Conceitos de Camada Limite

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Capítulo 10: Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 10-1
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EEssccooaammeennttoo EExxtteerrnnoo VViissccoossoo:: 
CCoonncceeiittooss ddee CCaammaaddaa LLiimmiittee 
Mecânica dos Fluidos 
 
10-2 Conceitos de Camada Limite 
 
 
 
 
 
Capítulo 10 - Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite 
 
 
 
 
10.1 ESCOAMENTO EM TORNO DE CORPOS .................................................................................. 3 
10.1.1 Efeito do Número de Reynolds no Escoamento Externo ............................................... 3 
10.2 ESCOAMENTO SOBRE PLACA PLANA .................................................................................... 4 
10.2.1 Forças Viscosas Predominantes – Reynolds muito baixo - Re=0,1............................... 4 
10.2.2 Forças Viscosas Moderadas – Reynolds baixo - Re=10 .............................................. 4 
10.2.3 Forças de Viscosas Confinadas – Reynolds Alto - Re=107 .......................................... 5 
10.3 CARACTERÍSTICAS DA CAMADA LIMITE............................................................................... 6 
10.4 ESPESSURA DA CAMADA LIMITE.......................................................................................... 7 
10.5 ESPESSURA DE DESLOCAMENTO .......................................................................................... 7 
10.6 ESPESSURA DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ..................................................................... 8 
10.7 COEFICIENTE DE ARRASTO EM PLACAS PLANAS ................................................................... 9 
10.8 COEFICIENTE DE ARRASTO E FORÇA DE ARRASTO PELA TENSÃO DE CISALHAMENTO .......... 10 
10.9 EQUAÇÕES DE BLASIUS – PLACA PLANA – CAMADA LIMITE LAMINAR ............................ 11 
ESPESSURA DA CAMADA LIMITE.................................................................................................. 11 
ESPESSURA DE DESLOCAMENTO DA CAMADA LIMITE.................................................................... 11 
10.10 COEFICIENTE DE ARRASTO LOCAL OU COEF. DE TENSÃO DE CISALHAMENTO .................... 11 
10.11 COEFICIENTE DE ARRASTO MÉDIO................................................................................... 11 
10.12 TRANSIÇÃO DE ESCOAMENTO LAMINAR PARA TURBULENTO ........................................... 12 
10.13 CAMADA LIMITE TURBULENTA EM PLACA PLANA .......................................................... 13 
10.13.1 Coeficiente de Arrasto Local - Coeficiente de Tensão de Cisalhamento .................. 13 
10.13.2 Coeficiente de Arrasto Médio ................................................................................. 13 
10.14 ESPESSURA DA CAMADA LIMITE - ESCOAMENTO TURBULENTO....................................... 15 
10.15 RESUMO DAS EQUAÇÕES DA CAMADA LIMITE EM PLACA PLANA .................................... 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 10: Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 10-3
Capítulo 10 - Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite 
 
 
Quando um corpo se move através de um fluido existe um interação entre este e o fluido. Tal 
interação pode ser descrita por forças que atuam na interface fluido-corpo. Estas forças se devem aos efeitos 
viscosos e aos efeitos de pressão. Em Engenharia, para avaliar os efeitos globais é mais interessante 
representar estas forças em função da denominada força de arrasto que atua na direção do escoamento e a 
força de sustentação que atua na direção normal ao escoamento denominada sustentação. O arrasto e 
sustentação podem ser obtidos pela integração das tensões de cisalhamento e as forças normais ao corpo. No 
Cap.11 são abordadas as forças de sustentação e arrasto para escoamentos externos viscosos sobre 
superfícies curvas tais como cilindros e aerofólios. No presente capítulo é abordado o escoamento externo 
sobre placas planas. 
10.1 Escoamento em Torno de Corpos 
A característica do escoamento em torno de um corpo depende de vários parâmetros como: forma do corpo, 
velocidade, orientação e propriedades do fluido que escoa sobre o corpo. Os parâmetros mais importantes 
para descrever o escoamento sobre um corpo são o número de Reynolds e número de Mach. 
10.1.1 Efeito do Número de Reynolds no Escoamento Externo 
O número de Reynolds (Re= ρ VD/µ) representa a relação entre os efeitos de inércia e os efeitos viscosos. 
• Sem os efeitos viscosos (µ=0) , o número de Reynolds é infinito. 
• Por outro lado na ausência de todos os efeitos de inércia (ρ=0) o número de Reynolds é nulo. 
 
