Noções de Probabilidade

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Noções de Probabilidade
1 – Introdução 
Chama-se experimento aleatório àquele cujo resultado é imprevisível, porém pertence necessariamente a um conjunto de resultados possíveis denominado espaço amostral. 
Qualquer subconjunto desse espaço amostral é denominado evento. 
Se este subconjunto possuir apenas um elemento, o denominamos evento elementar.
Por exemplo, no lançamento de um dado, o nosso espaço amostral seria U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Exemplos de eventos no espaço amostral U:
A: sair número maior do que 4: A = {5, 6}
B: sair um número primo e par: B = {2}
C: sair um número ímpar: C = {1, 3, 5}
Nota: O espaço amostral é também denominado espaço de prova. 
Trataremos aqui dos espaços amostrais equiprováveis, ou seja, aqueles onde os eventos elementares possuem a mesma chance de ocorrerem. 
Por exemplo, no lançamento do dado acima, supõe-se que sendo o dado perfeito, as chances de sair qualquer número de 1 a 6 são iguais. Temos então um espaço equiprovável. 
Em oposição aos fenômenos aleatórios, existem os fenômenos determinísticos, que são aqueles cujos resultados são previsíveis, ou seja, temos certeza dos resultados a serem obtidos. 
Normalmente existem diversas possibilidades possíveis de ocorrência de um fenômeno aleatório, sendo a medida numérica da ocorrência de cada uma dessas possibilidades, denominada Probabilidade. 
Consideremos uma urna que contenha 49 bolas azuis e 1 bola branca. Para uma retirada, teremos duas possibilidades: bola azul ou bola branca. Percebemos entretanto que será muito mais freqüente obtermos numa retirada, uma bola azul, resultando daí, podermos afirmar que o evento "sair bola azul" tem maior probabilidade de ocorrer, do que o evento "sair bola branca". 
2 – Conceito elementar de Probabilidade 
Seja U um espaço amostral finito  e equiprovável e A um determinado evento, ou seja, um subconjunto de U. A probabilidade p(A) de ocorrência do evento A será calculada pela fórmula.
 
