AP Calculo I

Prévia do material em texto

Cálculo I
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho
Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
2011
2
Sumário
1 Limites de Funções e Continuidade 7
1.1 Tangentes, Áreas e Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 A Tangente de uma Curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Limites de Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Limites que Não Existem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.3 Definição Formal de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4 Propriedades de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.5 Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.5.1 Definição Formal para Limites Laterais . . . . . . . . . . . . . 47
1.5.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.6 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.6.1 Continuidade em Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.6.2 Definição Alternativa de Continuidade . . . . . . . . . . . . . 58
1.6.3 Teorema do Valor Intermediário . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.6.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3
4 SUMÁRIO
2 A Derivada 65
2.1 A Derivada como uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.1.1 Propriedades da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.1.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2 Regras para Calcular Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2.1 Notação Alternativa de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 71
2.2.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.3 A Derivada como Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.3.1 Velocidade como Medida pela Derivada . . . . . . . . . . . . 77
2.3.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4 Derivada das Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.5 Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
2.5.1 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.6 Diferenciação Implícita e Função Potência Racional . . . . . . . . . . 92
2.6.1 Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.6.2 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
2.7 Derivada de Ordem Superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.7.1 Aceleração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.8 Limites quando x→∞ e quando x→ −∞ . . . . . . . . . . . . . 105
2.9 Funções Limitadas e Ilimitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.10 Regra de L'Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3 Aplicações da Derivada 117
3.1 Problemas Aplicados de Máximo e Mínimo . . . . . . . . . . . . . . 132
3.2 O Teorema do Valor Médio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
Sumário 5
3.3 Funções Crescentes e Decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
3.4 Significado da Derivada Segunda: Concavidade . . . . . . . . . . . . 158
3.5 Teste da Derivada Segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.6 Comportamento em Larga Escala: Assíntotas . . . . . . . . . . . . . 168
3.7 Técnica para Avaliar Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.8 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.9 Assíntotas Verticais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
3.10 Esboço de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
6 Cálculo I
Capítulo 1
Limites de Funções e Continuidade
1.1 Tangentes, Áreas e Limites
Dois problemas:
1. O Problema da Reta Tangente: Encontrar a inclinação da reta l tangente
ao gráfico da função f , no ponto P .
Figura 1.1:
2. O Problema da Área: Encontrar a área da região R limitada pelo gráfico da
função f e o eixo-x para a ≤ x ≤ b.
7
8 Cálculo I - Limite
Figura 1.2:
O Cálculo Diferencial analisa a taxa de variação de uma função. Portanto,
resolve o problema 1.
O Cálculo Integral envolve um processo de soma generalizada que resolve o
problema 2.
1.1.1 A Tangente de uma Curva
O primeiro passo ao atacar o problema da reta tangente é definir claramente o que
significa �reta tangente ao gráfico de f no ponto P ".
Da geometria sabemos que se o gráfico de f é um arco de uma circunferência
então a tangente no ponto P pode ser definida como a única reta que intercepta
circunferência apenas no ponto P .
Esta definição é perfeitamente adequada para arcos de circunferências, mas fra-
cassa para curvas mais gerais. Por exemplo, a figura (a) mostra várias retas inter-
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 9
ceptando o gráfico de f apenas no ponto P , mas nenhuma delas é uma tangente. A
figura (b) mostra a tangente a P interceptando o gráfico de f em outros pontos.
Figura 1.3:
Existe um outro meio, entretanto, de definir a tangente a uma circunferência que
tem uma generalização satisfatória para as curvas mais gerais.
A figura a seguir ilustra que um segundo ponto Q sobre a circunferência determina
uma secante que liga os pontos P e Q.
Figura 1.4:
Quando o ponto Q se move em direção a P ao longo da circunferência, a reta
secante gira tendo o ponto P fixo.
10 Cálculo I - Limite
Vamos usar esta idéia para definir a tangente de forma mais geral.
Definição 1.1 Sejam P e Q pontos sobre uma curva C. A reta tangente à curva
C no ponto P , se existir, é a posição limite da reta secante que passa por P e Q,
quando Q se aproxima de P ao longo da curva C.
Figura 1.5:
Vamos agora determinar como definir a inclinação da reta tangente ao gráfico de
uma função f em um ponto P , de tal modo que seja consistente com esta noção de
tangente a uma curva.
Considere a figura abaixo:
A inclinação da reta secante é:
∆y
∆x
=
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
À medida que o ponto Q se aproxima de P ao longo do gráfico de f , o número
h 6= 0 se aproxima de zero.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 11
Figura 1.6:
Então, a tangente ao gráfico de f em P , é a �posição limite� da secante por P e
Q quando h se aproxima de zero, ou seja, a inclinação da tangente a P é igual ao
valor limite da inclinação da reta secante quando h se aproxima de zero, e isto é igual
ao limite quando h se aproxima de zero de f(x0+h)−f(x0)
h
.
Exemplo 1.1 Encontre a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 no
ponto (2, 4).
Solução.
Tabela 1.1:
h -1 -0.1 -0.01 -0.001 0.001 0.01 0.1 1
f(2+h)−f(2)
h
3 3.9 3.99 3.999 4.001 4.01 4.1 5
Quando h se aproxima de zero para estes valores, a inclinação das secantes parecem
12 Cálculo I - Limite
Figura 1.7:
aproximar-se de 4. De fato;
f(x+ h) = f(2 + h) = (2 + h)2 = 4 + 4h+ h2
e,
f(x0) = f(2) = 2
2 = 4.
Assim,
f(x0 + h)− f(x0)
h
=
(4 + 4h+ h2)− 4
h
= 4 + h, h 6= 0.
A inclinação da reta tangente é portanto,
m = lim
h→0
(4 + h) = 4.
¦
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 13
Figura 1.8:
Definição 1.2 A inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto (x0, f(x0)),
se existir, é o número
m = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
.
Exemplo 1.2 Encontre uma equação para reta tangente para o gráfico de f(x) =
x3 + 3x− 2 no ponto (1, 2).
Solução.
f(1) = 13 + 3− 2 = 2
f(1 + h) = (1 + h)3 + 3(1 + h)− 2 = h3 + 3h2 + 6h+ 2.
A inclinação da reta secante que passa por (1,2)é:
f(1 + h)− f(1)
h
=
(h3 + 3h3 + 6h+ 2)− 2
h
= h2 + 3h+ 6, h 6= 0.
A inclinação da reta tangente é portanto,
m = lim
h→0
(
h2 + 3h+ 6
)
= 6.
14 Cálculo I - Limite
Uma equação para a reta tangente que tem a inclinação m = 6 e passa pelo ponto
(1,2) é:
y − 2 = 6(x− 1).
¦
Exercícios
1. Use a definição 1.2 para encontrar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f
no ponto dado.
(a) f(x) = 3x− 2, P = (2, 4).
(b) f(x) = 2x2, P = (3, 18).
(c) f(x) = 2x2 + 3, P = (1, 5).
(d) f(x) = 3x2+4x+2, P = (−2, 6).
(e) f(x) = x3 + 3, P = (2, 11).
(f) f(x) = x4, P = (−2, 16).
(g) f(x) = ax3+ bx2+ cx+ d, x = 1.
(h) f(x) =
1
x+ 3
, P = (−2, 1).
(i) f(x) =
4
x2
, P = (2, 1).
2. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função f(x) = 3x2
no ponto (−1, 3).
3. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função f(x) = ax2
no ponto (1, a).
4. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função f(x) = 2x2+x
no ponto onde x = 1.
5. Usando uma calculadora podemos aproximar a inclinação da reta tangente ao
gráfico de f em (x0, f(x0)) calculando a inclinação da secante
f(x0 + h)− f(x0)
h
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 15
para h pequeno.
(a) Aproxime a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 − 3x no
ponto (2, 2) completando a tabela 1.2.
(b) Use o método dos exemplos 1.1 e 1.2 para calcular a inclinação da reta
tangente ao gráfico de y = x3 − 3x no ponto (2, 2). Compare com a
parte (a).
Tabela 1.2:
x0 h
f(x0+h)−f(x0)
h
0.1000
0.0100
0.0010
0.0001
-0.0001
-0.0010
-0.0100
-0.1000
6. Use a Tabela 1.2 para aproximar a inclinação da reta tangente ao gráfico de
y = senx no ponto (0, 0).
Aplique o método dos exemplos 1.1 e 1.2 para obter uma expressão para o limite
que deve ser calculado a fim de obter a inclinação da reta tangente.
7. Mostre que a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) = x2 + 6x + 1
no ponto onde x = a é m = 2a + 6. Use esta informação para encontrar o
número x onde a inclinação da tangente ao gráfico é zero.
16 Cálculo I - Limite
8. Use o método do exercício 7 para encontrar os pontos sobre o gráfico de f(x) =
x2− 3x+1 onde a inc1inação da tangente ao ponto é igual à coordenada y do
ponto.
9. Encontre os números a, b e c tal que o gráfico de f(x) = ax2 + bx + c
tem intercepto-y (0, 5), contém o ponto (1, 2) e tem tangente com inclinação
3 quando x = 2.
10. Demonstre que a reta tangente ao gráfico de f(x) = x3 no ponto (x0, f(x0))
é sempre paralela à reta tangente a este gráfico no ponto (−x0, f(−x0)).
11. Seja f(x) = |x|. Complete a Tabela 1.2 para o ponto (0, 0). A função valor
absoluto tem uma tangente no ponto (0, 0)?
1.2 Limites de Funções
A afirmação
L = lim
x→a
f(x)
significa que os valores f(x) estão tão próximos de L quanto desejarmos para todo
x 6= a, mas suficiente próximo de a.
Esta afirmação não é uma definição rigorosa porque as frases �tão próximas de L
quanto desejarmos� e �suficiente próximo de a� são, de algum modo, imprecisas.
Exemplo 1.3 Seja f(x) = 2x+ 1. Então
lim
x→3
f(x) = 7.
Para ver como esta função satisfaz a definição intuitiva de limite dada acima, anali-
saremos duas escolhas diferentes de �tão próximo� de f(x) para L = 7.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 17
Por exemplo, vamos supor que f(x) esteja próximo de 7 com uma precisão de
0.5, isto é,
6.5 ≤ 2x+ 1 ≤ 7.5.
Mas,
6.5 ≤ 2x+ 1 ≤ 7.5⇐⇒ 5.5 ≤ 2x ≤ 6.5⇐⇒ 2.75 ≤ x ≤ 3.25.
Assim, para obter a precisão desejada de ±5 em torno de L = 7, restringimos x
ao intervalo 2.75 ≤ x ≤ 3.25.
Agora, se quisermos que f(x) esteja próximo de 7 com uma precisão de 0.1, temos
6.9 < 2x < 7.1
ou
5.9 < 2x < 6.1
ou
2.95 < x < 3.05
.
Portanto, se 2.95 < x < 3.05, então, f(x) está próximo de 7 com uma precisão
de 0.1.
Em geral, dada qualquer precisão desejada de f(x) para 7, podemos encontrar
um intervalo aberto I centrado em 3 tal que, se x pertence ao intervalo I, então o
valor f(x) difere de 7 por não mais do que a precisão prescrita . Assim dizemos que
lim
x→3
(2x+ 1) = 7.
Exemplo 1.4 A função f(x) = senx
x
não é definida em x = 0. Entretanto, o limite
lim
x→0
senx
x
= 1.
18 Cálculo I - Limite
Tabela 1.3:
x senx
x
x senx
x
0.8 0.896695 -0.005 0.999996
0.5 0.95885 1 -0.005 0.999996
0.2 0.993347 -0.02 0.999933
0.08 0.998934 -0.05 0.999583
0.05 0.999583 -0.08 0.998934
0.02 0.999933 -0.2 0.993347
0.005 0.999996 -0.05 0.958851
0.002 0.999999 0.8 0.896695
Observe a tabela:
Esta evidência numérica é consistente com o gráfico de f(x).
Figura 1.9:
Exemplo 1.5 Calcule lim
x→0
(x+ 1)3 − 1
x
.
Solução. A função f(x) = (x+1)
3−1
x
não é definida para x = 0.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 19
Mas observando a tabela 1.4 vemos que quando x está se aproximando de zero, o
valor f(x) se aproxima de L = 3.
