TEORIA DOS GRUPOS E ANÉIS

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Material de aula da Prof. Silvia Fernanda M. Brandão 1 
Teoria dos Grupos e Anéis 
 
 
6.1. Definição de Operações Binárias 
Sendo E um conjunto, não vazio, toda aplicação (função) f: ExE → E recebe o nome de 
operação binária sobre E. Notação: f(x , y) = x * y. 
 
6.1.1. Propriedades de Operações Binárias 
 Seja * uma operação binária sobre um conjunto E. 
a) Fechamento: Para quaisquer x e y  E tem-se x * y  E 
b) Associativa: Para quaisquer x, y e z  E tem-se: x * (y * z) = (x * y) * z. 
c) Comutativa: Para quaisquer x, y  E tem-se: x * y = y * x. 
d) Elemento Neutro: 
Existe, um elemento, e  E tal que, para todo x  E tem-se x * e = e *x = x. 
e) Elementos Simetrizáveis: 
x'  E, é chamado simétrico de x se x * x' = x' * x = e (elemento neutro). 
f) Elementos Regulares: 
a  E, é um elemento regular se: 





y x a *y a *x 
y x y * a x * a
  x, y  E. 
 
6.1.3. Exercícios Propostos 
1) Considere as tabelas abaixo e, responda: 
* 1 2 * 1 2 * 1 2 * 1 2 * 1 2 
1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 
2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 
 
TABELA 1 TABELA 2 TABELA 3 TABELA 4 TABELA 5 
a) Quais das tabelas acima, de operação binária (*) no conjunto {1, 2}, são comutativas? Justifique 
a sua resposta. 
b) Responda: “a tabela 5 é associativa?”. Justifique a sua resposta. 
c) Preencha a tabela: 
 TABELA 1 TABELA 5 
Elemento neutro 
Simétrico de 1 
Simétrico de 2 
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2) Considere a operação * definida sobre o conjunto R* x R , onde: 
 (a, b) e (c,d)  R* x R, (a,b) * (c,d) = (ac, ad + b). Verifique as propriedades: comutativa, 
associativa, elemento neutro e elemento simétrico. 
 
 
6.2. Grupos 
 
6.2.1.Definições e aplicações 
Sejam G, um conjunto, não vazio, e * uma operação binária sobre G. Dizemos que G é um 
grupo em relação à operação *, e denotamos por (G,*) se, e somente se: 
i) a * (b * c) = (a * b) * c  a, b e c  G; 
ii) Existe e  G tal que a * e = e * a = a  a  G; 
iii) Todo elemento de G é simetrizável em relação a operação *, isto é: 
 a  G,  a'  G tal que a * a' = a' * a = e (elemento neutro) 
 
Exemplo: Mostre que (a, b) * (c, d) = (a+c, b+d) é um grupo. 
 
6.2.2.Grupos Comutativos ou Abelianos 
 Dizemos que um grupo (G,*) é abeliano ou comutativo se, e somente se, 
a * b = b * a  a, b  G. 
 
Exemplo: Prove que: M2x2(IR) é um grupo abeliano. 
 
6.2.3. Subgrupos 
 Seja (G, ∆) um grupo. Dizemos que um subconjunto não vazio H, H  G, é um subgrupo de 
G se, somente se: 
I)  a, b  H  a ∆ b  H (isto é, H é fechado para a lei de composição interna de G); 
II) (H, ∆) também é um grupo (a lei de composição é a mesma de G, só que restrita a H). 
 
OBS: A propriedade associativa é válida para todo, os elementos de G; em particular, é válido aos 
elementos de H ; pois , H  G. 
 
