Apostila de Calculo 3

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Cálculo III 
Equações Diferenciais 
 
Material de apoio pedagógico elaborado para a disciplina de Cálculo III, dos 
cursos de Engenharia de Alimentos, Engenharia Mecânica e Engenharia de 
Produção do Centro Universitário Padre Anchieta. 
 
2019_2 
 Prof. Me. Tetsuo Araki 
 
 
Unianchieta 
 
 
2 
= Sumário = 
1. Equações Diferenciais.................................................................................................................. 4 
Introdução..................................................................................................................................... 4 
Definição....................................................................................................................................... 4 
Ordem e Grau................................................................................................................................. 5 
Forma Normal e Forma Diferencial............................................................................................... 6 
Solução Particular e Solução Geral............................................................................................... 7 
Exercícios.............................................................................................................. ........................ 8 
2. Diferenciação Implícita ................................................................................................................ 9 
Exercícios............................................................................................................ ........................... 9 
3. Equações Separáveis......................................................................................................................10 
Exercícios.......................................................................................................................................12 
Problemas de Valor Inicial. Problemas de Valores no Contorno................................................. 12 
Exercícios..................................................................................................................................... 14 
4. Equações de 1ª Ordem Lineares................................................................................................... 15 
Um fator Integrante.............................................................................................. ........................ 15 
Método de Resolução.................................................................................................................... 15 
Problemas Resolvidos................................................................................................................... 16 
Teorema.................................................................................................................. ...................... 18 
Exercícios................................................................................................................... .................. 18 
5. Equações Diferenciais Lineares de 2ª Ordem com Coeficientes Constantes............................... 18 
A Equação Característica.............................................................................................................. 18 
Exercícios...................................................................................................................................... 21 
6. Equações Diferencias Lineares de Segunda Ordem Não-Homogêneas....................................... 21 
Teorema................................................................................................................................ ........ 21 
Método da Variação dos Parâmetros............................................................................................ 22 
Exercícios..................................................................................................................................... 23 
Método dos Coeficientes a Determinar ....................................................................................... 23 
Exercícios..................................................................................................................................... 27 
7. Equações Diferencias de Primeira Ordem Exatas ....................................................................... 28 
 
 
3 
Método de Resolução .................................................................................................................. 28 
Exercícios................................................................................................................... .................. 30 
Equações Diferenciais Básicas e Soluções: Um Resumo............................................................. 30 
8. Modelos Matemáticos .................................................................................................................. 32 
Circuitos em Série RLC ............................................................................................................... 33 
Exercícios ........................................................................................................................ ............. 34 
Respostas dos Exercícios .................................................................................................................... 35 
Referências Bibliográficas ...................................................................... ............................................ 36 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
1. Equações Diferenciais 
Introdução 
As palavras diferencial e equação certamente sugerem a solução de algum tipo 
de equação que contenha derivadas. 
A derivada 
dx
dy
 de uma função y = f(x) é por si própria uma outra função f ’(x) 
determinada por uma regra apropriada. Por exemplo, a função y=
2xe é diferenciável, 
sendo sua derivada dada por 
2
2 xxe
dx
dy
= . Se substituirmos 
2xe pelo símbolo y, temos: 
dx
dy
=2xy. 
Imagine agora, que um amigo seu simplesmente passasse a você a equação diferencial 
dx
dy
=2xy e que você não tenha ideia de como ela foi construída. Seu amigo pergunta: 
Qual é a função representada pelo símbolo y? Você está agora diante de um dos 
problemas básicos de um estudo de equações diferenciais: como resolver tal equação 
para a incógnita y = f(x)? 
O problema é, de certa forma, equivalente ao problema inverso do cálculo diferencial: 
dada uma derivada, determine a anti-derivada. 
Definição 
 Uma equação que contenha as derivadas de uma ou mais variáveis dependentes, 
em relação a uma ou mais variáveis independentes, é dita ser equação diferencial(ED), 
ou seja, envolve uma função incógnita e suas derivadas. 
 
 
5 
As seguintes equações são exemplos de equações diferenciais envolvendo a função 
incógnita y. 
35 += x
dx
dy
 (a) 12
2
2
2
=





+
dx
dy
dx
yd
ey (b) 05).(.4
2
2
3
3
=++ xy
dx
yd
xsen
dx
yd
 (c) 
 
x
dx
dy
y
dx
dy
y
dx
yd
53
2
3
73
2
2
=





+





+





 (d) 04
2
2
2
2
=


−


x
y
t
y
 (e) 
Uma equação diferencial é chamada ordinária(E.D.O.) se a função incógnita depende 
de apenas uma variável independente. Se a função incógnita depende de mais de uma 
variável independente, temos uma equação diferencial parcial (E.D.P.), ou equação de 
derivadas parciais. 
As equações (a) e (d) são exemplos de E.D.O., pois a função incógnita y depende 
unicamente da variável x. A equação (e) é uma E.D.P., pois y depende das duas 
variáveis independentes t e x. 
Ordem e grau 
A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nela 
comparece. 
A equação (a) é uma E.D.O. de primeira ordem; (b), (d) e (e) são de segunda ordem. 
(Note-se que, em (d), a ordem da mais alta derivada que apareceé dois). A equação (c) 
é uma E.D.O. de terceira ordem. 
 
