Matematica financeira 2016 1

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Matemática Financeira 
 Taxa Nominal e Taxa Efetiva
 Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes
 Taxa Real e Taxa Aparente
Conteúdo da Seção
 Regime de Juros Simples -> Taxa Linear ou
Nominal
 Regime de Juros Compostos -> Taxa
Exponencial ou Efetiva
Taxas em Juros Simples e em Juros 
Compostos
 Se supormos que o período da taxa i2 seja k vezes
menor que o período de i1, podemos dizer que o
montante produzido pela taxa i1 em 1 período da taxa
i1, deve ser igual ao montante produzido pela taxa i2
em k períodos da taxa i2 .
 No regime de juros simples taxas proporcionais são
também taxas equivalentes!
Taxas no Regime de Juros Simples
   1 2
1
2 1 2
1 1 1i i k
ou
i
i ou i k i
k
    
  
Lachtermacher; Faro, 2012
(ASSAF NETO, 2009) Determinar a taxa de juros
simples anual proporcional às seguintes taxas:
a) 2,5% a.m.
b) 56% a.q.
c) 12,5% para 5 meses
Calcular o montante de $85.000 aplicados por:
a) 7 meses à taxa linear de 2,5% ao mês;
b) 9 meses à taxa linear de 11,6% ao semestre;
c) 1 ano e 5 meses à taxa linear de 21% ao ano.
Faça você mesmo
 Se supormos que o período da taxa i2 seja k vezes
menor que o período de i1, podemos dizer que o
montante produzido pela taxa i1 em 1 período da
taxa i1, deve ser igual ao montante produzido pela
taxa i2 em k períodos da taxa i2 .
Taxas no Regime de Juros Compostos
   
 
 
1 2
1 2
1
2 1
1 1
1 1
1 1
k
k
k
i i
então
i i
ou
i i
  
  
  
Lachtermacher; Faro, 2012
1 1nni i  
Taxas equivalentes
n = número de períodos 
de capitalização 
No caso dos juros compostos, a taxa equivalente
resulta das expressões a seguir:
1 1
100
n
i
i
 
    
Taxas no Regime de Juros Compostos
 1
1
2
8% . . 4 1 . 1 4 
0,08
0,02 2% . .
4
i a a e k trim do ano
i
i ou a t
k
  
  
Regime de Juros Simples
Regime de Juros Compostos
 
   
1
1 1
4
2 1 2
8% . . 4 1 . 1 4 
1 1 1 0,08 1 0,01943 1,943% . .k
i a a e k trim do ano
i i i ou a t
  
       
Quais as taxas trimestrais equivalentes à taxa de 8% a.a.,
para os casos dos regimes de juros simples e compostos?
Exemplo 
Lachtermacher; Faro, 2012
(FGV – 2013/1 – P2 – 17) Aplicar por três meses a
juros compostos de 10% a.m. gera o mesmo
montante que aplicar, pelo mesmo prazo, à taxa
anual simples de:
a) 135%
b) 132,4%
c) 130%
d) 128,8%
e) 126,9%
Faça você mesmo
(ASSAF NETO, 2009) Se a rentabilidade efetiva
oferecida por um banco para uma aplicação em
CDB é 22,5% ao ano, qual será a taxa de juros
mensal?
a) 1,7% a.m.
b) 1,875% a.m.
c) 0,188% a.m.
d) 0,17% a.m.
e) 18,75% a.m.
Faça você mesmo
Prazo a que se refere a taxa de juros da operação
≠
Prazo de capitalização (ocorrência) dos juros
Período de Capitalização
Lachtermacher; Faro, 2012
 Uma taxa Nominal é aquela cujo período de
capitalização não coincide com aquele a que ela se
refere
 Caderneta de Poupança: 6% ao ano
capitalizados mensalmente
 A taxa Efetiva correspondente a uma dada taxa
nominal é a taxa que, relativa ao período de
capitalização mencionado, lhe seja proporcional
 Caderneta de Poupança: 0,5% a.m.
Período de Capitalização
Lachtermacher; Faro, 2012
A Caderneta de Poupança anuncia uma taxa
nominal de 6% a.a. capitalizada mensalmente.
Qual a taxa efetiva anual desta aplicação?
Período de Capitalização
12
1 1 0,061678 6,1678% . .
12
N
e
i
i ou a a
 