p(A) = n(A) / n(U)
onde: n(A) = número de elementos de A e n(U) = número de elementos do espaço de prova U.
Vamos utilizar a fórmula simples acima, para resolver os seguintes exercícios introdutórios: 
1.1 - Considere o lançamento de um dado. Calcule a probabilidade de: 
a) sair o número 3: 
Temos U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} [n(U) = 6] e A = {3} [n(A) = 1]. Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/6. 
b) sair um número par: agora o evento é A = {2, 4, 6} com 3 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 3/6 = 1/2. 
c) sair um múltiplo de 3: agora o evento A = {3, 6} com 2 elementos; logo a probabilidade procurada será p(A) = 2/6 = 1/3. 
d) sair um número menor do que 3: agora, o evento A = {1, 2} com dois elementos. Portanto,p(A) = 2/6 = 1/3. 
e) sair um quadrado perfeito: agora o evento A = {1,4} com dois elementos. Portanto, p(A) = 2/6 = 1/3. 
1.2 - Considere o lançamento de dois dados. Calcule a probabilidade de: 
a) sair a soma 8
Observe que neste caso, o espaço amostral U é constituído pelos pares ordenados (i,j), onde i = número no dado 1 e j = número no dado 2.
É evidente que teremos 36 pares ordenados possíveis do tipo (i, j) onde i = 1, 2, 3, 4, 5, ou 6, o mesmo ocorrendo com j.
As somas iguais a 8, ocorrerão nos casos:(2,6),(3,5),(4,4),(5,3) e (6,2). Portanto, o evento "soma igual a 8" possui 5 elementos. Logo, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 5/36. 
b) sair a soma 12
Neste caso, a única possibilidade é o par (6,6). Portanto, a probabilidade procurada será igual a p(A) = 1/36. 
1.3 – Uma urna possui 6 bolas azuis, 10 bolas vermelhas e 4 bolas amarelas. Tirando-se uma bola com reposição, calcule as probabilidades seguintes: 
a) sair bola azul
p(A) = 6/20 = 3/10 = 0,30 = 30% 
b) sair bola vermelha
p(A) = 10/20 =1/2 = 0,50 = 50% 
c) sair bola amarela
p(A) = 4/20 = 1/5 = 0,20 = 20%
Vemos no exemplo acima, que as probabilidades podem ser expressas como porcentagem. Esta forma é conveniente, pois permite a estimativa do número de ocorrências para um número elevado de experimentos. Por exemplo, se o experimento acima for repetido diversas vezes, podemos afirmar que em aproximadamente 30% dos casos, sairá bola azul, 50% dos casos sairá bola vermelha e 20% dos casos sairá bola amarela. Quanto maior a quantidade de experimentos, tanto mais a distribuição do número de ocorrências se aproximará dos percentuais indicados. 
3 – Propriedades 
P1: A probabilidade do evento impossível é nula.
Com efeito, sendo o evento impossível o conjunto vazio (Ø), teremos:
p(Ø) = n(Ø)/n(U) = 0/n(U) = 0
Por exemplo, se numa urna só existem bolas brancas, a probabilidade de se retirar uma bola verde (evento impossível, neste caso) é nula. 
P2: A probabilidade do evento certo é igual a unidade. 
Com efeito, p(A) = n(U)/n(U) = 1
Por exemplo, se numa urna só existem bolas vermelhas, a probabilidade de se retirar uma bola vermelha (evento certo, neste caso) é igual a 1. 
P3: A probabilidade de um evento qualquer é um número real situado no intervalo real [0, 1]. 
Esta propriedade, decorre das propriedades 1 e 2 acima. 
P4: A soma das probabilidades de um evento e do seu evento complementar é igual a unidade.
Seja o evento A e o seu complementar A'. Sabemos que A U A' = U.
n(A U A') = n(U) e, portanto, n(A) + n(A') = n(U). 
Dividindo ambos os membros por n(U), vem: 
n(A)/n(U) + n(A')/n(U) = n(U)/n(U), de onde conclui-se:
p(A) + p(A') = 1
Nota: esta propriedade simples, é muito importante pois facilita a solução de muitos problemas aparentemente complicados. Em muitos casos, é mais fácil calcular a probabilidade do evento complementar e, pela propriedade acima, fica fácil determinar a probabilidade do evento. 
P5: Sendo A e B dois eventos, podemos escrever:
p(A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩B)