 
6 
O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita como um polinômio na função 
incógnita e suas derivadas, é a potência que se acha elevada a derivada de ordem mais 
alta. 
A equação (d) é uma E.D.O. de grau três, pois a derivada mais alta(a segunda, no caso) 
se acha elevada à potência três. As equações (a) e (e) são exemplos de equações 
diferenciais de primeiro grau. 
Nem toda equação diferencial pode ser classificada segundo o grau. Por exemplo, a 
equação (b) não possui grau, pois não pode ser escrita sob forma de um polinômio na 
função incógnita e suas derivadas, em razão da presença do termo ey. 
 
Forma Normal e Forma Diferencial 
A forma normal de uma equação diferencial de primeira ordem é y’ = f(x, y) e 
a forma diferencial é M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 
Por exemplo, a equação y’ = y + senx está na forma normal, onde f(x, y) = y + senx, e a 
equação (x2 – 5y)dx + (3x + y2)dy = 0 se encontra na forma diferencial. 
Obs.: A equação ex y’ = -e2xy + senx não está na forma normal, podendo, contudo, ser 
posta sob a referida forma, resolvendo-se algebricamente em relação a y’. Assim, 
y’ = -exy + e-x senx 
 
 
 
 
7 
12 −= xy
2xy =
12 += xy
22 += xy 2=c
1=c
1−=c
0=c
 Solução Particular e Solução Geral 
Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução da mesma. A 
solução geral da equação diferencial é o conjunto de todas as suas soluções. 
Por exemplo, 12 += xy é uma solução particular da equação diferencial x
dx
dy
2= , pois 
se derivarmos a função 12 += xy , obteremos y’ = 
dx
dy
= 2x. 
Observe que 22 += xy , 32 += xy e 12 −= xy também são soluções da equação 
diferencial. Desta forma, a solução geral é dada por cxy += 2 , onde c é uma constante 
arbitrária. Em outras palavras, cxy += 2 representa uma família de funções onde cada 
função y = f(x) é uma solução particular da equação diferencial y’ – 2x = 0. Neste caso, 
a solução é uma família de parábolas, algumas das quais estão traçadas a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
Exercícios 
1) Verificar que cada uma das funções dadas y = f(x) é uma solução da equação 
diferencial dada. 
a) Resolvido 
05
2
2
=+−
dx
dy
dx
yd
x , y = x2 + 5x 
Note que a equação dada pode ser escrita como xy’’- y’ + 5 = 0. 
Calculando as derivadas, temos: y’ = 2x + 5 e y’’ = 2 
Verificação: 
Substituindo as funções(derivadas) na equação diferencial, temos a sentença 
x(2) – (2x + 5) + 5 = 0, que é verdadeira. 
Logo, y = x2 + 5x é solução da equação diferencial dada. 
b) y’’+2y’+y = 0, y = 2e-x + xe-x c) xy
dx
dy
x 42 =− , y = x2- 4x 
 
d) 0
2
2
=+ y
dx
yd
, y = 2senx + 3cosx e) 0cos2 =−+ xy
dx
dy
, y = senx + cosx – e-x 
 
f) 016
2
2
=+ y
dx
yd
, y = C1sen4x + C2cos4x 
 
 
9 
0
24
24
=++ c
yx
00
2
'.2
4
4 3
=++
yyx
0'.3 =+ yyx
cxyx =+ 332 023'3 3222 =++ xyxyyx
0
11
=+−− c
yx
0.
11
22
=+
dx
dy
yx
( ) 034'4 2334 =+++ xyxyyxcyxyx =++ 434
cyxyxyx =+++ 5223 ( ) 012'523 32422 =+++++ yxyyyyxxy
 2. Diferenciação Implícita 
As soluções dos exemplos anteriores expressam y explicitamente em termos de x. 
Utilizamos a diferenciação implícita para casos em que as soluções das equações 
diferenciais expressam-se implicitamente. 
Por exemplo, vamos verificar que 0
24
24
=++ c
yx
 é uma solução implícita de 
.0
3
=+
dx
dy
yx 
 
 
 (c.q.d) 
Exercícios 
2) Em cada caso, mostre que a função dada é uma solução implícita da equação 
diferencial dada: 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
 
 
 
10 
3. Equações Separáveis 
Seja uma equação diferencial na forma diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0. Se 
M(x, y) = A(x) (função somente de x) e N(x, y) = B(y) (função somente de y), temos 
0)()( =+ dyyBdxxA , que é uma equação diferencial de 1ª ordem separável(ou de 
variáveis separáveis) e sua solução é   =+ cdyyBdxxA )()( , onde c é uma constante 
arbitrária. 
Exemplo: A equação diferencial (x2 + 5x)dx + (2y – 4)dy = 0 é separável. 
Nota: Há casos em que na equação diferencial de primeira ordem ),( yxf
dx
dy
= , f não 
depende da variável y, isto é, f(x, y) = g(x). Nesses casos, a equação diferencial 
)(xg
dx
dy
= pode ser resolvida por integração. Por exemplo, se xe
dx
dy 21+= , então 
temos: 
c
e
xydxedydxedy
x
xx ++=+=+=  2
)1()1(
2
22 , que é a solução geral. 
Uma equação diferencial de primeira ordem da forma )().( yhxg
dx
dy
= também é 
separável e tem solução também através de integração, pois 
0
)(
1
)().(
)(
=−= dy
yh
dxxgdxxg
yh
dy
, que se encontra na forma 
0)()( =+ dyyBdxxA . 
 
