Notas de Aula_13_04_2007 Rev 3 2014

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- 2007 - 
 Londrina 
 
CENTRO DE TECNOLOGIA E URBANISMO 
 
 
 
 
 
 
Prof. Roberto Buchaim 
CONSTRUÇÕES EM CONCRETO ESTRUTURAL I 
Notas de Aula 
 
 
 
 
Notas de aula, da disciplina Construções em Concreto 
Estrutural, 6TRU017, ministrada pelo prof. Roberto 
Buchaim, digitalizada por Hellen Cristina Marcon. 
 
 
 
Revisão 1 em 02 de outubro de 2008 
 
Revisão em 05 de Agosto de 2010 
 
Revisão 3 em 14 de julho de 2014 
 
Revisão 4 em 15 de agosto de 2014 
 
 
 
CENTRO DE TECNOLOGIA E URBANISMO – Departamento de Estruturas 
Construções em Concreto Estrutural – 3TRU024 – Prof. Roberto Buchaim 
 
 
 
 
Sumário: 
1. MATERIAIS .......................................................................................................................................1 
1.1. Concreto ........................................................................................................................................1 
1.1.1. Componentes .........................................................................................................................1 
a. Aglomerante ................................................................................................................................1 
b. Material Inerte: agregados ...........................................................................................................1 
1.1.2. Características Mecânicas do Concreto: ................................................................................2 
a. Concreto em Compressão Uniaxial .............................................................................................2 
b. Efeito da Velocidade de Carregamento do Concreto em Compressão Uniaxial (Efeito Rüsch) .7 
b.1. Fluência do Concreto ................................................................................................................9 
b.2. Relaxação do Concreto .............................................................................................................9 
c. Resistência Característica ..........................................................................................................10 
d. Modulo de Elasticidade do Concreto para Projeto (conforme NBR 6118) ...............................10 
e. Resistência à Tração Axial do Concreto ....................................................................................11 
f. Resistência à Tração na Flexão do Concreto em Lajes e Vigas (em peças fletidas) ..................11 
Exemplo 01 ....................................................................................................................................12 
g. Peso especifico ..........................................................................................................................12 
1.2. Aço ..............................................................................................................................................13 
1.2.1. Barras e fios de aço destinados a armaduras para CA .........................................................13 
1.2.2. Propriedades do aço .............................................................................................................13 
Exemplo 02 ....................................................................................................................................13 
1.2.3. Diagrama Tensão-Deformação )( SS εσ .............................................................................14 
a. Laminado a quente:....................................................................................................................14 
b. Encruado a frio ..........................................................................................................................14 
c. Diagramas idealizados na NBR 6118 ........................................................................................14 
1.2.4. Classificação dos Aços ........................................................................................................15 
2. RETRAÇÃO E FLUÊNCIA DO CONCRETO ............................................................................16 
2.1. Retração do Concreto ..................................................................................................................17 
2.1.1. Fatores que influem na retração...........................................................................................17 
a. Gráfico da deformação no concreto por retração ao longo do tempo ........................................17 
2.2. Fluência do Concreto ..................................................................................................................17 
2.2.1. Fluência pura .......................................................................................................................17 
a. Deformação total do concreto na data t ....................................................................................18 
b. Deformação total do concreto na data 
∞
t .................................................................................18 
c. Espessura equivalente ................................................................................................................19 
Exemplo 01 ....................................................................................................................................20 
 
 
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Exemplo 02 ....................................................................................................................................20 
3. COMPORTAMENTO CONJUNTO DOS MATERIAIS AÇO E CONCRETO .......................22 
3.1. Introdução ...................................................................................................................................22 
3.2. Ação da Força Normal ................................................................................................................22 
3.3. Peça usada como tirante ..............................................................................................................26 
4. INTRODUÇÃO DA SEGURANÇA ...............................................................................................29 
4.1. Nos Materiais ..............................................................................................................................29 
4.2. Nas Cargas ..................................................................................................................................30 
5. ESTÁDIOS I, II E III NA FLEXÃO SIMPLES ............................................................................30 
Exemplo 01 ....................................................................................................................................31 
Exemplo 02 ....................................................................................................................................35 
5.1.1. Rigidez à flexão no Estádio II .............................................................................................35 
a. Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado ........................................37 
5.1.2. Rigidez equivalente segundo a NBR 6118 ..........................................................................36 
5.1.3. Momento Resistente de Cálculo (no Projeto) ......................................................................41 
5.1.4. Resumo ................................................................................................................................41 
5.1.5. Resistência à tração na flexão para o projeto.......................................................................43 
5.1.6. Armadura mínima de flexão ................................................................................................435.1.7. Exercício ..............................................................................................................................45 
6. ESTADOS LIMITES .......................................................................................................................50 
6.1. Estados Limites Últimos (ELU) ..................................................................................................50 
6.2. Estados Limites de Serviço (ELS) ..............................................................................................52 
6.3. Tabelas ........................................................................................................................................53 
6.4. ELU: Flexão simples e/ou composta ..........................................................................................56 
6.5. ELU: flexão simples (vigas e lajes) ............................................................................................57 
6.6. ELU: Solicitações Normais (Flexão Simples) ............................................................................58 
a. Hipóteses: ..................................................................................................................................58 
b. Domínios de deformação: ..........................................................................................................58 
6.7. Exemplo 01 .................................................................................................................................59 
6.8. Exemplo 02 .................................................................................................................................60 
7. SEÇÃO T ..........................................................................................................................................62 
7.1. Exemplo 01 .................................................................................................................................62 
 
 
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1. MATERIAIS 
 
1.1. CONCRETO 
 
1.1.1. COMPONENTES 
 
Componentes � Aglomerantes + Material Inerte + Água 
A água deve ser inerte e sem impurezas! 
 
Cimento + água � pasta 
Pasta + agregado miúdo � argamassa 
Argamassa + agregado graúdo � concreto simples 
Concreto simples + armadura passiva � concreto armado (CA) 
Concreto (simples ou armado) + armadura ativa � concreto protendido (CP) 
 
Concreto normal: fck ≈ 20 a 50 MPa (200 a 500 Kgf/cm²) 
Concreto de alto desempenho (CAD): fck ≈ 55 a 100 MPa; aos componentes anteriores adiciona-
se micro sílica ou fumo de sílica. 
Obs.: fck = resistência característica do concreto à compressão (f de failure = ruptura). 
 
A. AGLOMERANTE 
 
Cimento Portland Comum: material aglomerante que se endurece exposto ao ar e água e após 
reagir com a água, mantém-se endurecido de forma estável. Composição do cimento: CaO (óxido de 
cálcio – cal); SiO2 (óxido de silício); Al3O2 (óxido de alumínio); Fe2O3 (óxido de ferro). 
 
B. MATERIAL INERTE: AGREGADOS 
 
- naturais: areia – agregado miúdo (passa pela peneira # 4 ou 4,8 mm); pedregulho – agregado 
graúdo (não passa pela peneira # 4). 
- artificiais: pedrisco; pedra britada ou brita. 
 
Brita 0 1 2 3 4 5 
Diâmetro (mm) 4,8 9,5 19,0 25 50 76 100 
 
Como escolher o diâmetro do agregado: 
- øagregado ≤ ¼ da menor dimensão da peça; 
- øagregado depende também da taxa de armadura da peça; 
- øagregado ≤ c = cobrimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.1.2. CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS DO CONCRETO: 
 
A. CONCRETO EM COMPRESSÃO UNIAXIAL 
 
 
Ensaio de Compressão 
 
 
fc = resistência à compressão do concreto 
εc0 ≅ 1,8 ‰ a 2,2 ‰, valor médio (comumente adotado) = 2 ‰. 
 
A lei σ(εc) é, com boa aproximação, uma parábola do 2º Grau: 
 
















−=
2
00
2
c
c
c
c
cc f ε
ε
ε
ε
σ 
 
máximodepontoparaf
c
c
cc
c
c
c
c
c
c



⇒=
∂
∂
⇒=





−=
∂
∂
0.212 02
00 ε
σ
εε
ε
ε
εε
σ
 
 
ic
0c
c E
f2
tan ==
ε
α 
 
Eci = módulo de elasticidade tangente na origem da lei σ(εc) ou módulo inicial. 
 
Ecs = módulo de elasticidade secante do concreto em compressão. 
 
