Experimento Bobinas

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⦁ OBJETIVOS
No experimento realizado se desejava levantar a intensidade do campo magnético, 
este que seria gerado por uma bobina finita e então por uma associação série de 
duas bobinas finitas, em função da posição dos pontos do eixo de cada bobina. 
Deseja-se também comparar os resultados experimentais com os resultados 
previstos pela teoria.
⦁ INTRODUÇÃO TEÓRICA
A teoria começa com a aplicação da Lei de Biot e Savart, esta que nos permite a 
calcular e determinar o campo de indução magnética em um ponto especifico, mas 
especificamente o eixo de simetria de uma espira circular de raio “R”, quando este 
está a uma distância “x” do centro da espira.
Onde o campo tem a direção do eixo de simetria da espira e seu sentido depende 
do sentido de percurso da corrente na espira.
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⦁ Campo magnético de bobina finita
Imagine uma bobina finita sendo construída por um número N (infinito) de
espiras circulares idênticas, estas com o mesmo centro com a bobina, com seus 
centros coincidindo sobre o eixo da bobina, formando uma “pilha” de espiras 
percorridas pela mesma corrente I, cujo “corte” num plano de simetria que 
contenha seu eixo tem a forma da ilustração da Figura 2.
Como pode observar na Figura 2, os pontos (•) e os (x) representam o sentido 
com que as correntes percorrem as espiras circulares “cortadas”, sendo o primeiro 
indicativo de correntes que “saem” do plano da página, e o segundo representativo 
de correntes que “entram” neste plano.
Utilizando a lei de Biot e Savart iremos determinar em um ponto “P” sua indução 
magnética por superposição, se encontra à distância x da origem dos eixos 
cartesianos adotados, onde o eixo dos x coincide com o eixo da bobina e o eixo dos 
y é perpendicular a ele pelo ponto médio do eixo do cilindro, a origem deste sistema 
O será também o ”centro” da bobina e x’ é a distância do ponto P até o elemento de 
largura dx’ da bobina (área sombreada) que contém uma parcela pequena do total 
de espiras da bobina.
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Figura 2: Ilustração do corte da bobina, localizando o P ponto do eixo. é o 
ângulo da reta entre o ponto P e o elemento dx’ da bobina com o eixo Ox.
Se N é o número de espiras da bobina e é o seu comprimento (altura), a 
“densidade de espiras” n da bobina (quantidade de espiras por unidade de 
comprimento da bobina), pode ser determinada pela expressão:
Se cada espira da bobina é circular e P se encontra em seu eixo de simetria 
à distância x’ de seu centro, o campo devido a cada espira em P é o dado pela 
equação (1). Em um elemento de altura dx da bobina estão contidas n.dx’ espiras 
com eixo de simetria comum, fazendo com que no ponto P o campo devido a estas 
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espiras “confinadas” no elemento de bobina de altura dx’ seja:
 
Para se determinar o campo de indução magnético resultante no ponto P 
considerado, devemos integrar a equação (2) ao longo de todo o comprimento da 
bobina no intervalo (ver ilustração da figura 2):
Realizando as transformações necessárias:
E substituindo no campo devido ao elemento de bobina considerado na 
equação (2), temos:
 
Onde deve ser integrada entre e , sendo estes os ângulos definidos 
pelas retas que passam pelo ponto P e o “final” da bobina ( ) e pelo ponto P e o 
“inicio” da bobina ( ) com o eixo Ox . Portanto:
Sendo que o cosseno de é negativo pois ele é maior que 90° (2o 
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quadrante). Substituindo estes cossenos pelas coordenadas de posição do ponto P 
em relação ao sistema de coordenadas cuja origem está no centro da bobina e pelo 
valor do raio da bobina, tem-se:
Segundo a regra menciona na Figura 1 onde o eixo da bobina e sentido 
aplicado à corrente (sentido positivo de x sobre a orientação de correntes nas 
espiras considerada mostrada na figura 2). O esboço do gráfico da intensidade de 
B no interior da bobina em função da posição x do ponto tem a forma apresentada 
na figura 3.
Na equação (5), a única variável é x, que indica a posição do ponto onde se 
está medindo o campo em relação ao centro da bobina de comprimento ℓ. Se, nesta 
função, procurarmos determinar a expressão que fornece o campo na posição x = 0 
(centro da bobina), obtemos:
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⦁ Medida do campo de indução magnética da bobina
O campo magnético pode ser medido em um ponto no interior da bobina de 
campo descrita acima, utilizando uma outra lei do eletromagnetismo, que é a Lei 
de Faraday, esta que que demostra forma empírica em uma região de espaço, 
onde existe um campo de indução magnética variando no tempo (não 
estacionário) é “gerado” um campo elétrico (não eletrostático), que define uma 
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força eletromotriz cujo valor que pode ser determinado a partir da variação no 
tempo do fluxo de campo magnético por uma superfície definida por um 
contorno fechado qualquer.
⦁ Lei de Faraday - Lenz
Em uma dada região do espaço há um campo de indução magnética, e que seja 
um circuito fechado de contorno C, que limita uma superfície de área S na região 
onde este campo existe. O fluxo do campo gerado pelo campo de indução 
magnética nos pontos da superfície S confinada pelo circuito C como sendo: 
 
