201831 202551 Módulo+Zero+ +Cálculo+Aplicado

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Cálculo Aplicado – Revisão de Derivadas e Integrais 
 
Derivadas 
 
Vamos nesta e nas próximas aulas estudar um dos conceitos de cálculo mais interessantes e úteis: 
as derivadas. 
 
 
1 – Introdução 
 
1.1 – Contextualização 
 
Se um carro percorre 100 km em 2 horas não podemos dizer que a sua velocidade foi o tempo todo 
constante e de 50 km/h, pois as condições de trânsito impõem mudanças de velocidade a todo 
instante. O que se pode concluir é que a velocidade média foi de 50 km/h. Essa velocidade média 
não exclui a possibilidade de que, em determinado instante, a velocidade máxima possa a ser 
atingido, por exemplo, 60 km/h ou a velocidade mínima, em outro instante, possa ter sido de 10 km/h, 
por exemplo. 
 
Há, portanto, uma velocidade instantânea cujo cálculo exige um novo recurso matemático: a 
derivada. 
 
 
1.2 – Taxa de variação e o conceito intuitivo da derivada 
 
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma função, 
o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por exemplo, da determinação da taxa de 
crescimento de certa população, da taxa de crescimento econômico do país, da taxa de redução da 
mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da velocidade de corpos ou objetos em 
movimento, enfim, poderíamos ilustrar inúmeros exemplos que apresentam uma função variando e 
que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Para entendermos 
como isso se dá, inicialmente vejamos a definição para taxa de variação média e instantânea de uma 
função: 
 
De modo geral, quando uma grandeza y está expressa em função de uma outra x, ou seja, y = f(x), 
observamos que, para uma dada variação de x, ocorre em correspondência, uma variação de y, 
desde que y não seja uma função constante. O símbolo matemático para esta variação (incremento) 
em x é Δx e para y é Δy. 
 
Matematicamente, o quociente 
 
   2 1
2 1
f x f xy
x x x


 
 
 
recebe o nome de taxa média de variação da função f (x) quando x passa do valor x1 para o valor o 
valor x2 e expressa a variação média sofrida pelos valores da função f (x) entre estes dois pontos. 
 
 
 
 
 
 3 
Agora imagine que fixamos x1 façamos agora x2 se aproximar cada vez mais do ponto x1. 
Evidentemente, quanto mais próximo x2 estiver de x1, menor será o valor de ∆x. Dito de outro modo, 
∆x → 0 quando x2 → x1. Quando os pontos estiverem infinitamente próximos, temos o que chamamos 
de taxa de variação pontual, e ainda no caso da variável independente ser o tempo, a taxa de 
variação é denominada instantânea: 
   2 1
2 1 2 1 2 1
lim lim
x x x x
f x f xy
x x x 


 
 
 
Reescrevendo o limite considerando que 
2 1x x x  
, então 
2 1 ,x x x 
assim: 
 
   1 1
0
lim .
x
f x x f x
x 
 

 
 
que é exatamente a definição de Derivadas. 
 
 
2 – Derivada de uma função 
 
2.1 – Definição 
 
Diz-se que a função f(x) é derivável se existir o seguinte limite: 
   
0
lim
x
f x x f x
x 
 

 
 
Principais Notações: 
 
Duas notações são comumente utilizadas para a derivada, vejamos: 
 
Notação de Leibniz: df
dx
ou dy
dx
 
 
 
 
 
 
 
Notação de Lagrange: 
'( )f x
ou 
'( )y x
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: A expressão acima é lido como “derivada de f em relação a x e derivada de y em 
relação a x” ou ainda “df sobre dx e dy sobre dx” 
 
NOTA: Na notação de Lagrange, “linha” representa a derivada. Desta forma se houver 
“duas linhas”, significa que há duas derivadas. 
 
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2.2 – Conhecendo a derivada de algumas funções 
 
O cálculo da derivada através da sua definição nem sempre é simples, pois envolve o cálculo de um 
limite. Para minimizar este problema, utilizamos algumas propriedades das derivadas, que 
chamaremos de regras de derivação, as quais não serão demonstradas neste texto, porém suas 
demonstrações decorrem da definição de derivada e podem ser encontradas na maioria dos livros de 
Cálculo. 
 