A NBR 6118: 2014, item 8.2.8, adota as seguintes características mecânicas e físicas do concreto: 
 
 
 
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NBR 6118: 2014, Item 8.2.8 Módulo de elasticidade 
O módulo de elasticidade (Eci) deve ser obtido segundo método de ensaio estabelecido na 
ABNT NBR 8522, sendo considerado nesta Norma o módulo de deformação tangente inicial, 
obtido aos 28 dias de idade. Quando não forem realizados ensaios, pode-se estimar o valor do 
módulo de elasticidade inicial usando as expressões a seguir: 
Eci = αE. 5600 ckf , para fck de 20 MPa a 50 MPa; 
Eci = 21,5.103 . αE . 
3/1
ck 25,1
10






+
f
, para fck de 55 MPa a 90MPa. 
Sendo: 
αE = 1,2 para basalto e diabásio 
αE = 1,0 para granito e gnaisse 
αE = 0,9 para calcário 
αE = 0,7 para arenito 
Onde: 
Eci e fck são dados em megapascals (MPa). 
O módulo de deformação secante pode ser obtido segundo método de ensaio estabelecido na 
ABNT NBR 8522, ou estimado pela expressão: 
Ecs = αi . Eci 
com αi = 0,8+0,2 . 80
ckf
 ≤ 1,0 
A Tabela 8.1 apresenta valores estimados arredondados que podem ser usados no projeto 
estrutural. 
Tabela 8.1 - Valores estimados de módulo de elasticidade em função da resistência 
característica à compressão do concreto (considerando o uso de granito como agregado 
graúdo, i.e., ααααE = 1,0) 
Classe de 
resistência C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90 
Eci 
(GPa) 25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47 
Ecs 
(GPa) 21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47 
αi 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00 
 
 
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NOTAS 
1) A deformação elástica do concreto depende da composição do traço do concreto, 
especialmente da natureza dos agregados. 
2) Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal, 
pode ser adotado módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao 
módulo de deformação secante Ecs. 
3) Na avaliação do comportamento global da estrutura e para o cálculo das perdas de 
protensão, pode ser utilizado em projeto o módulo de elasticidade inicial Eci. 
O módulo de elasticidade numa idade menor que 28 dias pode ser avaliado pelas expressões a 
seguir, substituindo fck por fcj: 
ci
c
c
ci
E
f
tf
tE .
)(
)(
,50






= , para os concretos com fck de 20 MPa a 45 MPa; 
ci
c
c
ci
E
f
tf
tE .
)(
)(
,30






= , para os concretos com fck de 50 MPa a90MPa. 
Onde: 
Eci(t) é a estimativa do módulo de elasticidade do concreto em uma idade entre 7 dias 
e 28 dias; 
fc(t) é a resistência à compressão do concreto na idade em que se pretende estimar 
o módulo de elasticidade, em megapascal (MPa). 
8.2.9 Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal 
Para tensões de compressão menores que 0,5 fc e tensões de tração menores que fct, o 
coeficiente de Poisson ν pode ser tomado como igual a 0,2 e o módulo de elasticidade 
transversal Gc igual a Ecs./2,4 . 
A resistência à tração do concreto está dada no item 8.2.5 da NBR 6118: 2014: 
NBR 6118: 2014 Item 8.2.5 Resistência à tração 
A resistência à tração indireta fct,sp e a resistência à tração na flexão fct,f devem ser obtidas em 
ensaios realizados segundo a ABNT NBR 7222 e a ABNT NBR 12142, respectivamente. 
A resistência à tração direta fct pode ser considerada igual a 0,9 fct,sp ou 0,7 fct,f ou, na falta de 
ensaios para obtenção de fct,sp e fct,f, pode ser avaliado o seu valor médio ou característico por 
meio das equações seguintes: 
fctk,inf = 0,7 fct,m 
fctk,sup = 1,3 fct,m 
 para concretos de classes até C50: 
fct,m = 0,3 fck2/3 
 
 
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 para concreto de classes de C50 até C90: 
fct,m = 2,12 ln (1 + 0,11 fck) 
onde: 
fct,m e fck são expressos em megapascal. 
Sendo f
ckj ≥ 7 MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades diferentes de 28 
dias. 
NBR 6118, item 8.2.6 Resistência no estado multiaxial de tensões 
Estando o concreto submetido às tensões principais σ3 ≥ σ2 ≥ σ1, deve-se ter: 
σ1 ≥ − fctk 
σ3 ≤ fck + 4 σ1 
sendo as tensões de compressão consideradas positivas e as de tração negativas, o estado 
multiaxial de tensões deve ser verificado conforme ilustrado na figura 8.1. 
 
 
 
 
Outras leis usadas em projeto: 
 
 
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Lei parábola-retângulo 
 
�s valores a serem adotados para os parâmetros �c2 (deformação específica de encurtamento do concreto 
no início do patamar plástico) e �cu (deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura) são 
definidos a seguir: 
 para concretos de classes até C50: 
 �c2 = 2,00/00;� 
��cu = 3,50/00 
 para concretos de classes de C50 até C90: 
 �c2 = 2,00/00 + 0,0850/00.(fck - 50)0,53; 
��cu = 2,60/00 + 350/00.[(90 - fck)/100]4 
Ver indicação sobre o valor de fcd em 12.3.3. 
 
 
 
 
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 Lei rígido-plástica para dimensionamento no Estado Limite Último (ELU) por solicitações normais, 
“bloco de tensões”. 
 
 
 
B. EFEITO DA VELOCIDADE DE CARREGAMENTO DO CONCRETO EM COMPRESSÃO UNIAXIAL (EFEITO RÜSCH) 
 
ηηηη0,85fcd 
 
 
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Conclusão: quanto mais 
lentamente se carregar o 
concreto menor é sua resistência 
fc. 
3
3
2
2
1
1
ttt ∆
∆
>
∆
∆
>
∆
∆ εεε
 
1º fator: com a 
velocidade de deformação 
decrescente, a resistência do 
concreto cai e sua 
deformabilidade aumenta. Este 
fenômeno é um dos 
componentes do chamado 
“Efeito Rüsch”. 
2º fator: por outro lado, 
a resistência do concreto 
aumenta com o passar do tempo. 
 






















−=β= 2
1
1
28
281exp
t
Sf
f
c
jc
 
 
Onde: 
t = idade do concreto em dias 
j = data em que se deseja calcular a resistência fcj do concreto (a compressão) 
fc28 = resistência à compressão do concreto medida na idade de 28 dias 
S = depende do tipo de concreto 
 





−=
=
=
ARICPVcimentodeconcretopara
CPIIeCPIcimentodeconcretopara
CPIVeCPIIIcimentodeconcretopara
S
20,0
25,0
38,0
 
 
Exemplo: para S = 0,38/0,25/0,20 
 
S t (dias) 3 7 15 28 60 365 3650 (10 anos) 
0,38 
28c
jc
f
f
 
0,46 0,68 0,87 1,00 1,13 1,32 1,41 
0,25 
28c
jc
f
f
 
0,60 0,78 0,91 1,00 1,08 1,20 1,26 
0,20 
28c
jc
f
f
 
0,66 0,82 0,93 1,00 1,06 1,16 1,20 
 
 
 
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









=⇒=
=⇒=
=⇒=
==
20,120,0
26,125,0
41,138,0
365010
28
28
28
c
jc
c
jc
c
jc
f
f
f
f
f
f
Sediasanostpara 
 
Um terceiro fator que influi na resistência do concreto refere-se à diferença entre fc (resistência) medida 
no cilindro e aquela do concreto da estrutura (laje, viga, pilar – forma prismática). 
 
cilindrocprismac ff ,, 95,0= 
 
Em resumo, os 3 fenômenos juntos levam a um fator multiplicativo da resistência do concreto igual 
a 95,02,175,032185,0 ××=××≅ fatorfatorfator . 
 
O fator 0,85 reduz a resistência do concreto no dimensionamento de peças no E.L.U. (Estado Limite 
Último). Não é considerado em ensaios rápidos, nem nos Estados Limites de Serviço. 
 
B.1. FLUÊNCIA DO CONCRETO 
 
Fluência é o aumento gradual na deformação ao longo do tempo, sob uma carga constante. Se a tensão 
também for constante tem-se a “fluência pura”. É inversamente proporcional ao módulo de elasticidade 
do concreto e diretamente proporcional à tensão normal aplicada. Nas estruturas de concreto armado e 
protendido, a fluência não é pura, i.e., mesmo que a carga seja permanente (constante), a simples presença 
do aço aderente leva à uma fluência sob tensão variável ao longo do tempo. A fluência do concreto é 
importante na compressão. 
 
Ao ser aplicada uma força de compressão no concreto, ocorre um encurtamento (deformação) imediato. 
Com o passar do tempo, para carga mantida constante a deformação do concreto aumenta, sem que haja 
aumento da carga. Os principais fatores que influem na fluência do concreto são os mesmo para a 
retração, a saber: 
 
• Idade 0t do concreto ao ser carregado: quanto mais velho for o concreto ao ser carregado, 
menor é a sua fluência. 
• Umidade relativa do meio ambiente 
• Espessura fictícia da peça 
 
No caso de estruturas reais, a fluência começa a ocorrer assim que a carga é aplicada ao concreto. A 
retração ocorre tão logo se inicie a cura do concreto. Para efeito de análise estrutural mais simples, os dois 
fenômenos podem ser considerados como iniciando na mesma data. 
 
B.2. RELAXAÇÃO DO CONCRETO 
 
Para situações onde atuam ações de longa duração, além da fluência, deve-se considerar também o 
fenômeno da relaxação do concreto. 
 
A relaxação consiste na diminuição da tensão ao longo do tempo, estando o concreto submetido a um 
estado de deformações constante (relaxação pura). Por exemplo, a ação de um recalque da estrutura,CENTRO DE TECNOLOGIA E URBANISMO – Departamento de Estruturas 
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mantido constante pelos seus vínculos, impõe um estado de deformação constante no concreto, com o que 
as tensões decorrentes desse recalque imposto diminuem com o tempo. 
 