Observe que se A ∩ B= Ø (ou seja, a interseção entre os conjuntos A e B é o conjunto vazio), então p(A U B) = p(A) + p(B). 
Com efeito, já sabemos da Teoria dos Conjuntos que 
n(A U B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Dividindo ambos os membros por n(U) e aplicando a definição de probabilidade, concluímos rapidamente a veracidade da fórmula acima. 
Exemplo:
Em uma certa comunidade existem dois jornais J e P. Sabe-se que 5000 pessoas são assinantes do jornal J, 4000 são assinantes de P, 1200 são assinantes de ambos e 800 não lêem jornal. Qual a probabilidade de que uma pessoa escolhida ao acaso seja assinante de ambos os jornais? 
SOLUÇÃO:
Precisamos calcular o número de pessoas do conjunto universo, ou seja, nosso espaço amostral. Teremos:
n(U) = N(J U P) + N.º de pessoas que não lêem jornais.
n(U) = n(J) + N(P) – N(J ∩ P) + 800
n(U) = 5000 + 4000 – 1200 + 800
n(U) = 8600
Portanto, a probabilidade procurada será igual a: 
p = 1200/8600 = 12/86 = 6/43.
Logo, p = 6/43 = 0,1395 = 13,95%.
A interpretação do resultado é a seguinte: escolhendo-se ao acaso uma pessoa da comunidade, a probabilidade de que ela seja assinante de ambos os jornais é de aproximadamente 14%.(contra 86% de probabilidade de não ser). 
4 – Probabilidade Condicional 
Considere que desejamos calcular a probabilidade da ocorrência de um evento A, sabendo-se de antemão que ocorreu um certo evento B. Pela definição de probabilidade vista anteriormente, sabemos que a probabilidade de A deverá ser calculada, dividindo-se o número de elementos de elementos de A que também pertencem a B, pelo número de elementos de B. A probabilidade de ocorrer A, sabendo-se que já ocorreu B, é denominada Probabilidade condicional e é indicada por p(A/B) – probabilidade de ocorrer A sabendo-se que já ocorreu B – daí, o nome de probabilidade condicional.
Teremos então:
p(A/B) = n(A ∩ B)/ n(B) 
onde A ∩ B = interseção dos conjuntos A e B. 
Esta fórmula é importante, mas pode ser melhorada. Vejamos:
Ora, a expressão acima, pode ser escrita sem nenhum prejuízo da elegância, nem do rigor, como:
p(A/B) = [n(A ∩ B)/n(U)] . [n(U)/n(B)]
p(A/B) = p(A ∩ B) . 1/p(B)
Vem, então: P(A/B) = p(A ∩ B)/p(B), de onde concluímos finalmente:
p(A ∩ B) = p(A/B).p(B) 
Esta fórmula é denominada Lei das Probabilidades Compostas.
Esta importantefórmula, permite calcular a probabilidade da ocorrência simultânea dos eventos A e B, 
sabendo-se que já ocorreu o evento B.
Se a ocorrência do evento B, não mudar a probabilidade da ocorrência do evento A, então p(A/B) = 
(A) e, neste caso, os eventos são ditos independentes, e a fórmula acima fica:
p(A ∩ B) = p(A) . p(B) 
Podemos então afirmar, que a probabilidade de ocorrência simultânea de eventos independentes, é igual ao produto das probabilidades dos eventos considerados. 
Exemplo:
Uma urna possui cinco bolas vermelhas e duas bolas brancas.  
Calcule as probabilidades de: 
a) em duas retiradas, sem reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha (V) e depois uma bola branca (B). 
Solução:
p(V ∩ B) = p(V) . p(B/V)
p(V) = 5/7 (5 bolas vermelhas de um total de 7).
Supondo que saiu bola vermelha na primeira retirada, ficaram 6 bolas na urna. Logo:
p(B/V) = 2/6 = 1/3
Da lei das probabilidades compostas, vem finalmente que:
P(V ∩ B) = 5/7 . 1/3 = 5/21 = 0,2380 = 23,8% 
b) em duas retiradas, com reposição da primeira bola retirada, sair uma bola vermelha e depois uma bola branca. 
Solução:
Com a reposição da primeira bola retirada, os eventos ficam independentes. Neste caso, a probabilidade buscada poderá ser calculada como:
P(V  B) = p(V) . p(B) = 5/7 . 2/7 = 10/49 = 0,2041 = 20,41% 
Observe atentamente a diferença entre as soluções dos itens (a) e (b) acima, para um entendimento perfeito daquilo que procuramos transmitir. 
PROBABILIDADE
    
