RESUMO DAS QUESTOES DE ALGEBRA

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O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 4 é um grupo ? 
Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. 
O conjunto R dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro. 
e = 3 
Considere em Z a operação * definida por: 
* : Z x Z → Z 
(x,y) → x*y = x + y - 2 
Verifique a existência de elementos simétrizáveis. 
x-1 = 4 - x 
O conjunto Z dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo ? 
Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico. 
Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 3. A partir dela podemos dizer que 
15 * (-2) é: 1 
Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais 
dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. m = n 
Considere em Z a operação * definida por: 
* : Z x Z → Z 
(x,y) → x*y = x + y + xy 
Verifique a existência do elemento neutro. Existe elemento neutro e = 0 
 
 
1 
Seja operação binária * definida por: a * b = resto da divisão de a + b por 4. A partir dela podemos dizer que 
16 * 4 é: 0 
Considere em Z a operação * definida por: 
* : Z x Z → Z 
(x,y) → x*y = x + y - 2 
Verifique a existência do elemento neutro. e = 2 
Considere as seguintes afirmações: 
(I ) A operação x⋆y=x+y2, G = R sobre G é um grupo. 
(II) A operação * em Z, definida por x*y = x + y + xy não possui elemento neutro e portanto não é um grupo. 
(III) A operação * em Z, definida por x*y = x + y - 4 possui elemento neutro e = 4 
Podemos concluir que A afirmação III é verdadeira 
 
 
Existe elemento neutro e = 0 
O conjunto R dotado da operação * tal que x ⋆ y=x+y2 é um grupo ? 
Não, pois a propriedade associativa não foi verificada. 
O conjunto dos números reais e a operação multiplicação, possuem estrutura de grupo. Nestas condições, a 
propriedade que garante que seja um grupo abeliano é: Comutativa. 
O conjunto R dotado da operação * tal que x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento simétrico. 
x-1 = 6 - x 
 
 
1 
 
{(0,6)} 
Considere o conjunto (Z8, +). Marque a alternativa que indica a solução da equação x + 5 = 3. 6 
Determine o elemento neutro da operação x * y = x + y - ¯2 em Z3. e = ¯1 
Considere a tábua incompleta da operação * sobre o conjunto G = {a, b, c, d, e} e as seguintes afirmações: 
(I) e * x = x = x * e, para todo x. 
(II) a * x = a = x * a, para todo x. 
(III) x * x = e, para todo x diferente de a. 
(IV) b * d = c; 
(V) b, c, d são regulares. 
 
Marque a alternativa que indica o elemento que está faltando para a tábua ficar completa. b 
 
 
As afirmações I e II são verdadeiras 
 
Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação * apresentada na tábua de operação abaixo. 
 
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares. 1, 2 e 5 
Considere o conjunto (Z5, +). Marque a alternativa que indica a solução de equação x + 4 = 2 3 
Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy. 
 
Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto Z11. 4 
Marque a alternativa que apresenta a construção correta da tábua de uma operação * sobre o conjunto G = 
{1,2,3,4} de acordo com as condições (I), (II), (III), (IV) e (V) dadas. 
(I) 1 é o elemento neutro 
(II) seja comutativa 
(III) todos os elementos de G são simetrizáveis 
(IV) todos os elementos de G são regulares 
(V) 2*3 = 1 
 
Marque a alternativa que indica a solução da equação 3x + 2 = 6x + 7 em Z8. 
1 
 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua 
encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G. 
 
 
x = f 
 
 
e = f1 
Marque a alternativa que indica a soma de 259 + 371 em Z11. 3 
Calcule o produto (27).(45) considerando Z10. 5 
Determine 2-4 em (Z, +). 
-8 
Considere o grupo (Z10,+). Determine o subgrupo gerado pelo elemento 3. 
 Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. 
 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. 
Determine a ordem do elemento d. 
 
 
o(d) = 3 
 
 
 
As afirmações II e III são verdadeiras 
 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua 
encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G. 
 
