Física Geral A apostila

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05/03/2018
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Física Geral A Livro texto base: HALLIDAY, RESNICK, WALKER, vol. 1, 4ª Ed.
UNIDADE 1 – MEDIÇÃO
1.1 – Sistema Internacional de Unidades (SI).
1.2 – Mudança de unidades.
UNIDADE 2 – VETORES
2.1 – Vetores e escalares.
2.2 – Componentes de vetores.
2.3– Vetores unitários.
2.4 – Multiplicação de vetores
UNIDADE 3 – MOVIMENTO RETILINEO
3.1 – Movimento.
3.2 – Posição e deslocamento.
3.3 – Velocidade e aceleração.
3.5 – Queda livre.
UNIDADE 4 – MOVIMENTO EM DUAS 
E TRÊS DIMENSÕES
4.1 – Movimento em duas e três dimensões.
4.2 – Posição e deslocamento.
4.3 – Velocidade e aceleração.
4.5 – Movimento de projeteis.
4.6 – Movimento circular uniforme.
UNIDADE 5 – FORÇA E MOVIMENTO
5.1 – Leis de Newton
5.2 – Força.
5.3 – Aplicações das leis de Newton.
5.4 – Atrito.
UNIDADE 6 – TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
6.1 – Trabalho de uma força constante
6.2 – Trabalho de uma força variável.
6.3 – Lei de Hook.
6.4 – Energia cinética.
6.5 – Potência. 
6.6 – Teorema trabalho-energia cinética.
UNIDADE 7 – CONSERVAÇÃO DE ENERGIA
7.1 – Trabalho e energia potencial.
7.2 – Energia mecânica
7.3 – Conservação de energia.
7.4 – Trabalho realizado pela força de atrito
UNIDADE 8 – SISTEMA DE PARTÍCULAS
8.1 – Centro de massa.
8.2 – Momento linear.
8.3 – Conservação do momento linear
UNIDADE 9 – COLISÕES
9.1 – Colisões, Impulso e momento linear.
9.2 – Colisões elásticas e inelásticas.
UNIDADE 10 – ROTAÇÕES
10.1 – As variáveis da rotação.
10.2 – Variáveis lineares e angulares.
10.3 – Energia cinética de rotação. 
10.4 – Torque e momento de inércia.
10.5 – Momento Angular.
10.6 – Conservação do momento angular.
Outros livros: Tipler vol.1
Resnick, Halliday, Walker, vol. 1
Francis Sears, Mark W. Zemansky, Hugh D. Young,vol. 1
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Sistema de avaliação:
3 Notas = 3 provas
Nota 1= Prova 1 (8,0) + Trabalho 1 (2,0)
Nota 3= Prova 3 (8,0) + Trabalho 3 (2,0)
DATAS DAS PROVAS:
Média para passar sem exame 7,0 e Média par ir para o 
exame 5,0.
Prova 1 = 02/04/2018
Prova 2 = 07/05/2018
Prova 3 = 25/06/2018 
Provas atrasadas = 02/07/2018
EXAME = 09/07/2018
Duvidas extra classe : prédio 7 sala 7102
3
Nota 2= Prova 2 (8,0) + Trabalho 2 (2,0)
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1) Sistemas de Unidades:
a) Sistema Internacional (SI): 
Comprimento > metro (m)
Tempo > segundo (s)
Massa > quilograma (kg)
b) Sistema CGS: 
Comprimento > centímetro (cm)
Tempo > segundo (s)
Massa > grama (g)
c) Sistema Inglês: 
Comprimento > pé (ft)
Tempo > segundo (s)
Massa > libra (lb)
Relações
1m 100cm
1kg 1000g
1cm 10mm
1ft 0,3048m
1lb 0,4536kg
Unidades Fundamentais do SI
5
2) Notação Cientifica:
O objetivo principal é simplificar o uso de números muitos grandes ou muito 
pequenos e de preferência expressar o valor entre “1,....” e “9,...”.
Por exemplo:
14500000m
0,0000000345m
14,5Mm614,5 10 m
934,5 10 m
71, 45 10 m 
83,45 10 m 
6
34,5݊݉
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3) Algarismos Significativos:
São aqueles algarismo que tem significado em relação a determinada medida.
27, 4 / 27,3 / 27,5 / 27, 45
27, 4 27,3 27,5 27, 45 109,65 27,4125
4 4
cm    
“Os algarismos significativos de uma medida são todos aqueles que você 
consegue ler com certeza mais um duvidoso.”
27,4cm
certos
Duvidoso
7
4) Conversão de Unidades:
Usamos a conversão de unidades para determinadas equações terem 
coerência dimensional.
Como se transforma de km/h m/s? 3,6 ou 3,6 Vem da onde este número?
Exemplos:
36 km
h

100036 . .
3600
km m h
h km s
10 m
s

360010 . .
1000
m km s
s m h
36 10
3,6
m
s 
10(3,6) 36km kmh h 
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9Exercícios:
5) Introdução a vetores:
a) Grandeza Vetorial: grandeza que pode ser representada por um vetor, ou seja, 
pode ser caracterizada por um módulo , uma direção e um sentido (necessário).
Ex: ⃗ݒ, 	ܽ, 	 ⃗ܨ	, etc.
b) Grandeza Escalar: grandeza a qual não podemos (e não precisamos) associar 
ao seu módulo uma direção e um sentido.
Ex: massa, pressão, tempo, temperatura, etc.
c) Componentes de um vetor (cos, sen e tg):
x
y
ࢇ࢞
ࢇ࢟
cosxa a 
ܽ⃗
 
ܽ
senya a 
. .
. .
c otg
c a
 
. .cos
.
c a
hipot
 
.o.
.
csen
hipot
 
d) Teorema de Pitágoras:
2 2 2h co ca 
2 2 2
x ya a a  2 2x ya a a 
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5) Produto entre Vetores:
a) Produto Escalar: é o produto entre 2 vetores e resulta num escalar.
b) Produto vetorial: é o produto entre 2 vetores e resulta num terceiro vetor, 
perpendicular ao plano do 2 primeiros.
• O produto vetorial é anticomutativo.
cosA bc 
MóduloDenota o produto escalar
A BCsen
Módulo
Denota o produto escalar
Ex: 
• Regra da mão direita.
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ܤ 	 ȉ 	 ⃗ܥ = ܣ
W=⃗ܨ 	 ȉ 	 ⃗ݔ = F	x	cosθ
ܤܺܥ	 = ⃗ܥ
ܧݔ: ߬⃗ = ⃗ݔܺ	⃗ܨ = ݔܨݏ݁݊ߠ
6) Vetores Unitários:
Os vetores unitários são vetores de módulo 1 e apontam nas direções x, y e z.
^
^
^
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6) Produto de Vetores Unitários:
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ
i j k
j k i
k i j
j i k
k j i
i k j
 
 
 
  
  
  
Produto Vetorial
ˆ ˆ 0
ˆ ˆ 0
ˆ ˆ 0
i i
j j
k k
 
 
 
A BCsen
ˆ ˆ 0
ˆˆ 0
ˆ ˆ 0
...
ˆ ˆ 1
ˆ ˆ 1
ˆ ˆ 1
i j
j k
k i
i i
j j
k k



 


g
g
g
g
g
Produto Escalar
13
Exemplo: Considerando os 2 vetores ⃗ܣ e ܤ ao lado calcule:
a) O produto ⃗ܣ × ܤ.
b) O produto ⃗ܣ ȉ ܤ.
c) A orientação do vetor ⃗ܣ.
d) O módulo do vetor ܤܺ⃗ܣ.
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ܤ = 3ଓ̂ − ଔ̂
⃗ܣ = 2ଓ̂ + 3ଔ̂
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Exercícios 15
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7) Movimento Unidimensional:
Como descrever o estado de movimento de um objeto??
Através de funções e/ou gráficos.
a) Ausência de Movimento:
Gráfico da posição
( )x t A v( ) 0t 
Gráfico da velocidade
17
( )x t A Bt 
0x x vt 
Gráfico da posição
b) Movimento com velocidade constante:
B
( )v t B
Gráfico da velocidade
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c) Movimento Acelerado:
Gráfico da posição
2( )x t a bt ct  
Gráfico da velocidade
v( ) ( )t v t b ct  
2
0
1
2
x x vt at   0
v v at 
19
8) Velocidade Média:
Nos casos em que a velocidade varia é conveniente definir a velocidade média 
do movimento, a qual depende apenas das posições inicial e final. (Vetor 
deslocamento).
2x
1x
1
t
2
t
v
v inclinação
v tg
. .
. .
c ov
c a

