ESTAC EXERC Diagramas 3

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I 
 
 
 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
EEESSSTTTÁÁÁTTTIIICCCAAA 
 
 
DIAGRAMAS 
 
ESFORÇO AXIAL - ESFORÇO TRANSVERSO - MOMENTO FLECTOR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO EXEMPLIFICATIVO APRESENTADO NAS AULAS TEÓRICAS 
 
 
 
 
 
ISABEL ALVIM TELES
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 1/7 Diagramas de esforços (viga) 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
EXERCÍCIO 
Determine as expressões analíticas do esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M) 
da viga representada na figura. 
Desenhe os diagramas dos esforços (N, V e M) caracterizando todos os pontos notáveis (máximos, 
mínimos e zeros). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. CÁLCULO DAS REACÇÕES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 













=
=
=
⇒
=×−×−×+
=×−×−×−
=






⇒
=∑
=∑
=∑
 
 kN 18,667 V 
kN 73,333 V 
0 H 
 
 0 2,6 12 6,0 72 0,9 8 V 3,6 
0 1 12 3 72 4,5 8 V 3,6 
0 H 
 
 0 M 
0 M 
0 F 
 
E 
C 
E 
E 
C 
E 
C 
E 
X 
 
 
CONVENÇÃO DE SINAIS DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS 
 
 
 
 
 
 
d
V
e
N
V
N +
0.5 0.4 1.02.6 m
0.5 0.4 1.02.6 m
⇒⇒⇒⇒
73,333kN 18,667kN
0.5 0.4 1.00.6
VC
HE
VE
2.0 m
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 2/7 Diagramas de esforços (viga) 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
2. RESOLUÇÃO COM O REFERENCIAL: 
 
Não existe qualquer força na direcção do eixo da viga, pelo que o esforço axial é nulo em todos os tramos 
da viga. 
Esforço axial ⇒ N = 0 (em toda a viga) 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo AB 
 




⇒−=
⇒−=
recta kNm 8 (x) M
nível de recta kN 8 (x) V
 
x
AB 
 
 




=
−=
= 
0 M 
kN 8 V
 0)(x 
A 
A 
A 




−=
−=
= 
kNm 4 M 
kN 8 V
 m) 0,5 (x 
B 
B 
B 
 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo BC 
 
 
Equação da carga trapezoidal: kN/m 16 48 (x) p x−= 
 
 
 
 
 
 
 
 C x 8 x 48 dx x) 16 48 ( dx x) 16 (48 2 ++−=+∫ −=−∫ −=(x) V 
 8 C 
C C x 8 x 48 V 
kN 8 
 0) (x 
2
0) (x
−=⇒




=++−==
−=
=
=
 
V 
V 
B
B 
B 
 
 curva (2º grau) 
 
 
C x 8 x 24 x 
3
8 dx ) 8 x 48 x 8( dx (x) V 232 +−−=∫ −−=∫=(x)M 
 4 C 
C C x 8 x 24 x 
3
8
 M 
kNm 4 
 0) (x 23
0) (x 
−=⇒




=+−−==
−=
=
=
 
M 
M 
B
B 
B 
 
 curva (3º grau) 
 
dx (x) p ∫ −=V 
 dx (x) V ∫=M 
kN 8 48 8 2 −−= xx(x) V 
 kNm 4 8 24 
3
8
 23 −−−= xxx(x) M 
x
de
de
x
de
x
8 kN
4 kNm
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 3/7 Diagramas de esforços (viga) 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 




−=
−=
= 
kNm 4 M 
kN 8 V
 0)(x 
B 
B 
B 




−=
−=
= 
kNm 10,869 M 
kN 25,92 V
 m) 0,4 (x 
C 
C 
C 
 
Concavidade do diagrama de Esforço Transverso: 0 
x d
d
2
V 
2 
⇒> concavidade U 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
x d
Md
2
 
2 
⇒< concavidade U 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo CD 
 
 
 
Equação da carga triangular: kN/m 16 41,6 (x) p x−= 
 
 
 
 
 
 
 
 C x 8 x 41,6 dx x) 16 41,6 ( dx x) 16 (41,6 2 ++−=+∫ −=−∫ −=(x) V 
 47,413 C 
C C x 8 x 41,6 V 
kN 47,413 73,333 92,25 
 0) (x 
2
0) (x
=⇒