 
2.2.1 – Derivada de uma função constante 
 
Se y é uma função constante definida por 
,y k
então 
' 0y 
 
 
 
2.2.2 – Derivada de uma função potência 
 
Se y é uma função potência definida por 
,ny x
então 
1' ny nx 
 
 
 
 
2.2.3 – Derivada de uma função trigonométrica 
 
Se y é uma função seno definida por 
( ),y sen ax
então 
' cos( )y a ax
 
 
 
Se y é uma função cosseno definida por 
cos( ),y ax
então 
' ( )y asen ax 
 
 
 
Se y é uma função tangente definida por 
( ),y tg ax
então 
2' sec ( )y a ax
 
 
 
Se y é uma função cotangente definida por 
cot ( ),y g ax
então 
2' cossec ( )y a ax 
 
 
 
Se y é uma função secante definida por 
sec( ),y ax
então 
' sec( ).cossec( )y a ax ax
 
 
 
Se y é uma função cossecante definida por 
cossec( ),y ax
então 
' cossec( ).cot ( )y a ax g ax 
 
 
 
 
 
 
Você já ouviu falar nas identidades trigonométricas? Pois então, estas fórmulas que 
vocês podem encontrar em livros de cálculo e tabelas, são muito úteis para reescrever 
e simplificar funções trigonométricas. E em determinados momentos podemos nos 
deparar com funções que não encontraremos de imediato na tabela, mas com auxilio 
das identidades trigonométricas, poderemos reescrever a função e desta calcular sua 
respectiva derivada. 
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2.2.4 – Derivada de uma função exponencial 
 
Se y é uma função exponencial definida por 
,axy b
então 
' . .ln( )axy a b b
 
 
Em especial: 
 
Se y é uma função exponencial definida por 
,axy e
então 
' . axy a e
 
 
 
2.2.5 – Derivada de uma função logarítmica 
 
Se y é uma função logarítmica definida por 
ln( ),y ax
então 1
'y
x

 
 
 
2.2.6 – Derivada de uma função com raiz 
 
Se y é uma função com raiz definida por 
,ny x
então 
1
1
'
n n
y
n x 

 
 
 
Se y é uma função com raiz definida por 
,
n
a
y
x

então 
1
'
n n
a
y
n x 


 
 
 
 
 
 
 
 
2.2.7 – Derivada de uma função potência no denominador 
 
Se y é uma função potência no denominador, definida por 
,
n
a
y
x

então 
1
.
'
n
a n
y
x 


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: Esta regra acima só serve se “dentro” da raiz for x. Quando tivermos x2, por 
exemplo, teremos que escrever a função como uma potência. 
 
NOTA: A função y = x-3, por exemplo, pode ser resolvida através desta regra acima, basta 
para isso reescrever a função como: 
3
1
.y
x

 
 
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2.3 – Propriedades operatórias das derivadas 
 
Veremos agora algumas regras que ajudarão a tornar mais simples o cálculo da derivada de uma 
função. 
 
2.3.1 – Derivada de uma constante multiplicando ou dividindo uma função 
 
Se k representa uma constante e f(x) uma função derivável, temos que: 
. ( ) ' . '( )y k f x y k f x  
 
 
Observação: Esta regra diz que basta manter a constante que está multiplicando ou dividindo e 
derivar somente a função. 
 
 
2.3.2 – Derivada da soma ou subtração de funções 
 
Se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, temos que: 
( ) ( ) ' '( ) '( )y f x g x y f x g x    
 
 
Observação: Esta regra diz que basta separar por meio do sinal de +/- cada parte função e derivar 
separadamente. 
 
 
2.3.3 – Derivada do produto de funções 
 
Se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, temos que: 
( ) . ( ) ' '( ) . ( ) ( ) . '( )y f x g x y f x g x f x g x   
 
 
Observação: Esta regra diz que basta identificar as funções, derivar cada uma separadamente e 
depois substituir na regra do produto. Vale ressaltar, que o produto entre funções,segundo a regra, 
não será igual ao produto entre suas derivadas. 
 