A Lei de Faraday – Lenz garante que, se este fluxo varia no tempo, uma 
força eletromotriz V pode ser medida no circuito e é dada por: 
 
Nos pontos localizados no interior da bobina, existe um campo de indução 
magnética descrito pela equação (5). Se na bobina de campo a corrente I que 
alimenta é variável no tempo (por exemplo, uma corrente alternada harmônica), o 
campo magnético também será variável no tempo em cada um destes pontos. Se 
observa:
 
Substituindo esta expressão na equação (5) temos: 
 
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Indicando um campo variável no tempo e no espaço, cujo valor depende da 
posição x do ponto interno da bobina de campo, na qual denominamos de Bm à 
quantidade que depende exclusivamente da variável de posição x, e não de t:
 
Com uma bobina pequena de Nsonda construída de espiras idênticas, cada 
uma de área Ssonda de tal forma que suas dimensões sejam tão pequenas que 
pouquíssimos pontos internos da bobina de campo sejam internos a esta pequena 
bobina, que chamamos de “sonda”, o fluxo do campo magnético dos pontos internos 
da bobina de campo na bobina sonda pode ser escrito aproximadamente como:
 
Após uma redução da dimensão das espiras da bobina de sonda faz com que o 
campo da bobina de campo seja praticamente o mesmo em todos os pontos 
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internos da bobina de sonda. Na expressão acima, fazemos a hipótese de que o 
eixo da bobina de sonda é paralelo ao eixo da bobina de campo, e que só estamos 
medindo o campo nos pontos do eixo da bobina de campo.
Ao substituirmos, na expressão do campo de indução magnética, a parte 
correspondente à variação apenas no espaço por 𝐵𝑚, indicado na equação (7). 𝐵𝑚
corresponde ao máximo valor da intensidade do campo de indução magnética em 
um ponto de posição x no interior da bobina de campo. Este valor só depende da 
posição do ponto, da geometria da bobina e do máximo valor da intensidade de 
corrente alternada que alimenta a bobina de campo. 
Derivando no tempo a equação (9), obtemos a força eletromotriz induzida na 
bobina sonda por ação de campo de indução magnética da bobina de campo:
 Onde: 
Este que representa os valores de pico da tensão alternada induzida que 
pode ser medida nos terminais da bobina de sonda. Se conhecermos o valor de 
Vm , o número de espiras da bobina de sonda (Nsonda), a área de cada espira da 
bobina de sonda (Ssonda) e a pulsação (ꙍ=f, onde f é a frequência do sinal 
alternado que alimentaa bobina de campo), podemos determinar o valor 
aproximado da máxima intensidade do campo de indução magnética no “ponto” do 
eixo, interno da bobina de campo: 
 
