de 0, e
1/x2 fica muito grande, como pode ver na seguinte tabela
x 1x2
±1 1
±0, 5 4
±0, 2 25
±0, 1 100
±0, 05 400
±0, 01 10000
±0, 001 1000000
Assim, os valores de f(x) não tendem a um número, e não existe lim
x→0
(1/x2),
e usamos a notação
lim
x→0
(1/x2) = +∞
Isso não significa considerar +∞ com um número. Tampouco significa que o
limite exista. É simplesmente uma maneira de expressar uma forma particular
de não existência do limite.
Exerćıcio 2.4. Encontre se existir o lim
x→0
1
x
2.2.4 Limites Laterais
A função de Heaviside, H, é definida por
H(t) =
{
0 se t < 0
1 se t ≥ 0
Essa função pode ser usada para descrever uma corrente elétrica que é estabe-
lecida em t = 0, seu gráfico está na Figura 2.6.
Quando t tende a 0 pela esquerda, H(t) tende a 0. Quando t tende a 0 pela
direita, H(t) tende a 1. Indicamos essa situação simbolicamente escrevendo
lim
t→0−
H(t) = 0 e lim
t→0+
H(t) = 1
O śımbolo“t → 0−” indica que estamos considerando somente valores de t
menores que 0. Da mesma forma, “t → 0+” indica que estamos considerando
somente valores de t maiores que 0. Não há um número único para o qual H(t)
tende quando t tende a 0. Portanto, lim
t→0
H(t) não existe.
Definição 2.4. Se o limite pela esquerda e o limite pela direita (limites laterais)
são ambos iguais a L, então existe limite e seu valor é L, é dizer, simbolicamente
Se lim
x→a−
f(x) = lim
x→a+
f(x) = L, então lim
x→a
f(x) = L
CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 27
0
1
H
t
Figura 2.6: A função de Heaviside
2.3 Cálculo de Limites
Na seção anterior empregamos gráficos e calculadoras para fazer uma conje-
tura sobre o valor de limites, mas vimos que esses métodos são bastante tediosos.
Nesta seção usaremos as seguintes propriedades dos limites, chamadas leis do
limite, para calculá-los.
Seja c uma constante e suponha que existam os limites
lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x)
Então
(1) lim
x→a
[f(x) + g(x)] = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x)
(2) lim
x→a
[f(x)− g(x)] = lim
x→a
f(x)− lim
x→a
g(x)
(3) lim
x→a
[cf(x)] = c lim
x→a
f(x)
(4) lim
x→a
[f(x) · g(x)] = lim
x→a
f(x) · lim
x→a
g(x)
(5) lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
se lim
x→a
g(x) ̸= 0
Exerćıcio 2.5. Use as leis do limite e o gráfico de f e g na Figura 2.7 para
calcular os seguintes limites, se eles existirem .
(a) lim
x→−2
[f(x) + 5g(x)] (b) lim
x→1
[f(x) · g(x)] (c) lim
x→2
f(x)
g(x)
Usamos a lei (4) (lei do produto) repetidamente com g(x) = f(x) para obter
a seguinte lei:
(6) lim
x→a
[f(x)]n = [ lim
x→a
f(x)]n onde n é um inteiro positivo
Ao aplicar essas seis leis, vamos precisar usar dois limites especiais:
(7) lim
x→a
c = c
CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 28
0
y
x
1
1
g(x)
f (x)
Figura 2.7:
(8) lim
x→a
x = a
Se pusermos agora f(x) = x na lei (6), e usando a lei (8), vamos obter outro
útil limite especial:
(9) lim
x→a
xn = an
Finalmente temos a lei para a ráız n-ésima de uma função:
(10) lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a
f(x) onde n é um inteiro positivo, se n for par,
supomos que lim
x→a
f(x) > 0
Exerćıcio 2.6. Calcule os limites a seguir justificando cada passagem.
(a) lim
x→5
(2x2 − 3x+ 4)
(b) lim
x→−2
x3 + 2x2 − 1
5− 3x
Exerćıcio 2.7. Encontre lim
x→1
x2 − 1
x− 1
.
Exerćıcio 2.8. Mostre que lim
x→0
|x| = 0.
Exerćıcio 2.9. Prove que lim
x→0
|x|
x
não existe.
Teorema 2.1. Se f(x) ≤ g(x) quando x está próximo de a (exceto possivel-
mente em a) e os limites de f e g existem quando x tende a a, então
lim
x→a
f(x) ≤ lim
x→a
g(x)
CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 29
Teorema 2.2. [Teorema do Confronto] Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x
está próximo de a (exceto possivelmente em a) e
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
h(x) = L
então
lim
x→a
g(x) = L
f (x)
g(x)
x0
h(x)
L
a
y
Figura 2.8:
O Teorema de Confronto, algumas vezes chamado Teorema do Sandúıche ou
Teorema da Espremedura, está ilustrado na Figura 2.8. Ele diz que se g(x) ficar
espremido entre f(x) e h(x) nas proximidades de a, e se f e h tiverem o mesmo
limite L em a, então g será forçado a ter o mesmo limite L em a.
Exerćıcio 2.10. Mostre que lim
x→0
x2 sen
1
x
= 0.
2.4 Continuidade
Seja y = f(x) uma função definida para o valor x = x0 e em uma certa
vizinhança de centro x0. Seja y0 = f(x0). Se se dá à variável x um acréscimo
∆x positivo ou negativo, ela fica x0 + ∆x, e a função y sofre igualmente um
acréscimo ∆y. O acréscimo da função é dado pela fórmula
∆y = f(x0 +∆x)− f(x0)
Definição 2.5. A função y = f(x) diz-se cont́ınua para o valor x = x0 (ou
no ponto x = x0) se ela está definida em uma certa vizinhança do ponto x0 (e
igualmente no ponto x0) e se
lim
∆x→0
∆y = 0 (2.1)
ou, o que é o mesmo,
lim
∆x→0
[f(x0 +∆x)− f(x0)] = 0 (2.2)
CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 30
Exerćıcio 2.11. Prove que a função y = x2 é cont́ınua em qualquer ponto x0.
Fazendo x0+∆x = x, temos ∆x = x−x0, logo, se ∆x → 0, então x−x0 → 0,
é dizer x → x0. Utilizando este último resultado a condição de continuidade
(2.1) pode escrever-se como segue:
lim
x→x0
[f(x)− f(x0)] = 0 ⇒ lim
x→x0
f(x)− lim
x→x0
f(x0) = 0
⇒ lim
x→x0
f(x)− f(x0) = 0
por conseguinte
lim
x→x0
f(x) = f(x0) (2.3)
isto é, se a função f(x) é cont́ınua em x0, para encontrar o limite desta função
quando x → x0, basta substituir a variável x na expressão de f(x) pelo seu
valor x0.