Tabela 1.4:
x (x+1)
3−1
x
x (x+1)
3−1
x
2.0 13.0000 -0.001 2.9970
1.5 9.7500 -0.01 2.9701
1.0 7.0000 -0.1 2.7100
0.5 4.7500 -0.2 2.4400
0.2 3.6400 -0.5 1.7500
0.1 3.3100 -1.0 1.0000
0.01 3.0301 -1.5 0.7500
0.001 3.0030 -2.0 1.0000
Os dados sugerem que
lim
x→0
(x+ 1)3 − 1
x
= 3.
Podemos verificar este limite utilizando uma álgebra simples. De fato,
(x+ 1)3 − 1
x
=
(x3 + 3x2 + 3x+ 1)− 1
x
=
x3 + 3x2 + 3x
x
= x2+3x+3, x 6= 0.
Concluímos, portanto que as funções f(x) = (x+1)
3−1
x
e g(x) = x2 + 3x + 3
tem os mesmos valores, exceto para x = 0, em que f(0) não é definida. Assim, os
limites quando x se aproxima de zero destas duas funções devem ser os mesmos.
Nosso limite pode ser calculado como segue:
lim
x→0
(x+ 1)3 − 1
x
= lim
x→0
(
x2 + 3x+ 3
)
= 0 + 0 + 3 = 3.
¦
20 Cálculo I - Limite
Figura 1.10:
Exemplo 1.6 Calcule o limite: lim
x→2
x2 − 3x+ 2
x2 + x− 6
Solução. Primeiro observemos que para x = 2 obtemos o quociente:
22 − 3 · 2 + 2
22 + 2− 6 =
4− 6 + 2
4 + 2− 6 =
0
0
,
que não está definido.
Portanto, devemos fatorar o numerador e o denominador, obtendo para x 6= 2,
x2 − 3x+ 2
x2 + 2 + 6
=
(x− 2)(x− 1)
(x− 2)(x+ 3) =
x− 1
x+ 3
.
Assim,
lim
x→2
x2 − 3x+ 2
x2 + x− 6 = limx→2
x− 1
x+ 3
=
2− 1
2 + 3
=
1
5
.
¦
Exemplo 1.7 Calcule lim
x→pi
sen2x
1 + cosx
Solução. Primeiro observemos que sen2pi = (senpi)2 = 0 e 1 + cospi =
1 + (−1) = 0.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 21
Assim, numerador e denominador são ambos iguais a zero quando x = pi. Temos,
então, de encontrar uma expressão equivalente para
sen 2x
1+cosx
, isto é,
sen2x
1 + cosx
=
1− cos2 x
1 + cosx
=
(1− cosx)(1 + cosx)
1 + cosx
= 1−cosx, se cosx 6= −1.
Assim,
lim
x→pi
sen2x
1 + cosx
= lim
x→pi
(1− cosx) = 1− (−1) = 2.
¦
1.2.1 Limites que Não Existem
Exemplo 1.8 O limite lim
x→0
=
|x|
x
não existe. Para ver porque, utilizamos a definição
de módulo,
|x| =
 x se x ≥ 0−x se x < 0
Para reescrever a função f(x) = |x|
x
como:
f(x) =

x
x
se x > 0
−x
x
se x < 0
Se x está próximo de zero e for positivo, f(x) = 1. Mas, se x está próximo de zero
e for negativo, f(x) = −1.
Para que o limite exista quando x → 0, os valores de f(x) devem se aproximar
de um número L, quando x se aproxima de zero por qualquer um dos lados.
Como não é o que acontece nesse exemplo, o limite não existe.
Exemplo 1.9 lim
x→0
= sen
(
1
x
)
não existe.
De fato, os valores f(x) = sen
(
1
x
)
não se aproximam de um único número L
quando x→ 0.
22 Cálculo I - Limite
As tabelas 1.5, 1.6 e 1.7 a seguir ilustram as oscilações se f(x) numericamente.
A tabela 1.5 sugere que o limite seria 1, a tabela 1.6 sugereque o limite seria 0 e a
tabela 1.7 sugere que o limite seria
√
2
2
.
Tabela 1.5:
x sen
(
1
x
)
2/pi 1
2/5pi 1
2/9pi 1
2/13pi 1
2/17pi 1
Tabela 1.6:
x sen
(
1
x
)
1/2pi 0
1/4pi 0
1/6pi 0
1/8pi 0
1/10pi 0
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 23
Tabela 1.7:
x sen
(
1
x
)
4/pi
√
2/2
4/9pi
√
2/2
4/17pi
√
2/2
4/25pi
√
2/2
4/33pi
√
2/2
1.2.2 Exercícios
1. Para cada uma das funções dadas pelos seus gráficos, indique se:
(i) lim
x→a
f(x) existe e é igual a f(a).
(ii) lim
x→a
f(x) existe mas não é igual a f(a).
(iii) lim
x→a
f(x) não existe.
(a) ?
Figura 1.11:
(b) ?
24 Cálculo I - Limite
Figura 1.12:
Figura 1.13:
(c) ?
2. Para cada uma das funções definidas graficamente, determine se lim
x→a
f(x)
existe. Se não existir, explique porquê.
3. Calcule o limite, se existir:
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 25
Figura 1.14:
(a) lim
x→2
(3x+ 7)
(b) lim
x→0
(3 + x)2 − 9
x
(c) lim
h→0
h2 − 1
h− 1
(d) lim
x→−2
x2 − x− 6
x+ 2
(e) lim
x→0
1− cos2 x
senx · cosx
(f) lim
h→0
sen(2h)
senh
(g) lim
x→pi/2
sen(2x) · cosecx
(h) lim
x→−1
x2 − 2x− 3
x+ 1
(i) lim
x→pi/2
secx · cosx
x
(j) lim
x→−1
x3 + 3x2 − x− 3
x2 − 1
(k) lim
x→−3
x3 − 7x+ 6
x2 + 2x− 3
(l) lim
x→2
x13/4 − 2x9/4
x5/4 − 2x1/4
(m) lim
h→0
3−√9 + h
h
(n) lim
x→1
1
x
− 1
x− 1
4. Esboce o gráfico de y = f(x) e determine o limite de f(x) quando x→ 0, se
existir. Se o limite não existir explique o porquê.
(a) f(x) =
 x+ 2 se x < 02x+ 2 se x > 0
(c) f(x) = x
2 − 3x+ 3 se x < 0
(x−1)3+1
x
se x > 0
(b) f(x) =
 (x+ 2)
2 se x < 0
(x− 2)3 se x > 0
(d) f(x) =
 x
2 + 1 se x < 0
senx
x
se x > 0
5. Para cada função especificada, preencha a tabela 1.8. Com evidencia numérica,
26 Cálculo I - Limite
faça uma previsão do limite de f(x) quando x→ 0.
(a) f(x) = x
2
1−cosx
(b) f(x) = x−senx
x3
(c) f(x) = 1−cosx
2
x4
Tabela 1.8:
x f(x) x f(x)
1.000 -0.005
0.500 -0.010
0.100 -0.050
0.050 -0.500
0.0 10 -1.000
0.005
6. Seja f(x) definida por f(x) =

senx
2x
se x < 0
(x+ c)2 se x > 0
Encontre o(s) valor(es) de c tal que limite de f(x) exista. Neste caso, qual é o
limite de f(x) quando x→ 0?
7. Uma função f e um número a são dados, plote os pontos (a + h, f(a + h))
para h = ±1, h = ±0.1, h = ±0.01, h = ±0.001, h = ±0.0001,
h = ±0.00001. Então, prediga o limite de f(x) quando x→ a.
(a) f(x) =
2x2 + 5x− 12
x+ 4
, a = −4 (b) f(x) = senx
3x
, a = 0
1.3 Definição Formal de Limite
Na seção anterior definimos o limite de uma função de maneira informal, dizendo que
L = lim
x→a
f(x).
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 27
Significando que os valores f(x) estão tão próximos de L quanto desejarmos, para
todo x 6= a, mas suficientemente próximo de a.
Do ponto de vista da precisão matemática, esta noção informal de limite é pro-
blemática. A dificuldade repousa no uso da frase �próximo de a". Uma afirmação
matemática precisa pode envolver constantes, variáveis, sinal de igual, desigualdades,
expressões aritméticas, e assim por diante, mas não referências vagas como �proximi-
dade".
Para recuperar nossa noção intuitiva de limite com uma linguagem precisa, pro-
cedemos da seguinte forma:
1. Em lugar da frase �os valores f(x) estão tão próximos de L quanto desejarmos�,
usamos a desigualdade
|f(x)− L| < ε (1.1)
2. Em lugar da frase �para todo x 6= a, mas suficientemente próximo de a�, usamos
a desigualdade em que δ é um número positivo pequeno.
0 < |x− a| < δ (1.2)
A razão para a parte esquerda da desigualdade é que não queremos x = a.
3. Para ligar estas duas frases na forma desejada, dizemos que, não importa que
número ε seja dado, podemos encontrar um número δ tal que se x satisfaz a
desigualdade (1.2), então f(x) satisfaz a desigualdade (1.1). Isto é, queremos
dizer que
|x− a| pequeno garante que |f(x)− L| é pequeno.
Estas convenções nos permite fazer a definição formal de limite.
28 Cálculo I - Limite
Definição 1.3 Seja f(x) definida para todo x em um intervalo aberto contendo a,
exceto possivelmente em a. Dizemos que o número L é o limite da função f quando
x se aproxima de a, e escrevemos
L = lim
x→a
f(x),
se, e somente se, dado qualquer número ε > 0, existe um número correspondente
δ > 0, tal que se 0 < |x− a| < δ, então |f(x)− L| < ε.
Em outras palavras, L = lim
x→a
f(x),, significa que os valores f(x) estão tão
próximos de L quanto desejarmos (dentro de ε unidades) para todo x 6= a, mas
suficientemente próximo de a.
Exemplo 1.10 Demonstre usando a definição 1.3, que lim
x→2
(2x+ 1) = 7.
Solução. De acordo com a definição 1.3, L = 7 e a = 3. Além disso, as seguintes
desigualdades são equivalentes:
Dado qualquer número pertencente a ε,
|(2x+ 1)− 7| < ε (1.3)
|2x− 6| < ε
2|x− 3| < ε
|x− 3| < ε
2
(1.4)
Ainda, de acordo com a definição 1.3, devemos encontrar uma distância δ aceitável
para cada precisão ε > 0 dada, afim de provar que o limite é 7.
A equação (1.4) obtida a partir de (1.5) é a chave para isto.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 29
De fato, os cálculos acima mostram que
|(2x+ 1)− 7| < ε⇐⇒ |x− 3| < ε
2
.
É exatamente esta equivalência que nos mostra como escolher δ. Com δ = ε
2
,
sabemos que se 0 < |x− 3| < δ, então a desigualdade |x− 3| < ε
2
é verdadeira e,
portanto, a desigualdade (1.3).
Formalmente, a demonstração é:
Seja ε > 0 dado. Vamos escolher δ = ε
2
. Segue, então, que se 0 < |x− 3| < δ,
então
|(2x+ 1)− 7| = |2x− 6|
= 2|x− 3| < 2δ, pois |x− 3| < δ
= 2
(
ε
2
)
= ε
Ou seja, se 0 < |x − 3| < δ, então |(2x + 1) − 7| < ε, como exigido pela
definição 1.3.
Figura 1.15:
30 Cálculo I - Limite
¦
Exemplo 1.11 Prove que lim
x→2
(4x+ 3) = 11.
Solução. Neste caso, f(x) = 4x+ 3, L = 11 e a = 2.
Temos as seguintes desigualdades equivalentes:
|f(x)− L| < ε
|(4x+ 3)− 11| < ε
|4x− 8| < ε
4|x− 2| < ε
|x− 2| < ε
4
Dado ε > 0, escolhemos δ = ε
4
. Segue, então, que se 0 < |x− 2| < δ, então
|(4x+ 3)− 11| = |4x− 8|
= 4|x− 2|
< 4δ
= 4 ε
4
= ε
Assim, com δ = ε
4
temos que se 0 < |x− 2| < δ, então |(4x+3)− 11| < ε. ¦
Exemplo 1.12 Prove que lim
x→2
(
x2 − 4x+ 7) = 3.