2 1t t t  
2 1x x x  
2 1
2 1
x x xv
t t t
 
 
 
(m/s)
O sinal de é determinado pelo sinal de .2 1" "x x x  v
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9) Velocidade Instantânea:
x
t
ݒ = lim
∆௧→଴
∆ݔ
∆ݐ
= dx
dt
0
0
dxv
dt

A velocidade instantânea é o limite da velocidade média quando o intervalo de 
tempo tende a zero; ela é igual à taxa de variação da posição com o tempo.
21
ݒ = ∆ݔ
∆ݐ
a) Regras Básicas de Derivada – oque é derivada?
A derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função.
A taxa de variação da posição entre os tempos 1s e 2s seria
80 40
4 2
m mtaxa
s s



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1x
2x
1t 2t
1
1
1
xtaxa
t



2
2
2
xtaxa
t



23
x
t
* Para que realmente a taxa represente 
a variação no ponto em questão 
devemos fazer t muito pequeno e por 
consequência x também será muito 
pequeno.
0 0t x   
ݐܽݔܽ = lim
∆௧→଴
∆ݔ
∆ݐ
=
0
0
xtaxa
t

 

dx
dt
Definição de derivada
1. .
n
nda x a nx
dx

Regra básica
d
dx
Manda fazer a 
derivada em 
relação a x
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É bom saber........
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8) A posição de um objeto em movimento retilíneo é dada por x= t- 2t2 + t3, onde x
está em metros e t é dado em segundos. (a) Qual a posição do objeto em t = 1s?
(b) Qual o deslocamento entre t = 1s e t = 3s? (c) Qual a velocidade instantânea em
t=1s?
Exercícios:
10) Aceleração Média:
2 1
2 1
v v va
t t t
 
 
 
(m/s2)
ܽ = lim
∆௧→଴
∆ݒ
∆ݐ
=11) Aceleração Instantânea:dv
dt
(m/s2)
12) Algumas equações do Movimento Unidimensional:
d v
d t
d v
d t
d v
d t
0 0
1 ( )
2
x x v v t  
2 2
0 2v v a x  
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9) Uma partícula se move de forma que sua posição, em função do tempo, é
dada por ⃗ݎ = 	 ଓ̂ + 4ݐଶଔ̂ + ݐ ෠݇, em unidade SI. Deduza expressões para (a) a sua
velocidade e (b) para a sua aceleração, em função do tempo.
Exercício:
30
9) Numa estrada seca, um carro com pneus em bom estado é capaz de frear com
uma desaceleração de 4,92m/s2 (suponha constante). (a) Viajando inicialmente a
24,6m/s, em quanto tempo esse carro consegue parar? (b) Que distância percorre
neste tempo?
10) Um piscar de olhos dura, em média, 100ms. Que distância um Mig 25 voará,
durante um piscar de olhos do piloto, se a velocidade média do avião é de 3395
km/h.
11) A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50m/s2 no instante do ataque. Se um
carro, partindo do repouso, também pudesse imprimir essa aceleração, em quanto
tempo atingiria a velocidade de 100km/h?
12) Um objeto tem uma aceleração constante de +3,2 m/s2. Num determinado
instante, sua velocidade é de +9,6 m/s. Qual seria sua velocidade (a) 2,0 s antes e
(b) 2,0 s depois?
Exercícios:
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13) Durante um espirro, os olhos podem fechar por até 0,5s. Se você está dirigindo
um carro a 90 km/h e espirra, de quanto o carro pode se deslocar até você abrir
novamente os olhos?
14) Um elétron, com velocidade inicial v0= 1,5x108 m/s, entra numa região de 1 cm
de comprimento, onde é acelerado eletricamente, e sai com uma velocidade v=
5,7x108. Supondo a aceleração constante, calcule-a.
15) Suponha que um foguete se mova no espaço com uma aceleração constante
igual a 9,8 m/s2, o que dará uma sensação de gravidade normal durante o vôo. (a)
Se ele parte do repouso, em quanto tempo alcançará um décimo da velocidade da
luz (C= 3x108 m/s)? (b) Que distância percorrerá nesse intervalo de tempo?
16) A velocidade de uma determinada partícula em um determinado instante é de 18
m/s, 2,4s depois sua velocidade passou a ser 30m/s, no sentido oposto. Qual o
módulo da aceleração média da partícula nesse intervalo de tempo?
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13) Queda Livre:
Movimento praticamente idêntico aos anteriores, 
no entanto temos o movimento no eixo y e a 
vantagem que a aceleração tem oi seu valor 
definido (g=9,81m/s2). Desprezando-se os efeitos 
do atrito.
Nas equações anteriormente definidas apenas 
substituímos o a por –g.
Equações:
0v v gt 
0
1
2
v v gt 
2
0 0
1
2
y y v t gt  
2 2
0 2v v g y  
0 0
1 ( )
2
y y v v t  
33
34
17) Um foguete é lançado do repouso, de uma base
submarina, situada 125m abaixo da água. Ele se
move verticalmente para cima, com aceleração
desconhecida mas suposta constante e alcança a
superfície após 2,15s. Quando ele rompe a
superfície seus motores são automaticamente
desligados e continua a subir. Qual a altura máxima
que ele alcança?
18) No dia da formatura, um estudante de
engenharia, muito satisfeito, joga seu boné para cima
com uma velocidade de 14,7m/s. Sendo de 9,8m/s2 a
aceleração da gravidade (desprezando a resistência
do ar), (a) quanto tempo leva o boné para chegar ao
ponto mais elevado da trajetória? (b) Qual a altura
deste ponto mais elevado? Durante quanto tempo o
boné fica no ar?
Exercícios:
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14) Movimento Bi e Tridimensional:
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iˆ
jˆ
kˆ
rr
vrar
14) Movimento Bi e Tridimensional:
ˆˆ ˆr xi yj zk  r
a) Vetor Posição: b) Deslocamento:
2 1r r r  
r r
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c) Vetor Velocidade: supondo que a uma partícula se mova entre dois pontos 
quaisquer num tempo t.
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( )dr d dx dy dzv xi yj zk i j k
dt dt dt dt dt
      
rr
ˆˆ ˆ
x y zv v i v j v k  
r
d) Vetor Aceleração:
ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) yx zx y z
dvdvdv d dva v i v j v k i j k
dt dt dt dt dt
      
rr
ˆˆ ˆ
x y za a i a j a k  
r
37
d) Movimento com aceleração constante:
.
.
.
x
y
z
a cte
a cte
a cte


 ov v at 
r r r
2
0
1
2o
r r v t at  r r r
2
0
1
2o x x
x x v t a t  
2
0
1
2o y y
y y v t a t  
2
0
1
2o z z
z z v t a t  
x xo xv v a t 
y yo yv v a t 
z zo zv v a t 
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40
19) Uma bola rola horizontalmente do alto de uma escada com uma velocidade de
1,52m/s. Os degraus têm 20,3cm de altura e 10,3cm de largura. Em que degrau a
bola bate primeiro?
20) Uma bola é lançada verticalmente de uma altura de 20m e chega ao solo com
uma velocidade 3 vezes maior que inicial. Determine a velocidade inicial.
21) Uma partícula parte da origem com uma velocidade inicial⃗ݒ= 3 ଓ⃗ m/s, sob a ação
de uma aceleração constante ܽ⃗ = (−1	ଓ⃗ − 	0,5	ଔ⃗) m/s. (a) Qual a velocidade da
partícula, quando alcança sua coordenada x máxima? (b) Onde a partícula está,
nesse instante?
22) Gotas de chuva caem 1700m de uma nuvem até o chão. Se elas não estivessem
sujeitas à resistência do ar, qual seria sua velocidade ao atingir o solo?
23) Um observador situado no topo de um edifício de 45m de altura vê passar, para
cima e 6 segundos depois para baixo, um corpo lançado verticalmente na base do
edifício. Determine qual a altura máxima alcançada e qual a velocidade de
lançamento do corpo.
Exercícios:
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24) Um corpo foi lançado verticalmente, para cima, a partir do solo, com velocidade
inicial de 40 m/s, num local onde a aceleração da gravidade é de 9,8 m/s². Supondo
desprezível a resistência do ar, determine: (a) a altura máxima atingida, (b) o tempo
de ascensão e o de queda e (c) a velocidade com que chega ao solo.
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15) Movimento de Projeteis:
0 0 cosxv v  0 0yv v sen
I) Como não 
consideramos o atrito a 
velocidade na direção x 
é constante. (ܽ௫ = 0)
II) Na direção y a 
aceleração é a 
aceleração da 
gravidade.
0 0 cosx x v t 
2
0 0
1
2
y y v sen t gt  
0v v sen t gt 
a) Equação do alcance
2
0 2vR sen
g