Exemplo 2.3. A função y = x2 é cont́ınua em todo ponto x0 e, por con-
sequência,
lim
x→x0
x2 = x20, lim
x→3
= 32 = 9
A equação (2.3) nos leva a uma definição alternativa da continuidade de
funções.
Definição 2.6. Uma função f é cont́ınua em um número a se
lim
x→a
f(x) = f(a)
Note que esta definição implicitamente requer três condições para a conti-
nuidade de f em a:
(1) f(a) está definida (isto é, a está no domı́nio de f)
(2) lim
x→a
f(x) existe
(3) lim
x→a
f(x) = f(a)
Se uma das condições que exige a continuidade não é satisfeita no ponto x = a,
então diz-se descont́ınua no ponto x = a (ponto de descontinuidade da função).
Uma função é dito cont́ınua, se ela é continua em todo seu domı́nio. Geome-
tricamente, você pode pensar em uma função cont́ınua como sendo uma função
cujo gráfico não se quebra, é dizer, o gráfico pode ser desenhado sem remover
sua caneta do papel (veja a Figura 2.9).
Definição 2.7. Uma função f é cont́ınua à direita de um número a se
lim
x→a+
f(x) = f(a)
e f é cont́ınua à esquerda de a se
lim
x→a−
f(x) = f(a)
Exerćıcio 2.12. Determine se a função H(t) de Heaviside é cont́ınua à direita
do número 0, e se é cont́ınua à esquerda de 0.
CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 31
x0
f (a)
a
Quando x tende a a
f (x)
aproxima-se
de f (a)
y = f (x)
y
Figura 2.9:
Definição 2.8. Uma função f é cont́ınua em um intervalo se for cont́ınua
em todos os números do intervalo. Se f for definida somente de um lado do ex-
tremo do intervalo, entendemos continuidade no extremo como continuidade
à direita ou à esquerda.
Exemplo 2.4. Mostre que a função f(x) = 1−
√
1− x2 é cont́ınua no intervalo
[−1, 1].
Solução Se −1 < a < 1, então, usando as leis do limite, temos
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
(
1−
√
1− x2
)
= 1− lim
x→a
√
1− x2
= 1−
√
lim
x→a
(1− x2)
= 1−
√
1− a2
= f(a)
Assim, pela definição 2.6 de continuidade, f é cont́ınua em a se −1 < a < 1.
Cálculos análogos mostram que
lim
x→−1+
f(x) = 1 = f(−1) e lim
x→1−
f(x) = 1 = f(1)
logo, f é cont́ınua à direita em -1 e cont́ınua à esquerda em 1. Consequente-
mente, de acordo com a definição 2.8, f é cont́ınua em [−1, 1].
2.4.1 Propriedades das Funções Cont́ınuas
Teorema 2.3. Toda função cont́ınua no intervalo fechado a ≤ x ≤ b atinge
pelo menos uma vez sobre este intervalo, o seu valor máximo M e o seu valor
mı́nimo m (veja a Figura 2.10).
CAPÍTULO 2. LIMITE E CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES 32
a
M
bx1 x2
M
x
y
y = f (x)
m
Figura 2.10:
y
ba
y = f (x)
c
µ = f (c)
B
A
B
x
A
µ
Figura 2.11:
Teorema 2.4. [Teorema do Valor Intermediário] Seja y = f(x) uma
função cont́ınua sobre o intervalo fechado [a, b]. Se os valores desta função
nas extremidades deste intervalo não são iguais f(a) = A, f(b) = B, então,
qualquer que seja o número µ compreendido entre os números A e B, pode-se
encontrar um ponto x = c compreendido entre a e b tal que f(c) = µ (veja a
Figura 2.11).
Exerćıcio 2.13. Use a definição de continuidade e as leis de limites para provar
que a função é cont́ınua em um dado número.
(a) f(x) = x2 +
√
7− x, a = 4
(b) g(x) = x+12x2−1 , a = 2
Exerćıcio 2.14. Use a definição da continuidade e as leis de limites para mos-
trar que a função é cont́ınua no intervalo dado.
(a) f(x) = 2x+3x−2 , ]2,∞[
(b) g(x) = 2
√
3− x, ]−∞, 3]
Caṕıtulo 3
A Derivada
3.1 Tangentes
Se uma curva C tiver uma equação y= f(x) e quisermos encontrar a tan-
gente a C em um ponto P (a, f(a)), consideramos um ponto vizinho Q(x, f(x)),
onde x ̸= a, e calculamos a inclinação da reta secante PQ:
mPQ =
f(x)− f(a)
x− a
Então fazemos Q aproximar-se de P ao longo da curva C ao obrigar x tender a
a. Se mPQ tender a um número m, então definimos a tangente t como a reta
que passa por P e tem inclinação m. Isso implica dizer que a reta tangente é a
posição limite da reta secante PQ quando Q tende a P (veja a Figura 3.1).
y
x− a
Q(x, f (x))
a x
x0
f (x)− f (a)
P (a, f (a))
y
x0
P
Q
Q
Q
t
Figura 3.1:
Definição 3.1. A reta tangente a uma curva y = f(x) em um ponto P (a, f(a))
é a reta que passa por P e tem a inclinação ou coeficiente angular
m = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
desde que esse limite exista.
33
CAPÍTULO 3. A DERIVADA 34
Exerćıcio 3.1. Encontre o coeficiente angular da reta tangente à parábola y =
x2 nos pontos P1(1, 1) e P2(0, 0).
Há outra expressão para a inclinação da reta tangente, às vezes mais fácil
de ser usada. Seja
h = x− a
Então x = a+ h, logo a inclinação da reta secante PQ é
mPQ =
f(a+ h)− f(a)
h
Veja a Figura 3.2, na qual está ilustrado o caso h > 0 e Q está à direita de P .
No caso de h < 0, o ponto Q estará à esquerda de P .
y
x0
t
a a + h
h
Q(a + h, f (a + h))
P (a, f (a))
f (a + h)− f (a)
Figura 3.2:
Observe que quando x tende a a, h tende a 0 (pois h = x − a); assim, a
expressão para a inclinação da reta tangente fica
m = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
(3.1)
Exerćıcio 3.2. Encontre a inclinação da reta tangente
(a) à hipérbole y = 3/x no ponto (3, 1)
(b) ao gráfico da função f(x) =
√
x no ponto (1, 1)
3.2 Derivadas
Definição 3.2. A derivada de uma função f em um número a, denotada por
f ′(a), é
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
(3.2)
se o limite existe.