Solução. Neste caso, temos que f(x) = x2 − 4x+ 7, a = 2 e L = 3. Assim, se
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 31
ε é um número positivo dado, as seguintes desigualdades são equivalentes:
|f(x)− L| < ε
| (x2 − 4x+ 7)− 3| < ε
|x2 − 4x+ 4| < ε
|(x− 2)2| < ε
|x− 2| < √ε
Se tomarmos δ =
√
ε, segue que se 0 < |x−2| < δ, então |(x2 − 4x+ 7)− 3| <
ε.
Isto prova que lim
x→2
(
x2 − 4x+ 7) = 3, de acordo com a definição 1.3. ¦
Exemplo 1.13 Prove que lim
x→2
x2 = 4.
Solução. Neste caso, f(x) = x2, a = 2 e L = 4.
Examinaremos, então,
|x2 − 4| = |(x+ 2)(x− 2)|
= |x+ 2| |x− 2| .
O fator |x− 2| é a quantidade desejada |x− a| na definição 1.3. O que fazemos
então, com o fator |x+ 2|? Como x se aproxima de 2, então, x+ 2 se aproxima de
4.
Portanto, substituímos x+ 2 por uma constante próxima de 4.
Mais precisamente, se |x− 2| < 1, então, |x+2| < 5. Então, temos neste caso:
|x2 − 4| = |x+ 2| |x− 2|
< 5 |x− 2| .
Usaremos, portanto, |δ = ε
5
| e lembraremos que devemos ter |x− 2| < 1.
A prova formal é a seguinte:
32 Cálculo I - Limite
Dado ε > 0, seja δ o menor dos números
{
1, ε
5
}
. Então se 0 < |x − 2| < δ,
temos ambos
|x− 2| < ε
5
e |x+ 2| < 5.
Assim,
|x2 − 4| = |x+ 2| |x− 2|
< 5|x− 2|
< 5
(
ε
5
)
= ε
Isto mostra que |x2 − 4| < ε sempre 0 < |x− 2| < δ.
Assim, lim
x→2
x2 = 4. ¦
Exemplo 1.14 Prove que lim
x→0senx = 0.
Solução. Neste caso, f(x) = senx, a = 0 e L = 0.
Para fazer esta demonstração vamos utilizar a seguinte desigualdade:
|senx| ≤ |x|.
Assim, se ε é um número positivo dado, a desigualdade |f(x)− L| < ε é
|senx− 0| < ε.
Considerando que |senx| ≤ |x| podemos concluir que se |x| ≤ ε, então,
|senx− 0| = |senx| ≤ |x| < ε (1.5)
Como, neste exemplo, |x− a| = |x− 0| = |x|, a desigualdade (1.5) mostra que
se tomarmos δ = ε, segue que
se 0 < |x− 0| < δ, então |senx− 0| < ε.
Isto prova que lim
x→0
senx = 0. ¦
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 33
1.3.1 Exercícios
1. lim
x→2
(2x+ 5) = 9.
(a) Mostre que |(2x+ 5)− 9| < ε, se e somente se, |x− 2| < ε
2
.
(b) Encontre um δ apropriado para ε = 2, 0.4, 0.05.
2. lim
x→0
(x2 − 1) = 3.
(a) Mostre que |(x2 + 3)− 3| < ε, se e somente se, |x| < √ε.
(b) Encontre um δ apropriado para ε = 2, 1, 0.3.
3. lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = 2.
Encontre um δ apropriado ε = 2, 0.8, 0.05.
4. Use a definição 1.3 para provar que:
(a) lim
x→3
(x+ 3) = 6
(b) lim
x→4
(7− 3x) = −5
(c) lim
h→3
h2 − 9
h− 3 = 6
(d) lim
x→3
x2 = 9
(e) lim
x→1
(x2 − 2x+ 4) = 3
(f) lim
x→4
√
x = 2
(g) lim
x→2
(x2 − 2x+ 2) = 2
5. Prove usando a técnica do exemplo 1.14 para provar que lim
x→0
sen2x = 0.
6. Use a desigualdade trigonométrica |senx| ≤ |x| para provar que lim
x→0
xsenx =
0.
1.4 Propriedades de Limite
1. lim
x→a
c = c , c = constante.
34 Cálculo I - Limite
2. lim
x→a
x = a.
A afirmação 1 diz que o limite da função constante f(x) = c é sempre o número
c, independente de quem seja a.
A afirmação 2 diz que o limite da função linear g(x) = x quando x se aproxima
de a é o valor da função em a, isto é, g(a) = a.
O teorema que segue estabelece uma álgebra dos limites, pela qual limites de
somas, produtos e quocientes de funções podem ser calculados a partir de limites de
termos individuais.
Teorema 1.1 Suponhamos que lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = M , existem. Seja c
um número qualquer. Então, cada um dos seguintes limites existem com os valores
indicados:
(i) lim
x→a
[f(x) + g(x)] = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x) = L+M .
(ii) lim
x→a
[cf(x)] = c
[
lim
x→a
f(x)
]
= c · L.
(iii) lim
x→a
[f(x) · g(x)] =
[
lim
x→a
f(x)
]
·
[
lim
x→a
g(x)
]
= L ·M .
(iv) lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
=
L
M
, desde que M 6= 0.
Demonstração. Faremos à demonstração das partes (i) e (ii). As duas últimas,
embora similares às duas primeiras são logicamente mais complexas.
(i) Queremos mostra que, dado ε > 0, existe um δ > 0 tal que
se 0 < |x− a| < δ, antão, |(f(x) + g(x))− (L+M)| < ε.
Para isto, consideremos as hipóteses dadas do problema:
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 35
� Dado ε > 0, como lim
x→a
f(x) = L, então existe um número δ1 > 0 tal
que se 0 < |x− a| < δ1, então, |f(x)− L| < ε2 .
� Da mesma forma, dado ε > 0, como lim
x→a
g(x) = M , então, existe um
número δ2 > 0 tal que se 0 < |x− a| < δ2, então, |g(x)−M | < ε2 .
Consideramos, então, δ como sendo o menor dos números δ1 e δ2, isto é, δ =
min(δ1, δ2). Então, se 0 < |x− a| < δ2 são satisfeitos.
Assim, utilizando estas informações, temos:
|(f(x) + g(x))− (L+M)| = |(f(x)− L) + (g(x)−M)|
≤ |f(x)− L|+ |g(x)−M |
<
ε
2
+
ε
2
= ε
Isto demonstra que lim
x→a
[f(x) + g(x)] = L+M , ou seja,
�O limite da soma é a soma dos limites�.
(ii) Primeiro observemos que se c = 0, então, lim
x→a
cf(x) = c · L é exatamente
lim
x→a
0 = 0, que é obviamente verdadeiro.
Vamos supor, então, que c 6= 0. queremos provar que dado ε > 0, existe δ > 0
tal que se 0 < |x− a| < δ, então, |cf(x)− cL| < ε.
� Mas, por hipótese, temos que dado ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 <
|x− a| < δ, então, |f(x)− L| < ε|c| (lembre-se que c 6= 0).
Assim, dado ε > 0 existe um δ > 0 tal que se 0 < |x − a| < δ, então,
|cf(x)− cL| = |c(f(x)− L)| = |c||f(x)− L| < |c| ε|c| < ε.
Isto mostra que lim
x→a
cf(x) = c · L.
36 Cálculo I - Limite
¤
Exemplo 1.15 Calcule lim
x→2
(
3x2 + 6
)
.
Solução.
lim
x→2
(3x2 + 6) = lim
x→2
(3x2) + lim
x→2
6 (i)
= 3 lim
x→2
x2 + lim
x→2
6 (ii)
= 3
(
lim
x→2
x
) (
lim
x→2
x
)
+ lim
x→2
6 (iii)
= 3 · 2 · 2 + 6
= 18
¦
Exemplo 1.16 Calcule lim
x→−1
(
2x+ 3
1 + x2
)
.
Solução. Como o limite do denominador é:
lim
x→−1
(1 + x2) = lim
x→−1
1 + lim
x→−1
x2 (i)
= lim
x→−1
1
(
lim
x→−1
x
)(
lim
x→−1
x
)
(ii)
= 1 + (−1)(−1)
= 2
O qual é diferente de zero, podemos aplicar a parte (iv) para calcular que
lim
x→−1
(
2x+ 3
1 + x2
)
=
lim
x→−1
(2x+ 3)
lim
x→−1
(1 + x2)
(iv)
=
2
(
lim
x→−1
x
)
+ lim
x→−1
3
2
(i) e (ii)
=
2(−1) + 3
2
=
1
2
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 37
¦
Extensão do teorema 1.1 para potências inteiras de x e funções potências.
Teorema 1.2 Suponhamos que lim
x→a
f(x) = L. Para qualquer inteiro positivo n =
1, 2, 3 . . . vale que:
(i) lim
x→a
xn = an.
(ii) lim
x→a
[f(x)]n =
[
lim
x→a
f(x)
]n
= Ln.
Exemplo 1.17 Calcule lim
x→2
(3x4 + 7x2 + 4x).
Solução.
lim
x→2
(3x4 + 7x2 + 4x) = 3
(
lim
x→2
x4
)
+ 7
(
lim
x→2
x2
)
+ 4
(
lim
x→2
x
)
= 3 · 24 + 7 · 22 + 4 · 2
= 84
¦
Exemplo 1.18 Calcule lim
x→−2
(
x−3 − 3x−2 + 5x3).
Solução.
lim
x→−2
(
x−3 − 3x−2 + 5x3) = lim
x→−2
(
1
x3
+
−3
x2
+ 5x3
)
= 1
(−2)3 +
−3
(−2)3 + 5(−2)3
= −327
8
¦
Exemplo 1.19 Calcule lim
x→2
(x3 − 7x+ 1)3.
38 Cálculo I - Limite
Solução.
lim
x→2
(x3 − 7x+ 1)3 =
[
lim
x→2
(x3 − 7x+ 1)
]3
= [23 − 7 · 2 + 1]3
= (−5)3
= −125
¦
Teorema 1.3 Sejam m,n inteiros positivos. Então,
(i) Se m é par, lim
x→a
x
n/m = a
n/m
, para 0 < a <∞.
(ii) Se m é ímpar, lim
x→a
x
n/m = a
n/m
, para −∞ < a <∞.
Exemplo 1.20 Calcule lim
x→4
(
3
√
x+ x
−3/2
)
.
Solução. Usando os teoremas 1.1 e 1.3, temos:
lim
x→4
(
3
√
x+ x
−3/2
)
= lim
x→4
(
3x
1/2 + x
−3/2
)
= lim
x→4
x
1/2 +
1
lim
x→4
x
3/2
Teorema 1.1
= 3(4)
1/2 +
1
(4)3/2
Teorema 1.3
= 3 · 2 + 1
8
=
49
8
¦
Teorema 1.4 (Sanduíche) Suponha que o limite de g(x) e o limite de h(x) existam
quando x→ a, e que lim
x→a
g(x) = L = lim
x→a
h(x).
Se a função f satisfaz a desigualdade g(x) ≤ f(x) ≤ h(x) para todo x em um
intervalo aberto contendo a (exceto possivelmente para x = a),então,
lim
x→a
f(x) = L.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 39
Interpretação Geométrica:
Figura 1.16:
Exemplo 1.21 Mostramos que lim
x→0
senx = 0, usando a definição formal de limite
e a desigualdade trigonométrica
|senx| ≤ |x|.
Se supormos que |x| → 0 quando x → 0, então, podemos calcular lim
x→0
senx
usando o teorema do �sanduíche�.
De fato, pela desigualdade trigonométrica acima,
−|x| ≤ senx ≤ |x|.
Como,
lim
x→0
−|x| = 0 = lim
x→0
|x|,
pelo teorema do �sanduíche�, lim
x→0
senx = 0.
Exemplo 1.22 Use o teorema do sanduíche para mostrar que lim
x→0
x sen
1
x
= 0.