* a equação do alcance 
só pode ser aplicada 
quando o ponto de 
saída tem a mesma 
altura do que o ponto de 
chegada.
43
44
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45
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25) Uma bola é lançada a partir do solo. Quando ela atinge uma altura de 9,1m
sua velocidade é ⃗ݒ = 7,6ଓ̂ + 6,1ଔ̂ ݉/ݏ . (a) Qual é a altura máxima atingida pela
bola? (b) Qual é a distância horizontal coberta pela bola? (c) Quais são o
módulo e (d) o ângulo (abaixo da horizontal) da velocidade da bola no instante
em que atinge o solo?
26) Dois segundos após ter sido lançado a partir do solo, um projétil deslocou-
se 40m horizontalmente e 53m verticalmente em relação ao ponto de
lançamento. Quais são as componentes (a) horizontal e (b) vertical da
velocidade inicial do projétil? (c) Qual é o deslocamento horizontal em relação
ao ponto de lançamento no instante em que o projétil atinge a altura máxima em
relação ao solo?
Exercícios:
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16) Movimento Circular Uniforma (MCU):
O movimento circular uniforme ocorre quando uma partícula se move ao longo de 
uma circunferência com velocidade escalar constante.
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തܽ = ∆ݒ
∆ݐ
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Considerando o MCU de um partícula:
A distância entre o ponto A e o ponto B ao longo da 
circunferência é o comprimentodo arco S.
R S  
R v t  
Como podemos usar ∆ܵ = ݒ∆ݐ :
 2 2v vsen  
∆ݒ2 = ݒ	ݏ݁݊(ߠ 2ൗ )
49
∆ݐ = ܴߠ
ݒ
a) Aceleração Média:
va
t



2 ( ) ( )2 2
1 1
2
vsen vsen va
R Rv
 


 
b) Aceleração Instantânea:
lim va
t



lim
∆௧→଴
Para ângulos pequenos (em radianos):
lim va
t



lim
∆௧→଴
Aceleração 
centrípeta ou 
radial.
(m/s2)
ܽ௖ = ݒଶܴ
തܽ = ݒଶ
ܴ
ݏ݁݊ ߠ 2ൗ
ߠ 2ൗ
50
ݏ݁݊	ߠ~ߠ
=
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c) Velocidade Angular:
S
s
R


  ( )t
1s
t t R
 

 
s v
t

 

mas ω
t

 

e
ω
v
R
 (rad/s)
d) Período e Frequência:
T(s)  Intervalo de tempo p/ realizar uma volta completa.
݂(Hz)  nº de voltas realizadas por unidade de tempo.
ܶ = 1݂
51
e) Equações:
º voltas
tT
n


º voltasnf
t


ܶ = 1݂
2 Rv
T

 2v Rf
2
ω=
T

ω=2 f ω= v
R
2
=c
va
R
52
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- -
53
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27) Um projétil é disparado com uma velocidade
inicial v0=30m/s, a partir do solo, com o objetivo
de atingir um alvo que está no solo a uma
distância R=20m, como mostra a figura ao lado.
Quais são (a) o menor e (b) o maior ângulo de
lançamento que permitem que o projétil atinja o
alvo?
Exercícios:
28) (a) Se um elétron é lançado horizontalmente com uma velocidade de
3x106m/s, qual a distância vertical percorrida pelo elétron ao percorrer uma
distância horizontal de 1m?
29) Uma bala é disparada por um canhão situado ao nível do mar com um ângulo
de 45º com a horizontal e atinge uma distância de 686m. Qual seria o aumento da
distância atingida pela bala se o canhão estivesse a uma altura de 30m?
30) Uma pedra é catapultada para a direita com uma velocidade inicial de 20 m/s,
num ângulo de 40º. Calcule seu deslocamento horizontal e vertical em t igual a
1,8s depois do lançamento.
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31) Um guarda corre atrás de um ladrão pelos
terraços de uns edifícios. Ambos correm a 5m/s
quando chegam a uma separação entre dois
edifícios, com 4m de largura e uma diferença de
altura de 3m. O ladrão, que sabia um tanto de
física, pula com velocidade de 5m/s fazendo um
ângulo de 45o com a horizontal e consegue
superar o obstáculo. O guarda, que nada sabia
de física, acha melhor aproveitar a sua
velocidade horizontal e pula com velocidade de
5m/s na horizontal. (a) O guarda consegue
completar o pulo? (b) Qual a folga do ladrão ao
ultrapassar o obstáculo?
32) Um atirador com um rifle de precisão com uma velocidade de tiro de 400 m/s
atira num alvo, a 160m de distância. A que altura, acima do alvo, deve ser
apontado o cano do rifle, para que a bala atinja o alvo?
56
33) Um esquiador está se movendo para
baixo numa rampa plana de uma
montanha. A inclinação (norte-sul) faz um
ângulo de 10o com a horizontal. O vento
sopra do oeste e dá ao esquiador uma
aceleração lateral de 0,54m/s2. O
esquiador começa a descer do lado
noroeste do alto da rampa, com uma
componente de velocidade de 9m/s para
baixo e zero na componente lateral. A
rampa, sem atrito, tem 125m de
comprimento e 25m de largura. (a) Onde o
esquiador sairá da rampa? (b) Qual a
velocidade do esquiador nesse ponto?
34) Um menino encontra-se num carrossel que gira com velocidade angular
constante executando uma volta completa a cada 10s. A criança mantém, em
relação ao carrossel, uma posição fixa a 2m do eixo de rotação. Calcule a
intensidade de sua velocidade e de sua aceleração centrípeta.
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29
57
35) Em um parque de diversões uma mulher passeia em uma roda-gigante com
15m de raio, completando 5 voltas em torno do eixo horizontal a cada minuto.
Quais são (a) o período do movimento, (b) o módulo e (c) o sentido de sua
aceleração centrípeta no ponto mais alto, e (d) o módulo e (e) o sentido de dsua
aceleração centrípeta no ponto mais baixo?
36) Uma chave cai verticalmente de uma ponte que está 45m acima da água. A
chave atinge um barco de brinquedo que está se movendo com velocidade
constante e se encontrava a 12m do ponto de impacto quando a chave foi solta.
Qual é a velocidade do barco?
37) Qual a velocidade angular e a
velocidade escalar de um ponto na latitude
40o N da superfície da Terra em relação ao
eixo polar?
58
Trabalho nota 1 (2,0) – Entrega dia 
05/03/2018
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59
60
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17) Forças e Leis de Newton.
2ª Lei de Newton (Lei Fundamental): A aceleração de um corpo tem a 
direção da força resultante externa que atua sobre ele.
Fa
m

