Relatório Fator de Atrito

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RESUMO
O transporte de fluidos entre os equipamentos de uma indústria é realizado em tubos e canais, e em meio a tal operação ocorrem quedas de pressão, consequentemente de velocidade, devido ao atrito viscoso do fluido com a parede da tubulação, onde uma parcela de energia mecânica é convertida em energia térmica, tal fato se torna objeto de estudo para os engenheiros. 
Tem-se como o objetivo desta prática medir o fator de atrito em tubos circulares, em diversas vazões e métodos, comparando os valores medidos por diferentes equações, como equação de Fannning, Darcy, diagrama de Moddy bem como as equações que o gerou, equações de Chen, Chen-Shacham, Schacham e Colebrook. 
Para este procedimento, utilizou-se um módulo experimental que possui uma bomba e uma válvula empregada na variação da vazão, e outras válvulas dispostas na tubulação, para que fosse possível medir a perda de carga através da diferença de pressão entre os pontos. Utilizando os valores da diferença de pressão, volume do reservatório, temperatura (valores medidos no experimento) e os valores de viscosidade e densidade (obtidos na literatura), foi possível medir a velocidade de escoamento, vazão, número de Reynolds, e fator de atrito.
	O módulo apresentou grandes dificuldades na determinação da pressão, o que afetou quantitativamente os valores de fator de atrito por Fanning e Darcy quando comparados os teóricos. Os valores obtidos pelas correlações teóricas foram satisfatórios, pois se apresentaram coerentes em uma faixa estreita de fator de atrito. Ainda observou-se em ambos os métodos, teóricos e experimentais, que o perfil de relação Reynolds versus Fator de Atrito foi seguido, no qual o aumento da velocidade implica em uma diminuição do fator de atrito.
LISTA DE FIGURAS	
Figura 1: Representação gráfica da equação de Bernoulli para um escoamento com atrito viscoso num duto horizontal de diâmetro pequeno constante.	3
Figura 2: Diagrama de Moody para os fatores de atrito para escoamentos em dutos de seção circular.	4
Figura 3: Módulo experimental para determinação do fator de atrito em dutos circulares.	8
Figura 4: Esquema do módulo experimental de coeficiente de atrito em dutos circulares.	10
Figura 5: Gráfico do Número de Reynolds versus Fator de atrito de Fanning para as válvulas 1-3.	17
Figura 6: Gráfico do Número de Reynolds versus Fator de atrito de Fanning para as válvulas 2-3	17
Figura 7: Gráfico do Número de Reynolds versus Fator de atrito de Darcy para as válvulas 1-3.	18
Figura 8: Gráfico do Número de Reynolds versus Fator de atrito de Darcy para as válvulas 2-3.	18
Figura 9: Gráfico de comparação entre o fator de atrito de Fanning e o Fator de atrito de Darcy.	19
Figura 10: Gráfico de Reynolds versus fatores de atrito calculados pelas distintas.	22
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 - Diâmetros do tanque e do cano de PVC, com suas respectivas médias.	10
Tabela 2 - Dados experimentais obtidos para diferentes vazões.	11
Tabela 3 - Medição de volumes através do diâmetro.	11
Tabela 4 - Valores da vazão volumétrica calculados para as quatro vazões.	12
Tabela 5 - Velocidades de escoamento para as respectivas vazões.	13
Tabela 6 - Temperatura e propriedades do fluido.	13
Tabela 7- Valores de Reynolds para cada vazão.	14
Tabela 8 - Fatores de atrito de Fanning e Darcy para as vazões.	16
Tabela 9 - Erros para fatores de atrito de Fanning e Darcy.	16
Tabela 10 - Fatores de atrito calculados pelas correlações empíricas.	20
Tabela 11 - Fator de atrito determinado pelo Diagrama de Moody, juntamente com o respectivo Reynolds.	21
	
NOMENCLATURA 
	Simbolo 
	Descrição/Unidade
Letras latinas
	D
	Diâmetro interno do tubo (m)
	g
	Constante gravitacional (9,81 m/s2)
	h
	Variação da altura no manômetro de mercúrio (m)
	L
	Comprimento do tubo (m)
	P
	Variação de pressão (N/m2)
	Re
	Número de Reynolds (adimensional)
	t
	Tempo (s)
	V
	Volume (m3)
	v
	Velocidade (m/s2)
	