40 Cálculo I - Limite
Solução. Sabemos que |senx| ≤ 1, para todo x. Assim, podemos escrever a
segunda desigualdade:
0 ≤
∣∣∣∣x sen 1x
∣∣∣∣ = |x| ∣∣∣∣sen 1x
∣∣∣∣ ≤ |x| · 1 = |x| .
Portanto,
0 ≤
∣∣∣∣x sen 1x
∣∣∣∣ ≤ |x| , x 6= 0.
Como lim
x→0
|x| = 0 = lim
x→0
0, segue do teorema do sanduíche que
lim
x→0
x sen
1
x
= 0.
¦
Exemplo 1.23 Prove que lim
x→0
cosx = 1.
Solução. Considere a triângulo PQR na figura abaixo:
Figura 1.17:
Então, PR
2
+QR
2
= PQ
2
.
Profa.Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 41
Como PQ ≤ arcPQ = x:
sen2x+ (1− cosx)2 = PQ2 ≤ x2.
Nesta equação todos os termos são não negativos.
Assim,
sen2x ≤ x2 e (1− cosx)2 ≤ x2.
Conseqüentemente , extraindo a raiz quadrada obtemos
0 ≤ |1− cosx| ≤ |x|.
Como lim
x→0
|x| = 0 = lim
x→0
0, pelo teorema do sanduíche, lim
x→0
|1− cosx| = 0 =
lim
x→0
(1− cosx) = 0.
Este último resultado é equivalente a
lim
x→0
cosx = 1.
¦
Exemplo 1.24 Mostre que lim
x→0
senx
x
= 1.
Solução. Suponhamos, primeiro que 0 < x < pi
2
, na figura a seguir, observemos
que:
Área do triângulo OAC ≤ Área do setor OBC ≤ Área do triângulo OBD.
Como,
Área do triângulo OAC = 1
2
cosx senx
Área do setor OBC = 1
2
x,
(
x
2pi
pir2 = xr
2
2
, com r = 1
)
Área do triângulo ABD = 1
2
tanx.
Portanto, a desigualdade acima torna-se:
1
2
cosx senx ≤ 1
2
x ≤ 1
2
tanx.
42 Cálculo I - Limite
Figura 1.18:
Multiplicando por 2 e dividindo pelo senx temos:
cosx ≤ x
senx
≤ 1
cosx
.
Invertendo todos os termos, obtemos:
1
cosx
≥ senx
x
≥ cosx, 0 < x < pi
2
.
Para−pi
2
< x < 0, a desigualdade acima também se mantém. Portanto, podemos
aplicar o teorema do sanduíche com g(x) = cosx, f(x) = senx
x
e h(x) = 1
cosx
,
pois g(x) ≤ f(x) ≤ h(x).
Como lim
x→0
cosx = 1 = lim
x→0
1
cosx
, temos, pelo teorema do sanduíche que
lim
x→0
senx
x
= 1. ¦
Exemplo 1.25 Calcule lim
x→0
sen2x
x
.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 43
Solução. Usando a identidade sen2x = 2senx cosx, temos:
lim
x→0
sen2x
x
= lim
x→0
2senx · cosx
x
= lim
x→0
[
2
(
senx
x
)
cosx
]
= 2
(
lim
x→0
senx
x
)(
lim
x→0
cosx
)
= 2 · 1 · 1 = 2
¦
1.4.1 Exercícios
1. Use os teoremas 1.1 - 1.3 para calcular o limite.
(a) lim
x→3
(3x− 7)
(b) lim
x→2
x2 + 3x
x− 3
(c) lim
x→4
√
x
(
1− x2)
(d) lim
x→1
(
9x9 − 3√x)
(e) lim
x→3
x2 − 2x− 3
x− 3
(f) lim
x→4
x
3/2 + 2
√
x
x5/2 +
√
x
(g) lim
x→0
tanx
sen2x
(h) lim
x→−8
x
2/3 − x
x5/3
(i) lim
x→4
x− 4√
x− 2
(j) lim
x→−1
(
x
7/3 − 2x2/3
)2
2. Nas questões (a) e (b) suponha que lim
x→a
f(x) = 2, lim
x→a
g(x) = −3. Calcule o
limite especificado.
(a) lim
x→a
3 · f(x) · g(x)
(b) lim
x→a
6 · f(x)− 4[g(x)]2
g(x)− 4 · f(x)
3. Use o fato de que lim
x→0
senx
x
= 1 para calcular o limite:
(a) lim
x→0
senx
2x
(b) lim
x→0
tanx
4x
(c) lim
x→0
x2 cotx
(d) lim
x→0
senx
5
√
x
44 Cálculo I - Limite
4. Suponha que 1− x2 ≤ f(x) ≤ 1 + x2 para todo x. Calcule lim
x→0
f(x).
5. Use a definição formal de limite para demonstrar que
lim
x→a
x = a.
6. Mostre que lim
x→0
1− cosx
x
= 0.
1.5 Limites Laterais
Considere o gráfico de uma função f(x)
Figura 1.19:
Este gráfico tem a propriedade de que quando x é escolhido próximo de a, mas à
direita de a, os correspondentes valores da função f(x) estão próximos ao número.
Este é o conceito de limite à direita, cuja notação é:
lim
x→a+
f(x) = L
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 45
Analogamente escrevemos
lim
x→a−
f(x) =M
significa que os valores de x estão próximos de M se x está próximo de a pela
esquerda.
Intuitivamente, a expressão
L = lim
x→a+
f(x)
significa que os valores f(x) estão tão próximos de L quanto desejarmos para todo
x > a, mas suficientemente próximo de a. Similarmente a expressão
M = lim
x→a−
f(x)
significa que os valores f(x) estão tão próximos deM quanto desejarmos para todo
x < a mas suficientemente próximo de a.
Exemplo 1.26 Como f(x) =
√
x não é definida para x < 0, o limite de
√
x
quando x→ 0 não existe. Entretanto, podemos escrever que lim
x→0+
√
x = 0.
Exemplo 1.27 Para a função f(x) = |x|
x
quando x→ 0, como já concluímos
lim
x→0
|x|
x
não existe. Entretanto, seus limites laterais existem. De fato,
(a) Para x > 0, lim
x→0+
|x|
x
= lim
x→0+
x
x
= lim
x→0+
1 = 1.
(b) Para x < 0, lim
x→0−
|x|
x
= lim
x→0−
−x
x
= lim
x→0−
(−1) = −1.
Exemplo 1.28 O gráfico a seguir corresponde à função maior inteiro, definida
por:
[[x]] = maior inteiro n com n ≤ x.
46 Cálculo I - Limite
Figura 1.20:
Por exemplo, [[2.5]] = 2, [[− 1.2]] = −2, [[pi]] = 3, [[7]] = 7, etc.
Embora lim
x→n
[[x]] não exista, ambos os limites laterais existem. Por exemplo,
lim
x→2+
[[x]] = 2 ; lim
x→2−
[[x]] = 1 ;
lim
x→−2−
[[x]] = −3 ; lim
x→−2+
[[x]] = −2 ;
Teorema 1.5 lim
x→a
f(x) existe, se e somente se, ambos os limites laterais existem e
são iguais. Isto é, lim
x→a
f(x) = L se, e somente se, lim
x→a+
f(x) = L = lim
x→a−
f(x).
Exemplo 1.29 Dada a função
f(x) =
 4x− 3, x ≥ 12− x2, x < 1
demonstre que lim
x→1
f(x) = 1.
Solução. A estratégia que utilizamos é a de examinar os limites laterais individu-
almente.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 47
Para mostrar que lim
x→1+
f(x) = 1, observemos que se x > 1, então, f(x) =
4x− 3. Portanto, pelo teorema 1.1 (aplicado os limites laterais),
lim
x→1+
(7x− 3) = 4
(
lim
x→1+
x
)
− 3
= 4 · 1− 3 = 1.
Analogamente, se x < 1, então, f(x) = 2 · x2. tal que,
lim
x→1+
(2− x2) = 2−
(
lim
x→1+
x
)2
= 2− (1)2 = 1.
Como lim
x→1+
f(x) = lim
x→1−
f(x) = 1, pelo teorema 1.5,
lim
x→1
f(x) = 1.
¦
1.5.1 Definição Formal para Limites Laterais
Para formalizar a noção intuitiva de limites laterais, modificamos a condição 0 <
|x− a| < δ da definição formal de limite (definição 1.3) para outra condição, isto é,
0 < x < a+ δ (Limite à direita)
ou
a− δ < x < a (Limite à esquerda)
Definição 1.4 Dizemos que L é o limite da função f quando x se aproxima de a
pela direita, e escrevemos
L = lim
x→a+
f(x)
se, e somente se, para todo ε > 0 existe um correspondente número δ > 0 tal que
48 Cálculo I - Limite
Figura 1.21:
se a < x < a+ δ, então, |f(x)− L| < ε.
Analogamente, dizemos que M é o limite de f quando x se aproxima de a pela
esquerda, e escrevemos,
M = lim
x→a−
f(x)
se, e somente se, para todo ε > 0 existe um correspondente número δ > 0 tal que
se a− δ < x < a, então, |f(x)−M | < ε.
Exemplo 1.30 Use a definição 1.4 para provar que lim
x→0+
√
x = 0.
Solução. Neste caso, f(x) =
√
x, L = 0 e a = 0.
Assim,
|f(x)− L| = |√x− 0| = |√x| = √x < ε =⇒ x < ε2.
Então, escolhemos δ = ε2. Portanto, suponha ε > 0 dado. Vamos escolher δ = ε2.
Logo,
se 0 < x < δ, então, |f(x)− L| = √x < √δ = √ε2 = ε.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 49
Assim, pela definição 1.4,
lim
x→0+
√
x = 0.
¦
1.5.2 Exercícios
Considere as figuras abaixo:
(i) ?
Figura 1.22:
(ii) ?
Figura 1.23:
50 Cálculo I - Limite
Figura 1.24:
(iii) ?
1. Para a função cujo gráfico é o da figura 1.22, calcule os limites, se existirem
(a) lim
x→1−
f(x)
(b) lim
x→1
f(x)
(c) lim
x→0
f(x)
2. Para função cujo gráfico é o da figura 1.24, calcule os limites, se existirem
(a) lim
x→−2
f(x)
(b) lim
x→2−
f(x)
(c) lim
x→2+
f(x)
3. Considere o gráfico de f(x) mostrado na figura 1.23. Para que números a,
temos:
(a) lim
x→a−
f(x) = f(a)?
(b) lim
x→a+
f(x) = f(a)?
(c) lim
x→a
f(x) existi?
(d) lim
x→a
f(x) existi e é igual a f(a)?
4. Calcule o limite, se existir.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 51
(a) lim
x→2+
√
x− 2
(b) lim
x→0+
(
x
5/2 − 5x3/2
)
(c) lim
x→2−
x2 − 4x+ 4
x− 2
(d) lim
x→0+
√
x+ x
1/3
6− x3/4
(e) lim
x→3−
[[1 + x]]
(f) lim
x→3−
x[[x]]
(g) lim
x→4+
√
x− 4
x+ 2
(h) lim
x→3+
[[x− 7]]
[[x+ 4]](i) lim
x→0+
[[2− x2]]
(j) lim
x→0
[[2− x2]]
5. Seja f(x) =
 cosx, x ≤ 01− x, x > 0
(a) Calcule lim
x→0−
f(x)
(b) Calcule lim
x→0+
f(x)
(c) lim
x→0
f(x) existe?
6. Seja f(x) =
 x+ 2, x < 32x− 1, x > 3 . Prove que limx→3 f(x) = 5.
7. Seja f(x) =

2, x ≤ −1
−x, −1 < x ≤ 1
−x2, 1 < x
(a) Esboce o gráfico de f
(b) lim
x→−1
f(x) existe? Por quê?
(c) lim
x→1
f(x) existe? Por quê?
(d) Demonstre qualquer limite que
exista nas partes (b) e (c).
1.6 Continuidade
Quando definimos limite de f(x) quando x tende para a, enfatizamos que este limite
não é necessariamente igual a f(a). De fato, f(a) pode nem mesmo ser definida. A
52 Cálculo I - Limite
partir de agora voltaremos nossa atenção para o caso em que
lim
x→a
f(x) = f(a).
Se isto ocorrer, dizemos que a função f é contínua em x = a.