Qualquer escoamento real apresenta um número de Reynolds entre esses limites. A natureza do 
escoamento varia muito se Re >>1 ou se Re <<1. A maioria dos escoamentos que nos são familiares 
estão associados a objetos de tamanho moderado com comprimento característico da ordem de 0,01m a 10m. 
As velocidades ao longe destes escoamentos (água e ar) apresentam ordem de grandeza de 0,01m/s até 
100m/s. Desta forma o Re destes escoamento está entre 10 < Re < 109. 
 
Escoamentos com Re > 100 são controlados por efeitos de inércia. 
Escoamentos com Re < 1 são controlados por efeitos viscosos. 
A maioria dos escoamentos são controlados por efeitos de inércia. 
 
Antes de Prandtl a Mecânica dos Fluidos evoluiu com resultados teóricos e experimentais que diferiam. 
Prandtl introduziu o conceito de camada limite fornecendo o elo entre teoria e prática. Prandtl mostrou que 
muitos escoamentos viscosos podem ser analisados considerando duas regiões: uma próxima das fronteiras 
sólidas e outra cobrindo o restante. Apenas na região muito delgada adjacente a fronteira solida (camada 
limite) o efeito da viscosidade é importante. Na região fora da camada limite o efeito da viscosidade é 
desprezível e o fluido pode ser tratado como não-viscoso. Em muitas situações reais, a camada limite 
desenvolve-se sobre uma superfície sólida plana. Exemplo disso é escoamento sobre cascos de navios e de 
submarinos, asas de aviões e movimentos atmosféricos sobre terreno plano. Estes casos podem ser ilustrados 
pelo caso mais simples analisando uma placa plana. Tal caso será estudado a seguir. 
 
 
Figura 10.1 Camada limite sobre uma placa plana (espessura exagerada) 
Mecânica dos Fluidos 
 
10-4 Conceitos de Camada Limite 
10.2 Escoamento sobre Placa Plana 
10.2.1 Forças Viscosas Predominantes – Reynolds muito baixo - Re≈0,1 
 
As Fig. 10.2 a Fig.10.4 mostram três tipos de escoamentos sobre uma placa plana que tem comprimento L. 
Para o caso em que Re≈0,1 (Fig.10.2) os efeitos viscosos são predominantes afetando o escoamento 
uniforme. Devemos nos afastar consideravelmente da placa plana para alcançar uma região do escoamento 
que tem sua velocidade alterada em menos de 1%. A região afetada pelos efeitos viscosos é bastante ampla 
quando o número de Reynolds do escoamento é baixo. 
 
 
Figura 10.2 Escoamento sobre placa plana com efeitos viscosos predominantes 
 
10.2.2 Forças Viscosas Moderadas – Reynolds baixo - Re≈10 
 
Com o aumento do Re no escoamento (por ex. aumento de Uoo), neste caso Re≈10, a região onde os efeitos 
viscosos são importantes se torna menor em todas as direções, exceto a jusante da placa (Fig.10.3). Se 
observa que as linhas de corrente são deslocadasda posição original do escoamento uniforme, mas o 
deslocamento não é grande como na situação referente ao Re≈0,1. 
 
 
Figura 10.3. Placa Plana - Efeitos viscosos moderados 
 
 
 
Capítulo 10: Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 10-5
10.2.3 Forças de Viscosas Confinadas – Reynolds Alto - Re≈107 
 
Para escoamento com Re muito alto (Re≈107) predominam os efeitos das forças de inércia. Os efeitos das 
forças viscosas são praticamente desprezíveis em todos os pontos, exceto naqueles muito próximos da placa 
plana e na região de esteira localizada a jusante da placa (Fig. 10.4). Como a viscosidade do fluido não é nula 
o fluido adere à superfície sólida (condição de não escorregamento). Desta forma a velocidade varia desde 
zero na superfície da placa até um valor Uoo, na fronteira de uma região muito fina denominada camada 
limite. Essa região conhecida como camada limite (δ) é sempre muito menor que o comprimento da placa. A 
espessura desta camada aumenta na direção do escoamento e é nula no borda de ataque da placa. O 
escoamento na camada limite pode ser laminar ou turbulento. 
 