	
	 
	Letras gregas
	
	Densidade do fluido (kg/m3)
	ff
	Fator de atrito de Fanning (adimensional)
	fD
	Fator de atrito de Darcy (adimensional)
	
	Rugosidade da parede do tubo (m)
	
	Viscosidade (Pa.s)
	
	
INTRODUÇÃO
Para o transporte de fluidos entre os equipamentos de uma indústria de processo químico utilizam-se tubos e dispositivos para movimentá-los, além de válvulas e uma grande variedade de acessórios. Os componentes das redes de tubulações industriais devem ser muito bem escolhidos, calculados e localizados a fim de que os requisitos do processo sejam atendidos satisfatoriamente (GOMIDE, 1993).
Frequentemente o engenheiro está interessado na queda de pressão necessária para sustentar um escoamento interno, sendo que este parâmetro determina a exigência de potência na bomba ou no soprador (INCROPERA e DEWITT, 1998).
A perda de carga corresponde à parcela de energia mecânica do escoamento que é irreversivelmente convertida em energia térmica devido ao atrito viscoso entre as seções consideradas. A energia mecânica por unidade de peso do fluido que é dissipada devido ao atrito viscoso define a perda de carga (LIVI, 2004).
A prática desenvolvida objetiva-se em determinar o fator de atrito de um escoamento em duto circular de cobre, variando a pressão em pontos equidistantes da linha, utilizando-se para tal diferentes equações empíricas e por fim, comparar os resultados por meio de correlações retiradas da literatura.
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA 
O transporte de fluidos em condutos de seção transversal é largamente usado nas indústrias, por isso seu estudo é de grande importância. No entanto, isso gera muitos problemas, sendo que estes podem ser divididos em duas grandes categorias: escoamento em canais e escoamento em torno de objetos submersos. (BIRD; et. al, 2004).
	Nos escoamentos em canais, tem-se como objetivo obter uma relação entre a vazão volumétrica e a queda de pressão e/ou variação na elevação. Temos como exemplo desse tipo de escoamento o bombeamento de óleo através de tubulações e o escoamento de água em canais abertos. (BIRD; et. al, 2004).
	No escoamento em canais, o fluido pode escoar de duas formas: laminar ou turbulenta. Boa parte dos problemas práticos referente a este tipo escoamento está relacionado ao regime turbulento. Quando isso ocorre, não é possível ter apenas uma única solução, pois este possui uma grande variedade de hipóteses que dificulta sua resolução. Isso não ocorre no escoamento laminar, pois, para alguns problemas, pode-se realizar aproximações por meio de equações de movimento que não invalidam os resultados finais. (BENNETT, 1978).
	Ao considerar um duto horizontal que tem um diâmetro D constante, conforme a figura 1, e possui um escoamento permanente de um fluido incompressível que apresenta uma massa específica ρ. Tem-se na seção (1) uma pressão estática p1, e na seção (2) a pressão estática é p2. 
FONTE: (LIVI, 2004).
Figura 1: Representação gráfica da equação de Bernoulli para um escoamento com atrito viscoso num duto horizontal de diâmetro pequeno constante.
De acordo com LIVI (2004), a perda de carga ocasionada pelo atrito viscoso entre as seções “1” e “2” pode ser medida pela equação de Bernoulli com perda de carga, onde “1” e “2” estão separadas por um comprimento L, que foi descrita como:
 (equação 01)
Considerando que o tubo possui diâmetro constante e o escoamento é horizontal (V1 = V2 e y1 = y2). Deste modo a equação “1” pode ser escrita:
 (equação 02) 
Um escoamento em uma tubulação de seção circular, com diâmetro constante, a pressão estática decai devido ao atrito viscoso presente entre as seções, dependendo da distância entre elas, do diâmetro do tubo, da rugosidade na parede do tubo, da velocidade média do escoamento, da massa específica e viscosidade do fluido. Define-se a rugosidade da parede do tubo como a altura média das saliências na superfície interna do mesmo (LIVI, 2004).
	A perdade carga de um fluído escoando está diretamente relacionada ao fator de atrito, onde o mesmo está em função do número de Reynolds (Re), e ambos são dependentes da velocidade e das propriedades do fluído, , onde é a rugosidade relativa do duto (VEIT, et. al 2009).
	O fator de atrito pode ser medido pelas equações do fator de atrito de Fanning e do fator de atrito de Darcy:
Fator de atrito de Fanning:
 (equação 03)
Fator de atrito de Darcy:
 (equação 04)
 