 
2.3.3 – Derivada da divisão de funções 
 
Se f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, temos que: 
 
2
( ) '( ) . ( ) ( ) . '( )
'
( ) ( )
f x f x g x f x g x
y y
g x g x

  
 
 
Observação: Esta regra diz que basta identificar as funções, derivar cada uma separadamente e 
depois substituir na regra da divisão. Vale ressaltar, que a divisão entre funções, segundo a regra, 
não será igual à divisão entre suas derivadas. 
 
 
 
 
 
LEMBREM-SE: As regras de derivação de uma soma/subtração e de um produto podem 
ser estendidas para n funções. 
 
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3 – Derivada de uma função composta 
 
3.1 – Introdução 
 
Até o momento sabemos derivar a função 
3( )f x x
e também a função 
( ) 2 1g x x 
. Considere 
agora a função composta 
 
3
( ) ( ( )) 2 1fog x f g x x  
. Como poderemos obter a derivada da função 
composta 
)(xgof
sem desenvolver o Binômio? 
 
3.2 – Definição 
 
A regra que veremos a seguir estabelece uma forma de obter a derivada da função composta em 
termos das funções elementares f e g e também possibilita o cálculo de funções mais elaboradas. 
 
Esta regra muito útil para o cálculo de derivadas é conhecida como regra da cadeia. 
 
Dadas duas funções deriváveis, f(x) e g(x) e uma função y, composta por de f com g, temos: 
( ( )) ' '( ( )). '( )y f g x y f g x g x  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
NOTA: Em outras palavras a regra da cadeia define a derivada da função composta como 
um produto entre a “função interna” e a “função externa”. 
 
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Cálculo Aplicado – Revisão de Derivadas e Integrais 
 
Integrais 
 
No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a área sob uma 
curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas de problemas de Física, 
como por exemplo, na determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for 
conhecida a sua velocidade instantânea em todos os instantes. 
 
 
1.1 – INTRODUÇÃO 
 
Até o momento, nosso problema era: dada a função obter a sua derivada. A partir de agora, 
trabalharemos com a pergunta inversa: dada a função de quem ela é derivada? 
 
A operação contrária a derivada é chamada de Integral ou anti-derivada. 
 
O que acabamos de mencionar-nos motiva a seguinte definição: 
 
 
Uma função F(x) é chamada primitiva da função f(x) em um intervalo I, se para todo 
,x
tem-se 
'( ) ( ).F x f x
 
 
 
Seja f(x) = 4x3 + 2x + 1. F(x) = x4 + x2 + x é primitiva da função f(x), pois F’(x) = f(x). Mas não existe 
uma única integral, note, por exemplo, que: G(x) = x4 + x2 + x + 5 também é uma anti-derivada de f(x), 
pois G’(x) = f(x). 
 
Na verdade, qualquer função definida por H(x) = x4 + x2 + x + C, onde C é uma constante qualquer, 
será integral de f(x). 
 
 
 
 
 
1.2 – NOTAÇÃO 
 
Se a função F(x) é primitiva da função f(x), a expressão F(x) + C é chamada integral indefinida ou 
antiderivada da função f(x) e é denotada por: 
 
     CxFdxxfI
 
onde: 

 é chamado sinal de integração 
 
 f x dx
é chamada de função integrando (diferencial) 
 
 F x C 
é chamada de função primitiva ou solução geral 
 
 
 
 
NOTA: Cada função tem infinitas anti-derivadas, diferenciadas entre si pelo valor 
específico da constante C, que pode ser determinada mediante uma condição inicial. 
 
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1.3 – TABELA DE INTEGRAÇÃO 
 
Pelo fato de integração e diferenciação serem operações inversas uma da outra, descobrimos muitas 
das regras de integração tentando inicialmente “adivinhar” a anti-derivada da função a ser integrada. 
Por exemplo: Se 
 ( ) cos( )
d
sen x x
dx

 então 
cos( ) ( )x dx sen x C 
. Podemos analisar que tal 
resultado pode ser verificado demonstrando-se que 
'( ) ( ).F x f x
 Porém, em algumas situações 
“adivinhar” a anti-derivada não é muito trivial, então as regras de integração podem nos auxiliar. 
 