Se define a espessura da camada limite δ como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade 
situa-se dentro de 1% da velocidade de corrente livre. 
 
 
Figura 10.4 Placa Plana - Efeitos de inércia importantes 
 
As linhas de corrente fora da camada limite são aproximadamente paralelas àplaca plana. O leve 
deslocamento das linhas de corrente externas (fora da camada limite) se deve ao aumento da espessura da 
camada limite na direção do escoamento e é nula no bordo de ataque da placa. A existência da placa plana 
tem pouco efeito nas linhas de corrente externas tanto na frente, acima ou abaixo da placa. Por outro lado, a 
região de esteira é provocada por efeitos viscosos. 
 
Camada Limite – Prandtl 
 
O físico alemão Prandtl (1875-1953) realizou um dos grandes avanços na Mecânica dos Fluidos, em 1903, 
concebendo a idéia da camada limite na qual define – Uma região muito fina dentro da camada limite e 
adjacente à superfície do corpo onde os efeitos viscosos são muito importantes, onde a componente axial da 
velocidade varia rapidamente com a distância y. Uma região fora da camada limite denominada região de 
escoamento potencial onde o fluido se comporta como se fosse um fluido não viscosos, ou investido onde as 
forças de cisalhamento são desprezíveis. Certamente a viscosidade dinâmica é a mesma em todo o campo de 
escoamento. Desta forma a importância relativa de seus efeitos (devido aos gradientes de velocidade) é 
diferente fora e dentro da camada limite. Os gradientes de velocidades normais ao escoamento são 
relativamente pequenos fora da camada limite e o fluido se comporta como se fosse não viscoso. 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
10-6 Conceitos de Camada Limite 
10.3 Características da Camada Limite 
 
O tamanho da camada limite e a estrutura do escoamento nela confinado variam muito. Parte desta variação 
é provocada pelo formato do objeto onde se desenvolve a camada limite. A seguir se analisa o efeito da 
camada limite para o caso de um fluido viscoso e incompressível sobre uma placa plana de comprimento 
infinito (x varia de 0 a infinito). 
Se o Re é muito alto somente o fluido confinado na camada limite sentirá a presença da placa. Exceto na 
região fora da camada limite a velocidade será essencialmente igual a velocidade de corrente livre V=Ui. 
Para uma placa finita, o comprimento L pode ser utilizado como comprimento característico. No caso da 
placa plana de comprimento infinito definimos o Rex= Ux/ν. Se a placa é longa o Re é alto, apresentando 
uma camada limite exceto na região muito pequena próxima da borda da placa. A presença da placa é sentida 
em regiões muito finas da camada limite e da esteira. 
 
 
Figura 10.5. Efeito rotacional de partículas de fluido dentro da camada limite 
 
Consideremos o escoamento de uma partícula de fluido no campo de escoamento. Quando a partícula entra 
na camada limite começa a distorcer devido ao gradiente de velocidade do escoamento – a parte superior da 
partícula apresenta uma velocidade maior do que na parte inferior. O elemento de fluido não tem rotação 
fora da camada limite mas começa a rotar quando atravessa a superfície fictícia da camada limite e entre na 
região onde os efeitos viscosos são importantes. 
 
O escoamento é irrotacional fora da camada limite 
O escoamento é rotacional dentro da camada limite. 
 
A partir de uma certa distância x do bordo de ataque, o escoamento na camada limite torna-se turbulento e as 
partículas de fluido tornam-se extremadamente distorcidas devido a natureza irregular da turbulência. Uma 
das características da turbulência é o movimento de misturas produzido no escoamento. Esta mistura é 
devido a movimentos irregulares de porções de fluido que apresentam comprimentos que variam da escala 
molecular até a espessura da camada limite. Quando o escoamento é laminar a mistura ocorre somente em 
escala molecular. A transição do escoamento de laminar para turbulência ocorre quando o Re atinge um 
valor critico (Rec). 
 