CAPÍTULO 3. A DERIVADA 35
Exerćıcio 3.3. Encontre a derivada da função f(x) = x2 − 8x + 9 em um
número a.
Comparando as equaçãoes (3.1) e (3.2), reconhecemos que a derivada de
f em a (f ′(a)) é a inclinação da reta tangente a y = f(x) em (a, f(a)).
3.2.1 Interpretação da Derivada como uma Taxa de Va-
riação
Seja y uma função de x, então escrevemos y = f(x). Se x variar de x1 para
x2, então a variação de x (também chamada incremento de x) é
∆x = x2 − x1
e a variação correspondente de y é
∆y = f(x2)− f(x1)
O quociente de diferenças
∆y
∆x
=
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
é denominado taxa média de variação de y em relação a x no intervalo
[x1, x2]. Fazendo x2 tender a x1 e, portanto, fazendo ∆x tender a 0. O limite
dessa taxa média de variação é chamado taxa (instantânea) de variação de
y em relação a x em x = x1, que é interpretada como a inclinação da tangente
à curva y = f(x) em P (x1, f(x1)), assim
taxa instantânea de variação = lim
∆x→0
∆y
∆x
= lim
x2→x1
f(x2)− f(x1)
x2 − x1
(3.3)
Da equação (3.3) reconhecemos esse limite como sendo a derivada de f em
x1, isto é, f
′(x1). Isso fornece uma segunda interpretação da derivada: A
derivada f ′(a) é a taxa instantânea de variação de y = f(x) em relação
a x quando x = a.
3.3 A Derivada como uma Função
Se substituirmos a na equação (3.2) por uma variável x, obteremos
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
(3.4)
Logo podemos considerar f ′ como uma nova função, chamada derivada de f
e definida pela equação (3.4). Sabemos que o valor de f ′ em x, f ′(x), pode ser
interpretado geometricamente como a inclinação da reta tangente ao gráfico de
f no ponto (x, f(x)).
A função f ′ é denominada derivada de f , pois tem sido “derivada” de f pela
operação limite na equação (3.4). O domı́nio de f ′ é o conjunto {x | f ′(x) existe}
e poderia ser menor que o domı́nio de f .
Exerćıcio 3.4. (a) Se f(x) = x3 − x, encontre uma fórmula para f ′(x).
CAPÍTULO 3. A DERIVADA 36
(b) Ilustre comparando os gráficos de f e f ′.
Exerćıcio 3.5. Se f(x) =
√
x− 1, encontre a derivada de f . Estabeleça o
domı́nio de f ′.
Se usarmos a notação tradicional y = f(x) para indicar que a variável in-
dependente é x, enquanto y é a variável dependente, então, algumas notações
alternativas para a derivada são como segue
f ′(x) = y′ =
dy
dx
=
df
dx
=
d
dx
f(x) = Df(x) = Dxf(x)
Os śımbolos D e d/dx são chamados operadores diferenciais, pois indicam a
operação de diferenciação, que é o processo de cálculo de uma derivada.
O śımbolo dy/dx, introduzido por Leibniz, não deve ser encarado como um
quociente (por ora); trata-se simplesmente de um sinônimo para f ′(x).
Para indicar o valor de uma derivada dy/dx na notação de Leibniz em um
número espećıfico a, usamos a notação
dy
dx
∣∣∣∣
x=a
ou
dy
dx
]
x=a
que é um sinônimo para f ′(a).
Definição 3.3. Uma função f é diferenciável em a se f ′(a) existir. É dife-
renciável em um intervalo aberto ]a, b[ (ou ]a,∞[ ou ]−∞, a[ ou ]−∞,∞[)
se for diferenciável em cada número do intervalo.
Exemplo 3.1. Onde a função f(x) = |x| é diferenciável?
Solução Se x > 0, então |x| = x e podemos escolher h suficientemente pequeno
tal que x+h > 0 e ainda |x+h| = x+h. Consequentemente, para x > 0 temos
f ′(x) = lim
h→0
|x+ h| − |x|
h
= lim
h→0
(x+ h)− x
h
= lim
h→0
h
h
= lim
h→0
1 = 1
assim f é diferenciável para qualquer x > 0.
Analogamente, para x < 0 temos |x| = −x e podemos escolher h suficiente-
mente pequeno tal que x+ h < 0 e, assim, |x+ h| = −(x+ h). Portanto, para
x < 0, temos
f ′(x) = lim
h→0
|x+ h| − |x|
h
= lim
h→0
−(x+ h)− (−x)
h
= lim
h→0
−h
h
= lim
h→0
(−1) = −1
e dessa forma f é diferenciável para qualquer x < 0.
Para x = 0 temos de verificar que f ′(0) existe, assim, calculamos
f ′(0) = lim
h→0
f(0 + h)− f(0)
h
= lim
h→0
|0 + h| − |0|
h
= lim
h→0
|h|
h
CAPÍTULO 3. A DERIVADA 37
vamos calcular o limite esquerdo e o direito
lim
h→0−
−h
h
= lim
h→0
(−1) = −1
lim
h→0+
h
h
= lim
h→0
1 = 1
Uma vez que esses limites são diferentes, f ′(0) não existe. Portanto, f é dife-
renciável para todo x, exceto em 0. Uma fórmula para f ′ é dada por
f ′(x) =
{
1 se x > 0
−1 se x < 0
e seu gráfico está ilustrado na Figura 3.3(b). O fato de que f ′(0) não existe
está refletido geometricamente no fato de que a curva y = |x| não tem uma reta
tangente em (0,0) (veja a Figura 3.3(a)).
y
0 0
-1
1
(a) y = f (x) = |x| (b) y = f ′(x)
y
x x
Figura 3.3:
Teorema 3.1. Se f for diferenciável em a, então f é cont́ınua em a.
Prova Para provar que f é cont́ınua em a, temos de mostrar que lim
x→a
f(x) =
f(a). Se f é diferenciável em a, então existe o limite
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
Dividamos e multipliquemos f(x)− f(a) por x−a (o que pode ser feito quando
x ̸= a):
f(x)− f(a) = f(x)− f(a)
x− a
(x− a)
logo calculando o limite quando x → a, obtemos
lim
x→a
[f(x)− f(a)] = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
(x− a)
= lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
lim
x→a
(x− a)
= f ′(a) · 0 = 0 (3.5)
CAPÍTULO 3. A DERIVADA 38
dado que f ′(a) existe, é dizer tem um único valor finito. Manipulando o resul-
tado (3.5), encontramos
lim
x→a
f(x)− lim
x→a
f(a) = 0
lim
x→a
f(x)− f(a) = 0
lim
x→a
f(x) = f(a)
Consequentemente, f é cont́ınua em a.