C. RESISTÊNCIA CARACTERÍSTICA 
 
Entende-se por resistência característica do concreto (fck) aquela correspondente aos 28 dias, por ser esta a 
idade convencional em que uma estrutura usual é colocada sob carregamento total (pelo menos no 
projeto). A esta resistência associa-se uma probabilidade de ocorrência de 95%. Quer dizer, a resistência 
característica de um lote de corpos de prova de concreto ensaiados corresponde um total de 5% dos 
resultados obtidos com valores iguais ou inferiores a fck. 
 
 
 
 
 
 
D. MODULO DE ELASTICIDADE DO CONCRETO PARA PROJETO (CONFORME NBR 6118) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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E. RESISTÊNCIA À TRAÇÃO AXIAL (OU DIRETA) DO CONCRETO 
 
O concreto simples rompe quando tcσ for igual à 
resistência à tração do concreto fct. 
 
A dispersão da resistência fct é muito maior do que a 
dispersão da resistência à compressão fc. Os valores 
de fct são probabilísticos. Em MPa tem-se: 
 
3
2
,,inf
,
,,sup
21,0
30,0
39,0
7,0
3,1
ck
mctctk
mct
mctctk
f
ff
f
ff










=










=
=
 
 
 
fck (MPa) 20 30 40 50 
fct 
k,inf 1,47 1,93 2,34 2,71 
m 2,21 2,90 3,51 4,07 
k,sup 2,95 3,86 4,68 5,43 
 
F. RESISTÊNCIA À TRAÇÃO NA FLEXÃO DO CONCRETO EM LAJES E VIGAS (EM PEÇAS FLETIDAS) 
 
 
 
7,0
0
7,0
0
,
5,1
5,11












+
=
h
h
h
h
ff tcfltc 
Onde, 
h0 = 100 mm 
h = altura da peça em mm. 
fct = resistência à tração axial 
 
 
 
 
 
 
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h (mm) 
tc
fltc
f
f
,
 la
je 
v
ig
a 100 1,67 
200 1,41 
300 1,31 
400 1,25 
500 1,22 
750 1,16 
1000 1,13 
 
Para peças com h > 1000 mm (ou 1m) fct,fl ≈ fct, ou 
seja, as resistências à tração na flexão e axial são 
aproximadamente iguais. 
 
 
EXEMPLO 01 
 
Determinar a carga qcr tal que se q <= qcr há uma probabilidade de 95% de não haver fissuração. 
Dados: fck = 20 MPa. 
 
 
Índice de Esbeltez: 10
400
4000
==
l
h
 
Momento máximo: !máximoémomentoovãodocentroNo
8
lqM
2
cr →= 
Para h = 400 mm tcfltc ff 25,1, =→ 
 
A menor carga qcr abaixo da qual a viga não vai fissurar com 95% de probabilidade corresponde a 
MPaff kctflct 84,12020,025,125,1 3
2
inf,inf, =


 ××== 
kNmkNmmmNmmfbhWfMcr tflctflc 82,9][10²]/[84,1³][6
400200
6
6
2
inf,
2
inf, =××
×
===
−
 
W = módulo elástico de resistência 
(Para fctk,sup resulta Mcr = 19,62 kNm) 
 
mkN
l
Mcrqcr /91,44
82,988
22 =
×
==
 (Para fctk,sup resulta qcr = 9,82 KN/m) 
 
Se q < qcr,sup = 9,82 kN/m há 95% de probabilidade de não haver fissuração. 
Se q < qcr,inf = 4,91 kN/m há 95% de probabilidade de não haver fissuração. 
 
G. PESO ESPECIFICO 
 
Concreto simples: 3CONC m/kN24=γ 
Concreto armado: 3/25 mkNCA =γ 
Isto mostra que o aço contribui (em média) com 3m/kN1 (ou 3m/kgf100 ) no peso específico do CA. 
 
 
 
 
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1.2. AÇO 
 
Barras e fios de aço destinados a armaduras para CA 
 
Fios 
(mm) 
Barras 
(mm) 
Área 
(mm²) 
4,2 13,8 
CA 60 
4,6 16,6 
5 20 
6 28,3 
7 38,5 
8 50 
9 63,6 
10 78,5 ≈ 80 
 6,3 31,5 
CA 50 ou 25 
 8 50 
 10 80 
 12,5 125 
 16 200 
 20 315 
 25 500 
 32 800 
 
Notar que para barras a soma das áreas de duas bitolas sucessivas dá aproximadamente a área da bitola 
seguinte. P.ex., para 8e3,6 ΦΦ , tem-se as áreas 2mm50e5,31 , respectivamente. A soma destas áreas 
é igual a 2m5,81 , que é aprox. a área da barra de bitola 10Φ . 
 
 
1.2.1. PROPRIEDADES DO AÇO 
 
Nervuras: melhoram as condições de aderência entre aço e concreto 
- Barras lisas (CA-25) 
- Barras nervuradas (CA-50) de alta aderência 
- Fios (CA-60) – para lajes. 
Peso específico do aço: ³/85,7³/5,78 mtfoumkN
AÇO
=γ 
Peso por metro linear de uma barra = γpiφ AÇO4
²
 
Módulo de elasticidade do aço: GPaouMPaEs 21000.210= 
 
Coeficiente de dilatação térmica: 
)º10,(º101 1515 −−−− =≅≅ CconcretodoaoigualCx CS αα 
 
EXEMPLO 02 
 
KgmmKgpesametrosdebarra
mKgmkNmkNmmlinearmetropeso
84,18][12]/[57,116,121
/57,1/0157,0]³/[5,7810]²[200/16 6
=×=φ∴
==××=φ −
 
 
 
 
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1.2.2. DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO )( SS εσ 
 
Os diagramas )( SS εσ na tração e na 
compressão são admitidos iguais. 
 
A. LAMINADO A QUENTE: 
 
Com patamar de escoamento. 
 
 
B. ENCRUADO A FRIO 
 
Sem patamar de escoamento definido 
(exemplos: aço de protensão e aço CA-60). 
 
 
C. DIAGRAMAS IDEALIZADOS NA NBR 6118: AÇO DE ARMADURA PASSIVA 
 
 
fy = resistência ao escoamento da 
barra ensaiada. 
S
ky
dy
ff
γ
= 
s
dy
yd
s
ky
yk E
f
E
f
=ε=ε ; 
k indica valor característico, 
probabilidade de 5% de ser ultrapassado 
para o lado desfavorável. 
SSS E ε=σ (Lei de Hooke) 
 
‰48,2
15,1
‰86,2
;‰86,21086,2
10210
60060060
‰07,2
15,1
‰38,2
;‰38,21038,2
10210
50050050
3
3
3
3
====×=
×
=⇒=−
====×=
×
=⇒=−
εε
εε
−
−
−
−
s
dy
ydykky
s
dy
ydykky
E
f
MPafCA
E
f
MPafCA
 
diagrama simplificado do ELU 
 
 
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CLASSIFICAÇÃO DOS AÇOS 
 
 
Obs.: (C) alongamento em 10 φ ≈ εsuk 
*Fonte: NBR 7480/96 - Barras e Fios de Aço para Armadura de Concreto 
 
 
 
Observação: quanto maior a bitola da barra de aço melhor a aderência com o concreto. 
 
 
 
 
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φ
φ−
=
−
=ε φ 10
102
1
12
10
l
l
ll
 
 
Quanto maior a área sob a curva 
)( SS εσ até a ruptura, tanto mais dúctil é o aço e 
tanto mais dúctil podeser a peça de CA. 
Na descarga antes da ou na ruptura, a 
parcela de deformação elástica é recuperada. 
Na descarga, igualmente, a parcela plástica 
é permanente ou irrecuperável. 
 
 
‰48,2
10210
522522
15,1
60060
‰07,2
10210
435435
15,1
50050
3
3
=
×
=⇒==−−
=
×
=⇒==−−
−
−
ε
ε
ydyd
ydyd
MPafCA
MPafCA
 
 
2. RETRAÇÃO E FLUÊNCIA DO CONCRETO 
NBR 6118: 2014, Tabela 8.2 - Valores característicos superiores da deformação 
específica de retração 
εεεεcs(t∞∞∞∞,t0) e do coeficiente de fluência ϕϕϕϕ(t∞∞∞∞,t0) 
Umidade média 
ambiente 
% 
40 55 75 90 
Espessura fictícia 
2Ac/u 
cm 
20 60 20 60 20 60 20 60 
ϕ(t
∞
,t0) 
Concreto 
das 
classes 
C20 a C45 
t0 
dias 
5 4,6 3,8 3,9 3,3 2,8 2,4 2,0 1,9 
30 3,4 3,0 2,9 2,6 2,2 2,0 1,6 1,5 
60 2,9 2,7 2,5 2,3 1,9 1,8 1,4 1,4 
ϕ(t
∞
,t0) 
Concreto 
das 
classes 
C50 a C90 
5 2,7 2,4 2,4 2,1 1,9 1,8 1,6 1,5 
30 2,0 1,8 1,7 1,6 1,4 1,3 1,1 1,1 
60 1,7 1,6 1,5 1,4 1,2 1,2 1,0 1,0 
εcs(t∞,t0) 
0/00 
5 − 0,53 − 0,47 − 0,48 − 0,43 − 0,36 − 0,32 − 0,18 − 0,15 
30 − 0,44 − 0,45 − 0,41 − 0,41 − 0,33 − 0,31 − 0,17 − 0,15 
60 − 0,39 − 0,43 − 0,36 − 0,40 − 0,30 − 0,31 − 0,17 − 0,15 
εεεεelástica 
 
 
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2.1. RETRAÇÃO DO CONCRETO 
Diminuição de volume da peca de concreto por perda de água não fixada quimicamente, ou seja, 
perda da água que não reagiu com o concreto. Corresponde a uma deformação de encurtamento em todas 
as direções do corpo de concreto. Se impedida, seja pela armadura ou pelos vínculos da peça, causa tração 
no concreto e mesmo fissuração. Os valores da deformação podem ser estimados pela Tabela 8.1 da NBR 
6118. 
 