Placa Plana: 
• Rec varia de 2x105 até 3x106 . É função da rugosidade da superfície e da intensidade da turbulência. 
� Considera-se o valor crítico igual a Rec=5x105. ( 500.000) 
� Considera-se que a camada limite é turbulenta quando Rex > 3x106 ( 3.000.000) 
� Laminar Re < 5x105 Turbulento Re > 3,0 x10 6 
 
 
 
Capítulo 10: Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 10-7
10.4 Espessura da Camada Limite 
Na camada limite a velocidade muda de zero na superfície da placa até o valor da velocidade de corrente 
livre na fronteira da camada limite. Desta forma o perfil de velocidades u=u(x,y) que satisfaz as condições 
de contorno: 
 
V=0 em y =0 e V≈U00 em y =δ. 
 
Matematicamente como fisicamente o perfil de velocidade não apresenta nenhuma singularidade. Isto é, u 
tende a Uoo quando mais nos afastamos da placa (não é necessário que u seja precisamente igual a U00 em 
y=δ). Se define a espessura da camada limite δ como a distância da superfície ao ponto em que a velocidade 
situa-se dentro de 1% da velocidade de corrente livre. 
 
∞== U,uy 990 onde δ 
10.5 Espessura de Deslocamento 
 
A Fig. 10.6 mostra dois perfis de velocidade para escoamento sobre uma placa plana: um (Fig. 10.6a) 
considerando perfil uniforme de velocidade (sem atrito) e outro (Fig.10.6b) com viscosidade no qual a 
velocidade na parede é nula. 
 
 
Figura 10.6. Camada limite e conceito de espessura de deslocamento 
 
Devido à diferença de velocidade U – u dentro da camada limite, a vazão através da seção b – b é menor do 
que aquela na seção a – a . Se deslocarmos a placa plana na seção a – a de uma quantidade δ* , as vazões 
pelas seções serão idênticas. Esta distância é denominada espessura de deslocamento. 
 
Figura 10.7 Perfil de velocidade para definir espessura de deslocamento 
Rodrigo
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Rodrigo
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Mecânica dos Fluidos 
 
10-8 Conceitos de Camada Limite 
A definição é verdadeira se 
 
( )∫∞ −= 0* bdyuUbUδ 
 
onde b é a largura da placa. Desta forma: 
∫∞  −= 0* 1 dyUuδ 
 
A espessura de deslocamento representa o aumento da espessura do corpo necessário para que a 
vazão do escoamento uniforme fictício seja igual a do escoamento viscoso real. Também representa 
o deslocamento das linhas de corrente provocado pelos efeitos viscosos. Tal idéia permite simular a 
presença da camada limite no escoamento pela adição de uma espessura dedeslocamento da parede 
real e tratar o escoamento sobre o corpos mais espessos como se fossem não viscoso. 
10.6 Espessura da Quantidade de Movimento 
 
A diferença de velocidades existente na camada limite U – u, provoca uma redução do fluxo da 
quantidade de movimento na seção b – b mostrado na Fig.7 . O fluxo é menor do que aquele na 
seção a – a da mesma figura. Esta diferença de fluxo de quantidade de movimento na camada 
limite, também conhecida como déficit do fluxo da quantidade de movimento no escoamento real é 
dada por: 
 
( ) ( )∫ ∫∞ −=−
0
dyuUubdAuUu ρρ 
 
por definição estas integrais representam o déficit do fluxo da quantidade de movimento numa 
camada limite de velocidade uniforme U e espessura θ. Assim, 
 
( )∫∞ −=
0
2 dyuUubbU ρθρ 
 
∫∞  −= 0 1 dyU
u
U
uθ 
 
as três definições de espessura de camada limite δ , δ*e θ são utilizadas nas análises de camada 
limite. A hipótese da camada limite ser fina é essencial para o desenvolvimento do modelo de 
escoamento. Esta hipótese, na análise do escoamento sobre uma placa plana garante que δ seja 
muito menor que x (δ <<x) e também que (δ* << x) e (θ << x) onde x é a distância em relação ao 
bordo de ataque da placa. Como ordem de grandeza se utilizam: 
 






=
δ
δ
δ
8
1
3
1
min
*
turbulento
arla
 






=
δ
δ
θ
10
1
7
1
min
turbulento
arla
 
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Capítulo 10: Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 10-9
10.7 Coeficiente de Arrasto em Placas Planas 
 
O coeficiente de arrasto ou de resistência de um corpo é dado por: 
 
DfDpD CCC += 
 
CDf representa o coeficiente de tensão de cisalhamento. 
 
