EDO-Separáveis

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SOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS À VARIÁVEIS SEPARÁVEIS 
 
Forma geral : y′ = R(x)Q(y) 
 
 y ′ = 
dx
dy 
 
 
dx
dy = R(x)Q(y) 
 
 dy
Q(y)
1 = R(x)dx 
 
 ∫ Q(y)
dy = ∫ R(x)dx + c 
 
Na solução de um PVI (Problema de Valor Inicial) nós calculamos a constante após a 
determinação da solução geral. 
 
 
Exemplo 1 . Resolver o PVI 
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=
1y(0)
y
xy' x ∈ R. 
Solução. y ′ = 
dx
dy 
 
Então : 
dx
dy = 
y
x 
 
 ydy = xdx 
 
 ∫ ydy = ∫ xdx + c 
 
 
2
2y = 
2
2x + c 
 
 2y = 2x + 2c 
 
 2y = 2x + k , onde k = 2c 
 
 y = k2x + ou y = – k2x + 
 2
 
 x = 0 ⇒ y = 1 > 0 . 
 
Logo y = k2x + 
 
 1 = k20 + = k ⇒ k = 1 
 
A solução do PVI é y = 12x + . 
 
 
Exemplo 2.Resolver y ′+ 2y sen(x) =0, x∈ R. 
 
Solução. y ′ = – 2y sen(x) 
 
 
dx
dy = – 2y sen(x) 
 
 
2y
dy = – sen(x)dx 
 
 ∫ − dy2y = – ∫ sen(x)dx + c 
 
 
1
1y
−
−
 = cos(x) + c 
 
 1y− = – cos(x) + k k = –c 
 
y
1 = – cos(x) + k 
 
 y = 
cos(x)k
1
− 
Exemplo 3. Resolver xdx – dy2y = 0, x ∈ R. 
 
Solução: xdx = dy2y 
 
 ∫ xdx = ∫ dy2y 
 
 3
 
2
2x = 
3
3y + c 
 
Resolvendo para y , obtemos a solução 
 
 y = 
3/1
c2x
2
3 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ + 
 
Exemplo 4. Resolver y′ = 
14y
1x
+
+ , x ∈ R. 
 
Solução: substituindo y ′ = 
dx
dy , obtemos 
 
 
dx
dy = 
14y
1x
+
+ 
 
 1)dy4(y + = (x+1)dx 
 
Integramos os dois lados da equação: 
 
 ∫ 1)dy4(y + = ∫ (x+1)dx + c 
 
 
5
5y + y – 
2
2x +x =c 
 
A solução da equação diferencial fica dada por esta equação, onde a função y está 
definida implicitamente como função de x. 
 
Exemplo 5.Resolver dy = 2t( 2y +9)dt , t ∈R. 
 
Solução. 
 
Obs: Variável independente = t 
 
 
92y
dy
+
 = 2t dt 
 
 4
 ∫ 
92y
dy
+
 =∫ 2t dt 
 )
3
yarctan(
3
1 = 2t + c 
 
 arctan ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
3
y = 3 2t + k , k = 3c 
 
 
3
y = tan(3 2t + k) 
 y = 3 tan(3 2t + k) 
Exemplo 6. Resolver o PVI 
0ydydxxe =− , y(0) = 1, x ∈ R. 
 
Solução . Integrando a equação diferencial, resulta : 
 
 ∫ =∫− ydydxxe c 
 
 c
2
2yxe =− 
 
 2 xe – 2y = 2c 
 
 2y = 2 xe + k , onde k = – 2c 
 
 x = 0 ⇒ y = 1 > 0 
 
 12 = 2 0e + k = 2 + k ⇒ k = –1 
 
 y = 1x2e − ou y = – 1x2e − 
 y > 0 ⇒ y = 1x2e − 
 
Domínio= { x ∈R / x > – Ln 2 }