2.1.1. FATORES QUE INFLUEM 
- tipo de cimento e agregado; 
- relação água-cimento; 
- clima (umidade ambiente, temperatura); 
- dimensões das peças. 
A retração não depende da carga! 
 
A. GRÁFICO DA DEFORMAÇÃO NO CONCRETO POR RETRAÇÃO AO LONGO DO TEMPO 
 
ε shc, = deformação no concreto por retração. 
ε ∞,,shc = valor final da deformação de retração. 
 
 
2.2. FLUÊNCIA DO CONCRETO 
A fluência depende diretamente da intensidade da tensão permanente aplicada, e é inversamente 
proporcional ao módulo de elasticidade do concreto. Depende também dos fatores que influem na 
retração. 
 
2.2.1. FLUÊNCIA PURA 
 
Ec = módulo de elasticidade do concreto 
0l∆ = encurtamento elástico instantâneo 
l
AEc
Gl
Ec
ll CC
.
0
00 ===∆
σ
ε 
Cl∆ = encurtamento do concreto por fluência 
Dividindo l∆ por l = deformação Cε 
0Cε = Deformação elástica instantânea 
=ε ϕc Deformação por fluência pura, isto é, sob 
tensão constante. 
 
 
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( )ϕε
ε
ε
εεεε ϕϕ +=





+=+= 11)( 0
0
00 c
c
c
Cccc t 
ϕ = coeficiente de fluência = 
0
)(
c
ct
ε
εϕ ϕ= 
5,35,1 a≈ϕ (2 a 2,5 valores freqüentes) 
( )ϕ+σ=ε 1)( 0
Ec
t CC : deformação total na data t>t0 para fluência pura. 
Nas estruturas a carga permanente fica evidentemente constante, mas a tensão Cσ varia com o tempo (é 
decrescente com o tempo) � a fluência não é pura. Basta a simples presença da armadura para que a 
fluência não seja pura, i.e., não ocorra sob tensão constante, mesmo que a carga permaneça constante. Ver 
os exemplos 1 e 2 a seguir: o primeiro refere-se apenas à retração, o segundo refere-se ao efeito da carga 
permanente, ambos para um pilar isostático de concreto armado. 
 
 
A. DEFORMAÇÃO TOTAL DO CONCRETO NA DATA t (USUALMENTE ∞=t ) 
 
 
( ) ( ) ( ) ( )0,00 ,8,011, ttEEtt shcc
C
c
C
C ε+ϕ+
σ∆
+ϕ+σ=ε 
Onde: 
( )ϕ+σ 10
c
C
E
 = deformação total por fluência pura, isto é, se Cσ fosse 
constante e igual a 0Cσ . 
( )ϕ+σ∆ 8,01
c
C
E
 = acréscimo de deformação por fluência sob variação 
de tensão Cσ∆ ao longo do tempo. Esta variação é decrescente com o tempo. 
shc,ε = retração. 
 
 
B. DEFORMAÇÃO TOTAL DO CONCRETO NA DATA 
∞
t 
Ação isolada da retração: 
 
 
 
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( ) ( ) ( ) ( )0,00 ,8,011, ttEEtt shcc
C
c
C
C ε+ϕ+
σ∆
+ϕ+σ=ε
∞
 
( )ϕ+σ 10
c
C
E
 = 0 (zero), pois não há carga aplicada (G = 0 neste exemplo) 
 
No aço: 
- Deformação: 
s
S
S E
σ
=ε 
- Variação de deformação: 
s
S
S E
σ∆
=ε∆ 
 
As variações de encurtamentos do concreto e do aço são iguais, ( ) SCC tt ε∆=−ε=ε∆ ∞ 0, 0 : 
),()8,01(),()8,01( 0,0, ttEttEEE shcsCSshcsc
C
sS ∞∞ ε+ϕ+σ∆α=ε+ϕ+
σ∆
=σ∆ 
c
s
S E
E
=α = coeficiente de equivalência 
Por outro lado, a soma da variação de forcas no concreto e no aço é igual a zero: 
 
S
C
c
s
C
S
SsCc
A
A
AA
NsNc
ρ
σ∆
−=
σ∆
−=σ∆
=σ∆+σ∆
=∆+∆
0
0
 
Ac
As
S =ρ = taxa geométrica de armadura 
 
 
C. ESPESSURA EQUIVALENTE 
Espessura equivalente = 
u
A02
 
Onde: 
u = perímetro em contato com a atmosfera. 
A0 = área da seção. 
 
 
- Espessura equivalente para toda peça em contato com o ambiente (seção retangular): 
 
 
( ) hb
bh
hb
bh
u
A
+
=
+
=
2
22 0
 
Para b >> h (laje): 
h
b
h
h
u
A
=
+
=
1
2 0
, ou seja, a espessura equivalente de uma laje com as duas faces em 
contato com o ambiente é sua própria espessura. 
 
 
 
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EXEMPLO 01 
 
Pilar curto sob retração (continuação do cálculo anterior): 350, 106,01060),( −−∞ ×−=×−=ε ttshc ; 
5,2),( 0 =ϕ ∞ tt . 
 
Solução: 
%273,202273,0
8800
2000
0,7
30
210
30000
210000
88002000300
20005004254
22
2
ou
Ac
As
MPaE
MPaE
mmAbhA
mmA
S
S
c
s
sc
s
===ρ
==α→



=
=
=−=−=
=×=φ=
 
Sabendo que 
S
C
S ρ
σ∆
−=σ∆
 
Logo: 
( ) ),(8,01 0, ttE shcsCS
S
C
∞
ε+ϕ+σ∆α=
ρ
σ∆
− 
( )
( )
( )
( )
!!94,1
5,28,0102273,071
10601021002273,0
8,011
,
5
30,
fissurarPodeconcretonotraçãoMPa
tt
E
C
SS
shc
sSC
→+=∆
×+××+
×−
×××−=
++
−=∆
−
∞
σ
ϕρα
ερσ
 
 
No aço: 
( )2/85335,85
02273,0
94,1
cmKgfouMPa
S
C
S −−=−=ρ
σ∆
−=σ∆ � compressão no aço! 
 
Estes resultados mostram que sob a ação da retração, a peça encolhe, mas o concreto está tracionado. 
Quanto maior for a taxa geométrica da armadura, maior será a tração no concreto, o que pode levá-lo à 
fissuração, mesmo sem carga aplicada (exemplo: peças pré-moldadas com excesso de armadura). O 
impedimento à retração pode ocorrer pelaação dos vínculos da peça, ou por pela união de concretos de 
idade muito diferentes, p.ex, parede de concreto sobre uma sapata corrida. Se a parede for concretada 
muito tempo depois que a sapata, há uma retração diferencial dos dois elementos estruturais. Com isto a 
sapata impede a retração da parede e pode gerar fissuras verticais na parede. 
 
 
EXEMPLO 02 
 
Efeito da fluência do concreto (a retração agora é zero): G = -1530 kN (compressão); 5,2),( 0 =ϕ ∞ tt 
 
Tensões iniciais logo após aplicação da carga permanente G: 
 
( ) ( )
( )[ ] 0
00
0000
1 CsS
CsSsCsSc
CsSCcSsCc
AbhG
AAbhAAG
AAAAG
σ−α+=
σα+−=σα+=
σα+σ=σ+σ=
 
 
 
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Área ideal: ( ) sSi AAA 10 −α+= 
Área da peça: bhA =0 
( )
MPa
MPa
N
Ai
G
CSS
C
C
105157
15
200017300
101530
00
0
2
3
0
−=×−=σα=σ
−=σ
×−+
×−
==σ
 
� Tensões iniciais nos 
dois materiais, 
quando começa a 
fluência do concreto. 
 
( )
( )ϕ+αρ+
ϕσ
αρ−=σ∆ ∞
8,011
, 00
SS
C
SSC
tt
 
Variação de tensão no concreto: 
( ) MPaC 039,45,28,0102273,071
5,21502273,07 =





×+××+
×−
××−=σ∆ 
Tensão total no concreto: MPaMPaCCC 1196,10039,4150 −≈−=+−=σ∆+σ=σ � há perda da 
compressão de -15 para -11 MPa, ou aproximadamente 40% de queda. 
Variação de tensão no aço: 
)(7,177
02273,0
039,4
compressãodeaumentoMPa
S
C
S −=−=ρ
σ∆
−=σ∆ 
Tensão total no aço: MPaSSS 2837,1771050 −≅−−=σ∆+σ=σ 
 
Note-se que a compressão no aço quase triplica, neste exemplo, ao passo que o concreto tem um alívio de 
compressão da ordem 40%. Este resultado qualitativo pode ser transposto para as estruturas aporticadas. 
Assim, se no pórtico, após a aplicação de toda a carga (boa parte da qual é permanente) não houver 
ruptura pelo lado do concreto, então não mais haverá ruptura pelo concreto, a não ser que haja aumento 
posterior e imprevisto de carga. 
 