 
 
11 
 
Como exemplos, vamos resolver as equações: 
a) 03 =+ dyedx x 
dxdye x −=3 
xedx
dy
3
1
−= 
dxedy x3−−= 

−−= dxedy x3 
c
e
y
x
+=
−
3
3
 
b) 05)12( =++− dydxx 
dxxdy )12(5 +−−= 
 −= dxxdy )12( 5 
cxxy +−= 25 
5
2 cxx
y
+−
= . 
 
 
 
 
12 
Exercícios 
3) Encontre a solução geral da EDO de 1ª ordem. 
a) 133 ++= xx
dx
dy
 
b) xexx
dx
dy 76 cos −+−= 
c) 122 +−= xx
dx
dy
 
d) 32' xyy = 
e) 03 =+
dx
dy
yx 
f) cosx = 2ey.y’ 
 
Problemas de Valor Inicial. Problemas de Valores no Contorno 
Um problema de valor inicial consiste em uma equação diferencial, juntamente com 
condições subsidiárias relativas à função incógnita e suas derivadas, tudo dado para um 
mesmo valor da variável independente. Se as condições subsidiárias são condições 
iniciais e se referem a mais de um valor da variável independente, então é um problema 
de valores de contorno. 
Exemplo: 
 
 
13 
O problema y’’ + 2y’ = ex, y(π) = 1, y’(π) = 2 é um problema de valor inicial, pois as 
duas condições subsidiárias são ambas no ponto x = π. O problema y’’ + 2y’ = ex , 
y(0) = 1 e y’(1) = 1, é um problema de valores no contorno, pois as condições 
subsidiárias são dadas em diferentes pontos x = 0 e x = 1. 
Uma solução de um problema de valor inicial, ou de valores no contorno, é uma função 
y(x) que satisfaz não só a equação diferencial dada, mas também todas as condições 
subsidiárias. 
Exemplos: 
a) Resolva a Equação Diferencial de primeira ordem 143 2 +−= xx
dx
dy
, sujeita à 
condição inicial f(-1) = 3 
dxxxdy )143( 2 +−= 
dxxxdy )143( 2 +−=  
cxxxy ++−= 23 2 (Solução Geral) 
c+−+−−−= )1()1(2)1(3 23 
c+−−−= 1213 
7=c 
Logo, 72 23 ++−= xxxy (Solução Particular ou Problema de Valor Inicial) 
 
 
 
14 
243)(" 2 ++= xxxf
1
23 22)(' cxxxxf +++=
522)(' 23 +++= xxxxf
522)(' 23 +++= xxxxf
2
2
34
5
3
2
4
)( cxx
xx
xf ++++=
15
3
2
4
)( 2
34
++++= xx
xx
xf
b) Resolva xxxf 432)(" 2 +=− sujeita às condições 4)1(' =−f e 1)0( =f 
 
1ª Condição: 5)1.(2)1.(2)1(44)1(' 11
23 =+−+−+−==− ccf e 
 
 
2ª Condição: 10.50
3
0.2
4
0
11)0( 22
2
34
=++++== ccf e 
 
Exercícios 
4) Em cada caso, encontre a solução do problema de valor inicial(PVI) da Equação 
Diferencial Ordinária(EDO) de 1ª ordem. 
a) 4 f(-1) ,122 =+−= xx
dx
dy
 d) 1 f(0) ,0 ==− ydydxex 
b) 3 f(0) ,5 2 =+= − xe
dx
dy x e) 2 f(0) ,2 == x
dx
dy
 
c) 3 f(0) ,1 =+= senx
dx
dy
 f) 2 f(0) ,cos == x
dx
dy
 
 
 
 
 
 
15 
4. Equações Diferenciais de 1ª Ordem Lineares 
Seja uma equação diferencial na forma y’ = -p(x)y + q(x), isto é, como o produto de 
uma função x por y, mais outra função de x, então a equação diferencial é uma equação 
linear. As equações diferenciais de primeira ordem lineares podem, sempre, expressar-
se na forma y’ + p(x)y = q(x). 
A equação diferencial linear é chamada de homogênea, se q(x) = 0, ou seja, 
y’ + p(x)y = 0, caso contrário, é chamada de não homogênea. 
 
Um Fator Integrante 
Dada uma equação diferencial de primeira ordem linear, um fator integrante é 
=
dxxP
eyxI
)(
),( 
Como exemplo, vamos determinar um fator integrante para a equaçãodiferencial 
y’ – 2xy = x. 
Temos p(x) = -2x e =
− dxx
eyxI
)2(
),( =
2xe− 
 
Método de Resolução 
Se multiplicarmos y’ + p(x)y = q(x) pelo fator integrante =
dxxP
eyxI
)(
),( , obtemos a 
equação: =+
dxxPdxxPdxxP
exqeyxpey
)()()(
).(.).('. 
 