Definição 1.5 Suponhamos que a função f é definida em um intervalo aberto con-
tendo o número a. Então f é contínua em a, se
lim
x→a
f(x) = f(a).
Caso contrário dizemos que f é decontínua em a.
Observação 1.1 1. A definição de continuidade exige duas coisas: Primeiro que
lim
x→a
f(x) exista, e segundo que a função f seja definida no número a.
2. A definição 1.5 é uma definição de continuidade no número a para funções que
são definidas sobre um intervalo aberto em torno de a.
Para cada uma das funções cujos gráficos aparecem a seguir é descontínua em a.
Geometricamente continuidade é uma propriedade que garante que o gráfico de f não
terá uma interrupção (ou será �quebrado�) em (a, f(a)).
Figura 1.25:
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 53
Figura 1.26:
f(x) não é definido.
lim
x→a−
f(x) 6= lim
x→a+
f(x)
lim
x→a
f(x) não existe.
Figura 1.27:
f(a) 6= lim
x→a
f(x).
Exemplo 1.31 Calcule os números x para os quais f(x) = x
2−4
x−2 é contínua.
Solução. Como x − 2 = 0 para x = 2, então, o valor de f(2) não é definido.
Dizemos então, que a função é descontínua para x = 2.
54 Cálculo I - Limite
Para todos os números a 6= 2 temos
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
x2 − 4
x− 2 =
a2 − 4
a− 2 = f(a).
Assim, f é contínua para todo x 6= 2. ¦
Figura 1.28:
A descontinuidade no número 2 no exemplo 1.31 é chamada de descontinuidade
removível, pois podemos eliminar (remover) a descontinuidade em x = 2 definindo
f(2) = lim
x→2
f(x) = 4.
Em outras palavras acrescentamos x = 2 ao domínio de f definindo a nova função
fˆ(x) =

x2−4
x−2 , se x 6= 2
4, se x = 2
.
A função fˆ é, então, contínua para todo x, e concorda com f para x 6= 2
Exemplo 1.32 Outra função com uma descontinuidade removível é
f(x) =
senx
x
.
Embora f(0) é indefinida, já mostramos que
lim
x→0
senx
x
= 1.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 55
Podemos, portanto, �remover� a descontinuidade para x = 0, definindo.
fˆ(x) =

senx
x
, para x 6= 0
1, para x = 0
.
A função fˆ é, então, contínua para x = 0.
Teorema 1.6 Se a função f e g são contínuas para x = a e se c é um número real
qualquer, então, as seguintes funções são também contínuas em x = a:
(i) f + g
(ii) c · f
(iii) f · g
(iv)
f
g
, desde que g(a) 6= 0
Demonstração.
(i) Observamos que (f + g)(a) é definida e dada por f(a) + g(a), pois, por
hipótese f e g são contínuas em x = a. Além disto, lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x)
existem.
Então
lim
x→a
(f + g)(x) = lim
x→a
[f(x) + g(x)] (⇒ definição de f + g)
= lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x) (⇒ teorema 1.1)
= f(a) + g(a) (⇒ continuidade de f e g em a)
= (f + g)(a) (⇒ definição de f + g)
As demonstrações de (ii), (iii) e (iv) são deixadas como exercício. ¤
Teorema 1.7 Para cada inteiro positivo n = 1, 2, 3 . . .,
56 Cálculo I - Limite
(i) a função f(x) = xn é contínua para todo x.
(ii) Se a função g é contínua em x = a, a função f(x) = (g(x))n é contínua em
x = a.
Demonstração. Deixada como exercício. Ela segue do teorema 1.2. ¤
Observação 1.2 A combinação dos teoremas 1.6 e 1.7 mostra que qualquer polinô-
mio é contínuo para todo x, e qualquer função racional é continua para todo x dife-
rente daquele que anula seu denominador.
Por exemplo:
(i) O polinômio f(x) = x3 − 2x2 + 7 é contínuo para todo x.
(ii) A função racional
g(x) =
x3 + x+ 7
x− 6
é contínua para todo x 6= 6.
(iii) A quarta potência de g(x)
h(x) = g(x)4 =
(
x3 + x+ 7
x− 6
)4
é contínua para todo x, com x 6= 6.
1.6.1 Continuidade em Intervalos
Definição 1.6 (i) A função f é contínua no intervalo aberto (a, b) se for contínua
em cada x ∈ (a, b).
(ii) A função f no intervalo fechado [a, b] se for contínua em (a, b), e, além disso
lim
x→a+
f(x) = f(a) e lim
x→b−
f(x) = f(b)
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 57
A continuidade é definida de modo análogo em intervalos tais como (a, b], [a,∞)
e etc.
Figura 1.29:
A função f é contínua em (a, b], mas não em [a, b].
Exemplo 1.33 A função f(x) =
√
x á contínua no intervalo [0,∞). Em outras
palavras
lim
x→a
√
x =
√
a, a > 0 (teorema 1.3)
e
lim
x→0+
√
x = 0 = f(0)
Teorema 1.8 Sejam m e n inteiros positivos. A função f(x) = x
n/m
é
(i) contínua em [0,∞) se m é par;
(ii) contínua em (−∞,∞) se m é ímpar.
Exemplo 1.34 Utilizando os teoremas 1.6 - 1.8 podemos concluir que as seguintes
funções são contínuas nos intervalos dados
(a) f(x) = x2 − 3√x em [0,∞)
58 Cálculo I - Limite
(b) f(x) =
x2 − x2/3
1− x em (−∞, 1) e (1,∞)
(c) f(x) =
6x
2/3 + 5x
3/2
x(x− 2)(x+ 3) em (0, 2) e (2,∞).
1.6.2 Definição Alternativa de Continuidade
Teorema 1.9 Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo o número
a. Então, f é contínua em a se, e somente se,
lim
h→0
f(a+ h) = f(a).
Demonstração. Seja h = x−a. Então, x→ a, se, e somente se, h→ 0. Além
disso, a+ h = a+ (x− a) = x, tal que f(a+ h) = f(x) e
lim
h→0
f(a+ h) = lim
x→a
f(x).
Portanto, lim
h→0
f(a+ h) = f(a) é equivalente a
lim
x→a
f(x) = f(a),
que é a definição de continuidade (definição 1.5). ¤
Exemplo 1.35 Mostre que a função f(x) = senx é continua para todo x.
Solução. A função f(x) = senx é definida para todo x.
Então,
lim
h→0
f(a+ h) = lim
h→0
sen(a+ h)
= lim
h→0
(sena cosh+ cos a senh)
=
[
(sena) lim
h→0
cosh
]
+
[
(cos a) lim
h→0
senh
]
= [(sena) · (1)] + [(cos a) · (0)]
= sena
= f(a).
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 59
¦
Teorema 1.10 Seja f uma função contínua em um intervalo aberto contendo o nú-
mero L. Se o limite
lim
x→a
g(x) = L
existe, então,
lim
x→a
f [g(x)] = f
[
lim
x→a
g(x)
]
= f(L).
Este teorema afirma que se a função �de fora� na função composta f ◦ g é contínua,
podemos �passar o limite para dentro da função f �.
Exemplo 1.36 (a) lim
x→0
sen(pi + x2) = sen
[
lim
x→0
(pi + x2)
]
= sen(pi + 0) =
senpi = 0, neste caso, f(x) = senx e g(x) = pi + x2. Verifique!
(b) lim
x→0
√
senx
2x
=
√
lim
x→0
senx
2x
=
√
1
2
lim
x→0
senx
x
=
√
1
2
=
√
2
2
,
neste caso, f(x) =
√
x e g(x) = senx
2x
. Verifique, calculando f ◦ g.
Teorema 1.11 Seja g uma função contínua em um intervalo aberto contendo o nú-
mero a, e seja f uma função que é contínua em um intervalo aberto contendo o
número g(a). Então, a função composta f ◦ g é contínua em a.
Demonstração. Pelo teorema 1.10,
lim
x→a
(f ◦ g)(x) = f
[
lim
x→a
g(x)
]
.
Como g é contínua em a, concluímos que
lim
x→a
(f ◦ g) = f [g(a)].
¤
60 Cálculo I - Limite
Exemplo 1.37 A função composta y =
√
4− x2 é contínua no intervalo −2, 2),
pois,
(a) A função �de dentro� g(x) = 4−x2 é contínua em (−2, 2) com correspondentes
valores no intervalo (0, 4]; e
(b) A função�de fora� f(u) =
√
u é contínua no intervalo (0,∞), o qual contém
o intervalo (0, 4].
Calculando os limites laterais,
lim
x→−2+
√
4− x2 = √4− 4 = 0 = y(−2)
e
lim
x→2−
√
4− x2 = √4− 4 = 0 = y(2)
vemos que y =
√
4− x2 é contínua no intervalo fechado [−2, 2].
1.6.3 Teorema do Valor Intermediário
Teorema 1.12 Seja f contínua no intervalo [a, b] com f(a) 6= f(b). Seja d um
número qualquer entre f(a) e f(b). Então, existe, no mínimo, um número c ∈ (a, b)
tal que f(c) = d.
O teorema do valor intermediário é um teorema de existência. ele simplesmente
garante que, no mínimo, um número c existe que satisfaz a condição f(c) = d.
Entretanto, não nos diz como encontrara este número.
Exemplo 1.38 A função f(x) =
√
x3 + 1 é contínua no intervalo [0, 2], como
resultado dos teoremas 1.6, 1.7, 1.8 e 1.11. Como f(0) = 1 e f(2) = 3, o teorema do
valor intermediário garante que se d é qualquer �valor intermediário� com 1 < d < 3,
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 61
Figura 1.30:
existe um número c ∈ (0, 2) com f(c) = d. Em particular se d =
√
5
2
, então,
f(c) =
√
5
2
. Portanto,
√
c3 + 1 =
√
5
2
=⇒ c3 = 1
4
=⇒ c = 1
3
√
4
.
Exemplo 1.39 Como a função seno é contínua para todo x e como sen(0) = 0 e
sen
(
pi
6
)
=
√
3
2
, o teorema do valor intermediário garante que existe, no mínimo um
número x entre 0 e pi
6
tal que
senx =
√
3
4
.
Sem o teorema do valor intermediário não temos meios de saber se a equação acima
tem uma solução x entre 0 e pi
6
.
O teorema do valor intermediário também nos ajuda a resolver desigualdades da
forma f(x) > 0 ou f(x) < 0, porque este teorema implica que os valores de uma
função contínua não trocam de sinal sem que passe pelo zero da função.
Exemplo 1.40 Use o teorema do valor intermediário (teorema 1.12) para resolver a
62 Cálculo I - Limite
desigualdade x3 − 4x2 > 5x.
Solução. Primeiro, converta a desigualdade na forma f(x) > 0.
x3 − 4x2 − 5x > 0.
Assim, seja f(x) = x3 − 4x2 − 5x. Como f é um polinômio f é contínua em
(−∞,∞). Os zeros de f são: f(x) = x3 − 4x2 − 5x = x(x2 − 4x − 5) =
x(x+ 1)(x− 5), tal que f(x) = 0 para x = −1, 0 e 5. A tabela a seguir (tabela
1.9) mostra o sinal de f em cada intervalo
Tabela 1.9:
Intervalo x f(x) Conclusão
(−∞,−1) x = −2 f(−2) = −14 < 0 f(x) < 0 em (−∞,−1)
(−1, 0) x = −1
2
f
(−1
2
)
= 11
8
> 0 f(x) < 0 em (−1, 0)
(0, 5) x = 1 f(1) = −8 < 0 f(x) < 0 em (0, 5)
(5,∞) x = 6 f(6) = 42 > 0 f(x) > 0 em (5,∞)
A solução da desigualdade é, portanto, (−1, 0) ∪ (5,∞). ¦
1.6.4 Exercícios
1. Dê os intervalos sobre os quais a função é contínua:
(a) f(x) = 1
x−1
(b) f(x) = secx
(c) f(x) = x cotx
(d) f(x) = x+2
x2−x−2
(e) y = x
2/3 − x−2/3
(f) f(x) =
 1− x, x ≤ 2x− 1, x > 2
(g) f(x)

−x, x ≤ −1
4− x2, −1 < x ≤ 2
1
2
x− 1, x > 2
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 63
2. A função dada tem uma descontinuidade removível em x = a. Determine como
definir f(a) tal que a função seja contínua em a.