NOTA A rećıproca do Teorema 3.1 é falsa, isto é, há funções que são cont́ınuas,
mas não são diferenciáveis. Por exemplo, a função f(x) = |x| é cont́ınua em 0,
pois
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
= 0 = f(0)
Mas no exemplo anterior mostramos que f não é diferenciável em 0.
Exerćıcio 3.6.
(a) Se f(x) =
√
3− 5x, use a definição de derivada para encontrar f ′(x).
(b) Encontre os domı́nios de f e f ′.
(c) Faça os gráficos na mesma tela de f e f ′. Compare os gráficos para ver se
sua resposta da parte (a) é razoável.
3.4 Regras de Diferenciação
Anteriormente usamos a definição de uma derivada para calcular as derivadas
de funções. Mas seria tedioso se sempre usássemos a definição; logo, neste
caṕıtulo apresentaremos regras para encontrar as derivadas sem ter queusar a
definição.
3.4.1 Função Constante
Vamos iniciar com a função mais simples, a função constante, f(x) = c. O
gráfico dessa função é uma reta horizontal, cuja inclinação é 0; logo, devemos
ter f ′(x) = 0, a prova formal disto é
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
c− c
h
= lim
h→0
0 = 0
• Derivada de uma função constante d
dx
(c) = 0
3.4.2 Função Potência
Vamos olhar a função f(x) = xn, onde n é um inteiro positivo. Se n = 1, o
gráfico de f(x) = x é uma reta cuja inclinação é 1, assim
d
dx
(x) = 1
CAPÍTULO 3. A DERIVADA 39
a qual pode-se verificar também usando a definição de derivada. Usando a
definição de derivada é posśıvel determinar
d
dx
(x2) = 2x
d
dx
(x3) = 3x2
d
dx
(x4) = 4x3
• Regra da Potência Se n for um inteiro positivo, então
d
dx
(xn) = nxn−1
O que podemos dizer sobre as funções potências com os expoentes negativos?
Utilizando a definição de derivada encontramos
d
dx
(
1
x
)
= − 1
x2
ou
d
dx
(x−1) = (−1)x−2
logo, a Regra da Potência é também verdadeira quando n = −1. E se o expoente
for uma fração? Usando a definição encontramos
d
dx
√
x =
1
2
√
x
ou
d
dx
(x1/2) =
1
2
x−1/2
Isso mostra que a Regra da Potência é verdadeira também quando n = 12 . Na
realidade, é posśıvel mostrar que ela é verdadeira para todo número real n.
• Regra da Potência (Versão Geral) Se n for um número real qualquer,
então
d
dx
(xn) = nxn−1
Exerćıcio 3.7. Derive
(a) f(x) = 1x2
(b) y =
3
√
x2
• A Regra do Múltiplo Constante Se c for uma constante e f uma
função diferenciável, então
d
dx
[cf(x)] = c
d
dx
f(x)
Exerćıcio 3.8. Determine
(a) ddx (3x
4)
(b) ddx (−x)
• A Regra da Soma Se f e g forem ambas diferenciáveis, então
d
dx
[f(x) + g(x)] =
d
dx
f(x) +
d
dx
g(x)
• Regra da Diferença Se f e g forem ambas diferenciáveis, então
d
dx
[f(x)− g(x)] = d
dx
f(x)− d
dx
g(x)
CAPÍTULO 3. A DERIVADA 40
Exerćıcio 3.9. Determine ddx (x
8 + 12x5 − 4x4 + 10x3 − 6x+ 5)
Exerćıcio 3.10. Ache os pontos sobre a curva y = x4 − 6x2 + 4 onde a reta
tangente é horizontal.
• Derivada da Exponencial Natural
d
dx
(ex) = ex
sua derivada é ela mesma. O significado geométrico desse fato é que a
inclinação da reta tangente à curva y = ex no ponto P é igual à coordenada
y do ponto P .
Exerćıcio 3.11. Se f(x) = 3ex − 2x, ache f ′(x).
3.5 As Regras do Produto e do Quociente
• A Regra do Produto Se f e g forem diferenciáveis, então
d
dx
[f(x)g(x)] = g(x)
d
dx
[f(x)] + f(x)
d
dx
[g(x)]
Em palavras, a derivada de um produto de duas funções é a segunda função
vezes a derivada da primeira função mais a primeira função vezes a deri-
vada da segunda função.
Exerćıcio 3.12.
(a) Se f(x) = xex, encontre f ′(x).
(b) Se f(t) =
√
t(1− t), encontre f ′(t).
• A Regra do Quociente Se f e g forem diferenciáveis, então
d
dx
[
f(x)
g(x)
]
=
g(x) ddx [f(x)]− f(x)
d
dx [g(x)]
[g(x)]2
Em palavras, a derivada de um quociente é o denominador vezes a deri-
vada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador,
todos divididos pelo quadrado do denominador.
Exerćıcio 3.13. Seja y = x
2+x−2
x3+6 , encontre y
′.
3.6 Derivada de Funções Trigonométricas
• Função Seno
d
dx
(senx) = cosx
Exerćıcio 3.14. Derive y = x2senx.
CAPÍTULO 3. A DERIVADA 41
• Função Cosseno
d
dx
(cosx) = −senx
Exerćıcio 3.15. Determine
(a) ddx (tg x)
(b) ddx (cotg x)
(c) ddx (cossecx)
(d) ddx (secx)
Exerćıcio 3.16. Derive
(a) f(x) = sec x1+tg x .
(b) f(x) = x− 3 senx
(c) y = xcos x
(d) f(θ) = sec θ1+sec θ
3.7 Regra da Cadeia
Se f e g forem diferenciáveis e F = f ◦ g for a função composta definida por
F (x) = f(g(x)), então F é diferenciável e F ′ é dada pelo produto
F ′(x) = f ′(g(x))g′(x)
Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) forem funções diferenciáveis,
então
dy
dx
=
dy
du
du
dx
Exerćıcio 3.17. Derive a função F (x) =
√
x2 + 1.
