Notas de aula de Mecânica dos fluidos Aplicada

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Mecânica dos fluidos Aplicada 
 
 
Aula 1 
_Análise dimensional 
Problema típico em Mecânica dos Fluidos : 
Diminuir arrasto aerodinâmico em veículos 
Equações 
Fundamentais 
Soluções 
Analíticas 
Soluções 
Numéricas 
Métodos 
Experimentais 
Protótipos em 
escala 1:1 
Testes em 
modelos 
Análise Dimensional 
 A maioria dos fenômenos da mecânica dos fluidos são 
caracterizados por parâmetros geométricos do escoamento e por 
grandezas mensuráveis do escoamento, tais como pressão, 
velocidade e por características físicas dos fluidos. 
 As unidades são expressas utilizando apenas quatro 
grandezas básicas ou categorias fundamentais: 
Análise Dimensional 
Massa M kg 
Comprimento L m 
Tempo T s 
Temperatura θ K 
• Dimensões de grandezas derivadas: 
 
 
Dimensões de Grandezas Derivadas: 
 
 
Análise Dimensional 
 
Por que a velocidade tem dimensão ? 
 
 
 
Por que a força tem dimensão ? 
 
1LT
2MLT
Análise Dimensional 
 
Vazão? 
Variáveis 
envolvidas: 
Vazão,diâmetro, 
densidade e 
pressão 
Análise Dimensional 
 
 
Agrupando as 
variáveis por 
grandezas 
derivadas chego 
na solução! 
Teorema dos p de Buckingham 
 
 Dado um problema físico onde a variável dependente é função de n-1 variáveis 
independentes, para o qual sabemos que existe uma relação do tipo : 
 
 q1 = f(q2, q3, ... qn) 
 
 
ou também: g (q1, q2, q3, ... qn) = 0. 
 
 
 
 
O teorema p estabelece que : 
variáveis 
independentes 
 
variável 
dependente 
 
relação 
funcional 
(desconhecida) 
 
 
 
 
Dada uma relação entre n variáveis da forma 
 
g (q1, q2, q3, ... qn) = 0 
 
estas n variáveis podem ser agrupadas em n-m razões adimensionais 
independentes, ou parâmetros p, expressados sob a forma funcional : 
 
 G (p1, p2, ..., pn-m) = 0 
 
ou p1 = H(p2, ..., pn-m) 
O número m é usualmente igual ao menor número de 
grandezas independentes (M, L, t, etc.) necessárias para 
especificar as dimensões das variáveis q1, q2, q3, ... qn. 
 
NOTA : O teorema não prevê a forma funcional de G ou H. 
Ela pode ser determinada experimentalmente. 
Análise Dimensional 
 
Forma-se 
grupos 
adimensionais 
Agrupando as 
variáveis por 
grandezas 
derivadas 
Solução do 
problema 
Mas o que são 
números 
adimensionais? 
Parâmetros adimensionais comuns em 
Mecânica dos Fluidos 
0),,D,V,F(g =
Análise Dimensional 
 
0)q,q,q,q,q(g 54321 = 0),(G 21 =
Resultados experimentais 
Determinação dos grupos p 
Passo 1 - Liste os parâmetros dimensionais envolvidos no estudo. 
Passo 2 – Selecione um conjunto de dimensões primárias (M,L,t ou 
F,L,t). 
Passo 3 – Liste as dimensões primárias de todos os parâmetros 
dimensionais . 
Passo 4 – Selecione da lista um número de parâmetros 
dimensionais (que irão se repetir nos adimensionais) igual ao 
número de dimensões primárias (os parâmetros selecionados 
devem possuir todas as dimensões primárias . 
Passo 5 – Estabeleça equações adimensionais, combinando os 
parâmetros selecionados, com cada um dos outros parâmetros . 
1.) A vazão Q de um líquido ideal que escoa para a atmosfera através 
de um orifício de bordo delgado, praticado na parede lateral de um 
reservatório, é função do diâmetro D do orifício, da massa específica 
ρ do fluido e da diferença de pressão entre a superfície livre e o 
centro do orifício. Determinar a expressão para vazão. 
 
Exemplos 
 
 
 
2.) Uma bomba centrífuga envolve as seguintes variáveis: 
 
gHm = aceleração da gravidade x carga manométrica da bomba 
Q = vazão em volume 
D = diâmetro do rotor da bomba 
n = rotação do rotor por unidade de tempo 
ρ= massa específica do fluído 
µ= viscosidade absoluta do fluido 
 Quantos e quais são os adimensionais que representam o 
fenômeno físico de escoamento do fluido pela bomba 
centrífuga? 
 