 
16 
Observe que o membro esquerdo é a derivada de y 
dxxP
e
)(
. Desta forma, podemos 
escrever o primeiro membro como 
 
dx
yxIyd ),(.
, cuja integração direta dá a solução da 
equação diferencial linear. 
Resumindo: Para resolver uma equação diferencial de primeira ordem linear: 
1) Se necessário, escreva a equação na forma y’ + p(x)y = q(x) 
2) Identifique p(x) e calcule um I(x, y)= 
dxxP
e
)(
 (fator integrante) 
3) Multiplique a equação por I(x, y). O primeiro membro da equação resultante é 
automaticamente a derivada do produto do fator integrante por y. 
4) Calcule a integral de ambos os membros da equação e, assim, encontre y. 
Obs.: Para encontrarmos um fator integrante, não consideramos a constante c na 
integração. 
Problemas Resolvidos 
1) Resolva y’ – 3y = 6 
Aqui, p(x) = -3 
Cálculo de um fator integrante 
I(x, y) = 
− dx
e
3
= xe 3− 
Multiplicando a equação diferencial por I(x, y), obtemos: 
 
 
17 
y’. xe 3− - 3y. xe 3− = 6 xe 3− e 
( ) xx e
dx
yed 3
3
6 −
−
= 
 Integrando ambos os membros em relação a x, temos: 
( )

−
−
= dxedx
dx
ye
d x
x
3
3
6 
ceye xx +−= −− 33 2 
xx
x
e
c
e
e
y
33
32
−−
−
+
−
= 
2-ce=y x3 
2) Resolva y’ – 2xy = x 
Já vimos anteriormente, que p(x) = -2x e 
2
),( xeyxI −= 
 
Multiplicando a equação por I(x, y), obtemos: 
222
2' xxx xexyeey −−− =− 
( ) 22. xx xe
dx
eyd −
−
= 
Integrando ambos os membros em relação a x, temos: 

−
−
= dxxedx
dx
yed x
x
2
2
)(
 
 
 
18 
 +−= c)1au(a
e
due u:Dica
2
au
au
ceye xx +−= −−
22
2
1
 
2
12
−= xcey 
Teorema: A equação linear de primeira ordem y’ + p(x)y = q(x) pode ser transformada 
em uma equação diferencial de variáveis separáveis multiplicando-se ambos os 
membros pelo fator integrante 
dxxp
e
)(
 
Exercícios 
5) Em cada caso, dada a equação diferencial linear, encontre o fator integrante, 
classifique-a em homogênea ou não homogênea e encontre a solução geral. 
a) 63 =+ y
dx
dy
 b) xeyy −=+2' 
c) 05' =− yy d) 1=+ y
dx
dy
 e) xy
dx
dy
=+ 
 
5. Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes 
A equação característica 
A equação diferencial y’’ + by’ + cy = 0 (I) em que b e c são constantes, corresponde a 
equação algébrica m2 + bm + c = 0 (II), obtida da equação (I) mediante substituição de 
y’’, y’ e y por m2, m1 e m0 = 1, respectivamente. A equação (II) é chamada equação 
característica de (I). 
 
 
19 
00 =
Por exemplo, a equação característica de y’’ – 2y’ + y = 0 é m2 – 2m + 1 = 0, cujas 
raízes são m1 e m2. 
 
A solução da equação (I) se obtém diretamente a partir das raízes(m1 e m2) de sua 
equação característica. Há três casos a considerar: 
a) m1 e m2 são ambas reais e distintas (∆ > 0) 
A solução geral é xmxm ececy 21 21 += 
Exemplo: Resolva a equação diferencial y’’ + 6y’ + 8y = 0 
Equação auxiliar(Característica): m2 + 6m + 8 = 0 
∆ = 62-4.1.8 = 4 

−
=
2
26
m 
 
Solução Geral: xx ececy 42
2
1
−− += 
Verificação: xx ececy 42
2
1
' 42 −− −−= e xx ececy 42
2
1 164''
−− += 
y’’ + 6y’ + 8y = 0 
0)(8)42(6164 42
24
2
2
1
4
2
2
1 1 =++−−++
−−−−−− xxxxxx ecececececec 
0882412164 42
24
2
2
1
4
2
2
1 1 =++−−+
−−−−−− xxxxxx ecececececec 
2
2
26
1 −=
+−
=m
4
2
26
2 −=
−−
=m
 
 
20 
00 =
b) m1 = m2, ou seja, são ambas reais e iguais (∆ = 0) 
A solução geral é xmxm xececy 21 21 += 
Exemplo: Resolva a equação diferencial y’’ – 4y’ + 4y = 0 
Equação auxiliar(Característica): m2 – 4m + 4 = 0 
∆ = 42-4.1.4 = 0 
2
2
4
21 === mm 
Solução Geral: xx xececy 22
2
1 += 
Verificação: xxx xecececy 22
2
2
2
1
' 22 ++= e xxxx xececececy 22
2
2
2
2
2
1 4224'' +++= 
y’’ – 4y’ + 4y = 0 
(4)22(44224 22
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1 +++−+++
xxxxxxx xecececxecececec xx xecec 22
2
1 + )=0 
0448484224 22
2
1
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
1 =++−−−+++
xxxxxxxxx xececxecececxecececec 
c) m1 e m2 são números complexos conjugados(∆ < 0) 
A solução geral é ( ))()cos( 21 txsenctxcey
sx += , onde m1= s + ti e m2= s – ti 
Exemplo: Resolva a equação diferencial y’’ + 4y’ + 7y = 0 
Equação auxiliar(Característica): m2 + 4m + 7 = 0 
∆ = 42-4.1.7 = -12 
 