(a) f(x) =
x2 − 1
x− 1 , a = 1 (b) f(x) =
cos2 x− 1
senx
, a = 0
3. Calcule a constante k que torne a função contínua em x = a.
(a) y =
 x
k, x ≤ 2
10− x, x > 2
, a = 2
(b) h =
 (x− k)(x+ k), x ≤ 2kx+ 5, x > 2 , a = 2
4. Use o teorema 1.10 para calcular o limite.
(a) lim
x→8
(1 +
3
√
5)5
(b) lim
x→pi
2
cos(pi + x)
(c) lim
x→1
(3x9 − 3√x)6
(d) lim
x→0
cospi(x+ |x|)
5. Use o fato de que lim
x→0
sen a x
x
= a para calcular o limite.
(a) lim
x→0
2x
senx
(b) lim
x→0
senx
sen3x
(c) lim
x→0
xcosec3x
6. Resolva a desigualdade f(x) > 0 ou f(x) < 0 usando o teorema do valor
intermediário (teorema 1.12).
(a) x(x+ 6) > −8
(b) x3 + x2 − 2x > 0
(c) x4 − 9x2 > 0
7. Mostre que a equação x+ senx = 4 tem, no mínimo uma solução no intervalo
[pi, 2pi].
64 Cálculo I - Limite
Capítulo 2
A Derivada
2.1 A Derivada como uma Função
Já definimos que a inclinação da reta tangente ao gráfico da função f no ponto
(x0, f(x0)), se existe, é o limite
m = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
. (2.1)
Sejam,
∆f = f(x0 + h)− f(x0)
e
∆x = (x0 + h)− (x0).
O quociente
∆f
∆x
=
f(x0 + h)− f(x0)
(x0 + h)
=
f(x0 + h)− f(x0)
h
(2.2)
é chamado quociente da diferença.
Definição 2.1 A derivada da função f em x0 é o número
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
, (2.3)
65
66 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
desde que este limite exista.
Figura 2.1: O quociente da diferença 2.2 é a inclinação da secante. Derivada f ′(x0)
2.3 é a inclinação da tangente em (x0, f(x0)).
• Dizemos que a função f é diferenciável em x0 se o limite f ′(x0) na defini-
ção 2.1 existe. Esse processo de calcular a derivada f ′(x0) é conhecido como
diferenciação da função f .
• Quando f ′(x0) existe para todo x0 em um intervalo I, o processo de diferen-
ciação produz uma nova função f ′, definida no intervalo I, com valores f ′(x),
x ∈ I.
Definição 2.2 A derivada da função f no intervalo I, denotada por f ′, é a função
com valores
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 67
desde que este limite exista para todo x ∈ I.
Exemplo 2.1 Para a função linear f(x) = mx+ b, a derivada é
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
= lim
h→0
[m(x+ h) + b]− [mx+ b]
h
= lim
h→0
[mx+mh+ b]− [mx+ b]
h
= lim
h→0
mh
h
= lim
h→0
m
= m
• Portanto, para a função linear f(x) = mx+ b, a função inclinação (derivada)
f ′ é a função constante f ′(x) = m.
• Forma equivalente do quociente da diferença 2.2: definindo x = x0 + h, então
h = x− x0. Assim, quando h→ 0, x→ x0. Obtemos, então:
f ′(x0) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
∆x→0
∆f
∆x
Exemplo 2.2 A derivada da função f(x) = x2 é:
f ′(x0) = lim
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= lim
x→x0
x2 − x20
x− x0
= lim
x→x0
(x+ x0)(x− x0)
x− x0
= lim
x→x0
(x+ x0)
= x0 + x0
= 2x0.
Por exemplo, f ′(0) = 0, f ′(2) = 4, f ′(−3) = −6 e f ′(pi) = 2pi. Em outras
palavras, a derivada de f(x) = x2 é a função f ′(x) = 2x.
68 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
Exemplo 2.3 A derivada da função f(x) =
√
x é
f ′(x) = lim
h→0
f(x0 + h)− f(x0)
h
= lim
h→0
√
x+ h−√x
h
= lim
h→0
(√
x+ h−√x
h
)(√
x+ h+
√
x√
x+ h+
√
x
)
= lim
h→0
(x+ h)− x
h
(√
x+ h+
√
x
)
= lim
h→0
h
h
(√
x+ h+
√
x
)
= lim
h→0
1√
x+ h+
√
x
=
1
2
√
x
.
Por exemplo, f ′(4) = 1
4
, f ′(9) = 1
6
, f ′(27) = 1
2
√
27
, mas f ′(0) não é definida.
2.1.1 Propriedades da Derivada
Teorema 2.1 Se as funções f e g são diferenciáveis em x e c é um número real
qualquer, então, as funções f + g e cf são também diferenciáveis em x, e
(i) (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x),
(ii) (cf)′(x) = cf ′(x).
Demonstração. Exercício. ¤
Exemplo 2.4 Para h(x) = 3x2 + 4
√
x, encontre h′(x).
Solução. Esta função tem a forma
h(x) = 3f(x) + 4g(x)
com f(x) = x2 e g(x) =
√
x.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 69
Usando os resultados do teorema 2.1 e dos exemplos 2.2 e 2.3, temos
h′(x) = 3f ′(x) + 4g′(x) = 3(2x) + 4
(
1
2pi
)
= 6x+
2√
x
.
¦
Teorema 2.2 Seja f definida em um intervalo aberto contendo x0. Se f
′(x0) existe,
então f é contínua em x0.
Demonstração. Para provar que f é contínuo em x0, devemos mostrar que
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
Como, por hipótese, f ′(x0) existe, temos:
lim
x→x0
f(x)− f(x0) = lim
x→x0
(f(x)− f(x0))
= lim
x→x0
[
f(x)− f(x0)
x− x0
· (x− x0)
]
= lim
x→x0
[
f(x)− f(x0)
x− x0
]
· lim
x→x0
(x− x0)
= f ′(x0) · 0
= 0.O que prova que
lim
x→x0
f(x) = f(x0).
¤
Observação 2.1 A recíproca do teorema 2.2 não é verdadeira. Isto é, uma função
pode ser contínua no número x = a, mas não ser diferenciável em a. Um exemplo
disso é a função valor absoluto f(x) = |x| para x = 0
70 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
Exemplo 2.5 A função f(x) = |x| não é diferenciável em x = 0. Para mostra isto,
, escrevemos o quociente da diferença em 0.
f(0 + h)− f(0)
h
=
|h|
h
=
 1, se h > 0−1, se h < 0 .
Assim, a função valor absoluto seria diferenciável em 0 se lim
h→0
|h|
h
existisse. Entre-
tanto, já vimos que este limite não existe. Conseqüentemente, a função valor absoluto
não é diferenciável em 0.
Isto ocorre porque o gráfico de f(x) = |x| tem um �canto� no ponto 0, 0).
Portanto, o gráfico não tem uma reta tangente bem definida em (0, 0).
2.1.2 Exercícios
1. Use a definição 2.2 para calcular f ′.
(a) f(x) = 6x+ 5.
(b) f(x) =
√
x+ 1.
(c) f(x) =
1√
x+ 1
.
(d) f(x) =
1
2x+ 3
.
(e) f(x) =
√
x+ 1.
(f) f(x) =
1√
x+ 1
.
(g) f(x) =
1
x2
.
(h) f(x) = (x+ 3)3.
(i) f(x) =
1√
x+ 5
.
2. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = 1
2x+3
no ponto(
0, 1
3
)
.
3. Uma normal a uma curva no ponto P é uma reta que passa por P e é per-
pendicular à tangente. Encontre uma equação para a normal ao gráfico de
f(x) = x2 − 7 no ponto P = (3, 2).
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 71
4. Calcule a tal que o gráfico de y = 2− ax2 tem tangente com inclinação 6 em
x = −1.
5. Encontre as constantes a e b tal que o gráfico de y = ax2 + b tem tangente
y = 4x no ponto P = (1, 4).
6. Para f(x) = cosx, estime f ′(x) para x = 0, pi
4
, pi
2
, 3pi
4
. . . , 2pi calculando
o quociente da diferença com h = ±0.5,±0.1,±0.05 e ±0.01. Compare
estas estimativas com os valores de g(x) = senx para os mesmo ângulos. Que
relação você observa?
7. Seja
f(x) =
 x
2 − x, x ≥ 1
2x− 2, x < 1
(a) f é diferenciável em 1? Por que?
(b) f é contínua em 1? Por que?
8. Seja f(x) = senx. Calcule f ′(0) diretamente da definição 2.1.
9. A função f tem a seguinte propriedade:
f(x1 + x2) = f(x1) + 2x1x2 + 3x2 + x
2
2
qualquer que sejam x1, x2. Use a definição de derivada (definição 2.2) para
calcular f ′(x).
2.2 Regras para Calcular Derivadas
2.2.1 Notação Alternativa de Derivada
d
dx
f(x) e
df
dx
→ Notação de Leibniz.
72 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
Lê-se: derivada de f com relação a x.
Definição 2.3 (Definição Alternativa de Derivada)
df
dx
= lim
∆x→0
∆f
∆x
.
Se y = f(x), podemos denotar a derivada por:
y′ e
dy
dx
para representar a função derivada f ′(x).
Teorema 2.3 Seja f uma função constante com valores f(x) = c para todo x.
Então, f ′(x) = 0, para todo x.
Demonstração. Exercício. ¤
Teorema 2.4 (Regra da Potência) Seja n um inteiro não nulo qualquer. A fun-
ção f(x) = xn é diferenciável para todo x e f ′(x) = nxn−1.
Isto é,
d
dx
xn = nxn−1 ; n = ±1,±2, . . . .
Exemplo 2.6 (a) Para f(x) = x27, f ′(x) = 27x26.
(b) Para y = x−4, dy
dx
= −4x−5.
Exemplo 2.7 Usando a regra da potência (teorema 2.4) e os teoremas 2.1 e 2.3,
obtemos:
(a)
d
dx
(3x5 + 4) = d
dx
(3x5) + d
dx
(4)
= 3 d
dx
(x5) + d
dx
(4)
= 3 · 5x4 + 0
= 15x4.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 73
Ou seja, para f(x) = 3x5 + 4, f ′(x) = 15x4
(b)
d
dx
(7x4 − 5x−3) = 7 d
dx
(x4)− 5 d
dx
(x−3)
= 7(4x3)− 5(−3x−4)
= 28x3 + 15x−4.
Ou seja, para f(x) = 7x4 − 5x−3, f ′(x) = 28x3 + 15x−4.
Exemplo 2.8 Para f(x) = 6x5 − 3x4 − 2x3 + 4x2 − 6x+ 5,
f ′(x) = 6(5x4)− 3(4x3)− 2(3x2) + 4(2x)− 6(1)
= 30x4 − 12x3 − 6x2 + 8x− 6
Teorema 2.5 (Regra do Produto) Sejam f e g diferenciáveis em x. Então, a
função produto fg é diferenciável em x e
(fg)′(x) = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
Exemplo 2.9 Para f(x) = (2x+ 7)(x− 9), calcule f ′(x).
Solução.
• f(x) = (2x+ 7)(x− 9) = 2x2 − 11x− 63
Então,
f ′(x) = 4x− 11.
• Outra abordagem é aplicando a regra do produto.
f ′(x) =
[
d
dx
(2x+ 7
]
(x− 9) + (2x+ 7) [ d
dx
(x− 9)]
= 2(x− 9) + (2x+ 7) · 1
= 4x− 11.
74 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
¦
Exemplo 2.10 Para a função f(x) = (3x3 − 6x)(9x4 + 3x3 + 3), é mais fácil
usar a regra do produto para calcular a derivada:
f ′(x) =
[
d
dx
(3x3 − 6x)] (9x2 + 3x2 + 3) + (3x3 − 6x) [ d
dx
(9x4 + 3x3 + 3)
]
= (9x2 − 6)(9x4 + 3x2 + 3) + (3x3 + 6x)(36x3 + 9x2)
= 189x6 + 54x−270x4 − 72x3 + 27x2 − 18.