r
r
F ma
r r dPF
dt

rr
(N=kgm/s2)
61
1º Lei de Newton (Lei da Inércia): Um corpo em 
repouso permanece em repouso a menos que sobre 
ele atue uma força externa. Um corpo em 
movimento desloca-se com velocidade constante a 
menos que sobre ele atue uma força externa.
3ª Lei de Newton (Lei da Ação e Reação): As 
forças sempre atuam aos pares de forças iguais, 
porém opostas, e aplicadas em corpos diferentes.
a) Referencial Inercial: 
Referencial em que a lei da Inércia é válida. É um referencial para o qual se 
uma partícula não esta sujeita a forças, então está parada ou se 
movimentando em linha reta e velocidade constante.
Se o referencial for acelerado em relação a outros referenciais este não é um 
referencial inercial.
b) Diagrama de forças:
Força Peso (P): Força devida a força 
gravitacional com que a Terra atrai qualquer 
objeto em sua superfície e definida como:
Força Normal (N): Força de reação de uma 
superfície em relação a uma força que age 
sobre ela, esta força é sempre perpendicular 
a superfície.
P mg
r r
(N)
Força Peso
Força Normal
F2
62
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x
y
Força Peso
Força Normal
F2
N
P
F2 F
2 0*xF F F  
2 **xF F F ma  
0yF N P  
*quando em repouso ou velocidade constante.
**quando acelerado.
63
2 0xF F F   K 2xF F F ma   K 0yF N P   K
Exemplo simples: Dado o sistema abaixo calcule: (a) o valor da força Normal e 
(b) o valor da aceleração do corpo.
64
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33
65
66
38) Na figura ao lado, a massa do bloco é 8,5kg e o
ângulo ߠ = 30°. Determine (a) a tensão na corda e (b)
a força normal que age sore o bloco. (c) Determine o
módulo da aceleração do bloco se a corda for cortada.
Exercícios:
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34
18) Forças de Atrito.
Atrito: Fenômeno que ocorre entre corpos em contato, tem a mesma origem que 
a ligação entre as moléculas.
a) Atrito Estático: ocorre quando o corpo esta em repouso. Esta 
força sempre se opões a força aplicada, e pode variar entre zero e 
um certo valor máximo.
b) Atrito Cinético: ocorre quando conseguimos por um corpo em movimento, as 
ligações entre as moléculas ou átomos são continuamente rompidas. Para manter em 
velocidade constante deve-se aplicar uma força igual a força de atrito cinético.
e eF N
r
Coeficiente de atrito estático.
c cF N
r
Coeficiente de atrito cinético.
67
68
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35
Exemplo simples: Dado o sistema abaixo calcule: (a) o valor da força Normal e 
(b) o valor da aceleração do corpo. O coeficiente de atrito cinético entre a caixa e o 
bloco é igual a 0,15.
69
70
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71
39) Quando os 3 blocos da figura ao lado
são liberados a partir do repouso, aceleram
com um módulo de 0,5m/s2. O bloco 1 tem
massa M, o bloco 2 tem massa 2M e o
bloco 3 tem massa 2M. Qual é o coeficiente
de atrito cinético entre o bloco 2 e a mesa?
40) Um trabalhador arrasta um caixote pelo
chão de uma fábrica, puxando-o por uma
corda (fig. ao lado). Ele exerce sobre a
corda, que faz uma ângulo de 38o com a
horizontal, uma força de 450N, e o chão
exerce uma força horizontal de 125N que se
opõe ao movimento. Calcule a aceleração
do caixote (a) se sua massa for 310kg e (b)
seseu peso for 310N.
Exercícios:
R: (a) 0,74m/s2 (b)7,26m/s2
72
41) Um bloco está em repouso sobre um plano inclinado. O ângulo de inclinação é
lentamente aumentado até atingir um valor crítico, Ɵc= 45º, no qual o bloco
principia a escorregar. Calcular o coeficiente de atrito estático µe.
42) Um carro avança a 30 m/s sobre uma estrada horizontal. Os coeficientes de
atrito entre a estrada e os pneus do carro são µe=0,5 e µc=0,3. Qual o avanço do
carro até parar (a) quando o carro é freado sem que as rodas derrapem e (b)
quando o carro é freado mas as rodas escorregam sobre a estrada?
43) Um carrinho de criança está escorregando perigosamente sobre uma
superfície de gelo na direção de um buraco. Uma pessoa corre sobre patins para
segurá-lo. Ao pegar o carrinho, a velocidade de ambos é v0. O coeficiente de atrito
entre os patins e o gelo é µc. A distância entre o carrinho e o buraco no gelo é D no
instante em que a pessoa começa a frear, a massa do carrinho é M e a da pessoa,
m. (a) Qual o valor mínimo de D que assegura a parada do carrinho antes de cair
no buraco? (b) Que força a pessoa exerce sobre o carrinho?
R: tg 45º
R: (a) 91,74m (b) 152,9m
R: (a) ܦ = ௩మ(௠ାெ)
ଶఓ಴௠௚
(b) ܨ = ఓ಴௚௠ெ(௠ାெ)
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73
44) Uma determinada força provoca a aceleração de 5 m/s² no corpo padrão de
massa m1 = 1kg. A mesma força é aplicada a outro corpo de massa m2 provoca
aceleração de 11 m/s². (a) Qual a massa do segundo corpo? (b) Qual o módulo da
força?
45) Um corpo de 2kg desliza em um plano inclinado que forma ângulo de 30º com
a horizontal. Qual a intensidade da força que atua no corpo na direção do
movimento? Admitindo v0=0, que distância terá percorrido em 10s? Que
velocidade terá adquirido aos 50m percorridos?
46) Sobre uma partícula de massa 0,4kg agem, simultaneamente, as forças ܨ	1=
2N ଓ̂- 4N ଔ̂ e ܨ	2= - 2,6N ଓ̂ + 5N ଔ̂. Se a partícula estiver em repouso na origem no
instante t=0 determinar: (a) O vetor posição ̂ݎ da partícula e (b) o vetor velocidade
⃗ݒ da partícula no instante t= 1,6s.
47) Um objeto de 120g é submetido durante 10s a uma força constante. No fim
desse tempo a força cessa e o móvel percorre daí por diante, 15m em 5s. Calcular
a intensidade da força e a distância percorrida durante a ação da mesma se o
objeto sai do repouso.
74
48) Imagine que você está no espaço, longe da nave espacial. Afortunadamente,
tem uma unidade de propulsão capaz de proporcionar uma força constante ⃗ܨ
durante 3s.Três segundos depois de acionar a unidade, o seu deslocamento foi de
2,25n. Calcular a ⃗ܨ sendo sua massa de 68kg.
49) Um bloco de massa m1=3,7kg sobre
um plano se atrito inclinado, de ângulo 30º,
está preso por uma corda de massa
desprezível, que passa por uma polia de
massa e atrito desprezíveis, a um outro
bloco de massa m2=2,3kg (figura ao lado).
Quais são (a) o módulo da aceleração de
cada bloco, (b) a orientação da aceleração
do loco que está pendurado e (c) a tensão
da corda?
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75
19) Forças de Arraste.
É a força de atrito exercida por fluídos quando 
corpos neles se deslocam. Esta força depende 
principalmente da 3 fatores:
*) Forma do corpo;
**) Propriedades do fluído;
***) Velocidade do corpo em relação ao fluído.
A força de arraste aumenta com o aumento da 
velocidade, tal que:
nF v  212F c Av
forma geral, no limite 
de altas velocidades 
n=2.
76
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39
a) Velocidade Terminal: Considere um corpo caindo...
Em t=0... y a yF F P ma  
Como a força de arraste é proporcional a velocidade, de pois de 
um intervalo de tempo...
21 0
2y
F c Av mg  
Logo:
21
2
c Av mg  2mgv
c A