 
Aula 2 
_Semelhança 
Semelhança 
Modelo Protótipo 
Estabelecer 
relações 
Túnel de vento 
Tanque de simulação marítima 
 
 Para que haja similaridade entre o protótipo e o modelo devem 
ser atendidas as seguintes condições: 
 
Semelhança geométrica 
 (Dimensões proporcionais) 
 
 
Semelhança cinemática 
 (Relação de velocidades) 
 
 
Semelhança dinâmica 
(Relações de força) 
Aplicação 
 
 
Exemplos 
 1.) As duas bombas da figura são geometricamente 
semelhantes e apresentam o mesmo regime dinâmico de 
escoamento. Sabe-se que a bomba B1 tem vazão Q= 5 L/s, 
carga manométrica HB= 25 m, rotação n=1200 rpm e diâmetro 
do rotor D= 20 cm. Determinar a rotação da bomba B2 e sua 
carga manométrica, sabendo que o seu diâmetro é D= 15 cm 
e mesma vazão de B1. (dica: Usar o resultado da aula 
anterior). 
 
 2.) Um modelo com escala 1:7 simula a operação de uma 
turbina grande que deve gerar 200 KW com uma vazão de 
1,5 m3/s. Que vazão deve ser usada no modelo e qual a 
potência de saída é esperada? A água na mesma temperatura 
é usada em ambos, no modelo e no protótipo. 
 
 3.) Dado uma bomba centrifuga vista em corte , a carga 
manométrica aumenta ao dificultar a passagem do fluido, isto 
é, a vazão. Isso significa que a mesma bomba, em diferentes 
instalações hidráulicas, pode fornecer vazões e cargas 
manométricas diferentes, dependendo da dificuldade criada 
ao escoamento do fluido. A figura mostra a curva 
característica HB= f(Q) de uma bomba centrifuga cujo 
diâmetro do rotor é 15 cm e cuja rotação é 3500 rpm. 
Lembrando que em geral, o efeito viscoso é desprezível e , 
portanto, não há necessidade levar em conta Reynolds. 
 
Determinar: 
a) A curva universal para todas as bombas semelhantes à 
bomba dada; 
b) A curva característica HB= f(Q) de uma bomba semelhante à 
dada, que tenha o dobro do diâmetro e a metade da rotação. 
 
 
 
“O estudo de escoamentos externos é de 
particular importância para a engenharia 
aeronáutica, na análise do escoamento do ar em 
torno dos vários componentes de uma aeronave”. 
Aula 3 
_Escoamentos Externos 
 
Introdução 
Escoamentos 
externos 
 
Escoamentos 
externos 
Baixo número de 
Reynolds (Re<5) 
Alto número de 
Reynolds (Re>1000) 
 Foco: Estudo dos escoamentos imersos incompressíveis com 
alto número de Reynolds. 
 
 
 
(a) Escoamento próximo a um contorno 
sólido. 
 
 
 
(b) Escoamento entre duas pás de 
turbina. 
 
 
(c ) Escoamento em torno de um 
automóvel. 
 
 
(d) Escoamento próximo a uma superfície 
livre. 
 
Escoamento em torno 
de corpos rombudos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escoamento em torno 
 de corpos carenados. 
 
Escoamento 
incompressíveis 
com alto 
Reynolds 
Forças de Arrasto e Sustentação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
V 
FR 
Fluido 
Forças de Arrasto e Sustentação 
• Força de arrasto (FA): força que o escoamento exerce sobre o corpo 
em sua própria direção. 
 
 
 
 
Força de sustentação (FS): atua na direção normal do escoamento. 
 
Forças de Arrasto e Sustentação 
 Forca de Arrasto (FA) e Forca de Sustentação (FS) são apresentados 
na forma adimensional pelos coeficientes de arrasto (CA) [Drag 
Coefficient – CD] e sustentacao (CS) [Lift Coefficient – CL]: 
 
 
 
 
 
Onde: 
 A: área 
V : velocidade. 
Aerofólios → a área se baseia na corda (linha que conecta a borda posterior com o nariz). 
 
AV
F
C AA
2
2
1

=
AV
F
C SS
2
2
1

=
Escoamento em Corpos Imersos 
Coeficiente de Arrasto 
 Corporombudo: Arrasto é dominado pelo escoamento na região 
separada, ou seja, trata-se de arrasto de pressão. 
 