 
x = c 
Questão 6: Considere o grupo (Z10,+). Determine um subgrupo gerado pelo elemento 4. 
[4] = {2,4,6,8,0} 
Seja (Z, *) um grupo onde a operação * é definida por a * b = a + b - 3. Considere o subconjunto 3Z = {3X / x ∈ 
Z}. Verifique se (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
Considerando t e u dois elementos de 3Z, onde t = 3x e u = 3y, temos: 
t*u = (3x)*(3y) = 3x+3y -3 = 3(x + y -1). Logo, t*u ∈ 3Z. 
Seja t um elemento de 3Z, onde t = 3x.t-1 = 6 - t = 6 - 3x = 3(2 - x). Logo, t-1 ∈ 3Z. 
Portanto, (3Z, *) é um subgrupo de (Z, *). 
Seja (G,*) um grupo. Se R e S são subgrupos de G então R ∩ S é um subgrupo de G. Marque a alternativa 
que apresenta a demonstração correta dessa proposição. 
Por hipótese G é um grupo e R e S são subgrupos de G. R e S contém o elemento e ∈G, assim e ∈R ∩ S . 
Isso mostra que R ∩ S ≠ Ø. Considere dois elementos x, y ∈R ∩ S. Pela teoria dos conjuntos x,y ∈ R e x,y ∈S. 
Pela hipótese xy ∈R e xy ∈S então xy ∈ R ∩ S . Agora considerando um elemento x∈ R ∩ S , temos x ∈ R e 
x ∈S, pela hipótese x-1 ∈R e x-1 ∈S , temos então x-1 ∈R ∩ S. Portanto, R ∩ S é um subgrupo de G. 
Considere as seguintes afirmações: 
 (I) 3Z é subgrupo de 6Z. 
(II) 2Z + 1 dos inteiros ímpares não é subgrupo do grupo (Z, +). 
(III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +) 
(IV) (Z, +) não é um subgrupo de (Q, +) 
Podemos concluir que 
As afirmações II e III são verdadeiras 
Considere o grupo (Z*7, .) e a = 5. Determine a2 . 4 
Podemos verificar de maneira mais simples a existência de subgrupo através de uma proposição. Marque a 
alternativa que apresenta corretamente essa proposição. 
Seja H um subconjunto não vazio de um grupo G. Então H é um subgrupo de G se, e somente se, são 
satisfeitas as seguintes propriedades: 
∀h1,h2 ∈H, temos h1h2 ∈H e 
 ∀h ∈ H, ∃ h ∈H, tal que h ∈H. 
 
Considere o grupo (Z6 ,+) e a = 4. Determine a2 . 2 
 
A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine os 
geradores de G. 
 
 
A e F 
Considere o grupo (Z6,+) e 2 um elemento de Z6. Determine a ordem do elemento 2. o(2) = 3 
Considere o grupo (Z10,+). Determine o subgrupo gerado pelo elemento 2. [2] = {2,4,6,8,0} 
Considere o grupo (Z,+) e a = 4. Determine a2. 8 
Seja (Z6, +) um grupo. Verifique se H = {0,2,3,4} é um subgrupo de 
(Z6, +). 
H não é subgrupo de (Z6, +). 
 
 
3 + H 
 
 
O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H 
Considere (Z6, +) um grupo comutativo e H = {0,3} subgrupo de (Z6, +). 
Determine o número de classes laterais. 3 
Considere o grupo aditivo (Z6,+) e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G. 
G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N} 
Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então: 
A ordem de H divide a ordem de G. 
Considere o Teorema de Lagrange: 
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a 
ordem de H, O(H), é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H). 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema. 
Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda 
módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G , já que a união de todas as classes laterais módulo H é igual a 
G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementosde cada 
classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G). 
Considere o grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i} e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica 
as classes laterais G. {1, -1} , {i, - i} 
Sejam G um grupo e H,J subrgrupos normais de G. Podemos afirmar que: 
H∩J é um subgrupo normal de G. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de grupos. 
Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de 
grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção e f(x*y) = f(x)∆f(y) ∀ ∈ G1 onde f é um 
homomorfismo de grupos. 
Marque a alternativa que indica corretamente a definição de homomorfismo de grupos. 
Sejam dois grupos (G1,*) e (G2,∆) , e uma aplicação f: G1 →G2. Dizemos que f é um homomorfismo de 
grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, 
f(x*y) = f(x)∆f(y), ∀x,y ∈G1. 
Marque a alternativa correta. 
Quando G1 = G2 = G e f: G → G é um isomorfismo, podemos chamar f de automorfismo de G. 
 