Exerćıcio 3.18. Derive
(a) y = sen (x2)
(b) y = sen2 x
(c) y = (x3 − 1)100
(d) y =
(
t−2
2t+1
)9
Lembre-se que a = eln a, logo
ax = (eln a)x = e(ln a)x
e a Regra da Cadeia dá
d
dx
(ax) =
d
dx
[
e(ln a)x
]
= e(ln a)x
d
dx
[(ln a)x]
= e(ln a)x · ln a = ax ln a
CAPÍTULO 3. A DERIVADA 42
dado que ln a é uma constante. Portanto, obtemos a fórmula
d
dx
(ax) = ax ln a
Em particular, se a = 2, obtemos
d
dx
(2x) = 2x ln 2
3.8 Derivadas Superiores
Se f for uma função diferenciável, então sua derivada f ′ é também uma
função, logo f ′ poderia ter sua própria derivada, denotada por (f ′)′ = f ′′.
Essa nova função f ′′ é chamada derivada segunda de f , pois é a derivada da
derivada de f . Usando a notação de Leibniz escrevemos a derivada segunda de
y = f(x) como
d
dx
(
dy
dx
)
=
d2y
dx2
Outra notação é D2f(x).
Exerćıcio 3.19. Se f(x) = x cosx, encontre f ′′(x).
Podemos interpretar uma derivada segunda como uma taxa de variação da
taxa de variação, geometricamente é a taxa de variação da inclinação da curva
y = f(x), ou é a inclinação da curva y = f ′(x).
A derivada terceira f ′′′ é a derivada da derivada segunda: f ′′′ = (f ′′)′.
Logo f ′′′(x) pode ser interpretada como a inclinação da curva y = f ′′(x), ou
como a taxa de variação de f ′′(x). Se y = f(x), então as notações alternativas
para a derivada terceira são
y′′′ = f ′′′(x) =
d
dx
(
d2y
dx2
)
=
d3y
dx3
= D3f(x)
O processo pode ser continuado. A derivada quarta f ′′′′ é geralmente denotada
por f (4). Em geral, a derivada n-ésima de f é denotada por f (n) e é obtida de
f diferenciando n vezes. Se y = f(x), escrevemos
y(n) = f (n)(x) =
dny
dxn
= Dnf(x)
Exerćıcio 3.20. Determine y′, y′′, e y′′′ se
(a) y = x3 − 6x2 − 5x+ 3
(b) y = θ sen θ
3.9 Derivada de Funções Logaŕıtmicas
• Derivada de uma função logaŕıtmica
d
dx
(loga x) =
1
x ln a
(x > 0)
CAPÍTULO 3. A DERIVADA 43
• Se a = e, obtemos a derivada do logaritmo natural (logaritmo com base
e)
d
dx
(lnx) =
1
x
(x > 0)
Exerćıcio 3.21. Diferencie y = ln(x3 + 1).
Exerćıcio 3.22. Encontre f ′(x) se f(x) = ln |x|. Rpta: ddx ln |x| =
1
x para
qualquer x diferente de zero.
Exerćıcio 3.23. Encontre y′ e y′′ se
(a) y = x lnx
(b) y = ln xx2
3.9.1 Diferenciais
Se y = f(x), onde f é uma função diferenciável, então a diferencial dx é
uma variável independente; isto é, a dx pode ser dado um valor real qualquer.
A diferencial dy é então definida em termos de dx pela equação
dy = f ′(x)dx
Assim dy é uma variável dependente; ela depende dos valores de x e dx. Se a
dx for dado um valor espećıfico e x for algum número espećıfico no domı́nio de
f , então o valor numérico de ∆y está determinado.
dy
y = f (x)
x +∆xx
dx = ∆x
S
∆y
x
R
Q
P
0
y
Figura 3.4:
O significado geométrico de diferenciais está na Figura 3.4. Seja P (x, f(x))
e Q(x + ∆x, f(x + ∆x)) pontos sobre o gráfico de f e façamos dx = ∆x. A
variação correspondente em y é
∆y = f(x+∆x)− f(x)
A inclinação da reta tangente PR é a derivada f ′(x). Assim, a distância direta
de S a R é f ′(x)dx = dy. Consequentemente, dy representa a distância que a
reta tangente sobe ou desce, enquanto ∆y representa a distância que a curva
y = f(x) sobe ou desce quando x varia por uma quantidade dx.
Exerćıcio 3.24. Compare os valores de ∆y e dy se y = x3 + x2 − 2x + 1 e x
varia (a) de 2 para 2,05 e (b) de 2 para 2,01.
Caṕıtulo 4
A Integral
Um engenheiro que pode medir a taxa de variação segundo a qual a água
está escoando de um tanque quer saber a quantidade escoada durante um certo
peŕıodo. Neste caso, o problema é encontrar uma função F cuja derivada é uma
função conhecida f . Se a função F existir, ela é chamada antiderivada de f .
4.1 Antiderivadas
Definição 4.1. Uma função F é denominada uma antiderivada de f sobre
um intervalo I se F ′(x) = f(x) para todo x em I.
Por exemplo, seja f(x) = x2. Não é dif́ıcil descobrir uma antiderivada de
f se mantivermos a Regrada Potência em mente. De fato, se F (x) = 13x
3,
então F ′(x) = x2 = f(x). Mas a função G(x) = 13x
3 + 100 também satisfaz
G′(x) = x2. Consequentemente, F e G são antiderivadas de f . Na verdade,
qualquer função da forma H(x) = 13x
3 + C, onde C é uma constante, é uma
antiderivada de f .
Teorema 4.1. Se F (x) for uma antiderivada de f(x) em um intervalo I, então
a antiderivada mais geral de f em I é
F (x) + C
onde C é uma constante arbitrária.
Voltando à função f(x) = x2, vemos que a antiderivada geral de f é x3/3+C.
Atribuindo os valores espećıficos para a constante C obtemos uma famı́lia de
funções cujos gráficos são verticais transladados uns de outros (veja a Figura
4.1).
Exerćıcio 4.1. Encontre uma antiderivada mais geral de cada uma das seguin-
tes funções.
(a) f(x) = senx
(b) f(x) = 1/x
(c) f(x) = xn, para n ̸= −1
44
CAPÍTULO 4. A INTEGRAL 45
0
x
y
y = x
3
3 − 1
y = x
3
3
y = x
3
3 + 1
y = x
3
3 + 2
Figura 4.1: Membros da famı́lia de antiderivadas de f(x) = x2
A seguinte tabela lista algumas antiderivadas particulares. Cada fórmula
na tabela é verdadeira, pois a derivada da função na coluna direita aparece na
coluna esquerda.
