Quinta_lista

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UNESP – FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA
5a Lista de Exerc´ıcios – FUNC¸O˜ES DE UMA VARIA´VEL COMPLEXA
01. Calcule as derivadas:
a)
d
dz
(∫ z
1
w2dw
)
b)
d
dz
(∫ z2
1
w3dw
)
c)
d
dz
(∫ z
−z
(w3 − w + 1)dw
)
d)
d
dz
(∫ z2
z
(w2 + 1)dw
)
02. Seja C1 uma curva fechada simples contida no interior de outra curva fechada simples
C2, ambas orientadas no sentido anti–hora´rio. Se uma func¸a˜o f e´ anal´ıtica na regia˜o fechada
entre C1 e C2, diga porque
∫
C1
f(z)dz =
∫
C2
f(z)dz.
03. Calcule as integrais sobre as curvas indicadas, orientadas no sentido anti–hora´rio:
a)
∫
C
z2 + 4
z
dz, onde C : |z| = 1.
b)
∫
C
sen z
z − idz, onde C : |z − 2i| = 2.
c)
∫
C
(
1
z + 1
+
2
z − 3
)
dz, onde C : |z| = 4.
04. Calcule as integrais sobre as curvas indicadas, orientadas no sentido anti–hora´rio:
a)
∫
C
ez
z5
dz, onde C : |z| = 1.
b)
∫
C
sen z
(z − pi
2
)4
dz, onde C : |z| = 2.
c)
∫
C
1
z2(z − 3)dz, onde C : |z| = 2.
05. Calcule as integrais sobre as curvas indicadas, orientadas no sentido anti–hora´rio:
a)
∫
C
dz
z2 − 1, onde C : |z| = 4.
b)
∫
C
dz
z3 + 1
, onde C : |z| = 4.
c)
∫
C
dz
z4 − 1, onde C : |z| = 4.
d)
∫
C
dz
z2 − 1, onde C : |z| = 2.
e)
∫
C
1
(z2 + 1)(z2 + 4)
dz, onde C : |z| = 3
2
.
06. Deˆ o valor da integral de f ao longo da curva fechada |z − i| = 2, orientada no sentido
anti–hora´rio, quando:
a) f(z) =
1
z2 + 4
b) f(z) =
1
(z2 + 4)2
07. Seja C uma curva fechada simples orientada no sentido anti–hora´rio e
g(z0) =
∫
C
z3 + 2z
(z − z0)3dz
Mostre que g(z0) = 6piiz0 quando z0 esta´ no interior de C, e g(z0) = 0 quando z0 esta´ no
exterior de C.
08. Sejam f uma func¸a˜o anal´ıtica em um conjunto aberto que contenha o disco fechado
|z − z0| ≤ r e M o ma´ximo de |f(z)| sobre o c´ırculo |z − z0| = r. Prove as desigualdades de
Cauchy, isto e´, |f (n)(z0)| ≤ Mn!
rn
, n = 0, 1, 2, . . ..
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