 
21 
( )xsencxcey x 33cos 212 += −
044
2
2
=++ y
dx
dy
dx
yd
3212 i=−= 
 
−
=
2
324 i
m 
Solução Geral: Observe que s = -2 e t = 3 
 
Exercícios 
6) Resolva as equações diferenciais a seguir: 
a) y’’ – 2y’ + 5y = 0 
b) y’’ + 4y = 0 
c) 
d) y’’ – y’ – 2y = 0 
e) y’’ – 7y’ = 0 
f) y’’ + 3y’ – 4y = 0 
6. Equações Diferenciais Lineares de Segunda Ordem Não-Homogêneas 
É toda equação do tipo y’’+by’+cy = k(x), onde b e c são constantes e k é uma função 
contínua. 
Teorema: Seja y”+ by’+ cy = k(x) e yp uma solução particular. Se yc é a solução geral 
da equação complementar y”+ by’+ cy = 0, então a solução geral de y”+by’+cy = k(x) 
é y = yc + yp 
321 im +−=
322 im −−=
 
 
22 



=+
=+
)(''
0''
'
2
'
1
21
xkyvyu
yvyu



=+
=+
)(''
0''
'
2
'
1
21
xkyvyu
yvyu




=−
−==+
−
−
xxx
xxx
eeveu
euveveu
333
633
'3'3
''0''
=−− − xxxx eeeueu 3363 )'(3'3
6
1
''6'3'3 33333 ===+ ueeueeueu xxxxx xev 6.
6
1
' −=
xdxdxuu
6
1
6
1
' ===  
xx edxedxvv 66
36
1
6
1
' −=−==  
xx
p exey
33
36
1
6
1
−=
xxxx ececexey 32
3
1
33
36
1
6
1 −++−=
Método da Variação dos Parâmetros 
Se y = c1y1 + c2y2 é solução geral da equação complementar de y’’+ by’ + cy = k(x), 
então uma solução particular é yp = uy1 + vy2 , 
onde u = g(x) e v = h(x) satisfaçam o sistema de equações 
Exemplo: Resolva a equação diferencial y” – 9y = e3x pelo método da variação dos 
parâmetros. 
Equação complementar: y” – 9y = 0 (homogênea) 
m2 – 9 = 0  m2 = 9  m1 = 3 e m2 = -3. Então, yc =c1e
3x + c2e
-3x é a solução geral da 
equação complementar y” – 9y = 0. 
Agora, vamos procurar uma solução particular da equação diferencial que tenha a forma 
yp = uy1 + vy2 , onde y1=e
3x e y2 = e
-3x 
 
 
 
Então: , e 
Do teorema da página 21, temos que y = yc + yp. 
Logo, 
 
 
 
 
23 
Exercícios 
7) Em cada caso, resolva a equação diferencial pelo método da variação dos parâmetros. 
a) y” + 3y’ = e-3x b) y” – 4y’ + 4y = x-2e2x 
 
 
 
c) y” – 6y’ + 9y = x2e3x d) y” – y’ – 6y =10 
 
 
 
Método dos Coeficientes a Determinar 
A obtenção de uma solução de uma equação diferencial não-homogênea envolve duas 
etapas básicas. Primeiro, obtemos uma solução chamada a solução 
complementar(simbolizada por yc). A solução complementar yc
 será a solução da 
equação homogênea obtida substituindo k(x) por 0, isto é, y’’+by’+cy = 0. Isso foi 
mostrado no capítulo 5. 
Em seguida, obtemos uma solução particular (simbolizada por yp), com base nas 
considerações seguintes. 
 
 
 
24 
xsenD)e(CxxB)e(Ax xxe 
xsenGFx(Ex xCBx(Ax xsen5x 
xsenBexAe xsene 
 
Bx)e(A xe 7)
A.e e 6)
 B.sen4x A.cos4x cos4x 5)
B.sen4xA.cos4x sen4x4)
CBxAx 2-3x 3)
B Ax 75x 2)
A constante) qualquer(ou 1 
y k(x) 
esParticular oluções S 
3x3x3x
222
x3x3x
2x2x
5x5x
22
p
44cos4cos)10
4)4cos)4)9
)4()4cos()4()8
)1
3
+++
+++++
+
+
+
+
++
++
ay” + by’ + cy = k(x) (*) 
Caso I 
Na tabela abaixo, Ilustramos alguns exemplos específicos de k(x) em (*) com a forma 
correspondente da solução particular. Naturalmente, supondo que nenhuma função na 
suposta solução particular yp faz parte da função complementar yc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25 
Caso II 
Regra da Multiplicação para o Caso II 
Se algum dos yp coincide com os termos de yc, então, esse yp deverá ser 
multiplicado por xn, onde n é o menor inteiro positivo que elimina essa coincidência. 
Exemplos: 
1) Na função y” – y = 2ex, yc = c1e
x + c2e
-x. Mas, observando a tabela anterior, a 
suposição yp = Ae
x não será adequada, pois é evidente em yc que e
x é uma solução 
da equação característica y” – y = 0. Nesse caso, devemos utilizar yp = Axe
x. 
(multiplicamos por x) 
2) Na função y” – 2y’ + y = ex, yc = c1e
x + c2xe
x. Observe que yp = Ae
x não será 
adequada, pois em yc , e
x é uma solução da equação característica y” – 2y’ + y = 0. 
Mas, tentando yp = Axe
x, vemos que xex também aparece em yc. Assim, devemos 
utilizar yp = Ax
2ex , que elimina a coincidência. (multiplicamos por x2) 
 