1.3.1 – Utilizando as regras de potenciação/radiciação, produtos notáveis e identidades 
trigonométricas para reescrever a função e calcular sua integral 
 
Nem todas as funções que iremos integrar estão tabeladas. Mas, é possível resolvê-la com auxílio da 
tabela depois de reescrevê-la. Dentre algumas regras que podemos utilizar estão: Potenciação e 
Radiciação, Produtos Notáveis e Identidades Trigonométricas. 
 
 
2 – INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO 
 
2.1 – INTRODUÇÃO 
 
Como vimos na seção anterior, é importante sermos capazes de encontrar anti-derivadas. Mas 
nossas fórmulas de integração não mostram como calcular integrais do tipo 
 
 
4
2 3I x dx 
 
 
Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão (2x – 3)4 através das regras de 
produtos notáveis e, em seguida, integrar a expressão termo a termo. Porém em alguns casos essa 
técnica se torna inviável. Algumas vezes, é possível determinar a integral de uma dada função 
aplicando uma das fórmulas básicas depois de feita uma mudança de variável. Este processo é 
análogo à regra da cadeia para derivação e pode ser justificado como segue. 
 
 
2.2 – DEFINIÇÃO DO MÉTODO 
 
Pela regra da cadeia, temos: 
 
       
 
( ) ' ' ( ) . ( ) ( ) . '( ), , ( )
( ) . '( ).
F g x F g x g x f g x g x isto é F g x é uma primitiva de
f g x g x
     
 
Temos, então 
 
   ( ) . '( ) ( ) .f g x g x dx F g x C 
 (1) 
 
 
 
 
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Fazendo 
( ) 1 '( )u g x du g x dx  
 e substituindo em (1), vem 
 
 ( )I f u du F u C  
 
 
 
 
 
 
2.3 – MÉTODO DE RESOLUÇÃO 
 
Para resolver a integral de uma função composta, por substituição, seguiremos os seguintes passos: 
 
1º Passo: determine “u” e calcule sua derivada; 
2º Passo: reescreva a integral em função de “u”; 
3º Passo: calcule a integral resultante, para isso utilize a Tabela de Integração; 
4º Passo: reescreva a função em relação à “x” substituindo o “u”. 
 
 
3 – INTEGRAL POR PARTES 
 
3.1 – INTRODUÇÃO 
 
Na seção anterior foi apresentada o Método de Integrais por Substituição, mas existem integrais, tais 
como: 
,xxe dx
ou, 
3 cos( ) ,x x dx
que não podem ser resolvidas aplicando este método. Desta forma, 
necessitamos de alguns conhecimentos a mais. Então, aprenderemos agora a Técnica de Integração 
por Partes. 
 
3.2 – DEFINIÇÃO DO MÉTODO 
 
Cada regra de diferenciação tem uma regra correspondente de integração. Por exemplo, a Regra da 
Substituição para integração corresponde à Regra da Cadeia para diferenciação. A regra que 
corresponde à Regra do Produto para diferenciação é chamada de integração por partes. 
 
A Regra do Produto estabelece que se f e g são funções diferenciáveis, então: 
 
 '( ). ( ) ( ). '( ) ( ). ( )f x g x f x g x dx f x g x 
 
ou 
 
'( ). ( ) ( ). '( ) ( ). ( )f x g x dx f x g x dx f x g x  
 
 
Podemos rearranjar essa equação como 
 
( ). '( ) ( ). ( ) '( ). ( ) (1)f x g x dx f x g x f x g x dx  
 
Dica: Na prática, devemos definir uma função 
( )u g x
conveniente, de tal forma que a 
integral obtida seja mais simples, podendo ser resolvida através das funções básicas. 
E no caso em que houver produto ou divisão de funções, devemos chamar de 
( )u g x
a função ou parte dela que ao derivar se torne igual ou equivalente a outra. 
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A fórmula (1), chamada fórmula de Integração por Partes, é mais facilmente lembrada com a 
seguinte notação: seja u = f (x) e v = g(x). Então as diferenciais são du = f ‘(x) dx e dv = g’(x) , e 
assim, pela Regra da Substituição, a fórmulada integração por partes torna-se 
 
. . . (2)u dv u v v du  
 
 
A expressão (2) é conhecida como a Fórmula de Integração por Partes. 
 