TEOREMA: 
Seja (G, ∆) um grupo e H um subconjunto não vazio de G. H é um subgrupo de G se, 
somente se: 
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I)  a, b  G; se a, b  H  a ∆ b  H 
II)  a  G; se a  H  a’  H 
 
6.2.4. Exercícios Propostos 
1) Responda as perguntas abaixo, justificando sua resposta. 
a) “Diz-se que um conjunto A munido da operação binária * é um grupóide relativamente à 
operação *, e, representa-se o grupóide por: (A, *). ” Responda: os pares ordenados (N, -) e 
(N, .) são grupóides? Por quê? 
b) Se considerarmos o conjunto A = {a, b, c} munido da operação *, definida pela tabela abaixo: 
* a b c 
A a c b 
B c b a 
C b a c 
 responda e justifique: (A, *) é um semigrupo? 
c) O que você pode afirmar em relação às estruturas (N, +) e (N, .)? Especifique os respectivos 
elementos neutros. 
d) Determine o elemento simétrico de um elemento qualquer de (Z, +) e (Q, .). 
2) Considere a operação * definida sobre o conjunto R* x R , onde: 
 (a, b) e (c,d)  R* x R, (a,b) * (c,d) = (ac, ad + b) 
a) A estrutura (R* x R, *) é um grupo? É uma estrutura abeliana? Justifique sua resposta. 
b) Caso a operação * fosse definida sobre o conjunto Z x Z, a estrutura (Z x Z, *) seria um 
grupo? Justifique sua resposta. 
3) Considere o conjunto dos números reais r munido da operação * definida por: 
x * y = x + y - 3. Mostre que (IR , *) é um grupo abeliano. 
4) Verifique se z x z é grupo em relação a alguma das seguintes leis: 
a) Soma Direta - :  (a,b) e (c,d)  z x z, (a,b)  (c,d) = (a + c, b +d) 
b) Produto Direto - :  (a,b) e (c,d)  z x z, (a,b)  (c,d) = (ac, bd) 
c) (a, b) * (c, d) = (ac – bd, ad + bc) 
d) (a, b) * (c, d) = (ac, ad + bc) 
5) Sejam A um conjunto não vazio e IRA o conjunto das aplicações de A em IR. Definimos uma 
“adição” e uma “multiplicação” em IRA assim: 
  f, g  IRA : (f + g) (x) = f (x) + g (x),  x  A 
 (f . g) (x) = f (x) . g (x),  x  A 
 a) Mostre que (IRA, +) é grupo. b) Verifique se (IRA, . ) é grupo. 
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6) Mostre que só há um modelo de tábua para grupos de ordem 3. 
7) Se G = { e, a , b, c} é um grupo em relação à tabela abaixo, complete-a. 
* e a b C 
E e a b C 
A a 
B b c 
C c e a 
8) Construir a tábua de um grupo G = {e, a, b, c, d, f}, de ordem 6, sabendo que : 
I) G é abeliano; 
II) O neutro é e; 
III) a ∆ f = b ∆ d = e 
IV) a ∆ d = b ∆ c = f 
V) a ∆ c = b ∆ b = d 
VI) c ∆ d = a 
9) O conjunto G = {e, a, b, c, d, f} tem uma estrutura de grupo em relação à tabela abaixo: 
* e a b c d f 
e e a b c d f 
a a b e f c d 
b b e a d f c 
c c d f e a b 
d d f c b e a 
f f c d a b e 
 a) Seja H1 = {e, c}. Verifique se H1 é subgrupo de G. 
 b) Seja H2 = {e, a, f}. Verifique se H2 é subgrupo de G. 
10) Verifique se H = 2z = {0, 2, 4, ...} é subgrupo de (z, +). 
11) Mostre que H = 3z = {3k | k  z} é subgrupo do grupo aditivo z. 
12) Provar que se H1 e H2 são subgrupos de um grupo G, então H1  H2 é um subgrupo de G. 
 
6.2.5. Propriedades de um Grupo 
a) O elemento neutro de (G, *) é único 
b) Existe um único elemento simétrico para cada elemento a  G 
c) Se a, b  G  (a * b)’ = b’ * a’ 
d) Se a  G  (a’)’ = a 
e) Se a, b  G então a equação a * x = b, onde x é uma variável em G. A equação admite 
uma única solução no conjunto G. 
f) Seja (G, *) um grupo. Em particular, vale a lei do cancelamento: 
a * b = a* c  b = c 
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Exercício Proposto: Provar as propriedades de grupo. 
 
 
6.3. Morfismos: Semigrupos e Grupos 
 
6.3.1.Homomorfismo de Grupo 
Dados dois grupos (G, ∆) e (J, *), dizemos que uma aplicação f : G → J é um 
homomorfismo de G em J se, e somente se:  a, b  G; f(a ∆ b) = f(a) * f(b) , isto é, f é compatível 
com as leis de G e J. 
 