 
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3. COMPORTAMENTO CONJUNTO DOS MATERIAIS AÇO E CONCRETO 
 
3.1. INTRODUÇÃO 
 
Características básicas do concreto armado (CA) � aderência entre concreto e aço! 
Na compressão e na tração antes de fissurar as deformações no concreto e no aço vizinho são 
iguais: SC ε=ε . 
Após a fissuração o aço alonga-se mais que o concreto. Por conseqüência há deslizamento do aço 
em relação ao concreto vizinho. A quantidade de deslizamento é igual à abertura da fissura! 
 
3.2. AÇÃO DA FORÇA NORMAL 
 
 
Como construir a curva força aplicada-deslocamento axial, 
?)( LF ∆ Ou seja, para cada L∆ crescente pergunta-se: qual é 
a força F correspondente? O presente exemplo refere-se a um 
ensaio em laboratório. 
Dados: 
Aço CA-50: 
fyk = 500 MPa 
Es = 200000 MPa 
‰ 2,5 
10200
500
3yk =×
==ε
s
ky
E
f
 
Área de aço: As = 4 φ 25 = 4x500 = 2000 mm² 
Concreto: 
coeficiente de variação: para vários corpos de prova %20=δ 
Resistência média: fcm = 30 MPa 
Resistência característica: 
( ) ( ) MPaff cmck 2020,0645,1130645,11 =×−×=δ−= 
(probabilidade de 5% de ocorrer fc ≤fck) 
Área de peça: 220 90000300 mmbhA === 
Área do concreto: Ac = A0 – As = 90000 – 2000 = 88000 mm² 
Lei dos materiais 
Aço 
 
Concreto em compressão 
 
2
00
2 





ε
ε
−
ε
ε
=
σ
C
C
C
CC
fc 
 
 
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(Neste exercício trabalha-se com valores absolutos) 
 
L∆ 
(mm) L
L
SC
∆
=ε=ε 
(‰) 
concreto aço 
F = Fc+Fs 
(kN) Cσ (MPa) 
CCC AF σ= 
(kN) 
 Sσ 
(Mpa) 
SSS AF σ= 
(kN) 
0 0 0 0 0 0 0 
0,5 0,5 13,125 1155 100 200 1355 
1 1 22,5 1980 200 400 2380 
1,5 1,5 28,125 2475 300 600 3075 
2 2 30 2640 400 800 3440 
2,5 2,5 28,125 2475 500 1000 3475 
3 3 22,5 1980 500 1000 2980 
3,5 3,5 13,125 1155 500 1000 2155 
4 4 0 0 500 1000 1000 
 
Gráfico F(∆L): 
0
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
∆L (mm)
F 
(kN
)
F Fc Fs
 
 
1ª conclusão: embora a deformação correspondente a máxFc (ou seja, 2/1000) não coincida com 
aquela correspondente a máxF (que vale 2,5/1000) pode-se, em face da pequena diferença entre 3475 e 
3440, obter a resistência do pilar pela soma das resistências das partes, isto é, 
kNfAfAF
kyscc
364010)5002000308800( 3 =××+×=+= − � 5% maior que 3475 kN 
=cc fA resistência da seção de concreto 
=
kys
fA resistência da seção de aço 
2ª conclusão: o comportamento da curva F(∆L) é aproximadamente linear em boa parte do trecho 
ascendente da parábola. Como em serviço cc f5,0≤σ , a reta é uma aproximação muito boa da parábola. 
Logo, para o concreto em serviço vale a lei de Hooke: ccsc E ε=σ com Ecs = módulo de elasticidade 
secante. 
3ª conclusão: Para ?;124,0 =ε≅=σ ccc MPaf 
 
 
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[ ]
MPaEEMPa
curvadaesquerdoladooknão
f
MPaf
fpondof
csci
c
c
c
c
c
c
c
cc
cc
c
c
c
c
c
c
cc
2550085,03000085,067,26666
1000
45,0
12
‰45,0‰2225,0
)!(225,0;)!(775,1
2
6,142
240,0
30
12
30;‰2
2;2
0
21
2
0
2
0
2
00
=×==≅≅=
=×=∴=
==→
−±
=
−===
==
−=∴=














−=
ε
σ
ελ
ε
ε
λλλ
λλσ
ε
λλσ
ε
ελ
ε
ε
ε
ε
σ
 
 
Da NBR: )!(255002600030560085,0560085,0 okMPaMPafE ccs ≈=××=×= ; no ensaio 
usa-se fc no lugar de fck (fck usa-se no projeto). 
 
Conclusão: os módulos de elasticidade tangente na origem (Eci) e secante (Ecs = 0,85Eci) correspondem 
respectivamente a: 
 
MPaEE
e
MPafE
cics
c
c
ci
2550085,0
30000
1000
2
3022
0
==
=
×
==
ε
 
 
Estes valores no ensaio são aproximadamente os mesmos obtidos pela expressão da NBR 6118 se no 
lugar de fck for usado fc, mas no projeto usa-se os estabelecidos nessa norma. 
 
Em serviço o concreto comprimido pode ser calculado elasticamente (isto é, vale a lei de Hooke). 
ccsc E ε=σ 
No pilar: 
sscc AAF σ+σ= 
 
Para a força F = 1385 kN, quais são σ e ε nos materiais? (isto é o Estádio I) 
( ) sscs AAAF σ+σ−= 0 
Como vale a lei de Hooke para os 2 materiais, vem: 
sssccsc EeE ε=σε=σ 
Mas por aderência os encurtamentos dos 2 materiais são iguais, isto é, sc ε=ε . 
 
 
 
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( ) ( )
( )
( )[ ]
( )
iCCS
SSi
SSCCS
CS
S
S
s
CS
S
SCCS
cSsCCSSsssccsS
AEF
idealáreaAAA
AAEF
iaequivalêncdeecoeficient
E
E
A
E
EAAEF
EAEAAEAEAAF
εα
αε
α
ε
εεεε
=
=−+=
−+=
==






+−=
+−=+−=
1
1
0
0
0
00
 
 
No exemplo: 
( )
‰52,0
200000
105
3000085,0
4,13
1054,1384,7
4,13
3,103686
101385
27,1036862000184,7300
84,7
3085,0
200
3
22
==
×
=ε=ε
=×=σ
σα=σ=σ⇒
σ
=
σ
=
×
==σ
≈×−+=
=
×
=α
sc
s
csc
cs
s
s
cs
c
s
s
i
c
i
s
MPa
E
E
EE
MPa
A
F
mmA
 
 
Ver na Tabela anterior, para a deformação 0,5/1000, a carga vale 1355 kN. Estes valores são praticamente 
coincidentes com os calculados elasticamente (0,52/1000 e 1385 kN). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.3. PEÇA USADA COMO TIRANTE 
 
 
Antes da fissuração os dois materiais trabalham em conjunto 
( SC ε=ε ). 
Resistência do concreto na tração axial: fct = 3 MPa 
Para tensões baixas usa-se 
MPafE
c
c
ci 30000002,0
3022
0
=×==
ε
 
Imediatamente antes da fissuração: 
Fcr = força de fissuração 
Área ideal, com: 
 
22 1013402000)167,6(300
67,6
30
200
mmA
E
E
i
ci
s
S
=×−+=
===α
 
 
mml
E
fl
confereOKkNF
kNAfAF
kNAfF
FFF
kNAfF
ci
ct
cr
cr
sctSsSs
cctcrc
scrccr
ictcr
10,01000
1030
3
!,30440264
40102000367,6)(
26410)2000300(3
304101013403
3
3
32
,
,
3
=×
×
==∆
=+=
=×××=⋅==
=×−×==
+=
=××==
−
−
−
ασ 
 
 
Imediatamente após a fissuração só o aço resiste 
a F. 
mml
l
l
E
MPaN
A
sejaoucolaboranãoconcretoo
AAaçonoTensão
kNFF
cr
cr
s
S
S
S
SSScr
C
SSCCcr
cr
76,01000
1000
76,0
‰76,0
10200
152
152
2000
10304
2000
0,,
304
3
3
=×=∆
∆
==
×
==
=
×
=
⋅==
=
+=→
==
σ
ε
σ
σσσ
σ
σσσ
 
Conclusão: na fissuração o alongamento do 
tirante salta de 0,10 mm para 0,76 mm. 
Outro valor notável da força F: início do 
escoamento da armadura: 
 
 
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mml
E
f
ll
kNF
fAFF
s
yk
syy
yksy
5,21000
1000
5,2
!1000max
105002000max 3
=×===∆
=∴
××=== −
ε
 
 
Gráfico )( lF ∆ na tração: 
 
 
Rigidez do tirante: 
- antes de fissurar: 
mkNmmN
l
AEAE sscic /1004,3/1004,3
1000
2000200000880030000 66 ×=×=×+×=
+
 
- após fissurar: a rigidez do tirante é a rigidez da seção metálica, pois Ac=0. 
( )anteriordomkN
l
AE ss %13/104,0
1000
2000200000 6×=×= 
 
Este é um aspecto muito negativo dos tirantes, a saber, a grande perda de rigidez axial na passagem do 
Estádio I (sem fissuras) para o Estádio II (com fissuras). Isto pode ocorrer em estacas de concreto armado 
tracionadas, e é um problema a ser evitado, a menos que as tensões de tração sejam baixas e 
eventualmente temporárias (ação do vento), cerca de 3 a 4,5% de fck. 
 