77
Massa da gota= 1,413x10-5kg 2
esfA R
78
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40
79Exercícios:
50) A velocidade terminal de um paraquedista é de 160km/h na posição de águia e
310km/h na posição de mergulho de cabeça. Supondo que o coeficiente de arrasto
C do paraquedista não mude de uma posição para outra, determine a razão entre a
área da seção reta efetiva A na posição de menor velocidade e a área na posição
de maior velocidade.
51) Calcule a razão entre a força de arrasto experimentada por um avião a jato
voando a 1000km/h a uma altitude de 10km e a força de arrasto experimentada
por um avião a hélice voando com metade da velocidade e a metade da altitude. A
densidade doa ar é de 0,38kg/m3 a 10km e 0,67 kg/m3 a 5km. Suponha que os
aviões possuem a mesma área de seção reta efetiva e o mesmo coeficiente de
arrasto C.
R: 3,71
R: 2,26
20) Lei de Hooke.
Descreve a força exercida por molas.
F Kx 
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41
Exemplo: (Física Fundamental – Bonjorno e Clinton)
81
52) Para distender uma determinada mola em 12 mm em relação ao seu
comprimento relaxado é aplicada uma força de 4,9N. (a) Qual o valor da
constante da mola? (b) Qual é a força exercida pela mola quando ela é distendida
de 17mm?
Exercícios:
(a) 408,33 N/m (b) -6,94
21) Trabalho.
O trabalho é a grandeza física que relaciona a força 
resultante aplicada a um corpo e o seu deslocamento. É 
uma medida da energia transferida pela aplicação de uma 
força ao longo de um deslocamento.
a) Trabalho de uma força constante:
W F X 
r r
(J)
cosW F x  W
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42
83
84
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43
85
53) Um bloco de gelo flutuante é colhido por um correnteza que aplica ao bloco
uma força ⃗ܨ = 210ଓ̂ − 12ଔ̂ ܰ, fazendo com que ele sofra um deslocamento ݀⃗ =15ଓ̂ − 12ଔ̂ ݉. Qual é o trabalho realizado pela força sobre o bloco durante esse
deslocamento?
54) A única força que age sobre uma lata de 2kg que está se movendo em um
plano xy tem um módulo de 5N. Inicialmente, a lata tem uma velocidade de 4m/s
no sentido do eixo x; em um instante posterior, a velocidade passa a ser 6m/s no
sentido positivo do eixo y. Qual é o trabalho realizado sobre a lata pela força de
5N nesse intervalo de tempo?
Exercícios:
55) (a) Determine qual o trabalho realizado
para puxar um trenó de 80kg, sobre uma
pista horizontal, por uma distância de 8m.
A força exercida pela pessoa na corda é
de 75N formando um ângulo de 28o com a
horizontal. (b) Qual o valor da normal N?
(c) Qual o trabalho exercido pela força
normal N sobre o trenó?
(a) 529,77 J (b) 0
R: 3294 J
R: 20 J
86
56) Um bloco sobe por um plano inclinado que forma um
ângulo de 30º com a horizontal pela ação de 3 forças
representantes na figura. A força F1 é horizontal e de
20N de módulo. F2 é normal ao plano e de 10N. F3 é de
15N e paralela ao plano inclinado. Sabendo que o ponto
de aplicação das forças se desloca 3m no plano, calcular
o trabalho que cada uma delas realiza.
57) Para empurrar um caixote de 50 Kg num piso sem atrito, um operário aplica
uma força de 210N, dirigida 20º acima da horizontal. Se o caixote se desloca de
3m, qual o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo operário, (b) pelo peso do
caixote e (c) pela força normal exercida pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o
trabalho total realizado sobre o caixote?
R: W1=51,96J, W2= 0 e W3=45J
R: (a) 592J, (b) 0, (c) 0 e (d) 592 J
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87
b) Trabalho de uma força variável:
x
y
A
x
y A=x.y
88
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45
A integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob 
uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de 
problemas de Física
Regras Básicas de Integral:
∆ݔ → 0
89
1 2 3 4 5Área A A A A A     K 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5. . . . .Área y x y x y x y x y x          K
i ii
Área y x ou
0iiÁrea y
Mas no caso de ∆ݔ → 0
Áݎ݁ܽ = lim
∆௫→଴
ݕ∆ݔ = 0iiÁrea y
Regra básica de integração:
dx
Manda fazer a integral
∆ݔ → 0
90
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Regra básica para o cálculo do trabalho de uma força variavel
0
( )
x
W F x dx  Definição de trabalho de uma forçavariável.
91
Para o caso do trabalho realizado por uma mola...
0 0 0
( ) ( )
x x x
W F x dx kx dx k xdx      
1 1
2 2 2
0
0
1 1 1 0
1 1 2 2 2
x
xxW K k x kx k
 
        
21
2
W kx 
21
2
W kx
Trabalho realizado pela mola.
Trabalho realizado sobre a mola.
92
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47
93
94
58) Na figura ao lado devemos aplicar uma força de módulo
80N para manter o bloco em repouso em x=-2cm. A partir
dessa posição, deslocamos o bloco lentamente de tal modo
que a nossa força realiza um trabalho de 4J sobre o sistema
massa-mola; a partir daí, o bloco permanece em repouso.
Qual é a posição do bloco? (existem 2 repostas possíveis)
59) Uma força de 10N produz numa mola um alongamento de 10cm. Sabendo que
o alongamento é proporcional à força de tração entre suas extremidades. Calcular
(a) o trabalho para produzir um alongamento de 11cm, (b) o trabalho realizado para
alonga-la outro centímetro, isto é, para que seu comprimento passe de 11 a 12 cm.
Unidades SI.
Exercícios:
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22) Teorema Energia Cinética-Trabalho.
O trabalho realizado pela força resultante sobre um corpo é igual a variação da energia 
cinética deste corpo.
2 2
2 2 2
2
f i
f i
v v
v v ax a
x

   
F ma 
2 2
( )
2
f iv vF m
x


2 2
( )
2
f iv vFx m


2 21 1
2 2f i
W mv mv 
W k 
Como,
Energia Cinética
21
2
mv k 
95
96
60) Na figura ao lado um bloco de gelo escorrega para
baixo em uma rampa sem atrito com ߠ = 50° enquanto
um operário puxa o bloco (através de uma corda) com
uma força F, que tem um módulo de 50N e aponta para
cima ao longo da rampa. Quando o bloco desliza uma
distância d=0,5m ao longo da rampa, sua energia
cinética aumenta 80J. Quão maior seria a energia
cinética se o bloco não estivesse sendo puxado pelo
operário?
61) Um carro de 1000kg está viajando a 60km/h numa estrada plana. Os freios
são aplicados por um tempo suficiente para reduzir a energia cinética do carro
de 50kJ. (a) Qual a velocidade final do carro? (b) qual a redução adicional de
energia cinética necessária para fazê-lo parar?
Exercícios:
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49
97
23) Potência.
De maneira mais simples, potência é a rapidez com que se consegue realizar um 
trabalho, ou seja, é a taxa com que um trabalho é realizado.
a) Potência Média:
WP
t



(W=J/s)
b) Potência Instantânea:
Para o trabalho de uma força variável, podemos definir a potência instantânea, 
ou seja, a potência desenvolvida num determinada instante de tempo.
dWP
dt

Mas para o caso excepcional para uma força constante, podemos reescrever a 
equação acima como:
( . )d F x dxP F
dt dt
   ou P F v 
98
ܲ = ⃗ܨ ȉ ⃗ݒ
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50
99
100
63) Um elevador tem uma massa de 4500kg e pode transportar uma carga
máxima de 1800kg. Se o elevador está subindo com a carga máxima a 3,8m/s,
que potência a força que move o elevador deve desenvolver para manter essa
velocidade?
64) Um objeto de 2kg inicialmente em repouso acelera uniformemente na
horizontal até uma velocidade de 10m/s em 3s. (a) Nesse intervalo de 3s, qual é
o trabalho realizado sobre o objeto pela força que o acelera? Qual é a potência
instantânea desenvolvida pela força (b) no final do intervalo e (c) no fim da
primeira metade do intervalo?
65) Se um elevador de uma estação de esqui transporta 100 passageiros com
um peso médio de 660N até uma altura de 150m em 60s, com velocidade
constante, que potência média é exigida da força que realiza esse trabalho?
66) Calcular o trabalho realizado para elevar um corpo de 3kg até uma altura de
2m em 3s. Qual a potência mínima necessária?
67) Achar o peso que um veiculo de 6VC de potencia pode arrastar sobre um
terreno horizontal à velocidade de 25km/h sabendo que o coeficiente de atrito
entre o peso e o terreno é igual 0,2. 1 CV= 736W
Exercícios:
234851,4W
a) 99,99J b) 66,6W c) 33,26W
165000W
19,62W
3181,55N
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24) Energia.
Propriedade associada ao estado de 1 ou mais corpos.
I) Energia Térmica: associada ao movimento aleatório dos átomos ou 
moléculas de um corpo ou meio (sistema).
II) Energia Cinética (K): associada ao estado de movimento (velocidade) dos corpos.
III) Energia Potencial (U): associada a configuração de um ou mais corpos 
(distância de separação e/ou deformação).
a) Energia Potencial Gravitacional: Está associada ao estado de separação entre 2 
ou mais corpos que se atraem através da força gravitacional.
b) Energia potencial Elástica: Associada ao estado de compressão ou distensão de 
um objeto elástico
IV) Energia Mecânica (E): é a energia total de um sistema, ou seja, é a soma 
da energia cinética mais a energia potencial.
Para um sistema conservativo (sem atrito) onde a energia mecânica se conserva: 
.E cte  1 1 2 2 .E U K U K cte     ou 0U K   
101
25) Determinação da Energia Potencial.
W K 
K U  
Do teorema da energia cinética-trabalho:
Da energia mecânica para um sistema conservativo:
U W  
0 0
( ) ( ) (0) ( )
x x
U F x dx U x U F x dx       
Logo:
0
( ) ( )
x
U x F x dx 
Por definição U(0)=0
102
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52
a) Energia Potencial Elástica:
Sendo U(0)=0 e F(x)=-kx:
0 0
( )
x x
U x kxdx k xdx    
1 1 2
( ) ( )
1 1 2
x kxU x k U x