 
AU
F
C DfDf
2
2
1
∞
=
ρ
 
 
onde A representa a área superficial ou área molhada. Por exemplo numa placa paralela ao 
escoamento A=bxL onde b é a largura da placa. 
 
O termo CDp representa o coeficiente de arrasto por pressão. 
 
AU
F
C DpDp
2
2
1
∞
=
ρ
 
 
Neste caso A pode representar projeção num plano normal da área do corpo. Por exemplo num 
cilindro A=DxL 
 
 
O coeficiente de arrasto total é assim definido: 
 
AU
FC DD
2
2
1
∞
=
ρ
 onde FD= FDp + FDf 
 
No caso de uma placa perpendicular ao fluxo a 
tensão de cisalhamento não contribui para a 
força de resistência. O coeficiente de arrasto 
deve-se unicamente ao arrasto por pressão. Desta 
forma CD= CDp. 
 
 
Figura 10.8 Placa plana perpendicular ao fluxo 
 
No caso de uma placa plana paralela ao escoamento o arrasto deve-se unicamente ao atrito 
superficial. Desta forma CD= CDf. 
 
 
 
 
 
 
CD=CDp 
Mecânica dos Fluidos 
 
10-10 Conceitos de Camada Limite 
10.8 Coeficiente de Arrasto e Força de Arrasto pela Tensão de Cisalhamento 
 
Considerando que o perfil de velocidade u(x,y) da camada limite seja conhecido. A tensão de 
cisalhamento τw na parede que atua ao longo da superfície em qualquer posição x é determinado a 
partir da definição: 
 
0
),(
=
∂
∂=
y
w y
yxuµτ 
 
Desta forma conhecendo a distribuição de velocidades na camada limite, pode-se determinar a força 
de cisalhamento, devido ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida. Como a equação 
anterior não é muito prática para aplicações de Engenharia define-se a tensão de cisalhamento ou 
força de arrasto local como função do coeficiente de arrasto local Cf. Também denominado 
coeficiente de tensão de cisalhamento (Cx no texto de Ozisik). 
 
2
2
∞
=
UC fw
ρτ 
 
onde ρ é a massa específica do fluido e U00 a velocidade de corrente livre. Desta forma conhecendo 
o coeficiente da tensão de cisalhamento Cf podemos determinar a força de arrasto exercida pelo 
fluido que está escoando sobre a placa plana. Igualando as equações anteriores se obtém: 
 
 
0
2
),(2
=∞
∂
∂=
y
f y
yxu
U
C ν 
 
o coeficiente local de arrasto poderá ser determinado se o perfil de velocidade u(x,y) na camada 
limite for conhecido. 
 
O valor médio do coeficiente da tensão de cisalhamento CDf de x=0 até x=L é definido como: 
∫
=
=
L
x
fDf dxCL
C
0
1
 
 
determinado o CDf podemos calcular a força de arrasto FD atuando sobre a placa de x=0 até x=L 
numa largura da placa b (lembrando que a área superficial é A=bxL). 
 
2
2
∞
=
UbLCF DD
ρ
 
 
 
Obs. Para placa plana paralela à direção do escoamento. CD=CDf. 
 
 
 
 
 
Capítulo 10: Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 10-11
10.9 Equações de BLASIUS – Placa Plana – Camada Limite Laminar 
 
Para o caso de placa plana existem diferentes soluções para determinar a espessura da camada limite, 
espessura de deslocamento da camada limite, coeficiente de arrasto local e coeficiente de arrasto médio. Em 
1908 Blasius, discípulo de Prandtl, obtém a solução exata da camada limite numa placa plana (gradiente de 
pressão nulo) considerando: 
 
� Escoamento em regime laminar. 
� Escoamento permanente 
� Escoamento bidimensional 
� Escoamento incompressível 
 
Soluções aproximadas foram também determinadas para tal problema considerando o perfil de velocidades 
como um polinômio de segundo grau, de terceiro grau e de quarto grau. 
 