Outro aspecto relacionado com os tirantes, na mencionada passagem dos Estádios I para o II, refere-se à 
armadura mínima, examinada a seguir. 
 
 
 
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)(
200
500
2000254
3
20
30
30
2
ensaiodomédiovalor
GPaE
MPaf
mmA
MPaf
MPaf
MPaf
GPaE
s
yk
s
tc
ck
c
ic
=
=
=φ=
=
=
=
=
 
 
Na compressão e na tração antes de fissurar os dois materiais têm a mesma deformação: SC ε=ε . 
 
Antes de fissurar, e antes de haver escoamento tem-se o chamado 
Estádio I: 
Na tração, imediatamente antes de fissurar: 
ctsctccr fAfAF Sα+= 
Imediatamente após a fissuração: 
67,6==α
σ=
ic
s
S
sscr
E
E
AF
 
 
( )[ ]
!152
2000
10304
0304
30410367,6200038800
3
,
,
3
projetodecondiçãofMPa
AF
kNF
ykcrs
crsscr
cr
→<=
×
=σ
σ+==
=×××+×=
+
−
 
 
Condição de projeto: deve-se impor uma armadura mínima tal 
que não haja escoamento do aço na passagem do Estádio I para o 
Estádio II. 
 
 
 
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( )
( )
%62,0%2,2
:existenteteefetivameneentrefazsecomparaçãoaou
mm2000Amm559300
100
62,0AA
;Logo
%62,0
167,63500
3
:exemplodonúmerososcom
1ff
f
A
Af
fissuraçãoaapósologaçonotensão11f
:ApordivideeAsseisola
armaduradegeométricataxa
A
A
e
E
E
com
)f,(Af)AA(AF
min,ss
Smin,s
2
exist,s
22
0min,smin,s
min,s
Sictyk
ct
0
min,s
min,sykcr,s
Si
S
ctcr,s
0
0
s
S
ic
s
Si
ctSscts0cr,sscr
=>>=
=<=×==
=
−×−
=
−−
==⇒<
→





−+=
−
===
+−==
ρρ
ρρ
ρ
ρ
α
ρσ
αρσ
ρα
ασ
 
 
 
 
4. INTRODUÇÃO DA SEGURANÇA 
 
4.1. NOS MATERIAIS 
 
Há dois passos para impor a segurança: 
 
1º passo: consiste em obter o valor característico da resistência. 
Conhecidos cmf = valor médio da resistência à compressão de uma série de ensaios. 
 δ = coeficiente de variação das amostras ensaiadas. 
Obtém-se ckf = valor característico da resistência à compressão do concreto ao qual corresponde à 
probabilidade de 5% de ser ultrapassado para o lado desfavorável (isto é, para ↓ ). 
Se a distribuição for normal ( )δ−= 645,11cmck ff 
( ) MPafck 202,0645,1130 =×−×= 
2º passo: consiste em introduzir os coeficientes de segurança parciais: 
ticascaracterísasresistênciasdividem
CPouCAaçoopara
concretoopara
S
C



=→
=→
15,1)(
4,1
γ
γ
 
Para o concreto tem-se ainda o fator 0,85. 
 
Resistências de cálculo do ELU: 
MPafexemplonoffaço
MPafexemplonoffconcreto
yd
S
yk
yd
cd
C
ck
cd
435
15,1
500
:
14,12
4,1
2085,085,085,085,0:
===
=×==
γ
γ
 
 
 
 
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4.2. NAS CARGAS 
 
Faz-se o caminho em sentido oposto: 
1º passo: toma-se o valor característico superior da carga (ou o valor representativo): Fk 
2º passo: majora-se Fk pelo coeficiente de segurança parcial das cargas fγ (=1,4 em geral): kfd FF γ= 
 
Condições de segurança: o esforço solicitante de cálculo Fd,S (onde S = solicitante) deve ser menor ou 
igual ao esforço resistente de cálculo Fd,R (onde R = resistente): RdSd FF ,, ≤ 
Na compressão simples: 
( )
)5,2rupturapara"distância("kN1385
4,1
6,1938FkN6,1938FF
kN6,19381020004358800014,12F
AfAf85,0F
kkfS,d
3
R,d
sydccdR,d
==≤⇒≤=
=××+×=
+=
−
γ
 
Na tração axial (o concreto é desconsiderado): 
( )
rupturapara"distância"61,115,14,1
15,1
fA
F4,1F
kN621
4,1
870FkN870FFkN8701020004350F
Af0F
S
yks
kR,d
kkfS,d
3
R,d
sydR,d
==×→
=
≤=
=≤⇒≤=
=××+=
+=
−
γ
γ 
 
 
5. ESTÁDIOS I, II E III NA FLEXÃO SIMPLES 
 
No CA (concreto armado) e no CP (concreto protendido) há três fases distintas de comportamento, 
conforme haja ou não dois fenômenos: fissuração do concreto e plastificação dos materiais. O Estádio I 
caracteriza-se pela ausência de fissuração e de plastificação dos materiais, enquanto o Estádio II é 
caracterizado pela fissuração, mas os materiais ainda podem ser considerados elásticos (Notar que o 
concreto só trabalha à compressão, na seção transversal, a tração é desconsiderada por facilidade de 
cálculo e por ter pouca influência). A plastificação aparece no Estádio III, com fissuras (vigas e lajes) ou 
sem fissuras (pilares). Ver nos diagramas tensão-deformação dos materiais, dados a seguir, o trecho 
plastificado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Concreto na flexão: Leis tensão-deformação, ver páginas 5 e 6; 
 
 
Aço: ver página 14 
 
 
 
Resistência à tração na flexão: 
mmemh
h
h
ff tcfltc ;
100
5,1
100
5,11
. 7,0
7,0
inf,,












+
= 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 01: FISSURAÇÃO EM VIGA DE CA, SEPARAÇÃO DOS TRECHOS NOS ESTÁDIOS I E II; 
 
 
 
 
Características dos materiais: 
 
 
( ) ( ) SSSSSi
ckkct
ci
s
S
s
ci
ck
AAAAAAidealÁrea
MPaff
E
E
MPaE
MPaE
MPaf
1
47,1202,020,0
0,8
25
200
000.200
000.25044.25205600
20
00
3
2
3
2
inf,
−α+=α+−==
=×==
===α
=
≈=×=
=
 
CG ideal? 
 
 
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( )
( ) iSSSSi
SSS
i
OSSSSSii
yyAII
Ai
yA
y
yAyAAyA
00
0
0
000
1
1
0
−α+=
−α
=
α+−=
 
 Na fibra inferior, módulo de resistência da seção: 
1i
i
i y
IW = 
ifltccr WfM ,= 
( )
( ) 2
0
2
5,10
85600
16080018
8560080018400200
mmy
mmA
i
i
=
××−
=
=×−+×=
 
( ) ( ) 463 1065,12005,1016016080018
12
400200
mmI i ×=−×××−+
×
= 
( )
36
6
10336,6
5,10200
1065,1200
:inf mmWeriorfibraNa i ×=
−
×
= 
MPaf fltc 84,125,147,1
100
4005,1
100
4005,11
47,1 7,0
7,0
,
=×=






×






×+
×= 
mKNmmNM cr .66,11.1066,1110366,684,1
66
=×=××= 
Quando crcr M
lq
=
8
2
, haverá fissuração. A carga vale: 
mKNM
l
q crcr /59,266,116
88
22 =×== 
 
 



=−=
=
=+−
58,542,06
42,0
066,11455,7
2
12
x
x
xx 
 
 
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Trecho fissurado = !20,542,026 mmm ≈×− 
 
 
 
 
A determinação das tensões no concreto e no aço em serviço para a peça no Estádio II se faz com as três 
ferramentas da mecânica: (1) Equilíbrio, (2) Leis constitutivas e (3) Condições de compatibilidade. 
Notando que as deformações têm distribuição linear na seção transversal (hipótese de Bernoulli), para sua 
determinação é preciso conhecer duas incógnitas que a definem, p.ex., a profundidade x da LN e a 
curvatura 1/r ou uma das deformações extremas, SC ou εε . 
Por equilíbrio de forças horizontais, tem-se que a força no concreto, Cc
bxR σ
2
= , é igual à força no aço, 
SSs AR σ= . Esta é a primeira condição de equilíbrio. Como em serviço vale a lei de Hooke para ambos 
os materiais, pode-se substituir as tensões pelo produto dos módulos de elasticidade e das deformações. 
Logo: 
 
)1(
2 SsSCcs
EAEbx ε=ε 
 
Por outro lado, as deformações ligam-se entre si pela curvatura 1/r da seção como segue: 
 
 
 
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dX
r
ddXdr 1
22
=ϕ→=ϕ 









=
=
=
xr
dX
x
dX
r
dX
x
d
Concreto
c
c
c
ε
ε
ε
ϕ
1
22
1
22
 
 
( )
( )









−
ε
=
ε=−
ε=−
ϕ
xdr
dXxddX
r
dX
xdd
Aço
s
s
s
1
1
22
 
 
)2(
1
x
xd
xdxr
curvatura
CS
SC
−
ε=ε
−
ε
=
ε
==
 
022
;;:dim
)3(022
)(022
2
:)1()2(
2
2
22
=−+
→=
==−
=−+





÷=−+
−
=
SSSS
s
S
cs
s
S
SSSS
SSSS
CsSCcs
armaduradegeometricataxa
bd
A
E
E
d
x
ensionaisaossedefinem
d
d
bd
A
d
x
bd
A
d
x
dd
b
A
x
b
A
x
x
xdEAEbxem
ραξραξ
ρ
αξ
αα
αα
εε
 
 








−
ρα
+ρα==ξ 121
SS
SSd
x
 profundidade relativa da linha neutra na flexão simples de 
seção retangular com armadura simples. 
 