Adição de Soluções 
Para encontrar uma solução particular da equação diferencial 
y” + 4y = ex - 2senx + x, podemos determinar as constantes A, B, C, D e E tais que a 
função Aex + Bsenx + Ccosx + Dx + E seja uma solução particular, ou seja, 
yp = Ae
x + Bsenx + Ccosx + Dx + E. Também podemos encontrar soluções particulares 
de cada uma das seguintes equações diferenciais 
 
 
26 
 Bxe A y e 2 2y 3y' y" 
.e B A y e 2 2y 3y' y" 
Ce B Ax y 2e - x 4y 4y' y" :Exemplos
 
x
p
x
7x
p
7x
2x
p
2x
+=+=+−
+=+=+−
++==++
 y” + 4y = ex 
y” + 4y = - 2senx 
 y” + 4y = x 
A soma das três soluções particulares será uma solução de y” + 4y = ex - 2senx + x 
 
 
 
 
Exemplo de resolução 
Y” – 2y’ -3y = 4x – 5 + 6xe2x 
Cálculo de yc : 
Y” – 2y’ -3y = 0 
m1 = -1 e m2 = 3 
yc = c1e
-x + c2e
3x 
 
 
 
 
 
 
27 
( ) ( )
xxxx
xx
p
xxx
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxxx
p
xxx
p
xx
p
exe
x
ececy
Logo
exe
x
y
A
DC
C
A
BA
Comparando
xexeCxxAeDCBA
xexDeCxeBAxDeCxeCeADeCxeCe
xexDeCxeBAxDeCxeCeADeCxeCe
DeCxeCeDeCxeCeCey
DeCxeCeAy
DeCxeBAxy
223
21
22
222
222222222
222222222
2222222"
222'
22
3
4
2
9
23
3
4
:
3
4
2
9
23
3
4
3
4
-D -2C 
9
23
B 
3
4
032 
63
43
532
654)3()3()32()32(
65433334422444
6543222444
4444422
22
−−+−+=
−−+−=
===−=
=−
=−
=−
−=−−
+−=−+−+−+−−
+−=−−−−−−−−++
+−=+++−+++−++
++=+++=
+++=
+++=
−
Cálculo de yp : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes a Determinar. 
a) y” – 3y’ -18y = xe4x 
b) y” – 2y’ - 3y = ex 
c) y” + y’ = senx 
d) y” – y’ – 2y = 4x 
e) y” – 3y’ – 4y = 6ex 
 
 
28 
(IV) ),(
),(
yxM
x
yxg
=


(V) ),(
),(
yxN
y
yxg
=


7. Equações Diferenciais de Primeira Ordem Exatas 
Definição 
Uma equação diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (I) é exata se existe uma função 
g(x, y) tal que dg(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy (II) 
 
Teste: Se M(x, y) e N(x, y) são funções contínuas com derivadas parciais primeiras 
contínuas em um retângulo do plano xy, então (I) é exata se e somente se 
 
x
yxN
y
yxM


=

 ),(),(
 (III) 
Exemplo: Na equação diferencial 2xy dx + (1 + x²) dy = 0, temos M(x, y) = 2xy e 
N(x, y) = 1 + x² . Como x
x
yxN
y
yxM
2
),(),(
=


=


, a equação é EXATA. 
 
Método de Resolução 
Para resolver (I), supondo-a exata, devemos primeiro resolver as equações 
 
 
 
em relação a g(x, y). A solução é então dada implicitamente por g(x, y) = c (VI), onde c 
é uma constante arbitrária. 
 
Exemplo: Já verificamos que a equação diferencial 2xy dx + (1 + x²) dy = 0 é EXATA. 
Vamos determinar uma função g(x) que satisfação (IV) e (V). 
 
 
29 
xy
x
g
2=


 =

dx 2 xydx
x
g
( )122
2 ccc cyyx −==+
1x
c
y
2
2
+
=
Como M(x, y) = 2xy em (IV), obtemos . 
Integrando em relação a x, obtemos: 
 
 
)(),( 2 yhyxyxg += (VII) 
Observe que, ao integramos em relação a x, a constante (em relação a x) de integração 
pode depender de y. 
Determinação de h(y): Derivando (VII) em relação a y, obtemos (y)' ² hx
y
g
+=


 
Levando esta última equação juntamente com N(x, y) = 1 + x², em (V), obtemos 
x² + h’(y) = 1 + x²  h’(y) = 1 
Integrando esta última equação em relação a y, obtemos h(y) = y + c1. Levando esta 
expressão em (VII), vem: 
1
2),( cyyxyxg ++= 
A solução da equação diferencial, que é dada implicitamente por (VI) com g(x, y) = c, 
é: 
ccyyx =++ 1
2 
1
2 ccyyx −=+
 
 
Explicitando em relação a y, obtemos a solução como 
 
 
 