    
 Solução
Lachtermacher; Faro, 2012
(FGV – P2 2013/1 – 20) Realizar uma operação
financeira à taxa de 72% a.a. com capitalização
mensal é equivalente a realizar essa operação,
com capitalização semestral, à taxa semestral:
a) 36%
b) 40%
c) 40,49%
d) 41,85%
e) 50,36%
Faça você mesmo
(FGV – 2012/1 – PS – 12) Realizar uma operação
financeira a uma taxa de 60% ao ano, capitalizada
mensalmente, é equivalente a realizar essa
operação à taxa semestral de:
a) 27,40%
b) 30,00%
c) 24,00%
d) 26,53%
e) 34,01%
Faça você mesmo
(FGV – P2 2011/2 – 8) Um banco oferece um plano
especial para uma aplicação de R$40.000, por 8
meses, a uma taxa de juros compostos de 36% a.a.,
capitalizados bimestralmente. Nessas condições, o
montante obtido será, em R$, mais próximo de:
a) 56.740
b) 56.462
c) 50.499
d) 50.670
e) 51.160
Faça você mesmo
Calcular a taxa da variação anual, resultante
das seguintes taxas quadrimestrais: 2,52%;
3,15%; 4,58%
10,5927% a.a.
Faça você mesmo
 A taxa aparente é a taxa de juros que leva um capital a
se transformar em um determinado montante,
desconsiderando o efeito de variação de preços
(inflação/deflação);
 A taxa real é a taxa de juros que leva um capital a se
transformar em um determinado montante,
considerando o efeito de variação de preços
(inflação/deflação);
 A ocorrência de taxas positivas de variação de preços
(inflação), pode fazer com que certas transações
financeiras, aparentemente lucrativas, sejam
traduzidas em reais e significativos prejuízos.
Taxa Aparente e Taxa Real
Lachtermacher; Faro, 2012
Em um dado período de tempo a relação entre
taxa aparente ( i ), taxa real ( ir ) e a taxa de
inflação ( I ) de uma certa aplicação é dada por:
Taxa Aparente e Taxa Real
     1 1 1ri i I    
Lachtermacher; Faro, 2012
(FGV – 2013/1 – P2 – 18) O Sindicato dos Portuários está
discutindo uma correção salarial do período de 2012-
2013 de 10% para a categoria. Tem-se que a inflação para
este mesmo período foi de 6,5%. O aumento real que
está sendo negociado é de:
a) 10%
b) 6,5%
c) 3,5%
d) 3,29%
e) 6,29%
Faça você mesmo
(FGV – 2012/2 – P2 – 19) Considere uma taxa de
inflação mensal de 0,8%. Para que a taxa real no mês
seja de 1%, o valor assumido pela taxa efetiva, na
capitalização composta, deve ser de:
a) 1,81%
b) 1,2%
c) 1,46%
d) 0,20%
e) 2,80%
Faça você mesmo
Certo indivíduo, tendo aplicado R$ 10.000,00 em
letras de câmbio, recebeu, 18 meses após, R$
13.600,00. Suponhamos que, na data da
aplicação, o valor de um certo índice de preços
fosse , e que, no final dos 18 meses, o
valor desse mesmo índice de preços tenha
passado a ser . Quais as taxas real (ir) e
aparente (i) desta aplicação?
Taxa Aparente e Taxa Real - Exercício 
0
ˆ 120I 
1
ˆ 168I 
Lachtermacher; Faro, 2012
Taxa Aparente (i) – Transforma o Capital no
Montante desconsiderando o efeito da inflação.
Taxa Aparente e Taxa Real - Exercício 
1 1
18
1
1
13600
1 1 0,01723 1,723% . .
10000
13600
1 1 0,36 36% 18
10000
n
n
n
n
S
i ou a m
C
ou
S
i ou ao período de meses
C
   
      
  
   
      
  
Lachtermacher; Faro, 2012
 A taxa de inflação ( I ) pode ser calculada a partir dos
índices de preços do início e final do período, como:
 Logo a taxa real (ir) da aplicação no período é dada
por:
Taxa Aparente e Taxa Real - Exercício 
1 0
0
ˆ ˆ 168 120
0,40 40% 18
ˆ 120
I I
I ou no período de meses
I
 
  
     
 
 
 
 
1
1 1 1 1
1
1 0,36
1 0,0286 2,86 18
1 0,40
r r
r
i
i i I i
I
i ou ao período de meses

       


    