Comparando as Equações (03) e (04) temos que:
. (equação 05)
	Isto ocorre pois Fanning utiliza o raio hidráulico ao invés do diâmetro interno do tubo. (VEIT et al, 2010).
O diagrama de Moody ainda permite obter o fator de atrito, ao relacionar a rugosidade com o número de Re, como apresentado na Figura (2).
FONTE: LIVI, 2004.
Figura 2: Diagrama de Moody para os fatores de atrito para escoamentos em dutos de seção circular.
	
Moody utilizou das relações, a seguir, para construir o diagrama, verificando-se assim o regime de escoamento do fluido:
Para região laminar ( Re < 2100):
 , (equação 06)
Para tubo liso ( 3000 < Re < 3,4 X 105 ):
 (equação 07)
 
Para escoamento totalmente desenvolvido que apresenta:
 (equação 08)
 (equação 09)
Para a região de transição:
 (equação 10)
	A Equação (10) é proposta por Colebrook, levando em consideração toda a faixa de transição e a turbulenta, é de grande aplicação e muito indicada, desde tubos rugosos a tubos lisos. (VEIT, et al 2009).
	Pode-se ainda utilizar outras correlações como: 
Chen
 (equação 11)
Chen- Shacham
	 (equação 12)
Shacham
 (equação 13)
Onde:
 (equação 14)
		
METODOLOGIA
MATERIAIS
•	Tubo de cobre com diâmetro de 1,5 cm;
•	Bomba;
•	Termômetro digital;
•	Válvulas de 1 a 3;
•	Manômetro em U;
•	Manômetro de Bourdon;
•	Cronômetro;
•	Paquímetro;
•	Tanque PVC;
•	Tubo de PVC para contenção da água;
•	Água;
•	Régua;
•	Reservatório de água (caixa d’água);
MÉTODOS
O experimento foi realizado no Laboratório de Engenharia Química I na Universidade do Oeste do Paraná (campus Toledo), utilizando-se do “Módulo experimental para determinação do fator de atrito em dutos circulares” apresentado na Figura (3).
Figura 3: Módulo experimental para determinação do fator de atrito em dutos circulares.
Primeiramente mediu-se as distancias entre os pontos da válvula 1 (V1) e válvula 2 (V2), e de V2 a válvula 3 (V3). A distância entre 1 e 3 foi feita a partir da soma. Utilizando a régua mediu-se o diâmetro do tanque, a altura, a altura do tubo e com o paquímetro o do tubo de PVC, para assim determinar a vazão volumétrica do módulo.
Com todas as válvulas fechadas liga-se a bomba para nivelar o manômetro em U, ajustou-se o manômetro de Bourdon, no início da tubulação, para pressão entre 0,2 – 1 kgf/cm2, abriu-se V3 e V1 que tem ligação com o manômetro em U, foi medida então a diferença entre as alturas e então fechada a V1 e aberta V2 e novamente mediu-se a diferença entre as alturas no monômetro. Esta medida e para calcular a pressão nos pontos de V1 e V2, assim determinando a diferença entre elas.
Depois de realizada as medições de alturas no tubo em U, no tanque de coleta obstruindo-se o furo, com o cano de PVC, e simultaneamente disparando-se o cronometro para determinar a vazão volumétrica, que fornecera a velocidade do escoamento, realizando o procedimento em triplicata. Com o tanque ainda vedado foi medido a temperatura da água para consulta em literatura da viscosidade e densidade. 
Então fechou-se todas as válvulas, a fim de nivelar o manômetro de tubo em U. Nivelado, abriu-se de forma a manter na faixa de pressão determinada, certificando que seja diferente da utilizada anteriormente, repetindo assim os procedimentos anteriores.
RESULTADOS E DISCUSSÕES
As determinações das diferenças de pressões entre as válvulas foram feitas sempre em relação à válvula V3 pois esta serviu de referência no manômetro de tubo em formato de U como pode-se observar na Figura 4
		Figura 4: Esquema do módulo experimental de coeficiente de atrito em dutos circulares.
		