30 
0
2
2
=++ by
dx
dy
a
dx
yd
xmxm ececy 21 21 +=


+=
++=
c xcosx - senx dx xsenx
c xsenx cosx dx xcosx
Lembrete:
9) Verifique se as equações diferenciais seguintes são exatas, e resolva as que forem. 
( ) ( )
( ) ( )
( )
0 1)dy x sen(x cosx)dxxy x y sen =+++
=++−
=+
=++
=+
=+
=++++
=+++
)(h
0dy)yx(dx)yx)(g
0xdyydx)f
0dyy4yx2dxyx3)e
0dyyedxxe)d
0dyxedxye)c
0dyxyx31dxxy2y)b
0dyyxdxxxy2)a
3322
xyxy
xyxy
223
2
 
 
 
Equações Diferenciais Básicas e Soluções: Um Resumo 
• Equação Linear Homogênea de 2ª Ordem 
 a, b são constantes reais 
Solução: 
Sejam: m1, m2 as raízes de m
2 + am +b = 0. Então, existem 3 casos: 
Caso 1: m1 e m2 são reais e distintas. 
 
 
 
31 
xmxm xececy 11 21 +=
( ))()cos( 21 qxsencqxcey
px +=
)(
2
2
xRby
dx
dy
a
dx
yd
=++
senqxdxxRe
q
qxe
qxdxxRe
q
senqxe
senqxcqxcey px
px
px
px
px )(
cos
cos)()cos( 21 
−− −++=
xxx
xx
xx
x
x
x
x
xx
xx
x
xx
x
xx
eecec
ee
ecec
dxe
e
dxe
e
ecec
dxee
e
dxee
e
ececy
−+=−−+
=−++
=
−−
+
−−
++=
−−
−
−−
−−
−
−−


2
4
12
4
1
23
4
2
4
1
)1(4
4
2
4
1
5
3
5
2
5
6
5
6
6
41
6
)1(4
4
,
2
 ,
2a
bq
a
ponde −=−=
Caso 2: m1 e m2 são reais e iguais. 
 
Caso 3: m1 = p + qi, m2 = p – qi 
 
• Equação Linear Não Homogênea de 2ª Ordem 
 a, b são constantes reais 
Solução: 
Existem 3 casos correspondendo àqueles anteriores. 
Caso 1: 
−−
−
+
−
++= dxxRe
mm
e
dxxRe
mm
e
ececy
xmxm
xmxm
xmxm )()(
2
2
1
1
21
1221
21 
Caso 2: dxxRxeedxxRexexececy xmxmxmxmxmxm )()( 111111 21 
−− −++= 
Caso 3: 
Como exemplo, vamos resolver a equação diferencial de 2ª ordem não homogênea 
y” – 3y’ – 4y = 6ex, onde m1 = 4 e m2 = -1, que se enquadra no Caso 1. 
Então, 
 
 
 
 
32 
Obs.: Este exercício foi proposto na página 27(exercício 8, item e), para ser resolvido 
pelo método dos coeficientes a determinar. 
8. Modelos Matemáticos 
É frequentemente desejável descrever o comportamento de algum sistema ou 
fenômeno da vida real em termos matemáticos, quer sejam eles físicos, sociológicos ou 
mesmo econômicos. A descrição matemáticade um sistema ou fenômeno, chamada de 
modelo matemático, é construída levando-se em consideração determinadas metas. Por 
exemplo, talvez queiramos compreender os mecanismos de um determinado 
ecossistema por meio do estudo do crescimento de populações de animais nesse sistema 
ou datar fósseis por meio da análise do decaimento radioativo de uma substância que 
esteja no fóssil ou no estrato no qual foi descoberto. 
A construção de um modelo matemático de um sistema começa com 
(i) a identificação das variáveis responsáveis pela variação do sistema. Podemos a 
princípio optar por não incorporar todas essas variáveis no modelo. Nessa etapa, 
estamos especificando o nível de resolução do modelo. 
(ii) elaboramos um conjunto de hipóteses razoáveis ou pressuposições sobre o sistema 
que estamos tentando descrever. Essas hipóteses deverão incluir também quaisquer leis 
empíricas aplicáveis ao sistema. 
Como as hipóteses sobre um sistema envolvem frequentemente uma taxa de variação 
de uma ou mais variáveis, a descrição matemática de todas essas hipóteses pode ser uma 
ou mais equações envolvendo derivadas. Em outras palavras, o modelo matemático 
pode ser uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. 
 
 
33 
q
C
 e 
dt
dq
RR i
dt
qd
L
dt
di
L
citor capaor resist indutor 
1
 
2
2
==
)(
1
2
2
tEq
Cdt
dq
R
dt
qd
L =++
Depois de formular um modelo matemático, que é uma equação diferencial ou um 
sistema de equações diferenciais, estaremos de frente para um problema nada 
insignificante de tentar resolvê-lo. Se pudermos resolvê-lo, julgaremos o modelo 
razoável se suas soluções forem consistentes com dados experimentais ou fatos 
conhecidos sobre o comportamento do sistema. Porém, se as predições obtidas pela 
solução forem pobres, poderemos elevar o nível de resolução do modelo ou levantar 
hipóteses alternativas sobre o mecanismo de mudança no sistema. 
Circuito em Série RLC 
Considere o circuito em série de malha simples mostrado na 
figura ao lado, contendo um indutor, resistor e capacitor. A corrente no 
circuito depois que a chave é fechada é denotada por i(t); a carga em 
um capacitor no instante t é denotada por q(t). As letras L, C e R são 
conhecidas como indutância, capacitância e resistência, 
respectivamente, e em geral são constantes. Agora, de acordo com a 
segunda lei de Kirchhoff, a voltagem aplicada E(t) em uma malha 
fechada deve ser igual à soma das quedas de voltagem na malha. A 
figura ao lado mostra os símbolos e as fórmulas para a respectiva 
queda de voltagem em um indutor, um capacitor e um resistor. Uma 
vez que a corrente i(t) está relacionada com carga q(t) no capacitor por 
i = dq/dt, adicionando-se as três quedas de voltagem 
 