2.4 Superposição de Campos de duas bobinas associadas em série
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Se ocorre uma superposição por meio de duas bobinas de campo idênticas e 
estas são associadas em série, de forma que percorridas pela mesma corrente, o 
campo resultante nos pontos do eixo comum das duas bobinas pode ser obtido 
neste ponto. A figura 4 dá uma ideia de como se pode determinar graficamente o 
campo resultante no ponto P.
Note-se que, se adotarmos um sistema cartesiano com centro no ponto 
médio da separação entre as duas bobinas, o ponto P está localizado a uma 
distância x desta origem comum, distância a do centro da bobina de campo da 
esquerda e à distância b do centro da bobina da direita. A intensidade deste campo 
pode ser medida tanto pela bobina de sonda como pode ser obtido pela 
superposição dos valores de campo devido a cada bobina no ponto P. Para se obter 
o campo resultante utilizando o processo gráfico de superposição, considere-se a 
curva Bm versus x de cada bobina, agora “centrada” na posição x correspondente 
ao seu deslocamento nos novos eixos, e soma-se para as mesmas abcissas os 
valores do campo de cada bobina, conforme ilustra o esboço da figura 4.
⦁ MATERIAL UTILIZADO
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⦁ Gerador de tensão alternada (AC), de valores ajustáveis; 
⦁ Amperímetro AC 
⦁ Multímetro, na função de voltímetro, para medida de tensão AC 
⦁ 2 bobinas de campo 
⦁ Bobina sonda montada em suporte próprio 
⦁ Fios de ligação 
Amperímetro 
(A)
Voltímetro 
(V)
0,100 1,000
Tabela 1: Resolução
N S (cm²) Frequência 
(rad/s)
I (A)
60,000 0,573 120π 2,000
Tabela 4: Dados
⦁ PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
O experimento foi dividido em duas etapas: na primeira etapa, nós realizamos a 
montagem com uma bobina de campo, o amperímetro, a fonte de tensão alternada, 
um multímetro na opção VAC e uma bobina de sonda.
Alinhamos a bobina de sonda e nos certificamos de que a montagem com os fios 
estava correta. Em seguida, anotamos o número de espiras e a área da bobina de 
sonda cujos dados estão dispostos na tabela 3.
Logo após nos certificarmos de que o “zero” da bobina de sonda estava alinhado 
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com o centro da bobina de campo, ligamos a fonte ajustando a corrente para 2A.
No topo da bobina de sonda, havia uma escala de um em um centímetro e, por ela, 
fomos nos guiando para variar a posição da bobina de sonda de centímetro em 
centímetro até o limite de 10 cm, anotando a ddp na linha Veficaz da tabela 2.
Feito isso, calculamos Vm = Veficaz e Bm = em que , N representa o número de 
espiras e S a área da espira em m². Os dados deste cálculo também estão 
dispostos na tabela 2.
Partimos então, para a segunda etapa do experimento, que era semelhante a 
primeira, mas diferindo um pouco em relação a montagem: utilizamos duas bobinas 
de campo, uma bobina de sonda, um amperímetro, um multímetro na opção VAC, 
uma fonte de corrente alternada.
Alinhamos e posicionamos as bobinas de campo em série, com uma distância entre 
elas de 4 cm. Medimos o comprimento da bobina de campo, 7,4 cm e em seguida 
colocamos a bobina de sonda dentro das bobinas de campo de modo que o “zero” 
da primeira ficasse exatamente no meio da distância entre as bobinas de campo. 
Ligamos a fonte AC e ajustamos a corrente para 2A.
A exemplo da etapa anterior, variamos a distância de um em um centímetro até 
10cm, anotando a ddp na linha Veficaz da tabela 3.
Feito isso, calculamos Vm = Veficaz e Bm = em que , N representa o número de 
espiras e S a área da espira em m². Os dados deste cálculo também estão 
dispostos na tabela 3.
Para finalizar, iniciamos as construções dos gráficos Bm (mT) versus X (cm) para a 
situação da etapa 1 e 2.
⦁ TABELA DE DADOS
X (cm) ± 0,0 ± 1,0 ± 2,0 ± 3,0 ± 4,0 ± 5,0 ± 6,0 ± 7,0 ± 8,0 ± 9,0 ± 10,0