Lachtermacher; Faro, 2012
Considerando uma taxa nominal anual de 24%, podem-se calcular
as taxas efetivas anuais equivalentes (em %) quando o período de
capitalização for anual, semestral, quadrimestral, trimestral e
mensal. Considere os valores com aproximação de duas casas
decimais. A alternativa que apresenta o resultado equivocado é:
a) Capitalizaçãoanual: efetiva anual equivalente de 24,00% a.a.;
b) Capitalização semestral: efetiva anual equivalente de 25,44%
a.a.;
c) Capitalização trimestral: efetiva anual equivalente de 26,25%
a.a.;
d) Capitalização quadrimestral: efetiva anual equivalente de
25,20% a.a.;
e) Capitalização mensal: efetiva anual equivalente de 26,82% a.a.
DESAFIO!!!!!
Taxa Regime Fórmulas
Linear Juros Simples S = C (1 + i x n)
Exponencial Juros Compostos S = C (1 + 𝑖)𝑛
Nominal Juros Simples 𝑖𝑒𝑝 = 
𝑖𝑛
𝑘
Efetiva Juros Compostos 𝑖𝑒 = 1 +
𝑖𝑛
𝑘
𝑘
− 1
Proporcional Juros Simples 𝑖𝑒𝑝 = 
𝑖𝑛
𝑘
Equivalente Juros Compostos 𝑖𝑒 = 1 +
𝑖𝑛
𝑘
𝑘
− 1 ou 𝑖𝑛 = 1 +
𝑖𝑒
𝑘
1
𝑘
− 1
Real -
Resumo das taxas
     1 1 1ri i I    
C
o
m
o
 p
ro
g
ra
m
a
r 
su
a
 H
P
 1
2
C
TECLAS VISOR DESCRIÇÃO
[f] [P/R] 00 - Modo programação. No visor: flag PRGM.
F PRGM 00 - Limpa os programas existentes.
RCL i 01- 45 12 Início da entrada da rotina.
1 02 - 1
0 03 - 0
0 04 - 0
÷ 05 - 10
1 06 - 1
+ 07 - 40
RCL PV 08 – 45 13
RCL FV 09 – 45 15
÷ 10 - 10
𝑌𝑥 11 – 21 
1 12 - 1
- 13 - 30
1 14 - 1
0 15 - 0
0 16 - 0
x 17 - 20 Fim da rotina.
[g] [GTO] 00 18 – 43.33 00 Volta para a primeira linha do programa.
f P/R Encerra o modo de programação.
B
ru
n
i 
e
 F
a
m
á
, 
2
0
1
4
.
 Assaf Neto, A. Matemática financeira e suas
aplicações. 11. ed. São Paulo: Atlas, 2009.
 Bruni, A. L.; Famá, R. Matemática Financeira. 5.
ed. São Paulo: Atlas, 2014.
 Lachtermacher, G.; Faro, C. de. Introdução à
Matemática Financeira. São Paulo: Saraiva,
2012.
Bibliografia 
(FGV – 2011/2 – P2 – 9) Um investimento foi realizado
por 6 meses a uma taxa de 5% a.m., em um período de
inflação mensal igual a 4,5%. O ganho real desse
investidor, para o período, considerando juros
compostos, é mais próximo de:
a) 2,9%
b) 0,478%
c) 0,05%
d) 3,00%
e) 2,50%
Para casa
(FGV – 2011/2 – P2 – 17) Se uma aplicação rendeu 38%
em um mês e, nesse período, a inflação foi de 20%, a taxa
real de juros foi de:
a) 14%
b) 15%
c) 16%
d) 17%
e) 18%
Para casa
(FGV – 2012/2 – PS – 10) Antes do Plano Real os títulos
de CDB dos bancos comerciais proporcionavam
rentabilidade de 48% a.m. A taxa anual equivalente
corresponde a:
a) 110,44%
b) 109,44%
c) 576%
d) 11.044%
e) 10.944%
Para casa
(FGV – P2 2011/2 – 7) Leonardo aplicou seu capital a uma
taxa composta de 8% a.m. durante um trimestre. Se houvesse
aplicado a juros simples nessas mesmas condições, teria
recebido R$394,24 a menos. Esse capital, se aplicado à taxa
de juros compostos de 60% ao ano, com capitalização mensal,
durante 5 meses, seria, em R$, mais próximo de:
a) 12.762
b) 15.243
c) 22.098
d) 25.525
e) 38.288
Para casa