Função Antiderivada particular
cf(x) cF (x)
f(x) + g(x) F (x) +G(x)
xn (n ̸= −1) x
n+1
n+1
1/x ln |x|
ex ex
cosx senx
senx − cosx
sec2 x tgx
secx tgx secx
Exerćıcio 4.2. Encontre todas as funções g tal que
g′(x) = 4 senx+
2x5 −
√
x
x
Exerćıcio 4.3. Encontre f se f ′(x) = ex + 20x3 e f(0) = 2.
4.2 O Problema da Área
Seja S a região limitada pelo gráfico de uma função f (onde f(x) ≥ 0), pelas
retas verticais x = a e x = b, e pelo eixo x (veja a Figura 4.2).
Para um retângulo a área é definida como o produto do comprimento e da
largura. A área de um triângulo é a metade da base vezes a altura. A área de um
poĺıgono pode ser encontrada dividindo-o em triângulos e a seguir somando-se
as áreas dos triângulos. Porém, não é tão facil, encontrar a área de uma região
com lados curvos.
CAPÍTULO 4. A INTEGRAL 46
y = f (x)
S
x = b
b
x0
x = a
a
y
Figura 4.2: S = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
Como exemplo, vamos usar retângulos para estimar a área sob a parábola
y = x2 de 0 até 1 (a região parabólica S ilustrada na Figura 4.3).
y
x
(1,1)
S
1
x = 1
y = x2
0
1
Figura 4.3:
Notamos primeiro que a área de S deve estar em algum valor entre 0 e 1, pois
S está contida em um quadrado com comprimento de lado 1, mas certamente
podemos melhorar isso. Suponha que S seja dividida em quatro faixas S1, S2,
S3 e S4, traçando as retas verticais x =
1
4 , x =
1
2 e x =
3
4 como na Figura 4.4(a).
Podemos aproximar cada faixa por um retângulo com base igual à largura
da faixa e altura igual ao lado direito da faixa (veja a Figura 4.4(b)). Em outras
palavras, as alturas desses retângulos são os valores da função f(x) = x2 nos
extremos direitos dos subintervalos [0, 14 ], [
1
4 ,
1
2 ], [
1
2 ,
3
4 ], [
3
4 , 1].
Cada um dos retângulos tem largura 14 e as alturas são
(
1
4
)2
,
(
1
2
)2
,
(
3
4
)2
e 12.
Se chamarmos R4 a soma das áreas desses retângulos aproximantes, obteremos
R4 =
1
4
·
(
1
4
)2
+
1
4
·
(
1
2
)2
+
1
4
·
(
3
4
)2
+
1
4
· 12 = 15
32
= 0, 46875
CAPÍTULO 4. A INTEGRAL 47
(1,1) (1,1)
S2
S4
S3S1
y = x2
yy
x x
1
4
1
2
3
4 10 0
(a) (b)
1
4
1
2
3
4
1
Figura 4.4:
Da Figura 4.4(b) vemos que a área A de S é menor do que R4, logo
A < 0, 46875
Em vez de usar os retângulos na Figura 4.4(b) podemos usar os retângulos
menores na Figura 4.5, cujas alturas são os valores de f nos extremos esquerdos
dos subintervalos (o retângulo mais à esquerda desapareceu, pois sua altura é
0). A soma das áreas desses retângulos aproximantes é
L4 =
1
4
· 02 + 1
4
·
(
1
4
)2
+
1
4
·
(
1
2
)2
+
1
4
·
(
3
4
)2
=
7
32
= 0, 21875
(1,1)
y
x0 14
1
2
3
4
1
y = x2
Figura 4.5:
CAPÍTULO 4. A INTEGRAL 48
A partir da Figura 4.5 notamos que a área de S é maior que L4; assim, temos
estimativas inferior e superior para A:
0, 21875 < A < 0, 46875
Podemos repetir esse procedimento com um número maior de faixas, e assim
obter melhores estimativas. A seguinte tabela mostra os resultados de cálculos
similares (com um computador) usando n retângulos cujas alturas são encon-
tradas com os extremos esquerdos (Ln) ou com os extremos direitos (Rn).
n Ln Rn
10 0,2850000 0,3850000
20 0,3087500 0,3587500
50 0,3234000 0,3434000
100 0,3283500 0,3383500
1000 0,3328335 0,3338335
Em particular vemos que usando 50 faixas a área está entre 0,3234 e 0,3434.
Com 1000 faixas conseguimos estreitar a desigualdade ainda mais: A está en-
tre 0,3328335 e 0,3338335. Uma boa estimativa é obtida fazendo-se a média
aritmética desses números: A ≈ 0, 3333335.
Dos valores na tabela parece que Rn aproxima-se de
1
3 à medida que aumen-
tamos n. Isto é confirmado calculando o limite lim
n→∞
Rn, que resulta sendo igual
a 1/3.
Exemplo 4.1. Para a região S da Figura 4.3, mostre que a soma das áreas dos
retângulos aproximantes superiores tende a 13 , isto é
lim
n→∞
Rn =
1
3
Solução Rn é a soma das áreas dos n retângulos. Cada retângulo dever ter
uma largura 1/n, e as alturas são os valores da função f(x) = x2 nos pontos
1/n, 2/n, 3/n, ..., n/n: isto é, as alturas são (1/n)2, (2/n)2, (3/n)2, ..., (n/n)2.
