8 - Cáclulo do probabilidades-2

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Estatística e Probabilidade Aplicada 
Prof. Diogo F. dos Santos
Conceito e cálculo de probabilidades – parte 2
Regra da adição
A regra da adição determina a probabilidade de que ocorra ou o evento
A ou o B ou ambos como resultado de um experimento, sendo
expressa por 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 , onde ∪ é o símbolo de união.
Nos problemas, a adição de eventos pode ser indicada pela palavra
“ou”. Para acharmos a probabilidade de ocorrência de um evento A ou
B, começamos por encontrar o número total de maneiras segundo as
quais o evento A pode ocorrer e de maneiras segundo as quais o
evento B pode ocorrer, mas esse total desconsidera as contagens
duplas.
Regra da adição para eventos inclusivos e exclusivos
Se eventos de A também ocorrem em B, como na figura ao
lado, então esses eventos são mutuamente inclusivos.
Assim, a probabilidade de A ou B é dado por
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ,
onde ∩ representa a interseção de A e B. Assim, 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
denota a probabilidade de que A e B ocorram ao mesmo
tempo como resultado de um experimento.
Se os eventos A e B são mutuamente exclusivos, como na
figura ao lado, então não podem ocorrer simultaneamente.
Isto é, não se superpõem. Assim, o termo 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 na
equação anterior se torna zero, resultando em
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 .
Exemplos
a) Numa urna há 10 papéis dobrados e enumerados de 1 a 10. Um
papel é sorteado. Qual é a probabilidade de ser múltiplo de 2 ou
múltiplo de 3?
b) Qual é a probabilidade de sair uma face par ou o número 5 em uma
jogada de um dado?
Exemplos
c) Ao analisar os resultados de um teste de uma técnica de seleção de
gênero, desenvolvida pelo Genetics IVF Institute, um pesquisador
deseja comparar os resultados com os da jogada de uma moeda.
Considere 𝑃 𝐹 𝑜𝑢 𝐶 , que é a probabilidade de se obter uma
menina (gênero feminino) ou cara (C) na jogada da moeda.
Exemplos
d) Um professor de Estatística da UAM
coletou dados de várias turmas para
saber qual é a quantidade de alunos
homens e mulheres em cada curso de
Engenharia. Ao lado são apresentados
os dados coletados.
▪ Qual é a probabilidade de ser mulher?
▪ Qual é a probabilidade de ser homem?
▪ Qual é a probabilidade de ser do curso
de Engenharia Mecânica ou ser
mulher?
Curso de 
engenharia
Mulheres Homens Total
Computação 2 24 26
Civil 8 15 23
Mecânica 3 28 31
Elétrica 1 12 13
Total 14 79 93
Exercícios
1) Em um grupo de crianças, 25% apresentam obesidade de grau 1, 60% de
grau 2 e as restantes apresentam grau 3 de obesidade. Qual é a
probabilidade de se selecionar aleatoriamente uma criança com grau 1
ou 2 de obesidade?
2) Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de
sair uma soma 6 ou dois números iguais?
3) (UEL-PR) De um total de 500 estudantes da área de
exatas, 200 estudam Cálculo Diferencial e 180 estudam
Álgebra Linear. Esses dados incluem 130 estudantes que
estudam ambas as disciplinas. Qual é a probabilidade
de que um estudante escolhido aleatoriamente esteja
estudando Cálculo Diferencial ou Álgebra Linear?
Regra da multiplicação
A regra da multiplicação é usada para se achar a probabilidade do
evento A acontecer em uma primeira prova e o evento B ocorrer em
uma segunda prova. Essa regra é denota por 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 e nos
problemas pode ser indicada por “e”.
A regra intuitiva para multiplicação de probabilidades é eficaz. Ao
calcular a probabilidade de ocorrência de evento A em uma prova e a
do evento B na prova seguinte, multiplique a probabilidade do evento
A pela do evento B, mas certifique-se de que a probabilidade do evento
A não afeta a do evento B.