O objetivo da integração por partes é passar de uma integral 
( )f x dx
 que não sabemos calcular 
para uma integral 
u dv
 que podemos calcular. Quando aplicarmos esta fórmula, devemos separar 
o integrando dado em duas partes, uma sendo u e a outra, juntamente com dx, sendo dv. Por essa 
razão o cálculo de integral utilizando a fórmula (2) é chamado de Integração por Partes. 
 
 
 
 
3.3 – MÉTODO DE RESOLUÇÃO 
 
3.3.1 – Utilizando a Fórmula 
 
Para resolver a integral de uma função composta, por partes, utilizando a fórmula seguiremos os 
seguintes passos: 
 
1º Passo: determine “u” e calcule sua derivada, determine o “dv” e calcule sua integral; 
2º Passo: utilize a fórmula para reescreva a integral; 
3º Passo: calcule a integral resultante, para isso utilize a Tabela de Integração; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dica 1: Caso haja produto entre uma função polinomial e outra qualquer (exponencial, 
trigonométrica), vamos chamar de u a função polinomial. 
Dica 2: Caso haja produto entre duas funções não polinomiais (exponencial, 
trigonométrica), vamos chamar de dv a função que for mais simples para integrar. 
NOTA: Caso a integral resultante seja definida por um produto entre duas funções, será 
necessário utilizar a integral por partes novamente. 
 
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3.3.2 – Utilizando o Dispositivo Prático 
 
Baseado na fórmula de Integração por partes é possível chegar ao resultado da integral através do 
seguinte dispositivo prático: 
 
1º Passo: Monte uma tabela com duas colunas, sendo uma para derivada (coluna da esquerda) e 
outra para integral (coluna da direita). 
2º Passo: Se o produto for entre uma função polinomial e outra qualquer, coloque na coluna da 
derivada a função polinomial derive a função até zerar. O número de derivadas calculadas irá indicar 
o número de integrais que também deverão ser calculadas. 
3º Passo: Agora se o produto for entre duas funções não polinomiais, coloque na coluna de integral 
a função que for mais simples para resolver e na coluna da derivada, derive a outra função até que a 
mesma retorne a forma original. E assim como no caso anterior, o número de derivadas calculadas 
irá indicar o número de integrais que também deverão ser calculadas. 
4º Passo: Monte sua resposta multiplicando os resultados sempre na diagonal e na última linha, 
multiplique em linha reta, intercalando os sinais em mais (+) e menos (-). 
 
 
 
4 – INTEGRAL DEFINIDA 
 
4.1 – DEFINIÇÃO CONCEITUAL 
 
Para descrevermos a integral de uma função f(x) de um intervalo x entre [a, b] utiliza-se a notação: 
( )
b
a
S f x dx 
 
A ideia desta notação utilizando um S comprimento é generalizar a noção de somatório. Isto porque 
intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenos retângulos de base dx 
e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. A soma de todas estas pequenas áreas, 
ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Mais precisamente podemos dizer que a 
integral acima é o valor limite da soma: 
0
( ) ,
N
i
i
b a
f x x onde x
N

  
 
é o comprimentos de pequenos intervalos nos quais dividimos o intervalo (b – a). O que se espera é 
que quando N for muito grande o valor da soma acima se aproxime do valor abaixo da área da curva 
e, portanto, da integral de f(x) no intervalo. Ou seja, que o limite: 
0
lim ( ) ( )
bN
i
N i a
f x x f x dx S
 
   
 
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esteja definido. O problema é que este raciocínio intuitivo é difícil de colocar em linguagem 
matemática precisa. Por isso existem várias formas de se definir a integração de maneira formal. O 
resultado, entretanto é coerente entre elas. 
 