 
 
 
 Corpo Carenado : a região separada é desprezível; quando o 
escoamento na camada limite puder ser determinado, o arrasto 
será devido ao atrito. 
Coeficiente de Arrasto 
 Em um fluido incompressível (V<<Vsom) o coeficiente de 
arrasto só depende do número de Reynolds: 
 
(Re)fCa =
Coeficiente de Arrasto de uma esfera 
Coeficiente de Arrasto 
CA para esfera lisa e cilindro longo 
 
 
Exemplos 
1.) Arrasto em bolas de Golfe e de Tênis 
 I. Determinar a força de arrasto para uma bola de golfe 
 (a) Bola Lisa 
 (b) Bola Padrão 
II. Determinar a força de arrasto para a bola de tênis de mesa 
 (Ping-Pong) 
 
III. Determinar a desaceleração de cada uma das bolas e comparar o 
resultado . 
 
 
Dados: 
Fluido ar: 
ρ=1,2kg/m³ e ν=1,51x10-5 m²/s (viscosidade cinemática) 
Diâmetro 
(mm) 
Força peso (N) Velocidade 
(m/s) 
Bola de golfe 
bem tacada 
43 0,44 61 
Bola de tênis 
bem rebatida 
38,1 0,0245 18,3 
 
 
 
Que conclusões podemos chegar??? 
Por que as bolas de golfe têm cavidades? 
 
 A bola de golfe é cheia de pequenos buracos porque os 
alvéolos, diminuem a resistência do ar. Assim, ela consegue 
atingir uma distância quase duas vezes maior do que uma 
bola. 
 
 
 
 
 
 Quando uma esfera lisa é lançada, seu deslocamento 
provoca a formação de várias correntes de ar, que, por atrito, 
dificultam a movimentação para frente. No caso da bola 
de golfe, cada um dos cerca de 330 alvéolos criam uma pequena 
turbulência. São minicorrentes de ar que se somam e acabam 
empurrando a corrente principal, a maior e a que mais espalha, 
para trás. 
 Assim, a resistência do ar, que tende a frear a bola, passa 
a ser menor. A bola pode, então, se deslocar por uma longa 
distância. 
Exemplos 
2.) Os hidrofólios de um embarcação de efeito de superfície 
têm uma área total de 0,7 m². Os seus coeficientes de 
sustentação e arrasto são 1,6 e 0,5, respectivamente. A massa 
total na embarcação em condição de navegação é 1800 kg. 
Determine: 
a) a velocidade mínima na qual a embarcação é suportada pelos 
hidrofólios sabendo que a água nesta região apresenta uma 
massa especifica de 998 kg/m³. 
b) a fórmula da força de arrasto no momento em que as 
velocidades de arrasto e sustentação se igualam. 
 
 
 
Aula 4 
_Sustentação e Arrasto em Aerofólios 
 
Sustentação e Arrasto em Aerofólios 
 Aerofólio → é uma secção bidimensional, projetada para provocar 
variação na direção da velocidade de um fluido . 
 (Gradiente de pressão) 
Sustentação e Arrasto em Aerofólios 
 A sustentação sobre um aerofólio pode ser aproximada pela 
integração da distribuição de pressão. 
 
 Coeficientes de arrasto usa-se uma área projetada maior, ou seja, a 
área plana (que é a corda c) multiplicada pelo comprimento L do 
aerofólio. Assim: 
cLV
F
C AA
2
2
1

=
cLV
F
C SS
2
2
1

=
 
Coeficientes de sustentação e arrasto para 
um aerofólio típico. 
 
Sustentação e Arrasto em Aerofólios 
Para aerofólio com projeto especial, CA pode ser tão baixo quanto 
0,0035, porém CS máximo é aproximadamente 1,5. 
Na condição de cruzeiro, CS é cerca de 0,3, correspondendo a um 
ângulo de ataque de aproximadamente 2°, longe da condição de 
estol (cerca de 16°) 
Estol 
Estol (stall) ou perda de sustentação. 
Força de sustentação 
Velocidade 
Altitude 
Projetos de Asas 
 Diferença de pressão → resulta na forca de sustentação do avião. 
Quando a forca de sustentação do avião atinge valor maior que o 
da forca peso ele decola e se mantém no ar. 
Projetos de Asas 
 O avião joga o ar para trás através das turbinas ou hélices 
exercendo uma forca chamada de arrasto, surge então uma forca 
contraria chamada impulso ou tração. A forca de tração da o 
primeiro impulso ao avião que se desloca para frente. 
Flaps 
Ganhar velocidade Arrasto 
Pouso 
Decolagem 
Diminuir velocidade Aumentar Arrasto 
Existem 4 forças básicas presentes no vôo 
 
Turbulência 
Por que usar aerofólio em caminhão? 
 Estimativas do INEE(Instituto Nacional de Eficiência 
Energética), indicam que em velocidades superiores a 
80 km/h, aproximadamente 70% da potência do motor do 
caminhão é utilizada apenas para romper a força do arrasto. 
 