Regra da multiplicação
Se dois eventos A e B são independentes, então a ocorrência de um
não interfere a probabilidade de ocorrência do outro. Neste caso,
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵 .
Os eventos são dependentes quando a ocorrência de um deles
interfere na probabilidade de ocorrência do outro, logo,
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 ∙ 𝑃 𝐵|𝐴 ,
onde 𝑃 𝐵|𝐴 é a probabilidade condicional que representa a
probabilidade do evento B ocorrer depois que se admite que o evento
A ocorreu.
Regra da multiplicação para 𝑛 eventos
Até agora, vimos a regra da multiplicação para dois eventos, mas pode
ser estendida para vários eventos. Em geral, a probabilidade de
qualquer sequência de eventos independentes é simplesmente o
produto das probabilidades correspondentes.
Exemplos
e) Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual é a
probabilidade de ocorrer a face com a coroa na moeda e uma face
par no dado?
f) Uma urna tem 5 bolas numeradas, então retira-se duas bolas
sucessivamente. Qual é a probabilidade das duas bolas serem
ímpares com reposição e sem reposição da primeira bola retirada?
Exemplos
g) Uma urna contém 7 bolas azuis e 3 bolas vermelhas. 
Retirando-se 2 bolas sucessivamente, calcule:
▪ A probabilidade das duas bolas serem azuis (com reposição).
▪ A probabilidade das duas bolas serem azuis (sem reposição).
▪ A probabilidade da segunda bola ser vermelha (sem reposição).
h) Com a tabela do exemplo (d),
apresentada ao lado, responda:
▪ Qual é a probabilidade de um
aluno ser da Engenharia elétrica e
ser homem?
▪ Qual é a probabilidade de ser da
Engenharia Civil e ser mulher?
Exemplos
Curso de 
engenharia
Mulheres Homens Total
Computação 2 24 26
Civil 8 15 23
Mecânica 3 28 31
Elétrica 1 12 13
Total 14 79 93
Exercícios
4) Marca-passos são implantados em pacientes com o propósito de
estimular a taxa de pulsação quando o coração não pode fazê-lo sozinho.
A cada ano, mais de 250.000 marca-passos são implantados nos Estados
unidos. Infelizmente, os marca-passos às vezes falham, mas a taxa de
falha é baixa, cerca de 0,0014 por ano. Consideremos uma pequena
amostra de cinco marca-passos, incluindo três que são bons e dois que
são defeituosos. Um médico pesquisador deseja selecionar
aleatoriamente dois dos marca-passos para mais experimentação. Ache
a probabilidade de que o primeiro marca-passo selecionado seja bom e o
segundo seja também bom. Use cada uma das seguintes hipóteses.
▪ Suponha que as duas seleções aleatórias sejam feitas com reposição.
▪ Suponha que as duas seleções aleatórias sejam feitas sem reposição.
Exemplo
i) O princípio da redundância é usado quando a confiabilidade do sistema
pode ser melhorada através de componentes redundantes ou replicados.
Suponha que seu despertador tenha probabilidade 0,9 de funcionar em
uma determinada manhã.
▪ Qual é a probabilidade de que o seu despertador não funcione em uma
manhã de um importante exame final?
▪ Se você tem dois desses despertadores, qual é a probabilidade de que ambos
não funcionem em uma manhã de um importante exame final?
▪ Com um despertador, você tem uma probabilidade de 0,9 de ser acordado.
Qual é a probabilidade de ser acordado se você está usando dois
despertadores?
▪ Um segundo despertador aumenta significativamente a confiabilidade?
Exercício
5) Em um caso ocorrido em São Paulo, nove vítimas diferentes
escutaram gravações de cinco homens diferentes. Todas as nove
vítimas identificaram a mesma voz como a do criminoso. Se as
identificações tivessem sido feitas por adivinhações aleatórias, ache
a probabilidade de que todas as nove vítimas tivessem selecionado
a mesma pessoa. Esse resultado constitui uma dúvida razoável?