Os dados experimentais coletados durante o experimento são apresentados nas Tabela (1) e (2).
Tabela 1 - Diâmetros do tanque e do cano de PVC, com suas respectivas médias.
	
	Altura (m)
	Diâmetro 1 (m)
	Diâmetro 2 (m)
	Diâmetro 3 (m)
	 (m)
	Tanque
	0,245
	0,34704
	0,33500
	0,34400
	0,34200
	Cano
	0,245
	0,05994
	0,06001
	0,06006
	0,06002
Tabela 2 - Dados experimentais obtidos para diferentes vazões.
	Vazão
	Tempo 1 (s)
	Tempo 2 (s)
	Tempo 3 (s)
	Tempo Médio(s)
	∆h(1-3) (m)
	∆h(2-3) (m)
	1
	32,93
	32,61
	32,65
	32,73
	0,302
	0,140
	2
	34,13
	34,48
	33,92
	34,18
	0,227
	0,125
	3
	44,79
	44,87
	44,69
	44,78
	0,193
	0,088
	4
	57,59
	57,53
	57,38
	57,50
	0,169
	0,072
Fez-se necessário, para cálculos posteriores, o cálculo do volume de água, que pode ser obtido através da diferença entre o volume do tanque e o volume do cano de pvc, calculados com seus respectivos diâmetros médios. O cálculo do erro para este parâmetro é apresentado no Apêndice A. Os valores de volume e seus respectivos erros são apresentados na Tabela (3) e os cálculos são apresentados no Apêndice A.
Tabela 3 - Medição de volumes através do diâmetro.
	
	Tanque 
	Cano de PVC
	Água 
	Volume (m³)
	0,022507
	0,000696
	0,021811
	Erro
	1,61. 10-4
	2,33. 10-5
	2,83. 10-4
	Assim, com os dados disponíveis foi possível calcular as vazões da tubulação. Exemplificando para a vazão 1:
 (equação 15)
	Para as demais vazões os cálculos foram feitos de maneira análoga. O erro calculado para este parâmetro se apresenta no apêndice A. Os resultados das vazões volumétricas com seus respectivos erros são apresentados na Tabela (4). 
Tabela 4- Valores da vazão volumétrica calculados para as quatro vazões.
	Vazão
	Vazão volumétrica
(m3.s-1)
	Erro
	1
	0,000666
	2,093. 10-5
	2
	0,000638
	2,050. 10-5
	3
	0,000487
	1,750. 10-5
	4
	0,000379
	1,520. 10-5
Com o auxílio dos dados da Tabela (4) e com os valores correspondentes à área do duto circular, foi possível calcular a velocidade de escoamento, mediante o seguinte cálculo:
 (equação 17)
Onde A equivale a área do duto circular como:
 (equação 18)
O cálculo a seguir mostra como foi determinado a velocidade da vazão, exemplificando-se com a vazão 1:
 