A seguir são apresentadas as equações denominadas exatas, determinadas por Blasius, válidas para 
escoamento laminar Re < 5,0x105 até 1,0x106 
 
 
 
 
 
 
Figura 10.9. Esquema de placa plana 
Espessura da camada Limite 
 
x
x
Re
5
=δ 
Espessura de deslocamento da camada limite 
 
∞
=
U
vx73,1*δ ou também 
xRe
73,1*
=δ 
10.10 Coeficiente de arrasto local ou Coef. de tensão de cisalhamento 
 
2/1Re
664,0
x
fC = 
10.11 Coeficiente de arrasto médio 
Podemos determinar o coeficiente de arrasto médio CDf integrando Cf de x=0 até x=L ∫
=
=
L
x
fDf dxCL
C
0
1
 
 
2/12/1 Re
328,1
Re
664,02
LL
DfD CC === onde ReL= VL/ν 
 
 
v
xU
x
00Re = 
 
x 
L 
Rodrigo
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Mecânica dos Fluidos 
 
10-12 Conceitos de Camada Limite 
10.12 Transição de Escoamento Laminar para Turbulento 
 
 
O valor de Re de transição é uma função muito complexa de vários parâmetros como rugosidade da 
superfície, curvatura da superfície e intensidade das perturbações existentes no escoamento. 
 
No caso do ar a transição de escoamento laminar para turbulento, na camada limite sobre uma placa plana, 
ocorre para Rec na faixa de 2x105 a 3x106. Para efeitos práticos utiliza o valor fixo Rec=5x105 que na 
verdade corresponde ao limite inferior da região de transição. 
 
O processo de transição envolve instabilidade do campo de escoamento. Pequenas perturbações impostas 
sobre a camada limite, como vibrações na placa, rugosidade da superfície, pulsações no escoamento principal 
aumentam ou diminuem a instabilidade dependendo do lugar onde a perturbação for introduzida: 
 
� Se a perturbação ocorre em Rex < Rec são amortecidas fazendo com que a camada limite retorne ao 
regime laminar 
� Se a perturbação ocorre em Rex > Rec irão crescer transformando o escoamento em regime turbulento. 
� A mudança do escoamento laminar para turbulento também provoca uma mudança na forma do perfil de 
velocidades. 
 
 
 
Figura10.10 Perfis de velocidades em placa plana - regime laminar, transição e turbulento (ar). 
 
 
Observa-se na Fig.10.10 que o perfil turbulento de velocidades é mais plano apresentando um alto gradiente 
de velocidade na parede. Trata-se do escoamento de ar com uma velocidade de corrente livre de 27m/s. 
 
• Numa placa plana a camada limite será sempre turbulenta para Re > 4,0 x106 
 
 
 
 
Capítulo 10: Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 10-13
10.13 Camada Limite Turbulenta em Placa Plana 
10.13.1 Coeficiente de Arrasto Local - Coeficiente de Tensão de Cisalhamento 
 
A partir de dados experimentais Schilichting apresentou a seguinte correlação para o coeficiente de arrasto 
local para placa plana lisa. 
 
7
x
52,0 10Re5x10 para do váli Re0592,0 <<= −xfC 
 
para número de Reyndols altos, recomenda-se a correlação de Schultz-Grunow: 
 
( ) 9x7-2,584 10Re10 para válido Relog370,0 <<= xfC 
 
10.13.2 Coeficiente de Arrasto Médio 
 
Para uma camada limite que é inicialmente laminar e passa por uma transição em algum ponto sobre a placa 
plana, o coeficiente de arrasto turbulento deve ser ajustado para levar em conta o escoamento laminar no 
comprimento inicial. 
 
Figura 10.11. Placa plana com região laminar, transição e turbulenta. 
 
Consideremos um escoamento na camada limite sobre uma placa plana que seja: 
 
Laminar na região entre 0 ≤ x ≤ xc e Turbulenta na região xc < x ≤ L . 
 
Coeficiente de Arrasto Local 
 
Os coeficientes locais de atrito em cada uma das duas regiões são: 
 
(laminar) xx0 em Re664,0 c5,0 ≤≤= −xfc - Eq. de Blasius 
 
o)(turbulent xem Re0592,0 c2,0 Lxc xf ≤<= − - Eq. de Schilichting 
 
 
Coeficiente de Arrasto Médio 
 
O coeficiente de arrasto médio CDf (igual a CD em placa plana) na região inteira 



 

+

=


 +=
∫∫
∫∫
−
−
−
−
dxx
v
Udxx
v
U
L
c
dxcdxc
L
c
L
xc
xc
D
L
xc
xTurb
xc
xLamD
2,0
2,0
00
0
5,0
5,0
00
0
059,0664,01
1
 