Exemplos: 
1) Seja f : (IR, + ) → (IR*, . ) e f (x) = 2x . 
  a, b  IR ; f(a + b) = 2a+b = 2a . 2b = f(a) . f(b) 
Portanto, f é um homomorfismo de (IR, + ) em (IR *, . ). 
 
2) Seja f : (z, + ) → (z, + ) e f (x) = 2x . 
  a, b  z ; f(a + b) = 2(a+b) = 2 a + 2 b = f(a) + f(b) 
Portanto, f é um homomorfismo de (z, + ) em (z, + ). 
 
TEOREMA: Sejam (G, *), (J, *) e (L, *) grupos de f : G → J e g : J → L homomorfismos. Então 
a aplicação gof : G → L é, também, um homomorfismo. 
Demonstração: 
  a, b  G ; gof(a * b) = g(f(a * b)). 
A função f é um homomorfismo então g(f(a * b)) = g(f(a) * f(b)). A função g é um 
homomorfismo então g(f(a) * f(b)) = gof(a) * gof(b). Portanto, gof é um homomorfismo. 
 
 
Núcleo de um HomomorfismoSejam (G, ∆) e (J, *), grupos e a função f : G → J um homomorfismo. Chama-se núcleo de 
f e denota-se por N(f) ou Ker(f) o seguinte subconjunto de G : 
N(f) = {x  G | f(x) = u } , 
onde ‘u’ indica o elemento neutro de J. 
 
Exemplo: Seja f : (IR, + ) → (IR*, . ) e f (x) = 2x .um homomorfismo. O núcleo do 
homomorfismo é: N(f) = { x  IR | 2x = 1 } = { 0 }. 
 
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6.3.2. Monomorfismo de Grupos 
 Dados dois grupos (G, ∆) e (J, *). Uma aplicação f : G → J é um monomorfismo do grupo 
G em J se, somente se : 
a) f é injetora; 
b) f é um homomorfismo de grupo. 
 
6.3.3. Isomorfismo de Grupos 
 Dados dois grupos (G, ∆) e (J, *). Uma aplicação f : G → J é um isomorfismo do grupo G 
em J se, somente se : 
a) f é bijetora; 
b) f é um homomorfismo de grupo. 
 
6.4. Exercícios Propostos 
1) Seja f : (z, +) → (C*, .), dada por f (m) = im, m  z. 
 a) mostre que f é um homomorfismo 
 b) dê o núcleo de f 
 c) verifique se f é um monomorfismo 
2) Seja f : (IR *+, +) → (IR , +), dada por f (x) = log (x), x  r*+. 
 a) mostre que f é um homomorfismo 
 b) dê o núcleo de f 
 c) verifique se f é um monomorfismo 
 d) verifique se f é um isomorfismo 
3) Seja f : (C*, .) → (IR *+, .), dada por f (z) = | z | , z  C*. 
 a) mostre que f é um homomorfismo 
 b) dê o núcleo de f 
 c) verifique se f é sobrejetora 
 d) verifique se f é um isomorfismo 
4) Prove as seguintes afirmações: (Livro de Álgebra - Gelson Iezzi) 
a) Se f é um isomorfismo do grupo (G, *) no grupo (J, ∆), então f -1 é um isomorfismo 
de (J, ∆) em (G, *). 
b) Sejam (G, *) , (J, *) e (L, *) grupos de f : G → J e g : J → L. Se f e g são 
monomorfismos, então gof : G → L também o é. 
c) Sejam (G, *) , (J, *) e (L, *) grupos de f : G → J e g : J → L. Se f e g são isomorfismos, 
então o mesmo ocorre com gof . 
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5) Verificar em cada caso, se f é um homomorfismo. Caso afirmativo, determine o núcleo e 
verifique se é um isomorfismo. 
 a) f : (z, +) → (z, +), dada por f (x) = kx, onde k é um inteiro dado 
 b) f : (IR *, .) → (IR *, .), dada por f (x) = | x | , x  IR *. 
 c) f : (IR, +) → (IR, +), dada por f (x) = x + 1 
 d) f : (z, +) → (zxz, +), dada por f (x) = (x, 0) 
 e) f : (zxz, +) → (z, +), dada por f (x, y) = x 
 f) f : (z, +) → (2z = {0, 2, 4, ...}, +), dada por f (x) = 2x 
6) a) Seja a  IR +, com a = 1. Mostre que G = { am / m  z} é um subgrupo de (IR +, .). 
b) Mostre que f : (z, +) → (G, .), dada por f (m) = am é um isomorfismo. 
 