Assim
Rn =
1
n
(
1
n
)2
+
1
n
(
2
n
)2
+
1
n
(
3
n
)2
+ · · ·+ 1
n
(n
n
)2
=
1
n
· 1
n2
· (12 + 22 + 32 + · · ·+ n2)
=
1
n3
(12 + 22 + 32 + · · ·+ n2)
=
1
n3
· n(n+ 1)(2n+ 1)
6
=
(n+ 1)(2n+ 1)
6n2
onde usamos a fórmula para a soma dos quadrados dos n primeiros inteiros
positivos:
12 + 22 + 32 + · · ·+ n2 = n(n+ 1)(2n+ 1)
6
CAPÍTULO 4. A INTEGRAL 49
Logo temos
lim
n→∞
Rn = lim
n→∞
(n+ 1)(2n+ 1)
6n2
= lim
n→∞
1
6
(
n+ 1
n
)(
2n+ 1
n
)
= lim
n→∞
1
6
(
1 +
1
n
)(
2 +
1
n
)
= lim
n→∞
1
6
· lim
n→∞
(
1 +
1
n
)
· lim
n→∞
(
2 +
1
n
)
=
1
6
· 1 · 2 = 1
3
Pode ser mostrado que as somas aproximantes inferiores também tendem a
1
3 , isto é
lim
n→∞
Ln =
1
3
Portanto definimos a área A como o limite das somas das áreas dos retângulos
aproximantes, isto é
A = lim
n→∞
Rn = lim
n→∞
Ln =
1
3
Podemos aplicar a mesma idéia anterior para regiões mais gerais, por exem-
plo, a região S da Figura 4.6. Começamos por subdividir S em n faixas S1, S2,
..., Sn de igual largura, como na Figura 4.6. A largura do intervalo [a, b] é b−a;
assim, a largura de cada uma das n faixas é
∆x =
b− a
n
x
x10 ba xi−1 xi xn−1
y = f (x)
y
x2 · · ·· · ·
S1
S2
Si
Sn
Figura 4.6:
Essas faixas dividem o intervalo [a, b] em n subintervalos
[x0, x1], [x1, x2], · · · , [xn−1, xn]
onde x0 = a e xn = b. Os extremos direitos dos subintervalos são
x1 = a+∆x, x2 = a+ 2∆x, · · ·
CAPÍTULO 4. A INTEGRAL 50
Vamos aproximar a i-ésima faixa Si por um retângulo com largura ∆x e
altura f(xi), que é o valor de f nos extremos direitos dos subintervalos (veja
a Figura 4.7). Então a área do i-ésimo retângulo é f(xi)∆x. O que pensa-
mos intuitivamente como a área de S é aproximado pela soma das áreas desses
retângulos, que é Rn = f(x1)∆x+ f(x2)∆x+ · · ·+ f(xn)∆x
x
x10 ba xi−1 xi xn−1
y
x2 · · ·· · ·
∆x
y = f (x)
Si
f (xi)
Figura 4.7:
No anterior exemplo, mostramos que essa aproximação aparenta tornar-se
cada vez melhor à medida que aumentamos o número de faixas, isto é, quando
n → ∞. Portanto, vamos definir a área A da região S da seguinte forma.
Definição 4.2. A área A da região S que está sob o gráfico de uma função
cont́ınua f é o limite das somas das áreas dos retângulos aproximantes:
A = lim
n→∞
Rn = lim
n→∞
[f(x1)∆x+ f(x2)∆x+ · · ·+ f(xn)∆x]
x
x10 ba
y
x2
y = f (x)
xi
∆x
x∗1 x
∗
2
x∗nx∗i
f (x∗i )
xi−1 xn−1
Figura 4.8:
Pode ser provado que o limite na definição anterior sempre existe, uma vez
que estamos supongo que f seja cont́ınua. Pode também ser provado que obte-
remos o mesmo valor se usarmosos extremos esquerdos dos subintervalos:
A = lim
n→∞
Ln = lim
n→∞
[f(x0)∆x+ f(x1)∆x+ · · ·+ f(xn−1)∆x]
CAPÍTULO 4. A INTEGRAL 51
De fato, em vez de usar os extremos esquerdo ou direito, podemos tomar
a altura do i-ésimo retângulo como o valor de f em qualquer número x∗i no
i-ésimo subintervalo [xi−1, xi]. Chamamos os números x
∗
1, x
∗
2, ..., x
∗
n de pontos
amostrais. A Figura 4.8 mostra os retângulos aproximantes quando os pontos
amostrais não foram escolhidos como os extremos. Logo uma expressão mais
geral para a área de S é
A = lim
n→∞
[f(x∗1)∆x+ f(x
∗
2)∆x+ · · ·+ f(x∗n)∆x] = lim
n→∞
n∑
i=1
f(x∗i )∆x
onde usamos a notação somatória (notação sigma) para escrever a soma
de muitos termos de maneira mais compacta.
4.3 A Integral Definida
Vimos na seção anterior que um limite da forma
lim
n→∞
n∑
i=1
f(x∗i )∆x = lim
n→∞
[f(x∗1)∆x+ f(x
∗
2)∆x+ · · ·+ f(x∗n)∆x]
aparece quando computamos uma área. Resulta que esse mesmo tipo de limite
ocorre em uma grande variedade de situações mesmo quando f não é necessari-
amente uma função positiva, por exemplo, quando tentamos achar a distância
percorrida por um objeto, ou quando queremos encontrar o comprimento de
curvas, volumes de sólidos, centros de massas, etc. Daremos, portanto, a esse
tipo de limite um nome e notação especial.
Definição 4.3. [Definição de Integral Definida] Se f é uma função cont́ınua
definida para a ≤ x ≤ b, dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos de com-
primentos iguais ∆x = (b − a)/n. Seja x0 (= a), x1, x2, ..., xn (= b) os ex-
tremos desses subintervalos e vamos escolher os pontos amostrais x∗1, x
∗
2, ...,
x∗n nesses subintervalos de forma que x
∗
i está no i-ésimo subintervalo [xi−1, xi].
Então a integral definida de f de a até b é∫ b
a
f(x)dx = lim
n→∞
n∑
i=1
f(x∗i )∆x
• A soma
n∑
i=1
f(x∗i )∆x é chamada soma de Riemann, em homenagem ao
matemático Bernhard Riemann (1826-1866).
• O śımbolo
∫
foi introduzido por Leibniz e é denominado sinal de integral.
Ele é um S alongado e foi assim escolhido porque uma integral é um limite
de somas.
• Na notação
∫ b
a
f(x)dx, f(x) é chamado integrando, a e b são ditos li-
mites de integração, a é o limite inferior, b é o limite superior, e o
śımbolo dx por si só não tem um significado oficial;
∫ b
a
f(x)dx é todo um
śımbolo.
• O processo de calcular uma integral é conhecido como integração.
CAPÍTULO 4. A INTEGRAL 52
4.3.1 Propriedades da Integral Definida
Quando definimos a integral definida
∫ b
a
f(x)dx, implicitamente assumimos
que a < b. Mas a definição como o limite de somas de Riemann faz sentido
mesmo que a > b. Observe que se invertermos a e b, então ∆x mudará de
(b− a)/n para (a− b)/n, e como (a− b)/n = −(b− a)/n, então∫ a
b
f(x)dx = −
∫ b
a
f(x)dx
Se a = b, então ∆x = 0, e ∫ a
a
f(x)dx = 0
Vamos desenvolver agora algumas propriedades básicas das integrais que nos
ajudarão a calcular as integrais de uma forma mais simples. Vamos supor que
f e g sejam funções cont́ınuas.
(1)
∫ b
a
cdx = c(b− a), onde c é qualquer constante
(2)
∫ b
a
[f(x) + g(x)]dx =
∫ b
a
f(x)dx+
∫ b
a
g(x)dx
(3)
∫ b
a
cf(x)dx = c
∫ b
a
f(x)dx, onde c é qualquer constante
(4)
∫ b
a
[f(x)− g(x)]dx =
∫ b
a
f(x)dx−
∫ b
a
g(x)dx
(5)
∫ c
a
f(x)dx+
∫ b
c
f(x)dx =
∫ b
a
f(x)dx
Exerćıcio 4.4. Use as propriedades das integrais para calcular
∫ 1
0
(4 + 3x2)dx.