Teorema 2.6 (Regra do Quociente) Sejam f e g diferenciáveis em x, com g(x) 6=
0. Então, o quociente f
g
é diferenciável em x e(
f
g
)′
(x) =
f ′(x) · g(x)− f(x) · g′(x)
[g(x)]2
.
Exemplo 2.11 Calcule f ′(x) para f(x) = 3x
2+7x+1
9−x3 .
Solução. Pela regra do quociente, temos:
f ′(x) =
[
d
dx
(3x2 + 7x+ 1)
]
(9− x3)− (3x+7x+ 1) [ d
dx
(9− x3)]
(9− x3)2
=
(6x+ 7)(9− x3)− (3x2 + 7x+ 1)(−3x2)
(9− x3)2
=
3x4 + 14x3 + 3x2 + 54x+ 63
x6 − 18x3 + 81 .
¦
Exemplo 2.12 Prove a regra da potência diferenciando f(x) = x−n, em que n é
um inteiro positivo e x 6= 0.
Solução. Escrevendo f(x) = 1
xn
e aplicando a regra do quociente e a regra da
potência para n > 0, temos:
f ′(x) =
0 · xn − 1 · nxx−1
x2n
= nxn−1−2n = nx−n−1.
¦
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 75
Exemplo 2.13 Encontre uma equação para reta tangente ao gráfico de y = x2+x−2
no ponto (1, 2).
Solução. Para f(x) = x2 + x−2, temos que f ′(x) = 2x − 2x−3. Então,
f ′(1) = 2− 2 = 0. Portanto, a reta desejada é horizontal. Como ela tem inclinação
0 e contém o ponto (1, 2), sua equação é y = 2. ¦
2.2.2 Exercícios
1. Encontre a derivada da função:
(a) f(x) = 8x3 − x2.
(b) f(x) = ax3 + bx.
(c) f(x) =
x2 + 5
2
.
(d) f(x) = (x− 1)(x+ 2).
(e) f(x) = (x3 − x)2.
(f) f(x) = 5x2 + 2x+
3
x
− 4
x2
.
(g) f(x) =
6
3− x .
(h) f(x) =
x4 + 4x+ 4
1− x3 .
(i) f(x) = 5x−3 − 2x−5.
(j) f(x) = (x− 2) (x+ 1
x
)
.
(k) f(x) =
(
1 + 3
x
)2
.
(l) f(x) =
(
x+ 1
x− 1
)2
.
(m) f(x) = (x5 + x−2)(x3 − x−7).
(n) f(x) =
x−3 − x4
x5
.
2. Encontre f ′ de dois modos: Primeiro, pela regra do produto; depois, expandindo
para eliminar os parênteses.
(a) f(x) = (x2 + 2)(x2 − 2).
(b) f(x) = (x3+7)(3x4+ x+9).
(c) f(x) =
(
1
x+ 1
)(
1
x+ 2
)
.
(d) f(u) = (u2+u+1)(u2−u−1).
3. Use a regra do produto para estabelecer a seguinte fórmula para a derivada do
produto de três funções:
(fgh)′(x) = f ′(x) · g(x) · h(x) + f(x) · g′(x) · h(x) + f(x) · g(x) · h′(x)
76 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
4. Utilize o resultado do exercício 3 para calcular a derivada.
(a) f(s) = (2s− 1)(s− 3)(s2 + 4).
(b) f(x) =
(
1
x
)(
1
x+ 1
)(
1
x+ 2
)
.
(c) f(x) = (2x3 − 6x+ 93.
5. Use a regra do produto e o resultado do exercício 3 para estabelecer as seguintes
regras de diferenciação:
(a) (f2)
′
(x) = 2f(x)f ′(x) , [f2(x)] = [f(x)]2.
(b) (f3)
′
(x) = 3f2(x)f ′(x) , [f3(x)] = [f(x)]3.
6. Use o resultado do exercício 5 para calcular f ′(x).
(a) f(x) =
1
(x− 6)3 .
(b) f(x) = (x+ 2)(x− 1)2.
(c) f(x) =
(
x− 1
x
)3
.
7. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função dada no ponto
dado:
(a) f(x) = x−1
x+1
no ponto (1, 0).
(b) f(x) =
(
1− 1
x
)2
no ponto (1, 0).
8. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico da função dada no ponto
dado:
(a) f(x) = 2x3 + 1, (1, 3).
(b) f(x) = 2
x2
, no ponto
(
2, 1
2
)
.
9. Encontre a constante b se o gráfico de y = b
x2
tem tangente 4y− bx− 21 = 0
quando x = −2.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 77
10. Use o resultado do exercício 5 para encontrar uma fórmulapara derivada de
f(x) = 3
√
x. (sugestão: Use o fato de que f(x) · f(x) · f(x) = x).
2.3 A Derivada como Taxa de Variação
Até agora temos interpretado a derivada como a inclinação da reta tangente ao gráfico
de uma função. Existe, entretanto, uma outra interpretação que é extremamente
importante - a interpretação da derivada como taxa de variação.
Por exemplo, se a(t) é a área da superfície de um cubo de gelo que derrete no
tempo t, então, veremos que a′(t) representa a taxa na qual a área da superfície está
variando.
2.3.1 Velocidade como Medida pela Derivada
Imagine um objeto que se mova ao longo de uma reta, tal como, por exemplo, um
automóvel sobre uma pista. Na física, definimos a velocidade de tal objeto pela
equação
V elocidade =
V ariac′a˜o na Posic′a˜o
V ariac′a˜o no Tempo
. (2.4)
O significado da equação (2.4) é que ela representa uma velocidade média para o
período de tempo em questão. De fato, muitas vezes durante o percurso a velocidade
do objeto pode assumir valores diferentes.
Existe uma situação especial na qual podemos utilizar a teoria da derivada para
definir a velocidade de um objeto em cada instante, ao invés de ter apenas a velo-
cidade média em um intervalo de tempo finito.
Primeiro, o movimento do objeto deve ser ao longo de uma reta (movimento reti-
líneo), ao invés de ao longo de uma curva geral. segundo, devemos ter uma função
78 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
posição s que fornece a localização s(t) do objeto ao longo da reta para cada tempo
t.
Para definir a velocidade de um objeto no tempo t0 (velocidade instantânea no
tempo t0), observamos que se h 6= 0, então s(t0+h)−s(t0) é a mudança (variação)
na posição do objeto correspondente ao intervalo de tempo com pontos finais t0 e
t0 + h.
Assim, a expressão
V elocidadeMe´dia =
s(t0 + h)− s(t0)
h
(2.5)
é precisamente a velocidade (média) como definida pela equação (2.4).
Quando h → 0 a velocidade média corresponde ao intervalo de tempo que vai
diminuindo fornece uma medida precisa da velocidade no instante t = t0. Pior esta
razão, definimos a velocidade no tempo t = t0 como sendo o valor limite destas
velocidades médias, isto é,
v(t0) = lim
h→0
s(t0 + h)− s(t0)
h
= s′(t0) (2.6)
se este limite existir.
A equação (2.6) simplesmente nos diz que a velocidade é a derivada da função
posição.
Definição 2.4 Se a função diferenciável s fornece a posição no tempo t de um objeto
que se move ao longo de uma reta, então a velocidade v(t) no tempo t é a derivada
v(t) = s′(t).
Isto é,
v(t) =
d
dt
s(t).
Exemplo 2.14 Iniciando no tempo t = 0, uma partícula move-se ao longo de uma
reta tal que sua posição no tempo t segundos é s(t) = t2 − 6t+ 8 metros.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 79
(a) Calcule sua velocidade no tempo t.
(b) Quando sua velocidade é zero?
Solução.
(a) De acordo com a definição 2.4, a velocidade no tempo t é:
v(t) = s′(t) = 2t− 6 metros por segundo.
(b) Fazendo v(t) = 0, temos que 2t− 6 = 0, tal que t = 3. Portanto, a partícula
tem velocidade zero para t = 3 segundos.
Figura 2.2:
¦
Observação 2.2 A partícula no exemplo 2.14 inicia seu movimento em s(0) = 8
meros da origem no tempo t − 0. Quando t aumenta de zero a 3, s(t) decresce de
8 metros para s(3) = −1 metros. Como a partícula move-se ao longo de uma reta,
então, ela move-se para esquerda no intervalo 0 ≤ t < 3.
80 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
Figura 2.3:
A velocidade v(t) é negativa para t < 3. Para t > 3, a posição s(t) aumenta
quando t aumenta, tal que v(t) > 0. Em t = 3, a partícula inverte o sentido.
Exemplo 2.15 Uma pedra é solta de uma janela a 100 metros acima do chão. En-
contre sua velocidade e o módulo da velocidade quando ela atinge o chão.
Solução. O movimento da pedra é ao longo da uma reta vertical. Vamos considerar
que o movimento para cima é positivo (convenção). Também, tomamos a origem do
movimento como sendo na altura da janela.
No tempo tsegundos, a pedra que cai livremente tem posição s(t) = −4.9t2metros.
A pedra atingirá o solo quando,
s(t0) = −4.9t20 = −100m
ou, quando
t0 =
√
100
4.9
=˜4.5s.
A função velocidade é
v(t) = s′(t) = −9.8t m/s.
Assim, a velocidade no tempo de impacto t0 será
v(t0)=˜v(4.5) = −(9.8)(4.5) = −44. m/s.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 81
O módulo da velocidade é
|v(4.5)| = | − 44.1| = 44.1m/s.
¦
Exemplo 2.16 Um objeto é lançado verticalmente para cima, a partir do nível do
chão, com uma velocidade inicial de 72m/s. Sua função posição t segundos após
é s(t) = 72t− (4.9)t2 metros. de acordo com esta função posição,
(a) Quando o objeto para de subir?
(b) Qual é a sua altura máxima?
Solução.
(a)
v(t) =
d
dt
(72t− 4.9t2) = 72− 9.8t.
Fazendo v(t) = 0,
72− 9.8t = 0⇒ t = 72
9.8
=˜7.35s.
(b) A altura máxima é
s(7.35) = 72(7.35)− 4.9(7.35)2 = 264.5m.
¦
Exemplo 2.17 Suponha que um balão esférico é inflado, tal que, no tempo t (em
segundos) seu raio é 2t cent´imetros. Qual é a taxa média de variação da área de
sua superfície de t = 1 a t = 2? Qual é a taxa instantânea da variação de t = 2?
82 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
Solução. A área da superfície de uma esfera de raio r é 4pir2. Como r =
2t cent´imetros, então, a área da superfície a(t) é dada pro:
a(t) = 4pir2 = 4pi(2t)2 = 16pit2.
A taxa média de variação da área da superfície de t = 1 até t = 2 é
a(2)− a(1)
2− 1 =
64pi − 16pi
1
= 48pi cm2/s.
Para determinar a taxa instantânea de variação da área da superfície quando
t = 2, calculamos a derivada a′(t).
a′(t) = 32pit.
Para t = 2,
a′(2) = 64pi cm2/s.
¦
2.3.2 Exercícios
1. Calcula a taxa média de variação da função dada no intervalo de tempo dado.
Então, calcule a taxa instantânea de variação no tempo t0 especificado.
(a) s(t) = (1 + t)2, 2 ≤ t ≤ 3, t0 = s2 .
(b) f(t) =
√
t(1− t3), 0 ≤ t ≤ 1, t0 = 1.
2. A função s fornece a posição de uma partícula que se move ao longo de uma
reta. Calcule a velocidade v(t); o tempo t ≥ 0 para qual a velocidade é zero e
os intervalos em [0,∞) sobre os quais a velocidade é positiva.
(a) s(t) = 3t− 2.
(b) s(t) =
1
1 + t
.
(c) s(t) = t3 − 92 + 24t+ 10.
(d) s(t) = t3 − 6t2 + 9t+ 7.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 83
3. Uma partícula move-se ao longo de uma reta tal que sua posição no tempo t é
s(t) = t
2+2
t+1
unidades. Calcule sua velocidade no tempo t = 3.
4. Uma bola de neve esférica cujo raio inicial é 10, 16 cm inicia seu derretimento,
de forma que seu raio decresce de com a fórmula r = 4 − t2, t medido em
minutos.