  

Logo para um sistema massa-mola:
2 21 1
2 2
E kx mv 
0
( ) ( )
x
U x F x dx 
103
a) Energia Potencial Gravitacional:
Sendo U(0)=0 e F(y)=-mg:
0 0
(y)
y y
U mgdy mg dy    
0 1
(y) ( ) (y)
0 1
yU mg U mgy

  

Logo para um sistema massa-mola:
21
2
E mgy mv 
0
(y) (y)
y
U F dy 
104
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53
105
106Exercícios:
68) Um corpo de 2 kg cai de uma altura de 4m. Calcular a sua perda de energia
potencial, expressando o resultado em joules.
69) Uma determinada mola armazena 25J de energia potencial quando sofre uma
compressão de 7,5 cm. Qual é a constante da mola?
70) Um elétron de condução (massa m=9,11x10-31 kg) do cobre, numa temperatura
próxima do zero absoluto, tem uma energia cinética de 6,7x10-19 J. Qual é a
velocidade do elétron?
71) Uma mola pode ser comprimida 2cm por uma força
de 270N. Um bloco de 12kg de massa é liberado a partir
do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito cuja
inclinação é de 30º (veja figura ao lado). O bloco
comprime a mola 5,5cm antes de parar. (a) Qual a
distância total percorrida pelo bloco até parar? (b) Qual a
velocidade do bloco no momento em que se choca com
a mola?
-78,48J
8888,88N/m
3,83x109m/s
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54
107
72) Na figura abaixo um bloco desliza ao longo de uma pista, de um nível para
outro mais elevado, passando por um vale intermediário. A pista não possui atrito
até o bloco atingir o nível mais alto, onde uma força de atrito para o bloco em uma
distância d. A velocidade inicial do bloco é de 6m/s, a diferença de altura h é 1,1m
e o coeficiente de atrito é de 0,6. Determine d.
Trabalho (2,0) entregar dia 22/05
108
R:4,41J
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109
26) Conservação de Energia:
a) Sistema conservativo (sem atrito): Energia Mecânica se conserva. Sistema 
em que a mudança de estado do sistema pode ser associada ao trabalho 
realizado. Num circuito fechado o trabalho total é nulo.
0U K   
b) Sistema Não –conservativo: Sistemas onde a mudança de estado do sistema 
não pode ser associada apenas ao trabalho realizado sobre o sistema (sistema com 
atrito).
WAB ≠ WBA
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I) Para um sistema isolado, a energia pode ser transformada de uma forma para outra, 
mas a energia total do sistema permanece constante.
0K U     int 0K U E    int 0E E   
II) Se o sistema não for isolado e se alguma força externa realizar trabalho sobre o 
sistema as equações anteriores não poder ser aplicadas, logo:
intK U E W     
Se W é negativo o sistema é que realizou um trabalho.
111
27) Trabalho Executado pela Força de Atrito:
x aF F F ma   
2 2
2 2 2
2
f i
f i
v v
v v a x a
x

    

Como , logo:
2 2
2 21( ) ( )
2 2
f i
a f i
v v
F F m m v v
x x

    

2 21 ( )
2a f i
Fx F x m v v K     
Sendo –Fx=W, o trabalho da força 
conservativa e sabendo que U=-W, 
teremos:
aU F x K   
aF x K U E      
int 0E E   
*o produto –Fax é o trabalho realizado pela força de 
atrito e é igual a variação da energia mecânica (E) 
do sistema, ou seja, a energia mecânica do sistema 
diminui quando temos atrito.
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Ya Yb
113
114
73) Na figura abaixo um bloco desliza em uma pista sem atrito até chegar a um
trecho de comprimento L=0,75cm, que começa a uma altura h=2cm em uma
rampa de ângulo ߠ = 30°. Nesse trecho o coeficiente de atrito cinético é 0,4. O
bloco passa pelo ponto A com uma velocidade de 8m/s. Se o bloco pode chegar ao
ponto B (onde o atrito acaba), qual é sua velocidade nesse ponto e, se não pode,
qual é a maior altura que atinge acima de A?
Exercícios:
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74) Um pedacinho de gelo se desprende da
borda de uma taça hemisférica sem atrito com
22 cm de raio (veja a figura). Com que
velocidade o gelo estará se movendo ao
chegar ao fundo da taça?
116
75) Dois picos nevados estão H=850m e h=740m acima do vale que os separa.
Uma pista de esqui liga os dois picos, com um comprimento total de 3,2km e
uma inclinação média de 30º (veja figura abaixo). (a) Um esquiador parte do
repouso no cume do monte mais alto. Com que velocidade ele chega ao cume
do monte mais baixo se não usar os bastões para dar impulso? Ignore o atrito.
(b) Qual é o valor aproximado do coeficiente de atrito cinético entre a neve e os
esquis para que o esquiador pare exatamente no cume do monte mais baixo?
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Trabalho 2 (2,0) entrega dia 
28) Sistema de Partículas:
a) Centro de Massa: Ponto no qual podemos supor que esteja concentrada a massa 
de um corpo e/ou sistema de partículas e pode coincidir com o centro de gravidade.
b) Cálculo do Centro de Massa:
1 1 2 2
1 2
n n
cm
n
m x m x m xx
m m m
  

  
K
K
1 1 2 2
1 2
n n
cm
n
m y m y m y
y
m m m
  

  
K
K
1 1 2 2
1 2
n n
cm
n
m z m z m z
z
m m m
  

  
K
K
c) Vetor Posição do Centro de Massa:
ˆˆ ˆ
cm cm cm cmr x i y j z k  
r
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d) Segunda Lei de Newton p/ um Sistema de Partículas:
ext cmF Ma
r r
, ,x ext cm xF Ma
y, ,yext cmF Ma
z, ,zext cmF Ma
119
120
76) Uma partícula de 3kg tem coordenadas xy (-1,2m, 0,5m) e uma partícula de 4kg
tem coordenadas xy (0,6m, -0,75m). Ambas estão em um plano horizontal. Em que
coordenadas x e y deve ser posicionada uma terceira partícula de 3kg para que o
centro de massa do sistema de 3 partículas tenha coordenadas (-0,5m, -0,7m)?
77) A figura abaixo mostra um sistema de 3 partículas de massas m1=3kg, m2=4kg e
m3=8kg. As escalas do gráfico são definidos por xs=2m e ys=2m. Quais são (a) a
coordenada x e (b) a coordenada y do centro de massa do sistema:? (c) Se m3
aumenta gradualmente, o centro de massa do sistema se aproxima de m3, se afasta
de m3 ou permanece onde está?
Exercícios:
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29) Momento Linear:
Da 2ª lei de Newton:
( )dv d mv dpF ma F m F F
dt dt dt
         
r r rr r r rr
Podemos afirmar que a força resultante que atua sobre uma partícula é dada pela 
derivada de uma grandeza, chamada Momento Linear, em relação ao tempo, assim, 
P mv
r r (Kg.m/s)
Em outras palavras: “A taxa de variação do momento de uma partícula é proporcional 
à resultante das forças que agem sobre a partícula e tem a mesma direção e o 
mesmo sentido que essa foça.”
Momento linear é um conceito que foi criado para dar uma noção da dificuldade que se 
têm em parar um corpo em movimento.
121
b) Conservação do Momento Linear:
Para um sistema de partículas isolado e fechado
.P cte
r
Ou seja, para um sistema isolado e fechado , assim:0extF 
r
0 0 .ext
dPF P cte
dt
    
