4 - derivadas_direcionais_e_vetor_gradiente_completo 2018

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Derivadas Direcionais
Prof.: Elias Arcanjo
1.º Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V(x,y) = 5x²-3xy+xy². Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4) na direção:
	Paralela ao eixo x
	Paralela ao eixo y
	Na direção do vetor u = -i + 2j
Problema 1
y
x
Introdução 
	Como vimos em derivadas parciais, fx é a taxa de variação da função na direção paralela ao eixo x e fy é a taxa de variação da função na direção paralela ao eixo y. Nesta aula, introduziremos um tipo de derivada, chamada de derivada direcional, que nos permite encontrar a taxa de variação de uma função de duas ou mais variáveis em qualquer direção. 
Derivadas Direcionais
TEOREMA: Se f é uma função diferenciável de x e y, então f tem derivada direcional na direção de qualquer vetor unitário u = ai+ bj e
Du f(x,y) = fxa + fyb
EXEMPLO: Determine a derivada direcional da função f(x,y) = ln(x² + y²) no ponto (2,1) na direção do vetor v=-i+2j
SOLUÇÃO: Determinando o vetor unitário n na direção de u:
Voltando ao problema inicial
1.º Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V(x,y) = 5x²-3xy+xy². Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4) na direção:
	Paralela ao eixo x
fx= 10x – 3y + y²
fx(3,4) = 10.3 -3.4 + 4² = 34 V/m
b)	Paralela ao eixo y
c) Na direção do vetor u = -i + 2j
fy= – 3x + 2xy
fy(3,4) = -3.3 + 2.3.4 = 15 V/m
Determinando o vetor unitário n na direção de u:
Se o vetor unitário u faz um ângulo θ com o eixo x positivo, então podemos escreve u=cos θi + sen θj e a derivada direcional fica 
Du f(x,y) = fxcos θ + fysen θ
EXEMPLO: Determine a derivada direcional da função f(x,y) = x³ - 3xy +4y² na direção do vetor unitário u dado pelo ângulo θ=π/6 no ponto P(2,5).
θ
u
SOLUÇÃO: Temos que:
 Duf(x,y)= fx cos θ+ fysen θ
Exercícios
1.º Determine a derivada direcional da função no ponto P na direção do vetor u.
2.° Determine a derivada direcional de f(x,y)= (xy)1/2 em P(2,8) na direção de Q(5,4).
3.° Determine a derivada direcional de f(x,y,z)= xy + yz + zx em P(1,-1,3) na direção de Q(2,4,5).
4.° Suponha que em uma região do espaço o potencial V seja dado por V(x,y,z) = 5x² -3xy + xyz. Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor v = i + j - k
Problema 2
1.º Suponha que em uma certa região do espaço a temperatura T seja dado por T(x,y) = ln (x² + y²). Determine a direção e a taxa de variação máxima da temperatura em P(1,2).
Curvas de Nível da Temperatura
- isotérmicar - 
Vetor Gradiente
O vetor gradiente de um campo escalar é um vetor que representa em direção, sentido e módulo a máxima taxa de variação  de um campo escalar.
DEFINIÇÃO: Se f é uma função de duas variáveis x e y, o gradiente de f é a função vetorial f definida por
 
EXEMPLO: se f(x,y) = sen x + exy, então
Δ
Resposta do problema 2 
SOLUÇÃO: A direção e a taxa de variação máxima da temperatura em P(1,2) é dado pela direção e pelo módulo do vetor gradiente, respectivamente. Assim temos:
Graficamente
Derivada direcionais 
Com a notação de vetor gradiente, podemos reescrever a expressão para derivada direcional como 
EXEMPLO: Determine a derivada direcional da função f(x,y)=x²y³ - 4y no ponto (2,-1) na direção do vetor v = 2i + 8j
Função de três variáveis
DEFINIÇÃO: Se f é uma função de três variáveis x e y, o gradiente de f é a função vetorial f definida por
 
Δ
EXEMPLO: suponha que a temperatura em um ponto (x,y,z) do espaço seja dada por T(x,y,z)=80/(1+x²+y²+z²), onde t é medida em ºC e x, y e z em metros.Em que direção no ponto (1,1,-2) a temperatura aumenta mais rapidamente? Qual a taxa máxima da aumento? 
Solução: O gradiente de T é
1.º Determine a taxa máxima de variação de f no ponto dado e a direção em que isso ocorre
Exercício
2. Suponha que em uma região do espaço o potencial elétrico V seja dado por V(x,y,z)=5x²-3xy+xyz.
Determine a taxa de variação do potencial em P(3,4,5) na direção do vetor v= i + j – k
Em que direção V varia mais rapidamente em P
Qual é a taxa máxima de variação em P
3.º A temperatura em um ponto (x,y,z) é dado por T(x,y,z) = 200e-x²-3y²-9z² onde T é medido em °C e x, y e z em metros.
Determine a taxa de variação da temperatura em P(2,-1,2) na direção do ponto (3,-3,3)
Em que direção T varia mais rapidamente em P
Qual é a taxa máxima de variação em P
f
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