Notar que a profundidade relativa x/d da LN não depende do momento fletor, no caso de flexão 
simples! Depende apenas do produto do coeficiente de equivalência pela taxa geométrica da armadura. 
Isto quer dizer que a altura da fissura é aproximadamente constante ao longo da viga. 
 
 
 
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EXEMPLO 02 
mmdx
d
x
bd
A
Ecs
GPaEGPaE
SS
s
S
Scss
24,1313603646,0
3646,01
1046,0
211046,0
1046,0%11,14,9
%11,1
360200
800
4,9200;25,21;200
=×==
=







−+×==
=×=
=
×
==
====
ξ
ξ
ρα
ρ
α
 
 
 
2ª equação de equilíbrio � momento! Determinado x, fica conhecido o braço de alavanca das forças 
internas: 
 
3/xdz −= 
 
Igualando os momentos solicitante e resistente e usando a expressão de z, obtém-se: 
 
( )
( )
( ) ( ) 





−=





−−=






=
=÷






−=





−−=
−=ε






−ε=





−ε=
3231
1
32
1
3
1
32
.
3
2
2
xdbxExdxdAE
r
MEI
flexãoàrigidezcurvaturaMomento
r
xdbxE
r
xdxdAEM
r
xdonde
xdExbxdEAM
csssII
csss
S
CScsSss
 
Há duas expressões de ( )IIEI , e ambas dão mesmo resultado, pois são iguais! 
 
5.1.1. RIGIDEZ À FLEXÃO NO ESTÁDIO II 
( ) ( ) 





−=





−−=
323
2 xdbxExdxdAEEI csssII 
( ) 





−−α=





−=
332
2 xdxdAxdbxI SSII 
( ) ( ) ( )
( ) 213
3
10158,1
3
2,1313602,13136080010200
3
NmmEI
xdxdAEEI
II
ssII
×=






−×−×××=





−−=
 
 
No Estádio I tinha-se ( ) 213 .10002,3 mmNIEEI IciI ×== 
Queda na rigidez%4,61100
002,3
158,11 =×





−= 
 
 
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Admite-se, como exemplo, a carga q =15 kN/m 
No : mkNM máx .5,678
615 2
=
×
= 
mm
xdz 3,316
3
2,131360
3
=−=−= 
Forças nos materiais: N
mm
mmN
z
MRR máxsc
3
6
1045,213
3,316
.105,67
×=
×
=== 
Tensão na armadura: MPaNAR SSSSs 2671045,213800 3 =σ∴×=σ→σ= (faixa em serviço no 
 aproximadamente 200 a 300 MPa). 
 
Tensão no concreto: 
N
z
MbxR CCc
31045,213
2
2,131200
2
×=σ
×
→=σ= MPaC 3,16=σ∴ (valor alto próximo de fck = 
20MPa, haverá flecha por fluência do concreto comprimido!). 
 
 
 
 
0δ = flecha inicial em t = t0 
Cδ = acréscimo de flecha por fluência 
5.1.2. RIGIDEZ EQUIVALENTE SEGUNDO A NBR 6118: EXPRESSÃO DE BRANSON 
 
( ) ( )[ ]
( )
( )
diretatraçãoàaresistênciMPaff
mmW
fWM
mm
bhI
M
M
IIEstádiodoponderaçãodefator
IEstádiodoponderaçãodefator
EIIE
IEIIEEI
ckmct
i
fltcicr
a
cr
IIIIcs
csIIcseq
21,23,0
10336,6
100667,1
12
400200
12
26,0
5,67
75,1
1
1
3
2
36
inf,
,
49
33
0
3
3
0
3
0
3
==
×=
=
×=
×
==
===Ψ
Ψ−=
Ψ=
=
≤Ψ−+Ψ=
 
( ) ( ) 31313393
66
7,0
7,0
,
1018,110158,126,01100667,126,021250
5,171077,210336,6
77,2
100
4005,1
100
4005,11
21,2
NmmEI
KNmM
flexãonatraçãoàaresistênciMPaf
eq
cr
fltc
×=××−+×××=
=×××=
=


















×






×+
×=
−
 
 
 
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Flecha imediata no Estádio I: ( )eq
II
EI
ql 4
0 384
5
=δ 
( )
280
5,21
1018,1
10615
384
5
13
43
0
l
mmII ≈=
×
××
×=δ 
Observação: Se IIcseq IEEIsetem ≅−≤ )(4,0ψ (os trechos no Estádio I têm pouca influência na 
flecha no centro do vão e na rotação da peça nos apoios). 
 
Outro modo de calcular a flecha no Estádio II: através da curvatura na seção central. Notando que a 
curvatura é igual ao momento fletor dividido pela rigidez à flexão, ou seja: 
 
( )eqEI
ql
r
8//1
2
== resulta a flecha ( ) )
1(
6,9
])(
8/[
48
5
384
5 2224
0
r
ll
EI
ql
EI
ql
eqeq
II
===δ 
 
No exemplo, sendo 33 10/335,1)10200/(267/ =×== sSs Eσε , mmxd 8,2282,131360)( =−=− 
tem-se a curvatura igual a: 
 
1
33 104,171
1
108,228
335,11
−
×
=
×
=
−
= mm
xdr
sε
 
 
A flecha imediata resulta igual a: 
 
mm
r
lII 9,21
104,171
1
6,9
)106()1(
6,9 3
232
0 =
×
×
×
==δ (pequena diferença de aproximação numérica com o 
valor anterior) 
 
A. CÁLCULO DA FLECHA DIFERIDA NO TEMPO PARA VIGAS DE CONCRETO ARMADO: PARCELA DA FLUÊNCIA DO 
CONCRETO= fαδ0 
 
Ver o item 17.3.2.1.2 da NBR 6118: 2014 para o cálculo de ( )ftot αδδ += 10 
Com 
comprimidaarmaduradeáreaA
bd
A
s
s
f
==ρ
ρ+
ξ∆
=α
';
'
'
'501
 
( ) ( )
gaplicasequandomesesemconcretodoidadet
diferidaflechadavalorodesejasequandomesesemtempooét
tempodofunçãoecoeficienttt
,,
;,,
;
0
0
=
=ξξ−ξ=ξ∆
 
 
 
* Fonte: NBR 6118 – Projeto de Estrutura de Concreto 
 
 
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No exemplo: 
( )
( )
( ) mm545,25,215,11
5,1
01
54,02
54,0tmês5,0t
2tmeses70t
0'As
0tot
f
00
≈×=+=
≈
+
−
=
=→=
=→≥
=
δδ
α
ξ
ξ
 
 
Como se vê a flecha total é 2,5 vezes maior do que a flecha imediata. O aumento da flecha de 21,5mm 
para 54mm ocorre ao longo dos anos. Assim, ao concluir a obra, a flecha parece estar em ordem, mas o 
problema da fluência do concreto comprimido só passa a ser evidente após vários anos. 
 
O controle das flechas se faz pela Tabela 13.3 - Limites para deslocamentos (NBR 6118:2014, item 13.3). 
 
Tabela 13.3 - Limites para deslocamentos 
Tipo de efeito Razão da limitação Exemplo 
Deslocamento a 
considerar 
Deslocamento 
limite 
Aceitabilidade 
sensorial 
Visual 
Deslocamentos 
visíveis em 
elementos 
estruturais 
Total l /250 
Outro 
Vibrações 
sentidas no 
piso 
Devido a cargas 
acidentais l /350 
Efeitos 
estruturais em 
serviço 
Superfícies 
que devem 
drenar água 
Coberturas e 
varandas Total l /250
1) 
Pavimentos 
que devem 
permanecer 
planos 
Ginásios e 
pistas de 
boliche 
Total l /350+ 
contraflecha2) 
Ocorrido após a 
construção do piso l /600 
Elementos 
que suportam 
equipamentos 
sensíveis 
Laboratórios 
Ocorrido após 
nivelamento do 
equipamento 
De acordo com 
recomendação 
do fabricante do 
equipamento 
Efeitos em 
elementos 
não 
estruturais 
Paredes 
Alvenaria, 
caixilhos e 
revestimentos 
Após a construção da 
parede 
l /5003) e 
10 mm e 
θ = 0,0017 
rad4) 
Divisórias 
leves e 
caixilhos 
telescópicos 
Ocorrido após a 
instalação da divisória 
l /2503) e 
25 mm 
 