7. Anéis 
 
 
7.1. Definições e Aplicações 
Seja A um conjunto, não vazio, dizemos que (A, +, .) é um anel se: 
i) O conjunto A é abeliano em ralação à adição, isto é: 
a) a + (b + c) = (a + b) + c  a, b, c  A; 
b) a + b = b + a  a, b  A; 
c) Existe e  G tal que a + e = e + a = a  a  A; 
d) Todo elemento de A é simetrizável em relação a operação +, isto é: 
 a  A,  a'  A tal que a + a' = a' + a = e (elemento neutro) 
ii) A multiplicação (.) é associativa, isto é: 
 a . (b . c) = (a . b) . c  a, b, c  A; 
iii) A multiplicação (.) é distributiva em relação a adição (+), isto é: 
 a . (b + c) = a . b + a . c  a, b, c  A; 
 (b + c) . a = b . a + c . a 
 
Exemplos 
1) Mostre que (Z, +, .) é um anel. 
2) Mostre que (2Z, +, .) é o anel dos inteiros pares. 
3) Mostre que A = {f | f: Z → Z} é um anel. Dados: 





g(x) . f(x)g)(x) . (f tqZZ:g) . (f
g(x) f(x)g)(x) (f tqZZ:g) (f
 
 
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7.2. Anel Unitário 
 Se num anel (A, +, .), for satisfeita a condição de (A, .) ser um monóide dizemos, então, que 
A é um anel unitário ou um anel com unidade. O símbolo 1A é chamado unidade do anel. 
 
Exemplo: (Z, +, .) é um anel unitário, cuja unidade é 1. 
 
7.3. Anel Comutativo 
 Se num anel (A, +, .), for satisfeita a condição de (A, .) ser um semigrupo comutativo 
dizemos, então, que A é um anel comutativo. 
 
7.4. Propriedades de um Anel 
Consideremos um anel (A, +, .): 
a) Quanto a adição, A é um grupo abeliano, então: 
a1) o zero do anel é único 
a2) Para cada a  A existe um único simétrico aditivo: 
a3) Dados b1, b2, b3, . . ., bn  A tem-se: 
-( b1 + b2 + b3 +, . . ., + bn) = (-b1) + (-b2) + (-b3) +, . . ., + (-bn) 
a4) Para todo a  A tem-se -(-a) = a 
a5) Para todo a, x e y  A tem-se: a + x = a + y  x = y. 
a6) O conjunto solução da equação a + x = b, com a e b  A é: (-a) + b 
 
b) Para todo a  A  a . 0 = 0 . a = 0 
c) Para todo a e b  A tem-se: a . (-b) = (-a) . b = -(a . b) 
 
7.5. Homomorfismo de Anel 
Sejam (A, +, .) e (B, *, ∆) dois anéis. Uma aplicação f: A → B é chamada homomorfismo de 
A em B se as seguintes condições se verificam: 
i) Para todo x e y  A tem-se: f(x + y) = f(x) * f(y); 
ii) Para todo x e y  A tem-se: f(x . y) = f(x) ∆ f(y). 
 
Obs.: Como (A, +) e (B, *) são grupos, a função f é, em particular, um homomorfismo de grupo. 
 
Núcleo de um Homomorfismo 
 Dado f : (A, *, ∆) → (B, *, ∆) um homomorfismo. Indicaremos por N(f) e chamaremos de 
núcleo de f o seguinte subconjunto de A: 
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N(f) = {x  A | f(x) = u } , 
onde ‘u’ indica o zero do anel B. 
 
