Teoria EletromagnÇtica I_05

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3.1) Gradiente de um Campo Escalar
Quando trabalhamos com uma grandeza física escalar cujo módulo depende de uma única variável, tal como a temperatura T como uma função da altura z, a taxa de variação de T com a altura pode ser descrita pela derivada dT/dz.
Entretanto, se T também for uma função de x e y em um sistema de coordenadas cartesianas, sua taxa de variação espacial torna-se mais difícil de descrever porque agora estamos lidando não apenas com três variáveis em separado, mas, também, com um arranjo unificado.
O operador gradiente fornece um método de fazer exatamente isso
3.1) Gradiente de um Campo Escalar
Suponha que T1(x, y, z) seja a temperatura no ponto P1(x, y, z) em alguma região do espaço e T2(x+dx, y+dy, z+dz) seja a temperatura nas proximidades do ponto (em P2).
As distâncias diferenciais dx, dy e dz são as componentes do vetor distância diferencial dl. Ou seja:
A partir do cálculo,
dT = T2 - T1 
3.1) Gradiente de um Campo Escalar
3.1) Gradiente de um Campo Escalar
O símbolo ∇ é denominado del ou nabla ou operador gradiente e é definido como:
Embora o operador gradiente não tenha um significado físico próprio, ele adquire um significado físico quando opera com uma grandeza física escalar e o resultado da operação é um vetor cujo módulo é igual à máxima taxa de variação da grandeza por unidade de distância com direção ao longo do aumento máximo.
Com dl = âldl, onde âl é o vetor unitário de dl, a derivada direcional de T ao longo da direção âl é dada por:
					pois: 
3.1) Gradiente de um Campo Escalar
Seja dl o deslocamento diferencial de P1 até P2 e θ o ângulo entre G e dl , com 
G = ∇V (nabla V).
dV/dl é a derivada direcional de V. Ela é
máxima quando θ = 0, isto é, quando dl está com a mesma orientação de G.
onde dV/dn é a derivada normal.
Portanto, G tem sua magnitude e orientação coincidindo com a
máxima taxa de variação de V.
Pela definição, G é o gradiente de V.
3.1.1) Operador Gradiente em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas
O operador gradiente em coordenadas cilíndricas pode ser definido como:
O gradiente em coordenadas esféricas:
3.1.2) Propriedades do Operador Gradiente
Para quaisquer duas funções escalares U e V, as relações a seguir se aplicam:
3.1.2) Propriedades do Operador Gradiente
Exemplos