 
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Movimento 
lateral de 
edifícios 
Provocado pela ação 
do vento para 
combinação freqüente 
(ψ1=0,30) 
H/1 700 e 
Hi/8505) entre 
pavimentos6) 
Movimentos 
térmicos 
verticais 
Provocado por 
diferença de 
temperatura 
l /4007) e 
15 mm 
 
Tabela 13.3 (cont.) 
Tipo de efeito Razão da limitação Exemplo 
Deslocamento a 
considerar 
Deslocamento 
limite 
Efeitos em 
elementos 
não 
estruturais 
Forros 
Movimentos 
térmicos 
horizontais 
Provocado por 
diferença de 
temperatura 
Hi/500 
Revestimentos 
colados 
Ocorrido após 
construção do forro l /350 
Revestimentos 
pendurados ou 
com juntas 
Deslocamento ocorrido 
após construção do 
forro 
l /175 
Pontes 
rolantes 
Desalinhamento 
de trilhos 
Deslocamento 
provocado pelas ações 
decorrentes da 
frenação 
H/400 
Efeitos em 
elementos 
estruturais 
Afastamento 
em relação 
às hipóteses 
de cálculo 
adotadas 
Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento 
considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a 
estabilidade da estrutura devem ser considerados, 
incorporando-os ao modelo estrutural adotado. 
1) As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por 
contraflechas, de modo a não se ter acúmulo de água. 
2)
 Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas. 
Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que l /350. 
3)
 O vão l deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve. 
4)
 Rotação nos elementos que suportam paredes. 
5)
 H é a altura total do edifício e Hi o desnível entre dois pavimentos vizinhos. 
6)
 Esse limite aplica-se ao deslocamento lateralentre dois pavimentos consecutivos devido à atuação de 
ações horizontais. Não devem ser incluídos os deslocamentos devidos a deformações axiais nos 
pilares. O limite também se aplica para o deslocamento vertical relativo das extremidades de lintéis 
conectados a duas paredes de contraventamento, quando Hi representa o comprimento do lintel. 
7)
 O valor l refere-se à distância entre o pilar externo e o primeiro pilar interno. 
NOTAS 
1 Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão l suportados em ambas as 
extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser 
considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço. 
2 Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que o valor l é o menor vão, 
exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, onde interessa a direção na qual a parede ou 
 
 
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divisória se desenvolve, limitando-se esse valor a duas vezes o vão menor. 
3 O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas 
pelos coeficientes definidos na seção 11. 
4 Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas. 
 
Estádio III: (os diagramas mostrados neste texto não consideram concretos de resistência acima de 
50MPa) 
 
No Estádio III, em lajes e vigas, a armadura deve plastificar-se, para que se possa aproveitar a 
resistência do material. O concreto também pode ser considerado plastificado. Com isto, a lei curva do 
concreto pode ser substituída por um bloco retangular de tensões e a tensão fica independente da 
deformação (encurtamento) sofrida pelo concreto. Ver a Figura seguinte. 
 
A altura do bloco de tensões obtém-se da igualdade de forças resistentes, supondo a armadura em 
escoamento: 
 
ysc fAbyf = , 
 
divide-se ambos os lados por bdfc e define-se a taxa mecânica da armadura ω : 
 
)/()/( cyscc bdffAbdfbyf = ou, trabalhando com as resistências características de ambos os materiais: 
 
278,0
20
500
360200
8008,0
=×
×
====
ck
ykS
f
f
bd
A
d
x
d
y
ω 
My = momento do início do escoamento e qy = carga que produz My na seção mais solicitada ( ): 
( ) ( )
mKNq
qKNmdfAM
y
yykSy
/56,27
6
8124
8
6124278,05,013605008005,01
2
2
=
×
=
==×−×××=ω−=
 
 
 
Segunda equação de equilíbrio: 
 
( )
( ) ( )ωωωµ
ω
5,015,01
)(5,01
int;
2
2
−=−===
÷−=
=×=
c
ykS
c
cykS
f
f
bd
A
fbd
M
relativomomento
fbddfAM
ernasforçasdasalavancadebraçozzaçonoforçaM
 
 
Considere-se agora um ensaio em laboratório. Se no ensaio rápido as resistências medidas 
experimentalmente forem iguais a fc = 28 MPa e fy = 500 MPa, tem-se, com AS = 800 mm²: 
 
 
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Taxa mecânica: 198,0
28
500
360200
800
=×
×
==
c
yS
f
f
bd
A
ω 
Momento relativo: ( ) ( ) 179,0278,05,01278,05,01 =×−×=ω−ω=µ 
Mu = momento último: 
KNmMMfbd
M
u
c
7,1291028360200179,0 622 =××××==→=µ
−
 
qu = carga última = ruína ou ruptura da viga: mkN
M
q uu /8,286
8
2 == 
 
5.1.3. MOMENTO RESISTENTE DE CÁLCULO (NO PROJETO) 
 
O momento resistente de cálculo (design) resulta da resistência de cálculo dos materiais: 
MPa
ff
MPaff
S
yk
yd
C
ck
cd
8,434
15,1
500
14,12
4,1
2085,085,085,0
==
γ
=
=×=
γ
=
 
Taxa mecânica de cálculo: 
398,0
14,12
435
360200
800
85,0
=×
×
==ω
cd
ydS
d f
f
bd
A
 
(notar que dω é aproximadamente o dobro de 198,0=ω obtido no ensaio). 
 
Momento relativo resistente de cálculo: 
 
( ) ( )
KNmfbdM cdRdRd
ddRd
3,1001014,1236020032,085,0
319,0398,05,01398,05,01
622
,,
,
=××××=µ=
=×−×=ω−ω=µ
 
 
Condição de segurança: 
( ) KNmMlqM RdKfSd 3,1008 ,
2
,
=≤γ= 
Coeficiente de segurança parcial da carga: 4,1=fγ 
Carga de cálculo: 
mKN
l
M
q Rdd /29,226
3,10088
22
,
=
×
== 
Carga característica (valor superior): 
mkN
l
M
q
f
Rd
k /9,154,16
3,10088
22
,
=
×
×
=
γ
≤ ou mkNqqqq
f
d
kkfd /9,154,1
29,22
==
γ
=→γ= 
 
Esta é a máxima carga que a viga deve suportar em serviço com segurança adequada com relação ao 
Estado Limite Último- Flexão (atenção: Há outros estados limites a serem atendidos! ). 
 
5.1.4. RESUMO 
(a) Carga de ruptura no ensaio: 
Carga última: mkNqu /8,28= 
 
 
 
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(b) Carga de fissuração: mKNqcr /89,3= 
Para kNmfWM fltcicr 5,171077,210336,6 66, =×××== − 
MPaf
MPaff
mmW
fltc
ckmct
i
77,2
21,23,0
10336,6
,
3
2
36
inf,
=
==
×=
 
 
(c) Carga de serviço: 





=σ
=σ
=
=
MPa
MPa
kNmM
mKNq
C
S
máx
3,16
267
50,67
/15 
 
(d) Carga de cálculo (no projeto): 
 
mkNq
mkNq
k
d
/9,15
/29,22
=
=
 Resistências de cálculo: 



=
=
MPaf
MPaf
yd
cd
8,434
14,1285,0
 
 
 
uuu xd
ou
xr −
=
1000/10100/5,31
: corresponde a uma deformação última seja no concreto (3,5‰), seja 
no aço (10‰); 
y
yd
yd xdr −
=
ε1
: corresponde à deformação do início do escoamento do aço, 
s
yd
yd E
f
=ε ; 
y
yk
yk xdr −
=
ε1
: corresponde à deformação do início do escoamento do aço, 
s
yk
yk E
f
=ε . 
 
 
 
CENTRO DE TECNOLOGIA E URBANISMO – Departamento de Estruturas 
Construções em Concreto Estrutural – 3TRU024 – Prof. Roberto Buchaim 
 
NOTAS DE AULA 
 
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5.1.5. RESISTÊNCIA À TRAÇÃO NA FLEXÃO PARA O PROJETO 
 
A resistência à tração na flexão a usar no projeto depende da finalidade do cálculo. 
 







=
=
=
=→
























+
=
3
2
sup,
3
2
3
2
inf,
7,0
7,0
,,
39,0
30,0
21,0
100
5,1
100
5,11
ckkct
ckmct
ckkct
tctcfltc
ff
ff
ff
f
h
h
ff 
 
- fctm (valor médio) é usado para obter Mcr = W.fct,fl e também no cálculo da rigidez equivalente (EI)eq, e 
portanto, no cálculo dos deslocamentos (flechas, rotação de apoios). 
 
- fctk,inf (valor característico inferior) é usado para checar se há ou não fissuração, com no máximo 5% de 
probabilidade. Notar que, se a peça fissurar para uma ocorrência rara da carga, ela permanecerá fissurada 
ao longo de sua vida útil. 
 
- fctk,sup (valor característico superior) é usado para obter a armadura mínima na flexão. 
 
5.1.6. ARMADURA MÍNIMA DE FLEXÃO (ITEM 17.3.5.2.1 DA NBR 6118) 
 
Esta armadura mínima, cf. a NBR 6118, deve ser dimensionada para resistir ao momento mínimo de 
cálculo: 
sup,0min, kctd fWM = , não se colocando menos do que bhAs 100
15,0
min, = (seção retangular). 
Considera-se Md,min atendido para as taxas