Exerćıcio 4.5. Se
∫ 10
0
f(x)dx = 17 e
∫ 8
0
f(x)dx = 12, ache
∫ 10
8
f(x)dx
As propriedades a seguir, nas quais comparamos os tamanhos de funções e
os de integrais, são verdadeiras somente se a ≤ b.
(6) Se f(x) ≥ 0 para a ≤ x ≤ b, então
∫ b
a
f(x)dx ≥ 0
(7) Se f(x) ≥ g(x) para a ≤ x ≤ b, então
∫ b
a
f(x)dx ≥
∫ b
a
g(x)dx
(8) Se m ≤ f(x) ≤ M para a ≤ x ≤ b, então
m(b− a) ≤
∫ b
a
f(x)dx ≤ M(b− a)
Teorema 4.2. [Teorema da média] Sendo a função f(x) cont́ınua sobre o
segmento [a, b], existe sobre este segmento um ponto ϵ tal que se tem:∫ b
a
f(x)dx = (b− a)f(ϵ)
CAPÍTULO 4. A INTEGRAL 53
4.3.2 O Teorema Fundamental do Cálculo
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma conexão entre os dois
ramos do cálculo: o cálculo diferencial e o cálculo integral.
Teorema 4.3. [Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1] Se f for
cont́ınua em [a, b], então a função g definida por
g(x) =
∫ x
a
f(t)dt a ≤ x ≤ b
é cont́ınua em [a, b] e diferenciável em ]a, b[ e g′(x) = f(x).
Xy = f (t)
g(x)
x ϵ x +∆x
f (ϵ)
t
y
∆g
a
A
Figura 4.9:
Prova Dando à variável x um acréscimo arbitrário ∆x positivo ou negativo,
tem-se (tendo em atenção a propriedade (5) da integral definida)
g(x+∆x) =
∫ x+∆x
a
f(t)dt =
∫ x
a
f(t)dt+
∫ x+∆x
x
f(t)dt
assim, o acréscimo da função g(x) é
∆g = g(x+∆x)− g(x) =
∫ x
a
f(t)dt+
∫ x+∆x
x
f(t)dt−
∫ x
a
f(t)dt
=
∫ x+∆x
x
f(t)dt
Apliquemos a este último integral o Teorema da média (veja a Figura 4.9),
então
∆g = f(ϵ)(x+∆x− x) = f(ϵ)∆x
em que ϵ está compreendido entre x e x + ∆x. Formemos o quociente do
acréscimo da função pelo acréscimo da variável:
∆g
∆x
=
f(ϵ)∆x
∆x
= f(ϵ)
CAPÍTULO 4. A INTEGRAL 54
logo, fazendo o limite ∆x → 0, escrevemos
g′(x) = lim
∆x→0
∆g
∆x
= lim
∆x→0
f(ϵ)
Mas como ϵ → x quando ∆x → 0, tem-se
lim
∆x→0
f(ϵ) = lim
ϵ→x
f(ϵ)
e como f(x) é cont́ınua, obtemos
lim
ϵ→x
f(ϵ) = f(x)
Assim, tem-se, g′(x) = f(x) e o teorema está provado.
Exerćıcio 4.6. Ache a derivada da função g(x) =
∫ x
0
√
1 + t2dt.
Exerćıcio 4.7. Ache ddx
∫ x4
1
sec tdt.
Teorema 4.4. [Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2] Se f for
cont́ınua em [a, b], então ∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a)
onde F é qualquer antiderivada de f , isto é, uma função tal que F ′(x) = f(x).
Prova Seja F (x) uma antiderivada de f(x). Segundo o Teorema Fundamental
do Cálculo, Parte 1, a função
∫ x
a
f(t)dt é também uma antiderivada de f(x).
Ora, duas antiderivadas arbitrárias de uma dada função diferem por uma cons-
tante C∗. Pode-se escrever, por conseguinte∫ x
a
f(t)dt = F (x) + C∗
Sendo C∗ adequadamente escolhido, esta igualdade é verdadeira para todos
os x; é, então, uma identidade. Para determinar a constante C∗, façamos nesta
identidade x = a, então, ∫ a
a
f(t)dt = F (a) + C∗
ou
0 = F (a) + C∗ ⇒ C∗ = −F (a)
Por conseguinte ∫ x
a
f(t)dt = F (x)− F (a)
fazendo x = b, obtém-se a fórmula de Newton-Leibniz:∫ b
a
f(t)dt = F (b)− F (a)
CAPÍTULO 4. A INTEGRAL 55
ou, voltando à variável de integração x, obtemos∫ b
a
f(x)dx = F (b)− F (a)
Note que a diferença F (b)−F (a) não depende da escolha da antiderivada F ,
porque todas as antiderivadas se distinguem umas das outras por uma constante
que desaparece na substração. Introduzindo a notação
F (b)− F (a) = F (x)|ba
pode-se pôr a fórmula de Newton-Leibniz sob a forma∫ b
a
f(x)dx = F (x)|ba
A Parte 2 do Teorema Fundamental estabelece que se conhecermos uma an-
tiderivada F (x) de f(x), então podemos calcular
∫ b
a
f(x)dx simplesmente sub-
traindo os valores de F nos extremos do intervalo [a, b]. É muito surpreendente
que
∫ b
a
f(x)dx, definida por um procedimento complicado envolvendo todos os
valores de f(x) para a ≤ x ≤ b, pode ser encontrado sabendo-se os valores de
F (x) em somente dois pontos, a e b.
Exerćıcio 4.8. Calcule a integral
(a)
∫ 1
0
x2dx
(b)
∫ 3
1
exdx
(c)
∫ 6
3
dx
x
Exerćıcio 4.9. Ache a área sob a curva y = cosx de 0 até b, onde 0 ≤ b ≤ π/2.
4.4 Integrais Indefinidas
Vimos na seção anterior que a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo
fornece um método muito poderoso para computar a integral definida de uma
função, desde que possamos encontrar uma antiderivada da função. Nesta seção
vamos introduzir uma notação para antiderivadas, rever as fórmulas para as
antiderivadas e então usá-las para computar as integrais definidas.
Em virtude da relação dada pelo Teorema Fundamental entre as antideri-
vadas e as integrais, a notação
∫
f(x)dx é tradicionalmente usada para uma
antiderivada