 
 
 
 
 
Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta. 
De acordo com a teoria do isomorfismos de Grupos podemos dizer que os grupos S3 e Z6 não 
são isomorfos. 
PORQUE 
S3 não é abeliano e Z6 é abeliano. 
As duas afirmativas são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira. 
 
 
x é igual a 1 2 3 4 
 4 1 3 2 
Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f. 
N(f) = {0} 
 
Considere o seguinte resultado sobre isomorfismos de grupos: 
Sejam m, n elementos de N* tais que m|n. Se n = md, d é um elemento de N, então pelo Teorema do 
Isomorfismo concluímos que 
 
De acordo com o resultado apresentado, marque a alternativa correta. 
 
Considere G = ZxZ com a seguinte operação adição: 
(a,b) + (c,d) = (a + c, b + d). f: G →G, f(x,y) = (0,3x + 5y) é um homomorfismo, determine seu núcleo. 
N(f) = {(x,y) ∈ RxR / 3x + 5y = 0} 
Considere dos conjuntos G e H. Marque a alternativa que explica corretamente como devemos mostrar que G 
é isomorfo a H. 
Para provarmos que existe um isomorfismo entre G e H, devemos verificar as duas condições dadas na 
definição de isomorfismo, ou seja, encontrar uma função 
f: G → H que seja bijetora, e verificar a existência de um homomorfismo de grupos. 
Analise as proposições sobre isomorfismo de grupos e marque a alternativa correta. 
(I) Os grupos G = (Z3,+) e H = (Z6,+) são isomorfos. 
(II) Os grupos G = (S3,o) e H = (Z6,+) não são isomorfos. 
(III) Os grupos G = (R*,.) e H = (R,+) são isomorfos. 
II , apenas 
Marque a alternativa correta. 
Seja f: A → B tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel. 
Consideremos o homomorfismo de grupos f: (ZxZ, +) → (ZxZ, +), 
f(x,y) = (x - y, 0). Determine o núcleo de f. 
N(f) = {(x,y) ∈ZxZ/x =y} 
Marque a alternativa que indica a definição correta de homomorfismo de anéis. 
Sejam (A, +, .) e (B, +, .) dois anéis e seja a função f: A → B. Dizemos que f é um homomorfismo do anel A no 
anel B se, e somente se, são válidas as seguintes condições: f(x + y) = f(x) + f(y) e f(xy) = f(x)f(y). 
 
Seja f: G1 →G2 um homomorfismo de grupos, onde os grupos considerados são (G1,*) e (G2,∆) , e o 
elemento neutro de G2 , e2. Definimos núcleo do homomorfismo f ao conjunto {x ∈ G1/ f(x) = e2}. Marque a 
alternativa que mostra corretamente que o núcleo de f, Ker(f), definido por Ker(f) = {x∈ G1/ f(x) = e2} é um 
subgrupo normal de G1. 
Vamos considerar x,y∈ ker(f). Precisamos mostrar que xy ∈ ker(f) e que x-1 ∈ ker(f). Note que por f ser um 
homomorfismo de grupos podemos escrever f(xy) = f(x).f(y) = e2.e2 = e2 .Portanto, xy ∈ ker(f). Também 
podemos escrever que 
f(x-1)(f(x))-1 = (e2)-1 = e2. Portanto, x-1 ∈ ker(f). Note que para todo g em G1 e para todo x∈ ker(f) temos f(gxg-1) 
= f((gx)g-1) = f(gx).f(g-1) = f(g).f(x).(f(g))-1 = 
=f(g).e2.(f(g))-1 = f(g)(f(g))-1 = e2. Portanto, gxg-1 ∈ ker(f), 
para todo g em G1 e para todo x ∈ ker(f). Assim, 
concluímos que o núcleo de f é um subgrupo normal. 
 