Mecânica dos Fluidos 
 
10-14 Conceitos de Camada Limite 
efetuando a integração se obtém: 
 
L
cc
LDC Re
Re328,1Re074,0
Re074,0
5,08,0
2,0 −
−=
−
 válido para Rec ≤ ReL < 107 , 
 
Definição do Número de Reynolds Total e Crítico e Local 
 
v
LU
L
00Re = é o número de Reynolds para o comprimento total (L) da placa plana. 
v
xU c
c
00Re = é o número de Reynolds crítico da transição do escoamento laminar para turbulento 
 
v
xU
x
00Re = é o número de Reynolds crítico em qualquer posição da placa 
 
Forma Geral do Coeficiente de Atrito Médio 
 
O coeficiente médio de arrasto CD sobre a região onde o escoamento é parcialmente laminar e parcialmente 
turbulento, depende do valor do número de Reynolds crítico Rec . Por isto a Eq. anterior é especificada de 
maneira mais compacta. 
 
7
Lc
2,0 10Re Re para válido 
Re
Re074,0 <<−= −
L
LD
BC 
Válida quando existe a camada limite turbulenta com camada laminar anterior. O termo B é dada como: 
 ( )
arLaDoDTurbulent CCcB minRe −= 
 
o qual depende do número de Reynolds crítico ( Rec ) e das características do arrasto plenamente laminar e 
turbulento. 
 
Para diversos número de Rec o valor de B é dado a seguir. 
 



=
=
=
=
=
6
c
5
c
5
c
5
c
101Re para 3340
105Re para 1740
 103Re para 1050
102Re para 700
x
x
x
x
B 
 
• No caso em que B=0 corresponde ao escoamento turbulento começando desde x=0 e desta forma se 
utiliza e equação para regime turbulento denominada Eq. de Karman-Prandtl: 
 
72,0 10ReRe para Re074,0 <<= − LcLD C 
 
Para altos número de Reynolds 107 < Re < 109 se utiliza a seguinte expressão: 
 
( ) LLDC Re
1610
Relog
455,0
58,2 −= para 10
7
 < Re < 109 
 
 
Capítulo 10: Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 10-15
10.14 Espessura da Camada Limite - Escoamento Turbulento 
 
Utilizando uma relação empírica para a tensão de cisalhamento na parede na forma: 
 
2
5/1
0
0296,0 ∞
∞=



=∂
∂= U
xU
v
y
u
y
w ρµτ 
 
são obtidas expressões que permitem avaliar a espessura da camada limite turbulenta para placa plana. 
 
1. Para a camada limite plenamente turbulenta, começando da borda de ataque da placa (x=0). 
 
5/1Re381,0)( −= x
x
xδ
 
 
2. No caso em que a espessura da camada limite é laminar até o ponto em que Rec=5x105, e então se torna 
plenamente turbulenta. 
 
7515/1 10Re5x10 para válidaRe10256Re381,0)( <<−= −− xxx
x
xδ
 
 
 
 
A Fig. 10.12 apresenta graficamente um resumo os tipos de coeficiente de arrasto médios para placa plana 
lisa. 
 
 
 
Figura 10.12 Coeficiente de arrasto para placa plana lisa. 
 
 
 
 
 
Mecânica dos Fluidos 
 
10-16 Conceitos de Camada Limite 
10.15 Resumo das Equações da Camada Limite em Placa Plana 
 
Como ser observa existe uma grande quantidade de equações que podem ser utilizadas para avaliar o 
coeficiente de arrasto médio em placas planas. O uso de cada equação dependerá do regime de escoamento. 
A placa poderá apresentar escoamento plenamente laminar, escoamento plenamente turbulento ou se na 
placa plana existe uma região com escoamento laminar e posteriormente uma região com escoamento 
turbulento. A seguir, para simplificar, podemos utilizar as seguintes relações em exercícios específicos. 
 