=++−==
=+−=
=
=
 
V 
V 
C
C 
C 
 
 curva (2º grau) 
 
 
C x 47,413 x 8,20 x 
3
8 dx ) 47,413 x 41,6 x 8( dx (x) V 232 ++−=∫ +−=∫=(x)M 
 869,10 C 
C C x 47,413 x 8,20 x 
3
8
 M 
kNm 869,10 
 0) (x 23
0) (x 
−=⇒




=++−==
−=
=
=
 
M 
M 
C
C 
C 
 
 curva (3º grau) 
 




−=
=
= 
kNm 869,10 M 
kN 7,4134 V
 0)(x 
C 
C 
C 




=
−=
= 
kNm 18,674 M 
kN 6,667 V
 m) 2,6 (x 
D 
D 
D 
 
Secção onde o esforço transverso é nulo: m 1,687 0 47,413 41,6 8 0 2 =⇒=+−⇒= xxxV 
Concavidade do diagrama de Esforço Transverso: 0 
x d
d
2
V 
2 
⇒> concavidade U 
dx (x) p ∫ −=V 
 dx (x) V ∫=M 
kN 47,413 41,6 8 2 +−= xx(x) V 
 kNm 10,869 47,413 20,8 
3
8
 23 −+−= xxx(x) M 
de
x
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 4/7 Diagramas de esforços (viga) 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Secção onde o momento é máximo: 
 kNm 22,72 
 10,869 1,687 47,413 1,687 20,8 1,687 
3
8
 M M(x) 0 V(x)
máx 
2 3 
1,687) (xmáx máx 
=
−×+×−×==⇒=⇒= =
M
MM
 
 
Secção onde o momento é nulo: m 0,257 0 10,869 47,413 20,8 
3
8
 0 23 =⇒=−+−⇒= xxxxM 
 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
x d
Md
2
 
2 
⇒< concavidade U 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo DE 
 




⇒+−=
⇒−=−−=
recta kNm 18,674 667,18 (x) M
 nível de recta kN 667,18 667,6 21 (x) V
 
x
DE 
 
 




=
−=
= 
kNm 18,674 M
kN ,66718 V
 0)(x 
D 
D 
D 
0 M 
kN ,66718 V
 m) 1 (x 
E 
E 




=
−=
=E 
_______________________________________________________________________________________ 
 
DIAGRAMAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
de
x
-
c
V
unidade: kN
ESFORÇO TRANSVERSO
M
unidade: kNm
MOMENTOFLECTOR+
c
c
c
c
r
r -
0,913 m 1 m0,40,5
2,343 m0,2570,40,5 1 m
-
+
1,687 m
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 5/7 Diagramas de esforços (viga) 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
3. RESOLUÇÃO COM O REFERENCIAL: 
 
 
• Tramo ED 
 




⇒=
⇒−=
recta kNm 667,18 (x) M
 nível de recta kN 667,18 (x) V
 
x
ED 
 
 
 
0 M 
kN ,66718 V
 0) (x 
E 
E 




=
−=
=E 




=
−=
= 
kNm 18,667 M
kN ,66718 V
 ) m 1(x 
D 
D 
D 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo DC 
 
 
Equação da carga triangular: kN/m 16 (x) p x= 
 
 
 
 
 
 
 
 C x 8 dx x 16 2 +=∫=(x) V 
 6,667 C 
C C x 8 V 
kN 6,667 12 18,667 
 0) (x 
2
0) (x
−=⇒




=+==
−=+−=
=
=
 
V 
V 
D
D 
D 
 
 curva (2º grau) 
 
 
C x 6,667 x 
3
8
 dx ) 6,667 x 8( dx (x) 32V ++−=−−== ∫∫ −(x)M 
 667,18 C 
C C x 6,667 x 
3
8
 M 
kNm 667,18 
 0) (x 3
0) (x 
=⇒




=++−==
=
=
=
 
M 
M 
D
D 
D 
 
 curva (3º grau) 
 