O mesmo cálculo foi realizado para determinação das demais velocidades. Os erros para os valores das velocidades são dispostos no apêndice A. A Tabela (5) apresenta as velocidades de escoamento para as distintas vazões volumétricas, juntamente com seus respectivos valores de erros.
Tabela 5 - Velocidades de escoamento para as respectivas vazões.
	Vazão
	Velocidade (m.s-1)
	Erro
	1
	3,77139
	0,1182
	2
	3,61176
	0,1158
	3
	2,75633
	0,0989
	4
	2,14674
	0,0859
	Necessitando-se encontrar as propriedades necessárias para o cálculo do número de Reynolds foi medido, durante a realização da prática, a temperatura da água em cada vazão. Os valores de temperatura medidos, juntamente com os valores de densidade segundo Perry (1997), e viscosidade segundo Incropera (1998), são apresentados na Tabela (6).
Tabela 6 - Temperatura e propriedades do fluido.
	Vazão
	Temperatura 
(ºC)
	Densidade (kg/m³)
	Viscosidade (N*s/m²)
	1
	15
	999,13
	0,001138
	2
	15,9
	999,98
	0,0011119
	3
	16
	998,97
	0,001109
	4
	16,5
	998,89
	0,0010945
	Com os valores dispostos nas Tabelas (5) e (6) foi possívelcalcular o número de Reynolds para cada vazão. O cálculo é exemplificado para a vazão 1. 
 (equação 19)
Os erros calculados para este parâmetro são apresentados no apêndice A. Os valores de Reynolds para cada vazão, assim como seus respectivos erros estão dispostos na Tabela (7).
Tabela 7- Valores de Reynolds para cada vazão.
	Vazão
	Re
	Erro
	1
	49667,58
	1556,641
	2
	48723,13
	1562,159
	3
	37242,92
	1336,314
	4
	29388,22
	1175,943
Pode-se então, calcular os fatores de atrito por Fanning e Darcy, com o auxílio das diferenças de altura das colunas de água do manômetro, da velocidade de escoamento do fluido, da densidade do mesmo e do comprimento de seu trecho circulante no duto. 
Para o fator de atrito por Fanning, utilizou-se a Equação (03), exemplificando para a vazão 1, utilizando as válvulas 1 e 3 tem-se :
	E para as válvulas 2 e 3, tem-se:
Como ƒD, tem-se para o fator de atrito de Darcy:
Como já se obteve o fator de atrito experimental de Fanning para as válvulas 1e 3 e para as válvulas 2 e 3, apresentados na Tabela (8), calculou-se o fator de atrito de Darcy, exemplificando para a vazão 1 para as válvulas 1 e 3, tem-se: 
E para as válvulas 2 e 3, tem-se:
Realizaram-se os mesmos cálculos para determinar os demais fatores de atrito experimentais por Fanning e por Darcy nas diferentes vazões. Os cálculos de erros para ambos os fatores são apresentados no apêndice A. Os resultados para os fatores de atrito experimentais calculados para os escoamentos são apresentados na Tabela (8), e os erros de ambos são apresentados na tabela (9). 
Tabela 8 - Fatores de atrito de Fanning e Darcy para as vazões.
	Fator de Fanning
	Fator de Darcy
	L 1-3
	L 2-3
	L 1-3
	L 2-3
	0,001113
	0,001033
	0,004454
	0,004132
	0,000913
	0,001005
	0,003650
	0,004023
	0,001332
	0,001216
	0,005329
	0,004861
	0,001923
	0,001639
	0,007692
	0,006559
Tabela 9 - Erros para fatores de atrito de Fanning e Darcy.
	Fator de Fanning
	Fator de Darcy
	L 1-3
	L 2-3
	L 1-3
	L 2-3
	0,00040
	0,00081
	0,00161
	0,00322
	0,00041
	0,00082
	0,00164
	0,00330
	0,00046
	0,00092
	0,00184
	0,00369
	0,00051
	0,00103
	0,00206
	0,00412
Para análise do comportamento do coeficiente de atrito, quando correlacionado com o movimento do fluido na tubulação, plotaram-se gráficos de fator de atrito de Fanning versus Reynolds para as válvulas de 1-3 e as válvulas de 2-3, e fator de atrito de Darcy versus Reynolds nas mesmas condições, utilizando-se do Software OriginPro 8.5, sendo estes apresentados nas Figuras (5), (6), (7) e (8), respectivamente. 
Figura 5: Gráfico do Número de Reynolds versus Fator de atrito de Fanning para as válvulas 1-3.
Figura 6: Gráfico do Número de Reynolds versus Fator de atrito de Fanning para as válvulas 2-3