I - Camada Limite Laminar 
 
Perfis de Velocidade 
Linear 
δ
y
U
u
= Parabólico 
2
2 

−=
δδ
yy
U
u
 Senoidal 

=
δ
pi y
U
u
2
sen 
 
Equação de Blasius 3x105 < Rex < 5x105 
2/1Re
664,0
x
fC = 2/1Re
328,1
L
DC = 
x
w
U
Re
332,0 2ρτ = 
 
x
x
x
Re
5)(
=
δ
 
x
x
x
Re
73,1)(*
=
δ
 )(346,0)(* xx δδ = )(7
1)( xx δθ = 
 
II - Camada Limite Turbulenta (escoamento turbulento desde a borda de ataque) 
Perfis de Velocidade Exponencial 
7/1


=
δ
y
U
u
 
 
Equação de Kárman – Prandtl (Rec=5x105) 
 
72,0 10ReRe para Re074,0 LcLD C <=
−
 
 
75/1 10ReRe para Re0594,0 Lcxf C <= − 
 
Equação de H. Schlichting 
( )
9
L
7
58,2 10 Re 10 para Relog
455,0
<<=
L
DC 
4/1
20233,0 

= δ
νρτ
U
Uw 
 
5/1Re381,0)( −= x
x
xδ
 
8
)()(* xx δδ = )(
72
7)( xx δθ = 
 
III – Camada Limite Turbulenta com Camada Laminar Anterior 
 
7
L
52,0 10Re 5x10 para 
Re
1700Re074,0 <<−= −
L
LDC 
 
( )
9
L
7
58,2 10Re 10 para Re
1700
Relog
455,0
<<−=
LL
DC 
 
7515/1 10Re5x10 para Re10256Re381,0)( <<−= −− xxx
x
xδ
 
Rodrigo
Textbox
Rodrigo
Textbox
Rodrigo
Textbox
Rodrigo
Textbox
Capítulo 10: Escoamento Viscoso Externo: Conceitos de Camada Limite 
 
PUCRS - DEM - Prof. Alé 10-17
Exemplo - Comparação das Variáveis para Camada Limite Laminar e Turbulenta. 
 
Água (ρ=1000kg/m3 e ν=1x106 m2/s) escoa com velocidade de U=1,0 m/s sobre uma placa plana de L=1m. 
Avalie a espessura da camada limite δ(x), a espessura de deslocamento δ*(x) e espessurade quantidade de 
movimento θ(x) e a tensão de cisalhamento na parede τw(x) para x=L. 
(a) Considere que é mantido escoamento laminar em toda a placa. 
(b) Considere que a camada limite é provocada, de modo que se torna turbulenta a partir na borda de ataque. 
 
1. Determinamos o número de Reynolds para x=L. 
 
ν
UL
L =Re 
6
6 10101
11Re ==
−
x
x
L 
 
(a) Considerando Equações para Regime Laminar 
x
x
x
Re
5)(
=
δ
 
x
x
x
Re
73,1)(*
=
δ
 
)(
7
1)( xx δθ = 
 
mm
x 5
10
51
6
==δ mmxx 73,15346,0)(* ==δ mmx 71,0
7
5)( ==θ 
 
000664,0
10
664,0
Re
664,0
6
===
x
fC 
( )
2
2
3
2
332,0
2
11000000664,0
2 m
N
m
kg
x
UC fw === ∞
ρτ 
 
(b) Considerando Equações para Regime Turbulento 
5/1Re381,0)( −= x
x
xδ
 
8
)()(* xx δδ = )(
72
7)( xx δθ = 
 
( ) mmxx 2410381,01)( 5/16 == −δ mmx 3
8
24)(* ==δ mmx 34,224
72
7)( ==θ 
 
( ) 00375,0100,0594 Re0594,0 5/165/1 === −−xfC ( ) 2
22
875,1
2
1100000375,0
2 m
N
x
UC fw === ∞
ρτ 
 
Espessura da camada limite 8,4
5
24
)min(
)(
==
arLa
Turbulento
δ
δ
 
 
Espessura de deslocamento da camada limite 73,1
73,1
3
)min(
)(
*
*
==
arLa
Turbulento
δ
δ
 
 
Espessura da quantidade de movimento 86,3
71,0
74,2
)min(
)(
==
arLa
Turbulento
θ
θ
 
 
Tensão de cisalhamento na parede. 63,5
332,0
87,1
)min(
)(
==
arLa
Turbulento
w
w
τ
τ
 
 
Obs: Existe um crescimento maior das variáveis na camada limite turbulenta devido a uma tensão de 
cisalhamento na parede mais alta. 
Rodrigo
Textbox
Rodrigo
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Rodrigo
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