 
 
d - c 
 
 
e = 0 
Resolvendo a equação 3x + 2 = 6x + 7 no anel Z8 encontramos como solução : 
x = 1 
O conjunto das matrizes (Mn(A), +, .) é um anel. Considerando essa informação marque a alternativa que 
indica a existência do elemento simétrico para a adição. 
Seja X = [xij] em (Mn(A), +, .), onde xij é um elemento do anel A. Sendo assim, existe o simétrico -xij que 
pertence ao anel A tal que xij + (-xij) = (-xij) + xij = 0. Então tomemos - X = [- xij] em (Mn(A), então X + (-X) = [xij] 
+ [-xij] = [xij -xij] = [0] = e. Logo, - X = [- xij] é o simétrico de X = [xij]. 
 
As tábuas abaixo representam as operações de adição e multiplicação no anel 
A = {a,b,c} com três elementos distintos. As tábuas estão incompletas. Marque a alternativa que apresenta 
os elementos que estão faltando nas tabelas da adição e multiplicação, respectivamente. 
 
 
c - b 
Considere as operações x * y = x + y - 2 e x Δ y = xy - 2x - 2y + a, com a∈Z. Para que valor de a, (Z, * , Δ) é 
um anel? a = 6 
Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a 
operação de multiplicação usual: nZ 
Indique a opção que representa uma solução para o sistema de equações 6x+5y=7 e 3x + y=2 no anel Z12: 
x= 3 e y= 5 
Julgue as proposições abaixo e marque a alternativa correta. 
(I) (A, +, .) é um anel de funções de Z em Z. 
(II) Vamos considerar dois anéis A e B. O produto cartesiano A x B não é um anel. 
(III) Seja K um conjunto não vazio e (A, +, .) um anel. Denotamos por AK o conjunto de todas as funções de 
K em A. 
I e III , apenas 
Encontre a solução do sistema de equações determinado pela equações 3x+2y=1 e 4x+6y=2 no Anel Z7 . 
X= 3 e y=3 
 
 
∀x∈Z,∃(−2−x)∈Z 
Marque a alternativa correta que apresenta o elemento neutro do anel (Q,*, Δ) com as operações definidas 
por: a * b = a + b - 1 
 a Δb = a + b - ab 
e = 1 
Com as operações de anel estudadas analise as proposições abaixo e sinalize as corretas. 
(I) (Z, +), (Q, +), (R, +) e (C, +) são grupos abelianos finitos. 
(II) (Zn , +), n∈N⋅é um grupo abeliano finito com n elementos. 
(III) Se A é um anel, então (Mn(A), +) é um grupo abeliano para cada n∈N 
As afirmativas II e III estão corretas 
 
 
x' = 2 - a 
Sejam A um anel e a,b ϵ A. (I) a.0=0; (II) a.(-b)=(-b).a= -b.a; (III) (-1).a= -a; (IV) a+b=b+a; Segundo as 
afirmativas, 
apenas (II) está incorreta. 
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto 
estudado: 
Seja A um anel, a,b∈A e m∈Z temos: m(a + b) = ma + mb 
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
Seja A um anel, a,b∈A e m∈Z. 
Por indução sobre m verificamos que: 
Para m = 1 temos 1(a + b) = 1a + 1b a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para m = k ≥ 1. 
k(a + b) = ka + kb 
Vejamos que é válido para m = k + 1. 
(k + 1)(a + b) = ka + kb + 1a + 1b. 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
(I) Se (A,+, .) é um anel comutativo, então (AK, +, .) é comutativo. 
(II) Se A e B são anéis com unidade, então A x B não tem unidade. 
(III) Se (A,+, .) é um anel com unidade, então (Mnxn(A),+, .) tem unidade. 
(IV) (Zm , +, .) é um anel comutativo com unidade. 
Com relação as afirmações podemos concluir que: 
Somente a I, III e IV estão corretas. 
A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo: 
Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x,y,z∈A então (x - y)z = xz - yz. 
Seja (A, + ,⋅ ) um anel e x,y,z elementos de A. 
Temos: (x - y)z =(x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade). 
Pela propriedade -(xy) = (-x)y = x(-y), temos xz + (-yz) = xz - yz. 
Portanto, (x - y)z = xz - yz. 
Um anel é um conjunto A, cujos elementos(x,y e z) podem ser adicionados e multiplicados satisfazendo as 
seguintes algumas propriedades. Diga, entre as opções abaixo a propriedade que identifica o anel 
comutativo. 
x.y= y.x 
Marque a única alternativa correta sobre os anéis comutativos. 
(RR, +,.) é um anel comutativo. 
Indique nas alternativas abaixo a unidade do anel (Zm,+, .) para m ≥ 2 onde m é um elemento do conjuntos 
dos inteiros. 
1 
 