4.2 – TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 
 
Se f(x) é uma função contínua no intervalo [a, b] e F’(x) = f(x), então: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
I f x dx F x F b F a   
 
A expressão 

b
a
dxxf )(
 é chamada de Integral Definida de f de a até b. 
 
Em linguagem simples, este teorema nos diz que se F é uma anti-derivada de f, então a integral 
definida de a até b de f é dada pela diferença F(b) – F(a). Os valores de a e b são chamados de 
limites de integração. 
 
 
5 – CÁLCULO DE ÁREA 
 
 
5.1 – DEFINIÇÃO CONCEITUAL 
 
Como vimos na seção anterior, se a função f(x) é não-negativa e 
integrável em [a, b], então integral definida 

b
a
dxxf )(
 é igual a área da 
região sob o gráfico de f(x) em [a, b], conforme ilustra a figura ao lado. 
Desta forma, o cálculo de área de figuras planas pode ser feito através da Integral definida. Vejamos 
as situações que comumente ocorrem. 
 
 
1º CASO: Se a área da figura plana é limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos 
x, onde f é contínua e 
 baxxf ,,0)( 
, conforme ilustra a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
Então, a área é dada por: 
 
( )
b
a
A f x dx 
 
 
 
 
 
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2º CASO: Se a área da figura plana é limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e o eixo dos 
x, onde f é contínua e
 baxxf ,,0)( 
, conforme ilustra a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
3º CASO: Se a área da figura plana é limitada pelos gráficos de f e g, pelas retas x = a, x = b e o 
eixo dos x, onde f e g são funções contínuas em [a, b], podendo f e g assumirem valores não 
negativos para todo
 bax ,
, conforme ilustra a figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, a área é dada por: 
 
( )
b
a
A f x dx 
 
 
Note que neste caso, basta tomar o módulo 
da integral. 
 
 
 
Então, a área é calculada pela diferença entre a 
área sob o gráfico de f e a área sob o gráfico de g, 
ou ainda: 
 
 sup inf
b
a
A dx 
 
 
LEMBRE-SE: Quando não for dado os limites de integração é necessário que você a 
determine primeiro. Para isso faça f(x) = g(x) e resolva a equação resultante. Igualando 
as duas funções, você irá encontrar os pontos de intersecção entre elas. Depois é só 
construir o gráfico das duas funções e calcular a área, utilizando o conceito de integral 
definida. 
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6 – CÁLCULO DE VOLUME DE UM SÓLIDO DE REVOLUÇÃO 
 
6.1 – DEFINIÇÃO CONCEITUAL 
 
Fazendo uma região plana girar em torno de uma reta no plano, obtemos um sólido, que é chamado 
Sólido de Revolução. A reta ao redor da qual a região gira é chamada eixo de revolução. 
 
Por exemplo, fazendo um retângulo girar em torno de um eixo coincidente com um dos seus lados, 
obtemos um cilindro: 
 
 
Fazendo agora um triângulo retângulo girar em torno de um eixo coincidente com um dos seus 
catetos, obtemos um cone: 
 
 
E por fim, fazendo, por exemplo, uma semicircunferência girar em torno de um eixo coincidente com 
o diâmetro, obtemos uma esfera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Vejamos as situações que comumente ocorrem. 
 
1º CASO: Seja R a região limitada pela função f(x) no intervalo de [a, b]. Então, o volume o sólido 
gerado pela revolução da região R em torno do eixo x, é definido por: 
 
 
2
( )
b
a
V f x dx 
 
 
2º CASO: Seja R a região limitada pela função g(y) no intervalo de [a, b]. Então, o volume o sólido 
gerado pela revolução da região R em torno do eixo y, é definido por: 
 
 
2
( )
b
a
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BIBLIOGRAFIA 
 
1. Cálculo A. Diva Flemming. Editora Pearson Prentice Hall. 6ª edição. São Paulo: 2004. 
 
Lembre-se: Quando formos calcular o volume de um sólido devemos ficar atentos 
quanto o eixode rotação. Caso a rotação seja em torno do eixo x, devemos isolar a 
variável y, agora se a rotação for em torno do eixo y, devemos isolar a variável x.