bio_aula03

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Introdução à BioestatísticaIntrodução à Bioestatística
Marcelo Azevedo Costa
Depto. Estatística – UFMG
http://www.est.ufmg.br/~azevedo/
Reações à Probabilidade
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Situação Corrida de Cavalos
� Suponha que você tenha R$ 10.000,00 para apostar em 
uma corrida de cavalos. Abaixo estão as chances dos 
cavalos A, B e C de ganharem. Em qual cavalo você 
apostaria?
Cavalo A: 75%Cavalo A: 75%
Cavalo B: 20%Cavalo B: 20%
Cavalo C: 5%
Probabilidade
� Definições:
1. Fenômeno aleatório: situação ou 
acontecimentos que não podem ser previstos 
com certeza.
2. Espaço amostral: conjunto de todos os 
resultados possíveis de um experimento (Ω)
3. Eventos: subconjuntos de Ω (represetnados
por letras maiúsculas: A, B, ...); conjunto 
vazio:φ. 
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Exemplo (a)
� Um dado equilibrado é lançado:
� Experimento: lançar um dado (ξ1).
� Característica de interesse: no. face superior.
� Espaço amostra: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
� Eventos:
� A = {1, 3, 5} , resultados ímpares
� B = {2, 4, 6} , resultados pares
� C = {1, 2, 3} , os três menores resultados
Exemplo (b)
� Um certo procedimento cirúrgico é testado para a 
extração de um tumor:
� Experimento: realizar a cirurgia para extrair o tumor (ξ1).
� Característica de interesse: tempo de sobrevida do 
paciente.
� Espaço amostra: Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} (anos)
� Eventos:
� A = {0} , morte
� B = {1, 2, 3, 4, 5} , sobrevida de no máximo 5 anos
� C = {6, ...} , sobrevida maior que 5 anos
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Mais definições...
� Probabilidade: é uma função P(.) que atribui valores 
numéricos aos eventos do espaço amostral.
� ξ1 : lançar um dado equilibrado.
� Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
� P({1}) = P({2}) = P({6}) = 1/6 = 1/n
onde onde nn éé o no núúmero de elementos do espamero de elementos do espaçço o 
amostraamostra
Em geral:Em geral:
elementosdetotalnúmero
eventodoelementosdenúmero
N
nP A)A( A ==
� A : números pares: P(A) = 3/6 = ½
� B : número ímpares: P(B) = ½
� P(AUB) = P({2,4,6} U {1,3,5}) = P(Ω) = 6/6 = 1
1. União: AUB (ocorrência de pelo menos um evento)
2. Interseção: AIB (ocorrência simultânea)
3. Complemento: AUAc = Ω, AIAc = φ
4.4. Dois eventos são disjuntos ou Dois eventos são disjuntos ou mutualmentemutualmente
exclusivos se exclusivos se AAIIIIIIIIB = B = φφφφφφφφ (A e B são disjuntos)(A e B são disjuntos)
Operações sobre conjunto
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Diagrama de Ven
Ω Ω
A
Ac
AUAc = Ω, AIAc = φ
Ω
A
B
AAIIIIIIIIB = B = φφφφφφφφ
Ω
A B AUB
AIB
Pelo Diagrama de Ven mostre que:
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A I B) 
Definição formal de Probabilidade
� É uma função P(.) é denominada probabilidade se 
satisfaz as seguintes condições:
1. 0 ≤ P(A) ≤ 1, 
2. P(Ω) = 1
3. , com os Aj’s disjuntos
Ω⊂∀ A
( )∑
==
=






 n
1j
j
n
1j
j APAP U
Ω
A1
A2
A3
A4 A5
Erros Fatais:Erros Fatais:
P(A) = 1.06
P(B) = -0.4
P(A + B) = A U B
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Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de 
A dado que ocorreu Bdado que ocorreu B, P(A|B) é dada por:
( ) ( ) 0 P(B),
P(B)
BAPB|AP >∩= ou seja 0 P(B) ≠
Regra do Produto:Regra do Produto: ( ) ( ) P(B)B|APBAP ⋅=∩
P(A|B) é a proporção de A dentro de B onde o “novo” 
espaço amostral (ΩB) é o espaço amostral de B tal que:
( ) 1B|AP0 ≤≤
Probabilidade Condicional
Interpretação Gráfica
Ω
A
B
AIB B ocorreu
A
ΩB
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Exemplo Didático
� Uma caixa contém 3 bolas brancas e 5 pretas, todas idênticas em 
peso e tamanho.
� Qual a probabilidade de tirar ao acaso uma bola branca.
� Qual a probabilidade de tirar ao acaso uma bola preta.
� Qual a probabilidade de tirar uma segunda bola banca se a 
primeira foi preta (sem reposição)
Independência de Eventos
Dois eventos A e B são independentes se a informação da 
ocorrência (ou não) de B não altera a probabilidade da 
ocorrência do evento A.
ou na forma:
( ) P(A)B|AP =
( ) P(B)P(A)BAP ⋅=∩
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Partição do Espaço Amostral
Os eventos C1, C2, ..., Ck formam uma partição do 
espaço amostral se eles não tem interseção (são 
disjuntos) entre si e se sua união é igual ao espaço 
amostral.
jiCC ji ≠∀=∩ ,φ Ω=
=
U
k
i
iC
1
Ω
C1
C2
C3
C4 C5
Partição do Espaço Amostral
Ω
A1
A2
A3
A4 A5
D
( ) ( ) ( ) ( ) ( )DADADADADAD 54321 ∩∪∩∪∩∪∩∪∩=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )DADADADADAP(D) 54321 ∩+∩+∩+∩+∩= PPPPP
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Exercício
� Em uma cidade a população pode ser 
dividida em três grupos etários: A, B e C 
representando 25%, 35% e 40% do total, 
respectivamente. Desses, 5%, 4% e 2% são 
alérgicos a Penicilina. Escolhe-se um 
indivíduo e verifica-se que é alérgico. Qual a 
probabilidade de que ele tenha vindo do 
grupo A, do B e do C?