rr r
a) Momento Linear para um Sistema de Partículas: Para um sistema composto por n 
partículas,
1 2 3 1 1 2 2T n n n cmP P P P P m v m v m v Mv          
r r r r r r r r rK K
T cmP Mv
r r
* O momento linear de um sistema de partículas é igual ao produto da massa total M do 
sistema pela velocidade do seu centro de massa.
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124
78) Uma bola de 0,7kg está se movendo horizontalmente com uma velocidade de
5m/s quando se choca com uma parede vertical e ricocheteia com uma velocidade
de 2m/s. Qual é o módulo da variação do momento linear da bola?
79) Um caminhão de 2100kg viajando para o norte a 41km/h vira para leste e
acelera até 51km/h. (a) Qual é a variação da energia cinética do caminhão? Quais
são (b) o módulos e (c) o sentido da variação do momento linear?
80) Um velho galaxy com uma massa de 2400 kg está viajando por uma estrada
reta a 80 km/h. Ele é seguido por um Escort com uma massa de 1600 kg viajando a
60 km/h. Qual a velocidade do centro de massa?
81) O momento linear de uma partícula viajando a 1,5x108 m/s é de 2,9x10-19
kg.m/s. Determine a massa da partícula e portanto sua identidade com base neste
resultado experimental.
82) Qual o momento linear de um automóvel que pesa 16000N e está viajando a 88
km/h?
83) Um homem de 100 kg, de pé em uma superfície sem atrito, dá um chute em
uma pedra de 0,70 kg, fazendo com que ela adquira uma velocidade de 3,9 m/s.
Qual a velocidade do homem depois do chute?
Exercícios:
m=1,93x10-27kg
p=39796,16 kg.m/s
vcm=20 m/s
vh=-0,027 m/s
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30) Colisões:
Uma colisão é um evento isolado em que uma força relativamente intensa age em cada 
um de 2 ou mais corpos que interagem por um tempo relativamente curto.
Pode-se observar:
• Conservação do momento linear;
• Conservação da energia;
• Conservação do momento angular.
a) Colisões elásticas:
Via de regra , o momento linear de um sistema fechado e isolado é sempre conservado 
em uma colisão.
Para uma colisão elástica, além da conservação do momento linear temos também a 
conservação da energia cinética, assim para uma colisão entre 2 partículas teremos:
1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v   
2 2 2 21 1 1 1
2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v   
Momento linear
Energia cinética
Se considerarmos que a partícula 2 estava inicialmente em repouso teremos:
1 2
1 1
1 2
f i
m mv v
m m



1
2 1
1 2
2
f i
mv v
m m


126
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127
b) Colisões Inelásticas:
Nas colisões Inelásticas a energia cinética não se conserva, 
temos a conservação apenas do momento, se o sistema for fechado 
e isolado.
Para as colisões perfeitamente inelásticas os corpos perdem 
quase que totalmente a energia cinética ficando unidos após o 
choque, ou perdem totalmente a energia cinética.
8:27:03 
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Exercício Extra: Pêndulo Balístico
M=10g, M=5kg e h=15cm
c) Impulso e Momento Linear.
Impulso é a grandeza física que relaciona a força que atua 
sobre um corpo e o intervalo de tempo que ela atua sobre o 
mesmo.
“O impulso de um corpo, num determinado tempo, é igual à 
variação da quantidade de movimento.”
As 2ª lei de Newton:
2 2
1 1
( )
t P
t P
F t dt dP 
r2
1
2 1( )
t
t
F t dt P P P   
r r r
2
1
( )
t
t
J F t dt 
r
J P 
r r
J F t 
r r
(kg.m/s)
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8:27:03 
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84) Uma bola de 1,2kg cai verticalmente em um piso com uma velocidade de
25m/s e ricocheteia com uma velocidade inicial de 10m/s. (a) Qual é o impulso
recebido pela bola durante o contato com o piso? (b) se a bola fica em contato com
o piso por 0,02s, qual é a força média exercida pela bola sobre o piso?
85) No taekwon do, a mão de um atleta atinge o alvo com uma velocidade de
13m/s e para após 5ms. Suponha que durante o choque a mão é independente do
braço e tem uma massa de 0,7kg. Determine os módulos (a) do impulso e (b) da
força média que a mão exerce sobre o alvo.
86) Um corpo de 2kg de massa sofre uma colisão elástica com outro corpo em
repouso e continua a se mover na mesma direção e sentido, mas com um quarto
da velocidade inicial. (a) Qual é a massa do outro corpo? (b) Qual é a velocidade
do centro de massa dos dois corpos se a velocidade inicial do corpo de 2kg era de
4m/s?
87) Um homem de 91kg de massa sobre uma superfície de atrito desprezível
arremessa uma pedra de 68g com uma velocidade horizontal de 4m/s. Qual é a
velocidade do homem após o arremesso?
Exercícios:
1,2 kg
-0,003m/s
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88) Em um experimento, um carrinho de 300g de massa deslocando-se em um
trilho de ar linear sem atrito, a uma velocidade inicial de 1,2m/s, atinge um
segundo carrinho de massa desconhecida, inicialmente em repouso. Após a
colisão, o primeiro carro continua em seu sentido original a 0,2m/s. A colisão
entre eles é inelástica e o sistema perde 30% da energia cinética. Calcule qual a
massa e a velocidade do segundo carro após o impacto?
89) Na figura abaixo uma caixa de sapatos de 3,2kg desliza sobre uma mesa
horizontal sem atrito e colide com uma caixa de sapatilhas de 2kg incialmente em
repouso na extremidade da mesa, a altura h=0,4m do chão. A velocidade da
caixa de 3,2kg é 3m/s imediatamente antes da colisão. Se as caixas grudam uma
na outra por estarem fechadas com fita adesiva, qual é a energia cinética do
conjunto imediatamente antes de atingir o chão?
m2=0,31kg e v2=0,968 m/s
134
90) Um taco de sinuca atinge uma bola inicialmente parada, exercendo uma força
média de 50N em um intervalo de tempo de 10ms. Se a bola tem massa de 0,2kg,
que velocidade ela teria após o impacto?
91) Um atleta de 95kg está correndo a 4,2m/s. Que impulso irá pará-lo?
92) Com que velocidade deve viajar um fusca de 816kg (a) para ter o mesmo
momento linear que um cadillac de 2.650kg viajando a 16km/h e (b) para ter a
mesma energia cinética.
93) Um projétil de 10g de massa atinge um pêndulo balístico de 2 kg de massa. O
centro de massa do pêndulo eleva-se de uma distância vertical de 12 cm.
Considerando-se que o projétil permaneça embutido no pêndulo, calcule a
velocidade inicial do projétil.
94) Uma colisão perfeitamente inelástica ocorre entre a massa de 3 kg
deslocando-se para cima a 20 m/s e outra de 2 kg deslocando-se para baixo a 12
m/s. A que altura a massa combinada se eleva acima do ponto de colisão.
h=2,64 m
v=307,53 m/s
-399 N.s
a) 14,43 m/s e b) 8m/s
2,5 m/s
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95) Um carro de 340g de massa, deslocando-se em um trilho de ar linear sem
atrito, a uma velocidade inicial de 1,2 m/s, atinge um segundo carro de massa
desconhecida, inicialmente em repouso. A colisão entre eles é elástica. Após a
mesma, o primeiro carro continua em seu sentido original a 0,66 m/s. (a) Qual é a
massa do segundo carro? (b) Qual é a sua velocidade após o impacto?
96) Um vagão de 35ton colide com um carrinho auxiliar em repouso. Eles se unem
e 27% da energia cinética inicial é dissipado como calor, som, vibrações, etc.
Encontre o peso do carrinho auxiliar.
a) 0,0987kg b) 1,86 m/s
P= 126598,05 N
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31) Rotações
a) Posição Angular:
S
R
 
b) Deslocamento Angular:
2 1    
c) Velocidade Angular:
t





d
dt

 
r
d) Aceleração Angular:
t





d
dt

 
r
(rad)
(rad)
(rad/s)
(rad/s2)
e) Variáveis Angulares e Lineares:
s R
ds d R v R
dt dt