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.
   
Experimento Aleatório
    É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a abordagem envolve cálculo de experimento aleatório.
   
Espaço Amostral
    É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o espaço amostral, é S.
    Exemplo:
    Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:
    S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}
1. Escreva explicitamente os seguintes eventos: A={caras e m número par aparece}, B={um número primo aparece}, C={coroas e um número ímpar aparecem}.
2. Idem, o evento em que:
a)      A ou B ocorrem;
b)      B e C ocorrem;
c)      Somente B ocorre.
3. Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos
  
Resolução:
1. Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par:  A={K2, K4, K6};
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.
2. (a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}
(b) B e C = B ∩ C = {R3,R5}
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C;
B  ∩ Ac  ∩ Cc   =   {K3,K5,R2}
3. A e C são mutuamente exclusivos, porque A ∩ C = AE
Conceito de probabilidade
Se em um fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um evento A é:
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número par pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades iguais de ocorrência.
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:
Propriedades Importantes:
1. Se A e A’ são eventos complementares, então: P( A ) + P( A' ) = 1 
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 (probabilidade do evento certo).
  
Probabilidade Condicional
 Antes da realização de um experimento, é necessário que já tenha alguma informação sobre o evento que se deseja observar. Nesse caso, o espaço amostral se modifica e o evento tem a sua probabilidade de ocorrência alterada.
Fórmula de Probabilidade Condicional
 P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).
 Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.
  
   
Exemplo:
 
   Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
  
Resolução:
Seja o espaço amostral S=30 bolas, e considerarmos os seguintes eventos:
    A: vermelha na primeira retirada e P(A) = 10/30
    B: azul na segunda retirada e P(B) = 20/29
Assim:
  
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87
  
Eventos independentes
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:
    
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)
 
Exemplo:
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?
Resolução:
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada é 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta na urna.
  
Probabilidade de ocorrer a união de eventos
Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2) - P(E1 e E2)
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).
Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)
  
Exemplo: Se dois dados, azul e  branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?
Considerando os eventos:
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36
  