Figura 7: Gráfico do Número de Reynolds versus Fator de atrito de Darcy para as válvulas 1-3.
Figura 8: Gráfico do Número de Reynolds versus Fator de atrito de Darcy para as válvulas 2-3.
Analisando o comportamento das curvas, percebe-se que os parâmetros Reynolds e Fator de atrito, para os dois modelos, apresentaram caráter de grandezas inversamente proporcionais, uma vez que aumentando-se a velocidade de escoamento, diminui-se a perda de carga. 
Pela observação de todas as figuras, tanto para as válvulas de 1-3, como para as válvulas de 2-3, é possível notar-se que no último ponto ocorre um salto do mesmo, fugindo do perfil desejado. Isto se deve a problemas ocorridos durante o experimento, onde a mangueira que se conectava ao manômetro teve um pequeno furo, resultando assim em uma variação de pressão indesejada, alterando os dados coletados e, por conseguinte, os valores aqui apresentados. Ainda é possível que as válvulas apresentassem defeitos por deterioração, o que adiciona erro as medidas. 
 Os altos valores de erro no fator de atrito se devem ainda por este ser influenciado pelo erro da velocidade de escoamento, que é influenciada pelo erro na vazão, que, por conseguinte deve-se pelo erro do volume que é influenciando pelo instrumento de medida (régua) pouco preciso utilizado para coletar os dados de diâmetro e altura da tubulação, e também por erros do operador. Utilizou-se ainda a régua para medir a diferença de altura no manômetro, necessário para calcular a pressão, na qual este apresentava grande oscilação no menisco, assim agregando-se ao erro da régua, tornou os dados inconsistentes. 
Plotou-se também um gráfico comparando os fatores de atrito de Fanning e Darcy, utilizando-se do Software OriginPro 8.5, apresentado na Figura (9). 
Figura 9: Gráfico de comparação entre o fator de atrito de Fanning e o Fator de atrito de Darcy.
A Figura (9), demonstra como a correlação ƒD= 4ƒf se comporta, onde assim com o fator de atrito é 4 vezes superior o erro segue o mesmo padrão, é possível ainda notar-se nitidamente como o problema no equipamento afetou os resultados obtidos, fazendo com que as curvas que apresentariam um ajuste exponencial tivessem um grande erro no último ponto. 
Para validação dos resultados obtidos, foram calculados os coeficientes de atrito teóricos, utilizando-se correlações empíricas, como as de Chen (Equação 11), Chen-Shacham (Equação 12), Shacham (Equação 13), equação de Colebrook (Equação 10), e equação de Moody para tubo liso (Equação 07), equações estas apresentadas na fundamentação teórica do presente trabalho. Para tais cálculos, necessitou-se utilizar os valores de Reynolds exibidos na Tabela (7), conhecer o diâmetro interno da tubulação, e a rugosidade (ε) do duto de cobre, sendo esta equivalente a ε = 0,0000015 m (MSPC INFORMAÇÕES TÉCNICAS).
Os cálculos foram realizados utilizando-se a ferramenta matemática Calculadora Graphing HP 50g. Os valores obtidos para as correlações empíricas são apresentados na Tabela (10). 
Tabela 10- Fatores de atrito calculados pelas correlações empíricas.
	Vazão
	Tubo liso
	Chen
	Chen-Shacham
	Shacham
	Colebrook
	1
	0,02093
	0,02132
	0,02138
	0,02198
	0,02128
	2
	0,02102
	0,02141
	0,02146
	0,02208
	0,02136
	3
	0,02234
	0,02268
	0,02273
	0,02342
	0,02264
	4
	0,02386
	0,02390
	0,02395
	0,02472
	0,02386
Conhecendo a rugosidade absoluta da tubulação assim como seu diâmetro, calculou-se a rugosidade relativa, a qual é a razão entre os dois valores citados. Logo, ε/D = 0,0001. Utilizando desta juntamente com os valores de Reynolds, exibidos na Tabela (7), determinou-se também o fator de atrito teórico mediante o diagrama de Moody, para maior comparação entre os parâmetros experimentais e teóricos. Utilizou-se do diagrama apresentado na Figura (2) para essa medida. Os valores aproximados dos fatores de atrito estão apresentados na Tabela (11).
 