Veficaz (mV) 18,900 18,100 15,300 10,900 6,600 3,700 2,200 1,400 1,000 0,900 0,700
Vm (mV) 26,729 25,597 21,637 15,415 9,334 5,233 3,111 1,980 1,414 1,273 0,990
Bm (mT) 20,622 19,750 16,694 11,893 7,201 4,037 2,400 1,528 1,091 0,982 0,764
Tabela 2: Dados coletados e cálculos
X (cm) ± 0,0 ± 1,0 ± 2,0 ± 3,0 ± 4,0 ± 5,0 ± 6,0 ± 7,0 ± 8,0 ± 9,0 ± 10,0
Veficaz (mV) 7,100 7,600 11,400 15,400 18,800 20,300 20,000 18,200 14,800 10,000 6,300
Vm (mV) 10,041 10,748 16,122 21,779 26,587 28,709 28,284 25,739 20,930 14,142 8,910
Bm (mT) 7,747 8,293 12,439 16,803 20,513 22,150 21,823 19,859 16,149 10,911 6,874
Tabela 3: Dados coletados e cálculos
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N S (cm²) Frequência 
(rad/s)
I (A)
60,000 0,573 120π 2,000
Tabela 4: Dados
Módulo de Escala
Inicial Final Eixo Y (cm) Bm (mT)/cm Ajuste Bm (mT)/mm
0,000 20,622 13,000 1,586 2,000 0,200
Inicial Final Eixo X (cm) X (cm)/cm Ajuste X (cm)/mm
0,000 10 9,000 1,111 2,000 0,200
Tabela 5: Cálculo Módulo de Escala Gráfico 1 Bobina
Módulo de Escala
Inicial Final Eixo Y (cm) Bm (mT)/cm Ajuste Bm (mT)/mm
0,000 22,150 13,000 1,704 2,000 0,200
Inicial Final Eixo X (cm) X (cm)/cm Ajuste X (cm)/mm
0,000 10 9,000 1,111 2,000 0,200
Tabela 6: Cálculo Módulo de Escala Gráfico 2 Bobinas
⦁ ANÁLISE DOS DADOS
De posse dos dados das tabelas 2 e 3 partimos para a construção dos gráficos. O 
primeiro é o gráfico considerando a tabela 2 Bm versus X (cm) cujos módulos de 
escala estão dispostos nas tabelas 5 e 6.
O primeiro gráfico foi construído com os dados da montagem para uma bobina, e o 
segundo gráfico foi feito com os dados da montagem da bobina em série, 
considerando para efeito de deslocamento do eixo y, a distância entre elas.
⦁ CONCLUSÃO
Dada a representação gráfica dos dados obtidos com o experimento, consideramos 
que o objetivo do experimento foi atingido uma vez que os gráficos ficaram dentro 
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do esperado pela teoria.
Apesar de estar dentro do esperado, fatores como o fato do gráfico ter sido 
confeccionado a mão, somado ao possível mau contato dos fios com o multímetro, 
podem ter contribuído para alguma leitura errada ou destoante do multímetro.
⦁ QUESTIONÁRIO
⦁ O gráfico obtido a partir da Tabela 2 é semelhante ao esperado na teoria? 
Pode-se dizer que os resultados experimentais foram satisfatórios? 
Sim, o gráfico está dentro do que esperávamos porque se aproximou muito 
do gráfico de uma função cosseno. Desta forma, os resultados foram 
satisfatórios. O valor máximo para o Campo, por exemplo, foi de 20,62.
⦁ Cite a aproximação que foi considerada no cálculo do fluxo magnético na 
bobina sonda. 
A aproximação tem relação com o fluxo, equação 8 da teoria. Como as 
dimensões da bobina de sonda são muito pequenas, consequentemente 
poucos pontos da bobina de campo são internos a bobina de sonda fazendo 
com que o campo seja praticamente o mesmo em todos os pontos da bobina 
de sonda.
⦁ Este experimento poderia ser realizado se a alimentação das bobinas de 
campo fosse feita com um gerador CC (de corrente contínua)? Por que? 
⦁ No cálculo do campo magnético produzido pela corrente elétrica que 
atravessa a bobina de campo utilizando a lei de Biot-Savart foi considerado 
que a bobina de campo é circular. Porém, a bobina de campo utilizada no 
experimento não é perfeitamente circular. Isto pode ser uma causa da 
diferença entre o resultado teórico e o experimental? Esta diferença seria 
muito perceptível? Justifique sua resposta.
BIBLIOGRAFIA
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NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física Básica – Eletromagnetismo v. 3. São 
Paulo: editora Edgard Blucher Ltda, 1997.
HALLIDAY, D., RESNICK, R., KRANE, K.S. Física 3 v. 3. 9 ed. Rio de 
Janeiro: LTC, 1996.
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