Exemplos 
 1.) Nas condições de estado de vôo constante (condições de cruzeiro) a 
sustentação (Fs) deve ser igual ao peso da aeronave (W). Velocidade 
mínima de vôo ? 
 2.) Um avião leve pesa 10000 N, sua envergadura mede 12 m,sua 
corda mede 1,8 m e é prevista uma carga de 2000 N.Calcule : 
 (a) a velocidade de decolagem, para um angulo de ataque de 8 ⁰ . 
 (b) a velocidade de estol do aerofólio convencional. 
 (c) a potencia requerida pelo aerofólio durante o percurso de 
cruzeiro a 50 m/s. 
 3.) Deseja-se impulsionar uma embarcação de 105 N de peso 
à velocidade de 72 km/h. A embarcação é sustentada por 
uma asa submarina cujo coeficiente de sustentação é de 0,7. 
Adote ρ= 1000 kg/m3 . Determine a área da asa. 
Aula 5 
_Escoamento Compressível 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escoamento 
compressíveis 
Nem todos os escoamentos de gás 
são compressíveis; e nem todos os 
escoamentos compressíveis são 
escoamentos de gás. 
Velocidade do som e o número de Mach 
• Velocidade do som → velocidade com a qual uma perturbação de 
pressão de pequena amplitude se desloca através de um fluido. 
A bala se move mais rápido que a 
velocidade do som assim o ar na 
frente dela não consegue sair do 
caminho com a rapidez necessária. 
Então ele começa a se acumular na 
frente da bala, formando uma área 
de ar comprimido: uma onda de 
choque. 
Velocidade do som e o número de Mach 
• A velocidade do som e dada por: 
 
 
• Utilizando a lei dos gases ideais: 
 
 
• Altas frequências geram atrito nas ondas sonoras, e estas deixam de 
ser isentrópicas e aproximam-se de um processo isotérmico; para um 
gás ideal, esta aproximação resultaria em: 
 
 
Sendo: c =vel. do som; K= adimensional, R =constante dos gases, T=temperatura , ρ =massa 
específica 

Pk
c
.
=
KRTc =
RTc =
Velocidade do som e o número de Mach 
Velocidade do som e o número de Mach 
 Um parâmetro importante no estudo do escoamento 
compressível é o número de Mach (M) : 
 
 [adimensional] 
 
c
V
M =
Velocidade do som e o número de Mach 
• Velocidade superior a do som : a região fora do cone é chamada de 
zona de silêncio, o objeto que se aproxime a uma velocidade 
supersônica não poderá ser ouvido até que passe acima do 
observador e o cone de Mach mostrado, intercepte-o. 
 
Velocidade do som e o número de Mach 
 Este ângulo esta limitado para pequenas amplitudes conhecidas 
como ondas de Mach. 
 
 
 
 
 
 
 Caso a borda frontal do aerofólio não for fina, uma aeronave 
supersônica produzira uma onda de grande amplitude conhecida 
como onda de choque. 
 
M
sen
1
=
 
Exemplos 
 1.) Um projétil de nariz pontiagudo se desloca a uma velocidade de 
M = 3 passa 200 m acima do observador. Calcule a velocidade do 
projétil e determine a que distancia do observador o projétil será 
ouvido. 
 
Nem todos os escoamentos de gás 
são compressíveis; e nem todos os 
escoamentos compressíveis são 
escoamentos degás. Mas o gás não é 
compressível? 
 2.) A carga de pressão estática em uma tubulação de ar é 
medida com um tubo piezométrico e acusa 16 mm de água. 
Um tubo pitot na mesma localização indica 24 mm de água. 
Qual a velocidade passando pela tubulação? Pelo número de 
Mach o escoamento é compressível? 
 
 A compressibilidade de um gás em movimento deve 
ser levada em conta, se as velocidades são muito elevadas. 
As velocidades do vento, 
simplesmente, não são altas o 
suficiente neste caso.