Tabela 11- Fator de atrito determinado pelo Diagrama de Moody, juntamente com o respectivo Reynolds.
	Vazão
	Re
	Fator de Atrito
	1
	49667,58
	0,0213
	2
	48723,13
	0,0215
	3
	37242,92
	0,0227
	4
	29388,22
	0,0241
Para melhor visualização do comportamento adotado do fator de atrito ao variar-se a velocidade de escoamento, quando comparadas grandezas experimentais, construiu-se um gráfico de fator de atrito versus número de Reynolds, utilizando-se do Software OriginPro 8.5, apresentando todos os métodos utilizados para determinação do fator de atrito, a fim de compará-los. Tal gráfico é apresentado na Figura (10). 
Figura 10: Gráfico de Reynolds versus fatores de atrito calculados pelas distintas. 
Pode-se observar que os valores determinados pelas correlações e pelo diagrama de Moody são muito próximos, visto que o intervalo na qual o fator de atrito é apresentado na figura é muito pequeno. É essencial notar que o método gráfico aplicado por Moody diminui a precisão dos resultados, justificando alguma discordância de valores para os fatores de atrito.
Analisando tais valores, infere-se que os parâmetros Reynolds e fator de atritosão inversamente proporcionais. Assim, à medida que se diminui Reynolds, aumenta-se o fator de atrito, sendo que há o aumento da velocidade em um mesmo tipo de escoamento, ou seja, mantendo-se constantes parâmetros como rugosidade, temperatura e densidade, provoca uma diminuição da camada limite. Desta forma, a influência do fator de atrito torna-se então menor para o escoamento mais rápido, justificando a diminuição dos fatores de atrito (LIVI, 2004).
Por assim sendo, vê-se que os dados do gráfico apresentado na Figura (9) são coerentes com os dados teóricos apresentados na Figura (10), pois apresentam o mesmo comportamento. Todavia, os valores encontrados para o fator de atrito experimental são menores do que os encontrados pela correlação, isto pode se dar pelos erros grosseiros de medição ocorridos durante o experimento e pelo mal estado do equipamento, prejudicando assim maiores comparações entre os valores experimentais e teóricos. 
CONCLUSÃO
O estudo do fator de atrito contribui significativamente para a dimensionalização dos dutos, canais e tubulações em industrias, bem como a escolha do material. O estudo aplicado sobre o duto circular de cobre mostrou, em grande parte, coerência sobre o perfil da relação Reynolds versus Fator de Atrito. Em todos os métodos, pode-se observar que o aumento da velocidade de escoamento gerou uma diminuição no fator de atrito. 
Os métodos experimentais (Fanning e Darcy), foram quantitativamente influenciados por erros sistemáticos e principalmente por problemas no módulo experimental, onde a pressão sofreu variações consideráveis, diminuindo a precisão e alterando os resultados. Assim a análise e comparação entre os métodos empíricos e teóricos foi prejudicada parcialmente pelos erros. 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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http://www.mspc.eng.br/fldetc/fluid_0550.shtml. Tabela de rugosidades. (acessado em 10 de junho de 2014 às 14:40 horas.).
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APÊNDICE A
Tem-se para o cálculo do volume de um cilindro a equação:
Logo, calculou-se o erro do volume a partir da seguinte equação diferencial:
Assim, para o erro do volume do tanque tem-se:
Do mesmo modo o volume para o cano de PVC, obtendo-se: 
Como o volume da água é calculado pela diferença entre os volumes do tanque e do cano de PVC, obtêm-se o erro de seu volume pela seguinte equação diferencial: 
Calculou-se o erro da vazão a partir da seguinte equação diferencial:
	O mesmo foi seguido para as demais vazões. 
Calculou-se o erro da velocidade para as vazões a partir da seguinte equação diferencial:
Seguindo-se o mesmo para as demais velocidades.
Calculado o número de Reynolds, estimou-se o erro a partir da equação a seguir:
	Seguindo o mesmo procedimento para todos os números de Reynolds.
Estimou-se o erro para o fator de atrito de Fanning a partir da seguinte equação diferencial:
ƒf
ƒf = 
Então se calculou o erro do fator de atrito por Fanning na vazão 1 para as válvulas 1 e 3.
ƒf = 
ƒf =0,001033
Seguindo o mesmo procedimento, calculou-se para as demais vazões das válvulas 1 e 3, e para todas as vazões das válvulas 2 e 3.
Calculado o fator de atrito experimental de Darcy, estimou-se o erro a partir da equação a seguir:
	Assim para as válvulas 1-3 na vazão 1 foi calculado o erro como exemplificado a seguir.
Seguindo o mesmo procedimento, calculou-se para as demais vazões das válvulas 1 e 3, e para todas as vazões das válvulas 2 e 3.