(a) Qual a taxa média de variação de seu volume nos intervalos de tempo
0 ≤ t ≤ 1 e 1 ≤ t ≤ 2?
(b) Qual é a taxa instantânea da variação de seu volume em t = 1?
5. se uma parábola é projetada verticalmente para cima a partir do solo, com uma
velocidade inicial v0, sua altura após tsegundos é s(t) = v0t−4.9t2metros.
Suponha que v0 = 98 m/s.
(a) Qual a velocidade da partícula no tempo t?
(b) Em que tempo a partícula atinge sua altura máxima?
(c) Qual é a altura máxima?
(d) Qual sua velocidade quando ela atinge o chão?
2.4 Derivada das Funções Trigonométricas
Teorema 2.7 A função f(x) = senx é diferencial para todo x, e f(x)′ = cosx.
A função g(x) = cosx é diferenciável para todo x, e g′(x) = −senx. Isto é,
d
dx
senx = cosx
e
d
dx
cosx = −senx.
84 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
Demonstração. A demonstração deste teorema usa os limites:
lim
h→0
senh
h
= 1 e lim
h→0
1− cosh
h
= 0.
d
dx
senx = lim
h→0
sen(x+ h)− senx
h
= lim
h→0
(senx cosh+ cosxsenh)− senx
h
= lim
h→0
senx(cosh− 1) + cosxsenh
h
= lim
h→0
[
senx
(
cosh− 1
h
)
+ cosx
(
senh
h
)]= senx
(
lim
h→0
cosh− 1
h
)
+ cosx
(
lim
h→0
senh
h
)
= [(senx) (0)] + [(cosx) (1)]
= cosx
d
dx
cosx = lim
h→0
cos(x+ h)− cosx
h
= lim
h→0
(cosx cosh− senxsenh)− cosx
h
= lim
h→0
cosx(cosh− 1)− senxsenh
h
= cosx
(
lim
h→0
cosh− 1
h
)
− senx
(
lim
h→0
senh
h
)
= [(cosx)(0)]− [(senx)(1)]
= −senx
¤
Exemplo 2.18 Para y = x3senx, a derivada é
d
dx
(x3 − senx) = d
dx
(x3) · senx+ x3 d
dx
senx
= 3x2 · senx+ x3 · cosx.
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 85
Exemplo 2.19 Para a função f(t) = senpi t, a taxa média de variação no intervalo[
1
4
, 1
2
]
é:
∆f
∆t
=
sen(pi2 )−sen(pi4 )
1
2
−1
4
=
1−
√
2
2
1
4
= 4− 2√2
=˜ 1, 17.
A taxa instantânea de variação em t = 1
4
é:
f ′
(
pi
4
)
= pi cos
(
pi
4
)
= pi
√
2
2
=˜ 2.22
Exemplo 2.20 Calcule
dy
dx
para y = 2−cosx
2+cosx
.
Solução.
dy
dx
=
(2+cosx)·[ ddx (2−cosx)]−(2−cosx)·[ ddx (2+cosx)]
(2+cosx)2
= (2+cosx)[−(−senx)]−[(−senx)(2−cosx)]
(2+cosx)2
= 4senx
(2+cosx)2
¦
Exemplo 2.21 Calcule a derivada de y = tanx, onde ela for definida, e determine
para quais valores de x a função y = tanx é diferenciável.
Solução.
d
dx
tanx = d
dx
(
senx
cosx
)
=
cosx· d
dx
senx−senx· d
dx
cosx
cos2 x
= cos
2 x+sen 2x
cos2 x
= 1
cos2 x
= sec2 x.
86 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
A tanx e a secx são diferenciáveis para todos os valores de x em cosx 6= 0,(
x 6= pi
2
+ npi, n = 0, 1, 2 . . .
)
. ¦
Tente mostrar que:
d
dx
cotx = −cosec2x.
d
dx
secx = secx · tanx.
d
dx
cosecx = −cosecx · cotx.
Exemplo 2.22 Calcule f ′(x) para f(x) = secx tanx.
Solução.
d
dx
(secx · tanx) = ( d
dx
secx
) · tanx+ secx · ( d
dx
tanx
)
= (secx · tanx) · tanx+ secx · (sec2 x)
= secx(tan2 x+ sec2 x)
¦
2.4.1 Exercícios
1. Calcule f ′(x).
(a) f(x) = 4 cosx
(b) f(x) = x3 tanx
(c) f(x) = (x3 − 2) cotx
(d) f(x) = senx · secx
(e) f(x) = x cosx− xsenx
(f) f(x) = secx · tanx
(g) f(x) = x
2+senx
(h) f(x) = senx−cosx
1+tanx
(i) f(x) = x
2+4 cotx
x+tanx
(j) f(x) = 3cosecx
4x2−5 tanx
2. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = xsenx, no ponto
(pi, 0).
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 87
3. Para que números x no intervalo [0, 4pi] é a tangente do gráfico de y = secx
horizontal?
4. A figura 2.4 mostra um bloco preso a uma mola sobre uma superfície horizontal
sem atrito. Se o bloco oscila ao longo superfície, tal que no tempo t sua posição
é dada por s(t) = 20 + 6sent cm, calcule.
(a) Sua velocidade no tempo t,
(b) Sua velocidade em t = pi segundos,
(c) O tempo para o qual o bloco muda de sentido.
Figura 2.4:
2.5 Regra da Cadeia
Antes de definir a regra da cadeia, consideremos o caso especial de uma potência gn
de uma função g.
Se g é uma função diferenciável de x, a regra do produto pode ser aplicada para
calcular a derivada de seu quadrado:
(g2)
′
(x) = (g · g)′(x)
= g′(x) · g(x) + g(x) · g′(x)
= 2g(x) · g′(x).
88 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
Generalizando, podemos obter a Regra de Potência para Funções:
Se u = g(x) e y = un = gn(x), temos:
dy
dx
= nun−1
du
dx
= n [g(x)]n−1 · g′(x).
Exemplo 2.23 Calcule h′(x), se h(x) = (x4 − 6x2)3.
Solução. Seja g(x) = x4 − 6x2. Então, g′(x) = 4x3 − 12x.
Portanto,
h′(x) = 3(x4 − 6x2)2(4x3 − 12x).
¦
Exemplo 2.24 Para y =
(
x−3
x3+7
)9
, calcule
dy
dx
.
Solução.
g(x) =
x− 3
x3 + 7
g′(x) =
(x3 + 7)(1)− (x− 3) · (3x2)
(x3 + 7)2
=
−2x3 + 9x2 + 7
(x3 + 7)2
.
Então,
dy
dx
= 9
(
x−3
x3+7
)8 (−2x3+9x2+7
(x3+7x2)2
)
= 9(−2x
3+9x2+7)(x−3)8
(x3+7)10
¦
Exemplo 2.25 Calcule
dy
dx
para y = sen2x.
Solução. Seja g(x) = senx. Então, g′(x) = cosx.
Portanto,
dy
dx
= 2 · senx · cosx
. ¦
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 89
Teorema 2.8 (Regra da Cadeia) Se g é diferenciável em x e f é diferenciável em
u = g(x), então, a função composta f ◦ g é diferenciável em x, e
(f ◦ g)′(x) = f ′[g(x)] · g′(x).
Isto é,
d
dx
f(g(x)) = f ′[g(x)] · g′(x).
Na notação de Leibniz: Se y = f(u) e u = g(x), então,
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
.
Exemplo 2.26 Para y = 1
(6x3−x4 , calcule
dy
dx
.
Solução. Seja u = 6x3 − x. Então, y = 1
u4
= u−4.
Portanto,
dy
dx
= −4u−5 e du
dx
= 18x2 − 1.
Assim, pela Regra da Cadeia (teorema 2.8),
dy
dx
= dy
du
· du
dx
= −4u−5(18x2 − 1)
= −4(6x3 − x)−5(18x2 − 1)
= −4(18x
2−1)
(6x3−x)5 .
¦
Exemplo 2.27 Calcule
dy
dx
para y = sen(6x2 − x).
Solução. Podemos �olhar� esta função como uma composição de em que a função
de fora é y = senu, com dy
dx
= cosu. A função de dentro é, u = 6x2 − x, com
du
dx
= 12x− 1.
90 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
Então, pela Regra da Cadeia,
dy
dx
= dy
du
· du
dx
= cosu · (2x− 1)
= (12x− 1) · cos(6x3 − x).
¦
Exemplo 2.28 Calcule
dy
dx
para y = tan2(4x3 − 1).
Solução. Temos que usar a Regra da Cadeia duas vezes.
Seja y = u2, em que u = tan(4x3 − 1). Pela regra da potência,
dy
dx
= 2u
du
dx
.
Para calcular
du
dx
, seja v = 4x3 − 1. Aplicando novamente a regra da cadeia,
temos:
du
dx
= (sec2 v),
dv
dx
= (sec2 v)(12x2).
Portanto,
dy
dx
= 2
[
tan(4x3 − 1)] · [sec2 v] · (12x2).
¦
2.5.1 Exercícios
1. Forme a função composta y = f [g(x)] com u = g(x). Então, calcule
dy
dx
= dy
du
= du
dx
usando a regra da cadeia (teorema 2.8):
(a) f(u) = u3+1, g(x) = 1−x2
(b) f(u) = u(1− u2), g(x) = 1
x
(c) f(u) = tanu, g(x) = 1 + x4
(d) f(u) = 1
1+u
, g(x) = sen2x
Profa. Dra. Lilian Milena Ramos Carvalho 91
2. Determine a função f(u) tal que y = f(u). Então, calcule dy
dx
= dy
du
= du
dx
usando a regra da cadeia:
(a) y = sen(x2 + x), u = x2 + x
(b) y = 1+senx
1−senx , u = senx
(c) y =
(
3x+7
3x−7
)4
, u = 3x+7
3x−7
(d) y =
(
3x+7
3x−7
)4
, u = 3x
3. Calcule
dy
dx
usando a regra da cadeia:
(a) y = (x2 + 4)
3
.
(b) y = (cosx− x)6.
(c) y = sen(x3 + 3x).
(d) y = tan(x2 + x).
(e) y = x(x4 − 5)3.
(f) y = 1
(x2−9)3 .
(g) y = (3 tanx− 2)4.
(h) y =
(
x−3
x+3
)4
.
(i) y = x cos(1− x2).
(j) y = tan
2 x+1
1−x .
(k) y = x
(x2+x+1)6
.
(l) y =
(
ax+b
cx+d
)4
.
(m) y = 1
1+cos3 x
.
(n) y = 1
(1+x4)3
.
(o) y = tan(6x)− 6 tanx.
4. Aplique a regra da cadeia duas vezes, se necessário, para calcular:
(a) y = sec3 4x.
(b) y = tan2(pi − x2).
(c) y = (senpix− cospix)4.
(d) y =
[
1 + (x2 − 3)4
]6
.
(e) y = cos2
(
1+x
1−x
)
.
(f) y = 1 +
[
1 + (1 + x2)
2
]2
.
5. Encontre uma equação para a reta tangente ao gráfico de y = f(x) no ponto
P :
(a) y =
(
x
x+1
)4
, P = (0, 0).
(b) y = x cos(pi+x2), P = (0, 0).
(c) y = tan
(
pi
4
−x
1+x
)
, P = (0, 1).
92 Cálculo Diferencial e Integral I - Derivada
6. Suponha que f(1) = 1, g(1) = 2, f ′(1) = −2, f ′(2) = 5 e g′(1) = 2.
Calcule:
(a) (f ◦ g)′(1). (b) (g ◦ f)′(1).
7. Suponha que um balão esférico está sendo inflado tal que seu raio está crescendo
a uma taxa de 0.5polegadas/s. Com que velocidade seu volume cresce quando
seu raio é 5 polegadas?
2.6 Diferenciação Implícita e Função Potência Raci-
onal
Muitas equações em x e y não podem ser manipuladas algebricamente em formas ex-
plícitas como y = f(x) ou x = g(y). A despeito disso o gráfico de uma tal equação
pode ainda ter uma reta tangente em qualquer ponto (x0, y0). Para encontra equa-
ções para estas tangentes, necessitamos calcular suas inclinações. Estas, se existirem,
podem ser obtida utilizando uma