  
t
dv d R a R
dt dt

  
2
2
r
va R
R
 
Qual a diferença entre translação e rotação?
137
138
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97) Um disco, inicialmente girando a 120rad/s, é freado com uma aceleração
angular constante de módulo 4rad/s2. (a) Quanto tempo o disco leva para parar?
(b) Qual é o ângulo total descrito pelo disco durante esse tempo?
99) A velocidade angular do motor de um automóvel é aumentada a uma taxa
constante de 1200rev/min para 3000 rev/min em 12s. (a) Qual é a aceleração
angular? (b) Quantas revoluções o motor executa nesse intervalo de 12s?
100) A posição angular de um ponto sobre uma determinada roda em rotação
é dada por 	ߠ = 2 + 4ݐଶ + 2ݐଷ , com em radianos e t em segundos. Em t=0,
quais são a (a ) posição angular e (b) a velocidade angular? (c) Qual a
velocidade angular em t=4s? (d) Calcule a aceleração angular em t=2s. (e) A
Aceleração angular é constante?
101) Qual a velocidade angular de um carro a 50 km/h, numa curva circular de
110m de raio?
102) Uma roda tem aceleração angular constante de 3 rad/s². Num intervalo de
4s, ela gira 120 rad. Supondo que a roda partiu do repouso, quanto tempo
permaneceu em movimento até o início do intervalo de 4s?
Exercícios:
0,126 rad/s
a) 2 rad, b) 0, c) 128 rad/s, d) 32 rad/s2 e e) não, ela depende do tempo.
8 s
a) 30s e b) 1800 rad
a) 15,7rad/s2 e b) 420 rev
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32) Energia Cinética de Rotação
Considerando um disco formado por inúmeras partículas 
girando:
2 2 21 1 1
2 2 21 1 2 2 i iK m v m v m v   K
21
2 i iK m v
21
2 ( )i iK m R 2 212 ( )i iK m R  
Mas sendo , podemos escrever:v R
I  Momento de inércia
O termo entre parênteses é o momento de inércia, análogo rotacional a massa.
2
i iI m R Logo... 21
2K I Energia cinética de rotação
(kg.m2)
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33) Teorema dos Eixos Paralelos
“O momento de inércia de um corpo em rotação em relação a um eixo 
qualquer é igual ao momento de inércia que ele teria em relação a esse eixo 
(Mh2), se toda sua massa estivesse no centro de massa , mais o seu 
momento de inércia em relação a um eixo passando pelo seu centro de 
massa.”
Onde h é de quanto foi deslocado o eixo e M é a massa total do 
sistema.
(kg.m2)2CMI I Mh 
143
144
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103) Calcule o momento de inércia de uma roda que tem uma energia cinética de
24400J quando gira a 602 ver/min.
104) Calcule o momento de inércia de uma régua de um metro, com uma massa
de 0,56kg, em relação a um eixo perpendicular à régua na marca de 20cm. (Trate
a régua como uma barra fina)
105) A figura abaixo mostra 3 partículas de 0,01kg que foram coladas em uma
barra de comprimento L=6cm e massa desprezível. O conjunto pode girar em
torno de um eixo perpendicular que passa pelo ponto O na extremidade
esquerda. Se removermos uma das partículas (ou seja, 33% da massa), de que
porcentagem o momento de inércia do conjunto em relação ao eixo de rotação
diminui se a partícula removida é (a) a mais interna e (b) a mais externa?
Exercícios:
12,29 kg.m2
146
106) O volante de um motor está girando a 25rad/s. Quando o motor é desligado
desacelera a uma taxa constante e para em 20s. Calcule (a) a aceleração
angular do volante, (b) o ângulo descrito pelo volante até parar e (c) o número de
revoluções realizadas pelo volante até parar?
107) Determinar o momento de inércia de uma barra delgada de 2m de
comprimento de 543g de massa com relação a um eixo perpendicular aoseu
eixo e que passe pelo seu centro de massa, determine também o momento de
inércia em relação a um eixo paralelo ao anterior a uma distância de 1m de
centro de massa.
108) Uma roda de 6 kg de massa e raio de giro de 40cm possui um movimento
de rotação com uma velocidade de 300 rpm. Determinar seu momento de inércia
e sua energia cinética.
0,724 kg.m2
a) 0,96kg.m2 e 473,26 J
a) -1,25 rad/s2, b) 250 rad e c) 39,8 rev
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34) Torque:
Torque significa torcer (latim), pode ser facilmente 
identificado pela ação da força de torcer ou girar.
ܨܿ݋ݏ
ܨݏ݁݊
a) 2º lei de Newton para rotações:
tF R  ( )t tF ma
( )tma R  ( )ta R
( )m R R 
2( )mR  I 
R F  
r rr
(N.m)
* O torque é positivo no sentido anti-horário.
* O torque é negativo no sentido horário.RFsen 
2( )I mR
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149
߬⃗
߬⃗
150
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110) Uma esfera homogênea, inicialmente em
repouso, rola sem deslizar, partindo da extremidade
superior do trilho mostrado na figura ao lado, saindo
pela extremidade da direita. Se H=60m, h=20m e o
extremo direito do trilho é horizontal, determine a
distância horizontal do ponto A até o ponto que a
esfera toca o chão.
Exercícios:
109) Determinar o torque necessário para aumentar a velocidade de um motor
cujo momento de inércia é de 9 kg.m², de 120 rpm até 429 rpm em 6s.48,51 N.m
47,87m
35) Trabalho, Potencia e Teorema Energia Cinética-Trabalho:
Considere um corpo que gira de um ângulo d , 
o trabalho para realizar este giro é:
( ) ( )tdW Fds ds Rd dW F R d     
r
dW d 
2
10
W
dW d


   
f
i
W d


  
Para o trabalho total:
definição
Para um torque constante:
W   
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a) Potencia:
( )dW dP
dt dt
 
 
dP
dt
 
  P 
b) Teorema Energia Cinética-Trabalho:
Para um torque constante:
2 21 1
2 2f iW I I K    
21
2K I
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111) Um roda de 32kg, essencialmente um aro fino com 1,2m de raio, está girando
a 280rev/min. Ela precisa ser parada em 15s. (a) Qual é o trabalho necessário para
faze-la parar? (b) Qual é a potência média necessária?
112) Um aro de 140kg rola sobre um piso horizontal de modo que o seu centro de
massa possui uma velocidade de 0,15m/s. Qual é o trabalho que deve ser feito
sobre o aro para faze-lo parar?
113) Determinar o trabalho que é necessário realizar para aumentar a velocidade
angular de uma roda, cujo momento de inércia é 15 kg.m², de 3 até 7 rpm.
Exercícios:
-3,15 J
3,525 J
a) -19779,6 J e b) 1318,64 W
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Trabalho (2,0), entrega dia 26/06:
Dois discos delgados, cada um de 4, 0 kg de
massa e raio de 0, 40 m, são ligados conforme
mostrado ao lado para formar um corpo rígido.
Qual o momento de inercia desse corpo em volta
do eixo A, ortogonal ao plano dos discos e
passando pelo centro de um deles?
3,2 kg.m2
158
Referencias:
-HALLIDAY, D., RESNICH, R., WALKER,J., Fundamentos de Física – Mecânica, Vol 1, 4 Ed. LTC, RJ, 1996
-TIPLER, P., Física – Mecânica, Vol 1, 3 Ed. LTC, RJ, 1995
- RESNICH, R., HALLIDAY, D., KRANE, K. S., Física1, 4 Ed. LTC, RJ, 1996.
- ALONSO & FINN. Física, Um curso Universitário, Ed. Edgard Blucher Ltda, SP, 1981.
- FREDERICK J. KELLER, W. EDWARD GETTYS, MALCOLM J. SKOVE. Física, São Paulo : Makron Books, 1999.
- FRANCIS SEARS, MARK W. ZEMANSKY, HUGH D. YOUNG. Física, 1. ed. São Paulo : Livros Técnicos e Científicos, 1990. 
- H. MOYSÉS NUSSENZVEIG Curso de Física Básica 3.ed. São Paulo : Edgard Blücher, 1996.
Texto baseadoe retiradasfiguras do HALLIDAY, RESNICK, WALKER, vol. 2, 4ª Ed.