A Professora Claudia definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o 
assunto estudado: 
Seja A um anel, a um elemento de A e m,n elementos de Z, m(na) = (mn)a 
Ela fez a demonstração dessa proposição por indução. 
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta. 
Seja A um anel, a um elemento do anel A e m,n elementos de Z.. 
Por indução sobre n verificamos que: 
Para n = 1 temos m(1a) = (m1)a a propriedade é verdadeira. 
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1. 
m(ka) = (mk)a 
Vejamos que é válido para n = k + 1. 
m((k + 1)a) = m(ka + a) = mka + ma = (mk + m)a = (m(k+1))a. 
A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. 
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo: 
Se (A, + ,⋅ ) é um anel e x∈A então - (-x) = x 
 
Seja M_2x2 (R) o anel das matrizes 2 por 2 de entradas nos reais. Logo, não podemos afirmar que: 
M_2x2 (R) é um anel comutativo. 
Identifique o anel abaixo com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade. 
2Z 
Marque a única alternativa correta sobre os anéis com unidade. 
O anel (Zm,+, .) é um anel com unidade para m ≥ 2. 
 
 
Considere as seguintes afirmações: 
 
(I) 35 é divisor de zero no anel Z54. 
(II) 36 é divisor de zero no anel Z54. 
(III) Seja B um subanel do anel A. Se o anel A não possui divisores de zero, então B é um anel 
também sem divisores de zero. 
(IV) No anel dos inteiros o número 2 é primo, pois seus divisores são: 1, -1, 2 e -2 
 Podemos afirmar que: 
Somente as afirmativas II, III e IV são verdadeiras. 
O anel Z6 admite quantos divisores de zero? 3 
O anel Z8 não é um anel de integridade, pois possui divisores de zero. Marque a alternativa que indica os 
divisores de zero em Z8. 
2 e 4 
Indique, entre as opções abaixo, um exemplo de um anel A e um subanel B, tais que exista um elemento 
neutro multiplicativo de A, mas não exista um elemento neutro multiplicativo de B: 
A=Z e B=2Z 
Considere as seguintes afirmações: 
 (I) 2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6. 
(II) O anel Z7 possui divisores próprios de zero. 
(III) Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, 
 se o mdc(x,m) = 1. 
(IV) O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
Podemos afirmar que: 
Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras. 
No corpo Z11 resolva a equação x3 = x. S = {0,1,10} 
Marque a alternativa que indica a definição correta de subanel. 
Seja (A, +, .) um anel e S ≠ Ø um subconjunto não vazio de A. Dizemos que (S, +, .) é um subanel de A, se 
ele é um anel com as operações do anel A, isto é, S é fechado para as operações de adição e multiplicação, 
ou seja, x + y ∈S e xy ∈S, ∀ x,y ∈´S,e (S, +, .) também for um anel. 
Indique todos os divisores de zero do anel Z15. 3,5,9,10 e 12 
 