7.6. Isomorfismo de Anel 
Sejam A e B dois anéis. Uma aplicação f: A→ B é chamada isomorfismo de A em B se: 
i) f é bijetora; 
ii) f é um homomorfismo de anéis. 
 
7.7. Exercícios Propostos 
1) Mostrar que (ZxZ,*, ∆) é um anel com unidade e comutativo. Considere as operações * e ∆ em 
ZxZ, definidas por: 
 (a,b) * (c,d) = (a+c, b+d) e (a,b) ∆ (c,d) = (ac - bd, ad + bc) 
2) Verifique se (Z,*, ∆) é um anel. Considere as operações * e ∆ em Z, definidas por: 
 a * b = a + b + 1 e a ∆ b = a + ab 
3) Prove que são anéis. Verifique se são comutativos? Quais têm unidade? Determinar a unidade no 
caso de existir. 
a) (Z,+, ∆) - o conjunto Z dotado das leis adição usual e da operação ∆ assim definida: 
a ∆ b = 0 ;  a, b  z. 
b) (ZxZ, *, ∆) - considere as operações * e ∆ em ZxZ, definidas por: 
(a,b) * (c,d) = (a+c, b+d) e (a,b) ∆ (c,d) = (ac, ad + bc) 
c) (Q,*, ∆) - considere as operações * e ∆ em Q, definidas por: 
a * b = a + b - 1 e a ∆ b = a + b - ab . Ache os elementos inversíveis de Q. 
4) Sabe-se que A = {a, b, c, d} e (A, +, .) é um anel em que os elementos neutros das operações + e 
. são, respectivamente, a e b. Conhecendo-se os compostos b + b = a, c + c = a, c.d = a, construir as 
tábuas das duas operações. 
5) Considere as operações * e ∆ em Z definidas por: x * y = x + ay - 2 e x ∆ y = xy + bx + cy + d, 
onde a, b, c , d são números inteiros dados. Determinar a, b, c , d de modo que (Z,*, ∆) seja um anel. 
Para os valores obtidos de a, b, c , d, (Z,*, ∆) é um anel comutativo com unidade? 
6) Considere os seguintes anéis: (R, +, .) e (R, *, ∆), sendo: 
a * b = a + b + 1 e a ∆ b = a + b + ab. Mostre que f: (R, +, .) → (R, *, ∆) dado por f (x) = x - 1, 
x  R é um isomorfismo. Defina o isomorfismo inverso. 
7) Verificar em cada caso, se f é um homomorfismo de anel em anel. Caso afirmativo, determine o 
núcleo e verifique se é um isomorfismo. 
 a) f : (z, +, .) → (z, +, .), dada por f (x) = x + 1 
 b) f : (z, +, .) → (z, +, .), dada por f (x) = 2x 
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 c) f : (z, +, .) → (ZxZ, +, .), dada por f (x) = (x, 0), x  z. 
 d) f : (zxz, +, .) → (z, +, .), dada por f (x, y) = x,  (x,y)  zxz. 
 e) f : (zxz, +, .) → (zxz, +, .), dada por f (x, y) = (y, x),  (x,y)  zxz. 
 f) f : (C, +, .) → (C,+, .), dada por f (a + bi) = a - bi 
 g) f : (zxz, +, .) → (zxz, +, .), dada por f (x, y) = (0, y),  (x,y)  zxz. 
 h) f : (zxz, +, .) → (z, +, .), dada por f (x, y) = y,  (x,y)  zxz. 
 i) f : (z, +, .) → (ZxZ, +, .), dada por f (x) = (2x, 0), x  z. 
j) f : (z, +, .) → (ZxZ, +, .), dada por f (x) = (0, x), x  z. 
k) f : (zxz, +, .) → (zxz, +, .), dada por f (x, y) = (-y, -x),  (x,y)  zxz. 
Obs.: Considere: 
Produto Direto (.):  (a,b) e (c,d)  Z x z, (a,b) . (c,d) = (a . c, b .d) 
Soma Direta (+):  (a,b) e (c,d)  Z x z, (a,b) + (c,d) = (a + c, b +d) 
8) Seja f : zxz → zxz dada por f (x, y) = (mx+ny, px+qy). Calcular m, n, p, q de modo que f seja 
um homomorfismo do anel zxz nele mesmo;