e equacionando-se a soma das voltagens aplicadas, obtém-se uma 
 
 
34 
( )tsenctcetq t 222221 cos)(  −+−= −
( ) +−= − tsenAetq t 22)( 2221 ccA +=
A
c
sen 1=
A
c2cos =
2
1
c
c
tg =
equação diferencial de segunda ordem 
Se E(t) = 0, as vibrações elétricas do circuito são consideradas livres. Como a equação 
auxiliar da equação diferencial acima é Lm2 + Rm + 1/C = 0, haverá três formas de 
solução com R ≠ 0, dependendo do valor do discriminante R2- 4L/C. 
Dizemos que o circuito é: 
superamortecido, se R2- 4L/C > 0 
criticamente amortecido, se R2- 4L/C = 0 e 
subamortecido, se R2- 4L/C < 0. 
Importante! 
Podemos escrever qualquer solução na 
forma alternativa , onde e Ø foram 
determinados com base nas equações: 
Você poderá encontrar maiores detalhes na obra de Dennis Zill, cuja referência se 
encontra no final desta apostila. 
Exercícios 
10) Circuito em Série Subamortecido 
Encontre a carga q(t) sobre o capacitor em um circuito em série RLC quando L = 0,25 
henry (h), R = 10 ohms (Ω), C = 0,001 farad (f), E(t) = 0, q(0)= qo coulombs (C) e 
i(0)= 0. 
 
 
35 
hL
3
5
= fC
30
1
=
( )
xx
x
xx
xx
x
ececyf
eccye
ececyd
xececyc
xsencxcyb
xsencxceya
2
4
1
7
21
2
2
1
2
2
2
1
21
21
)
)
)
)
22cos)
22cos)
)6
+=
+=
+=
+=
+=
+=
−
−
−−






+=
+−=
+
−=
++−=
+−−=
+++=
−
22
ln)
42
)
4
4
)
3
)
77
)
2
3
4
)
)3
42
4
2
3
77
24
csenx
yf
c
xy
e
cx
yd
cxx
x
yc
c
e
senx
x
yb
cx
xx
ya
x
2senxy)f
2
3
x
y)e
1e2y)d
4xxcosy)c
4
3
x5
ey)b
3
19
xx
3
x
y)a
)4
3
x2
3
x
2
3
+=
+=
−=
++−=
++−=
++−=
−
x
x
x
xx
x
ecxye
ecyd
ecyc
eceyb
ecya
−
−
−−
−
+−=
+=
=
+=
+=
.1)
.1)
.)
.)
.2)
)5
5
2
3
xxx
xx
x
x
xx
xxx
eececye
xececyd
senxx
eccyc
e
ececyb
ecece
x
ya
−+=
−++=
−−+=
−+=
++





−−=
−
−
−
−
−
2
4
1
2
2
1
21
2
3
1
3
2
6
1
4
)
21)
22
cos
)
4
)
14196
5
)
)8
3
5
)
12
)
ln)
39
)
)7
2
2
3
1
4
21
3
222
2
2
1
33
3
21
−+=






++=
−−+=
−−+=
−
−−
−
xx
x
xxxx
xx
x
ececyd
x
xcceyc
exexececyb
xee
eccya
11) Ache a carga no capacitor em um circuito em série RLC em t = 0,01 s quando 
L = 0,05 h, R = 2 Ω, C = 0,01 f, E(t) = 0 V, qo = 5 C e i(0) = 0 A. Determine a primeira 
vez em que a carga sobre o capacitor é igual a zero. 
12) Ache a carga no capacitor e a corrente no circuito RLC dado. Ache a carga máxima 
no capacitor. 
 , , R = 10 Ω, E(t) = 300 V, q(0) = 0 C e i(0) = 0 A. 
Obs.: utilize o método dos coeficientes a determinar. 
Respostas dos Exercícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36 
C 10,432 ;t3sene60)t(i );t3sent3(cose1010q(t) 12)
s 0,0509 C; 568,4)11
)249.1t60(sene
3
10
q)t(q
 a,alternativ forma na ou, t60sen
3
1
t60coseq)t(q)10
t3t3
t20
o
t20
o
−−
−
−
=+−=
+=






+=
2
2
xy
22
32
2
423
2
22
2
cysenx xy)h exata não)d
exata não)g ce)c
cxy)f cyyxxy)b
cyyx)e c
2
y
2
x
yx)a
)9
=+
=
==++
=+=++
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências Bibliográficas 
 
BRONSON, Richard. MODERNA INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS. 
São Paulo: Editora McGRAW-HILL do BRASIL. 1977. 
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