 
Somente a III está correta. 
A definição de divisores de uma anel diz que: Seja A um anel com as operações usuais de adição e 
multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e 
 y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição marque a 
alternativa correta. 
2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6 
 
 
não é um anel de integridade 
Marque a única alternativa correta sobre os subanéis. 
O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto 
S = {2n/ n∈Z} 
De acordo com a teoria de Subanel verificamos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel de Z. 
Carlos, aluno do curso de matemática, desenvolveu uma justificativa para essa proposição. Marque a 
alternativa que apresenta corretamente a justificativa desenvolvida pelo Carlos. 
Dado o conjunto S = {2n + 1/ n∈Z} veja que: 
∀x,y∈S e ∀m,n∈S, temos x = 2n + 1 e y = 2m + 1 
Usando a proposição de subanel, temos: 
x - y = 2n + 1 - (2m + 1) = 2n + 1 - 2m - 1 = 2n - 2m = 2(n - m) que é um número par. 
Logo, x - y não pertence ao conjunto S. Concluímos que o conjunto dos números ímpares não é um subanel 
de Z. 
 
 
 
Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. 
Se B e C são subanéis de A, indique a opção que melhor representa a prova que a intersecção de B e C é 
subanel de A. 
Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y 
pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel 
por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção 
entre B e C é Subanel . 
Marque a única alternativa correta sobre os subanéis. 
O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = {2n/ n ∈Z} 
Qual dos anéis abaixo pode ser definido anel de integridade: Q 
Determine todos os divisores de zero do anel Z15. 3, 5, 9, 10 e 12 
A definição de divisores de uma anel diz que: Seja A um anel com as operações usuais de adição e 
multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A, com x ≠ 0 e y ≠ 0. Se xy = 0A, podemos dizer que x e y 
são divisores próprios de zero. A partir da definição marque a alternativa correta. 
2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6 
Qual dos anéis abaixo não pode ser definido um corpo? Z 
Marque a única afirmação correta. Todo anel de integridade finito e um corpo 
No anel Z6 determine Idemp (Z6 ). Idemp (Z6 ) = {1,3,4} 
Determine U(Z12) em Z12. U(Z12) = {1,5,7,11} 
Em Z4 = {0,1,2,3}, determine U(Z4) . U(Z4) = {1,3} 
No anel Z8, determine Nilp (Z8 ). Nilp (Z8 ) = {0,2,4, 6} 
Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade. 
Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição. 
Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, 
se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y = 0. Logo, K não tem divisores 
próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade. 
 
 
e = 3 
Um anel comutativo com unidade K e denominado um corpo se todo elemento nao nulo de K possuir ....: 
inverso multiplicativo 
No anel Z4 determine Reg(Z4 ). Reg(Z4 ) = {1,3} 
Marque a alternativa que indica a definição correta de corpo. 
Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo 
elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀ x ∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈K tal que x.x-
1 = 1. 
Seja f: A → B um isomorfismos de anéis. Marque a alternativa correta. A é corpo ⇔ B é corpo. 
Diga , em qual das opções , temos que (I, +,.) é um ideal de anel (A,+, .) : I=3Z , A=z 
Considere a seguinte proposição: 
Se I e J são ideais de um anel A, então I ∩ J é um ideal de A, 
I ∩ J = {x ∈A, x ∈ I e x ∈J}. A partir da proposição determine 2Z ∩ 3Z. 6Z 
Considere a seguinte proposição: Sejam m e n elementos do conjunto dos números naturais. Então, mZ + nZ 
= dZ se, e somente se, mdc(m,n) = d. A partir dela marque a alternativa que representa a operação 2Z + 3Z. 
Z 
Marque a alternativa correta. Seja f: A → B tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel. 
Indique o ideal principal em Z6 gerados por [2]. {0,2,4} 
Marque a alternativa correta. 2Z é um ideal no anelZ. 
Determine todos os ideais de Z8. {0}, {0,2,4,6}, {0,4} e Z8 
 
 
N(f) = {(0,0)} 
Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de anéis. 
Um isomorfismo de um anel (A, +, .) em um anel (B, +, .) é uma função f: A → B que é um homomorfismo e é bijetora. 
Assim, dizemos que quando existe um isomorfismo entre os anéis A e B, eles são isomorfos. Portanto, eles têm as 
mesmas propriedades.