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou um Rei?
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:
A: sair 8 e P(A) = 4/52
B: sair um rei e P(B) = 4/52
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos.
EXERCÍCIOS 
1) (UnB-DF) Se a família Silva tiver 5 filhos e a família Oliveira tiver 4, qual a probabilidade de que todos os filhos dos Silva sejam meninas e todos os dos Oliveira sejam meninos?
a) 1/325
b) 1/512
c) 1/682
d) 1/921
e) 1/1754
2) (FEEQ-CE) A capacidade de sentir o gosto de uma substância amarga chamada feniltiocarbamida (PTC) deve-se a um gene dominante. A probabilidadede um casal (sensível a essa substância e heterozigótico) ter um filho do sexo feminino e sensível ao PTC é:
a) ¼
b) 1/8
c) ¾
d) 3/8
e) 1/5
3) (OSEC-SP). Quando dois indivíduos que manifestam um caráter dominante têm um primeiro filho que manifesta o caráter recessivo, a probabilidade de um segundo filho ser igual ao primeiro é:
a) ¾
b) ½
c) 1/4
d) 1/8
e) 1/16
4) (UFRR-RR) Do cruzamento entre dois indivíduos portadores do genótipo AaBBCcDd, qual a probabilidade de ocorrência numa F1 de indivíduos com o genótipo AABBccDd?
a) 1/85
d) 6/95
b) 3/54
e) 1/64
c) 1/32
5) (UFJF-MG) Um homem de pele com pigmentação normal e olhos castanhos casa-se com uma mulher de fenótipo igual ao seu. Sabendo-se que o casal já tem um filho albino de olhos azuis, qual a probabilidade de num próximo nascimento este casal vir a ter uma filha de olhos azuis e com a pigmentação da pele normal?
a) 2/16
b) 4/32
c) 6/16
d) 3/32
e) 7/16
6) (UGF-RJ) Certo tipo de miopia é um caráter condicionado por um gene recessivo m. A adontia hereditária é determinada por um gene dominante D. Um homem com adontia e visão normal casa-se com uma mulher míope e com dentes, tendo o casal um filho míope e com dentes. Se o casal tiver mais um filho, qual a probabilidade de ele ser homem e normal para ambos os caracteres?
a) 1/8
b) ¼
c) 1/16
d) 1/32
e) 0%
7) (UFES-ES) Um determinado indivíduo possui o genótipo Aa. Qual a chance de o gene A ser transmitido para um bisneto seu?
a) 50%
b) 3,125%
c) ¼
d) ¾
e) 12,5%
8) (FOS-SP) A polidactilia (presença de mais de 5 dedos em cada membro) é condicionada por um gene dominante P. Se um homem com polidactilia, filho de mãe normal, casa-se com uma mulher normal, qual a probabilidade que têm de que em sucessivas gestações venham a ter 6 filhos com polidactilia?
a) 1/16
b) 1/32
c) 1/64
d) 1/128
e) 1/256
9) (F. Objetivo-SP). Qual a probabilidade de um casal de olhos castanhos em que ambos os cônjuges são heterozigotos ter 3 filhas de olhos castanhos e 2 filhos de olhos azuis?
a) 27/164
b) 3/8
c) 64/126
d) 270/32768
e) 0%
10) (F. Objetivo-SP). Se consideramos que, no problema anterior, o casal deseja que as 3 filhas de olhos castanhos nasçam em primeiro lugar e seguidamente e, só depois, nasçam os filhos de olhos azuis, como ficaria, então, a probabilidade?
a) 2,7/164
b) 15/40
c) 640/1260
d) 27/32768
e) 5%
11) (UNIRIO-RJ) Um homem destro, heterozigoto para este caráter, que não possui a capacidade de enrolar a língua, casa-se com uma mulher canhota, com a capacidade de enrolar a língua, heterozigota para o último caráter. Qual a probabilidade de o casal mencionado vir a ter uma filha homozigota para ambos os caracteres?
a) 1/2
d) 1/8 b) 1/6
e) 1/10 c) 1/4
12) (FEI-SP). Um casal de olhos castanhos (dominante) tem 4 filhos de olhos azuis (recessivo). Pergunta-se:
 A) Qual é a probabilidade de o 5º ter também olhos azuis?
 B) Qual é a probabilidade de que ele tenha olhos castanhos?
A
 B
a)
1/2
¾ 
b)
3/4
1/4
c)
1/4
3/4
d)
1/2
1/2
e)
1/3
2/3
13) (UECE-CE). Numa família com 9 filhas, a probabilidade de o décimo filho ser homem é:
a) 50%
b) 70%
c) 80%
d) 90%
e) 25%
14) (Londrina) A representa o gene dominante para determinado caráter e a é seu alelo recessivo. Em quatro cruzamentos entre um indivíduo Aa e um indivíduo aa, os descendentes foram Aa. A probabilidade de, no quinto cruzamento, o descendente ser aa é:
a) nula
b) 20%
c) 25%
d) 50% e) 100%
(UG-MG) As questões 15 e 16 referem-se a um heredograma que representa a ocorrência de uma anomalia numa família.
15) A probabilidade de nascer uma menina afetada do cruzamento de 3 com 11 é:
a) 0,00
b) 0,25
c) 0,50
d) 0,75
e) 1,00
16) Pelos dados fornecidos, não se podem determinar os genótipos dos indivíduos:
a) 5, 9, 15.
b) 8, 9, 13.
c) 8, 11,16.
d) 9, 13, 15.
e) 13, 14, 16.
17) (Univ. Mogi da Cruzes) No homem, o albinismo é condicionado por um gene autossômico recessivo, a. Pais normais que têm um filho albino desejam saber:
Qual a probabilidade de terem outro filho mas com pigmentação normal da pele?
a) ½
b) ¼
c) ¾
d) 1/3
e) 2/3
18) (FGV-SP) Na espécie humana, um determinado caráter é causado por um gene autossômico recessivo. A probabilidade de um homem híbrido produzir espermatozóides contendo o gene recessivo é de:
a) 25 %
b) 30 %
 c) 50 %. d) 75 % e) 100 %
19) (UNESP) Em organismos diplóides sexuados, cada par de cromossomos é formado por um cromossomo de origem paterna e um de origem materna. Qual a probabilidade de os espermatozóides conterem apenas os cromossomos de origem materna, em um organismo com quatro pares de cromossomos?
a) ½
b) ¼
c) 1/8
d) 1/16 e) 1/32
20) (MED.SANTOS) A queratose (anomalia da pele) é devido a um gene dominante Q. Uma mulher com queratose, cujo pai era normal, casa-se com um homem com queratose, cuja mãe era normal. Se esse casal tiver quatro filhos a probabilidade de todos eles apresentarem queratose é de:
a) 15,6%
b) 24,6%
c) 12,5%
d) 31,6%
e) 28,1%
"Algo que aprendi em uma longa vida: toda nossa ciência, medida contra a realidade, é primitiva e infantil - e ainda assim, é a coisa mais preciosa que temos"
Albert Einstein
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