6) Uma fabricante de pneus produziu um lote de 5000 pneus que
incluiu exatamente 200 defeituosos. Se 4 pneus são selecionados
aleatoriamente para instalação em um carro, qual é a probabilidade
de que sejam todos bons?
Probabilidade condicional
A probabilidade condicional de um evento é obtida com a informação
adicional de que algum outro evento já tenha ocorrido. 𝑃 𝐵|𝐴 denota a
probabilidade condicional de ocorrência do evento B, dado que já ocorreu o
evento A. Essa probabilidade é dada por
𝑃 𝐵|𝐴 =
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵
𝑃 𝐴
.
Obs.: Em geral, 𝑃 𝐵|𝐴 ≠ 𝑃 𝐴|𝐵 .
Probabilidade condicional
Uma forma alternativa de se encontrar a probabilidade condicional de B
dado A sem a utilização da fórmula acimaé supondo-se que o evento A já
ocorreu e, então, reduzir o espaço amostral e calcular a probabilidade de
que o evento B ocorra. Assim, a probabilidade condicional é dada por
𝑃 𝐵|𝐴 =
𝑛 𝐴 ∩ 𝐵
𝑛 𝐴
.
Exemplos
j) (UFSCar) Dois dados usuais e não viciados são lançados. Sabe-se
que os números observados são ímpares. Então, a probabilidade de
que a soma deles seja 8 é:
k) Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se uma
bola ao acaso e vê-se que o número é maior que 5. Qual é a
probabilidade desse número ser múltiplo de 2?
Exemplos
Curso de 
engenharia
Mulheres Homens Total
Computação 2 24 26
Civil 8 15 23
Mecânica 3 28 31
Elétrica 1 12 13
Total 14 79 93
l) Com a tabela do exemplo (d),
apresentada ao lado, responda:
• Qual é a probabilidade de um
aluno ser da Engenharia elétrica
dado que é homem?
• Qual é a probabilidade de ser da
Engenharia Civil sabendo que é
mulher?
• Qual é a probabilidade de ser
homem sabendo que é do curso
de Engenharia da Computação?
Exercícios
7) Lança-se um par de dados. Se a soma dos pontos nos dois dados é 
8, calcule a probabilidade de ocorrer a face 5 em um deles.
EXTRA
m) Consulte as figura que segue, na qual os componente 𝒑 e 𝒒 estão num circuito
elétrico. Suponha que cada componente tenha 0,99 de probabilidade de
funcionar.
▪ Se os componentes são arranjados em série, qual é a probabilidade de que
uma corrente elétrica consiga passar pelo circuito?
▪ Se os componentes são arranjados em paralelo, qual é a probabilidade de que
uma corrente elétrica consiga passar pelo circuito?
▪ Qual arranjo tem uma confiabilidade maior?
Exemplo
n) Considere um sistema de quatro componentes idênticos
conectados em série, conforme ilustrado a seguir.
Um componente que falha é denotado por F e um que não falha
por S (sucesso). Sabendo que a probabilidade de falha é de 10%,
qual é a probabilidade de ocorrer uma falha?
EXTRA
o) Calcule a probabilidade de sucesso da passagem de uma corrente 
elétrico pelo circuito abaixo, sabendo que os componente tem um 
tempo de vida útil e a probabilidade de que estejam funcionando é 
de 90%.
EXTRA
p) Considere o sistema de componentes conectados como na figura a seguir. Os
componentes 1 e 2 são conectados em paralelo, para que o subsistema
funcione se 1 ou 2 funcionar; como 3 e 4 estão conectados em série, esse
subsistema funciona se 3 e 4 funcionarem. Sabendo que os componentes 1 e 2
têm uma probabilidade de estarem funcionando de 0,9 e os componentes 3 e 4
de 0,8, calcule a probabilidade do sistema funcionar.
Respostas
1) 85%
2) 1/36 = 2,78%
3) 50%
4) 36% e 30%
5) 5,12E-5%
6) 84,9%
7) 40%