=
−=
= 
kNm 18,667 M 
kN 6,667 V
 0) (x 
D 
D 
D 




−=
=
= 
kNm 868,10 M 
kN 7,4134 V
 ) m 6,2 (x 
C 
C 
C 
dx (x) p ∫=V 
dx (x) V ∫ −=M 
kN 6,667 8 2 −= x(x) V 
 kNm 18,667 6,667 
3
8
 3 ++−= xx(x) M 
x
de
de
x
de
x
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 6/7 Diagramas de esforços (viga) 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Secção onde o esforço transverso é nulo: m 0,913 0 6,667 8 0 2 =⇒=−⇒= xxV 
Concavidade do diagrama de Esforço Transverso: 0 
x d
d
2
V 
2 
⇒> concavidade U 
 
Secção onde o momento é máximo: 
 kNm 22,72 
 18,667 0,913 6,667 0,913 
3
8
 M M(x) 0 V(x)
máx 
3 
,913)0 (xmáx máx 
=
+×+×−==⇒=⇒= =
M
MM
 
 
Secção onde o momento é nulo: m 2,343 0 18,667 6,667 
3
8
 0 3 =⇒=++−⇒= xxxM 
 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
x d
Md
2
 
2 
⇒< concavidade U 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo CB 
 
Equação da carga trapezoidal: kN/m 6 1 41,6 (x) p x+= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 C x 41,6 x 8 dx x) 16 (41,6 2 ++=∫ +=(x) V 
 25,92 C 
C C x 41,6 x 8 V 
kN 25,92 333,73 47,413 
 0) (x 
2
0) (x
−=⇒




=++==
−=−=
=
=
 
V 
V 
C
C 
C 
 
 curva (2º grau) 
 
C x 25,92 x 20,8 x 
3
8
 dx ) 25,92 x 41,6 x 8( dx ) 25,92 x 41,6 x 8( dx (x) 2322V ++−−=+−−=−+−== ∫∫∫ −(x)M
 10,868 C 
C C x 25,92 x 20,8 x 
3
8
 M 
kNm 10,868 
 0) (x 23
0) (x 
−=⇒




=++−−==
−=
=
=
 
M 
M 
C
C 
C 
 
 curva (3º grau) 
 
 




−=
−=
= 
kNm 10,868 M 
kN 25,92 V
 0) (x 
C 
C 
C 




−=
−=
= 
kNm 4 M 
kN 8 V
 ) m 4,0(x 
B 
B 
B 
dx (x) p ∫=V 
dx (x) V ∫ −=M 
kN 25,92 41,6 8 2 −+= xx(x) V 
 kNm 868,10 25,92 20,8 
3
8
 23 −+−−= x xx(x) M 
de
x
47,413 kN
10,868 kNm
 
ESTÁTICA ISABEL ALVIM TELES 
 
versão 0 7/7 Diagramas de esforços (viga) 
 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
 
Concavidade do diagrama de esforço transverso: 0 
dx
d
2 
V 
2 
⇒> concavidade U 
Concavidade do diagrama de Momentos: 0 
dx
Md
2 
 
2 
⇒< concavidade U 
_______________________________________________________________________________________ 
 
• Tramo BA 
 




⇒+−=
⇒−=
recta kNm 8 4 (x) M
 nível de recta kN 8 (x) V
 
x
BA 
 
 




−=
−=
= 
kNm 4 M 
kN 8 V
 0) (x 
B 
B 
B 




=
−=
= 
0 M 
kN 8 V
 m) 0,5(x 
A 
A 
A 
_______________________________________________________________________________________ 
 
 
4. RESOLUÇÃO DO TRAMO DC SEM INTEGRAÇÃO E COM O REFERENCIAL: 
 
 
• Tramo DC 
 
 
Equação da carga triangular: kN/m 16 (x) p x= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
grau) (3º curva kNm 18,667 6,667 
3
8
 18,667 6,667 
3
 . 8 (x) M
grau) (2º curva kN 6,667 8 18,667 12 8 (x) V
 
32
22




⇒++−=++−=
⇒−=−+=
xxxxx
xx
DC 
 




=
−=
= 
kNm 18,667 M 
kN 6,667 V
 0) (x 
D 
D 
D 




−=
=
= 
kNm 868,10 M 
kN 7,4134 V
 ) m 6,2 (x 
C 
C 
C 
 
 
x
de
de
x
8 kN
4 kNm
de
x
x
3