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http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 1 Projeto Exercícios Resolvidos de Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Por: Prof. André Assumpção Versão Preliminar 422 Exercícios Abril de 2014 http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 2 1- Parte : Pontos em R2 1.1 – Operações com Pontos em R2; 1.2 – Propriedades dos Pontos em R2; 1.3 – Distância entre Pontos em R2; 1.4 – Ponto Médio. 2- Parte : Pontos em R3 2.1– Operações com Pontos em R3; 2.2– Propriedades dos Pontos em R3; 2.3– Distância entre Pontos em R3; 3- Parte : Pontos em Rn 4- Parte : Vetores 4.1- Construção de Vetores; 4.2- Operações com Vetores 4.2.1- Soma; 4.2.2 – Multiplicação por Escalar; 4.2.3 – Produto Interno; 4.2.4 – Produto Vetorial; 4.2.5 – Produto Misto. 4.3 - Módulo de Vetores; 4.4 - Vetores Unitários; 4.5- Vetor Direção; 4.6 – Fracionamento de um Segmento de Reta; 4.7- Ângulo entre Vetores; 4.8 – Vetores Paralelos; 4.8 – Vetores Ortogonais; 4.10 – Área da Região Formada por dois Vetores; 4.11 – Volume do Paralelepípedo Gerado por Vetores; 5- Parte : Retas 5.1- Equação da Reta; 5.1.1 – Coeficiente Angular e Coeficiente Linear; 5.1.2 – Equação Geral da Reta; 5.1.3 – Equação Reduzida da Reta; 5.1.4 – Equação da Reta em R3; 5.1.5 – Vetores Normais ä Reta; 5.1.6 – Retas Parametrizadas; 5.2 – Retas Paralelas; 5.3 – Retas Ortogonais; 5.4 – Distância entre Ponto e Reta; 5.5 – Distância entre Duas Retas; http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 3 5.6 – Ângulo entre Duas Retas; 5.7 – Intersecção de Retas. 6- Parte: Planos 6.1- Equação do Plano; 6.2- Vetores Normais ao Plano; 6.3 – Equação Paramétrica do Plano; 6.4 – Intersecção de Planos; 7- Parte: Circunferências 7.1- Equação da Circunferência; 7.2 – Intersecção entre Reta e Circunferência; 7.3 – Intersecção entre duas Circunferências; 7.4 – Área e Comprimento da Circunferência. 8- Parte: Cônicas 8.1 – Elipse 8.2 – Hipérbole 8.3 – Parábola http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 4 Parte 1 : Pontos em R2 1. Como pode ser descrito o conjunto R2? Solução: R2 é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e pode ser descrito como {(x,y) x R e y R}. 2. Qual a condição para que dois pares ordenados sejam iguais? Solução: Dizemos que os pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais se, e somente se, a = c e b = d. 3. Determine x de modo que os pontos A=(2, 4) seja igual ao ponto B=(x, 2x). Solução: Para que A e B sejam iguais, as coordenadas (x,y) de ambos os pontos deverão ser iguais, ou seja, 2 = x e 4 = 2x. Assim, o valor de x=2 irá satisfazer às duas condições. 4. Determine os valores de x e de y de modo que (2x, y + 3) = (10, 10). Solução: Deveremos ter 2x = 10 x = 5 e y + 3 = 10 y = 7. 5. Determine os valores de x e de y de modo que (x + y, x – y) = (4, 2). Solução: Deveremos ter .13 2 4 yex yx yx 6. Em quantos quadrantes podemos dividir o plano cartesiano? Solução: O plano cartesiano é dividido em 4 quadrantes conforme mostrado no diagrama. y Q2 Q1 x Q3 Q4 7. Quais são as características dos pontos que pertencem ao primeiro quadrante de R2 ? Solução: Os pontos que pertencem ao primeiro quadrantes de R2 deverão ter x > 0 e y > 0. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 5 8. Quais são as características dos pontos que pertencem ao segundo quadrante de R2 ? Solução: Os pontos que pertencem ao segundo quadrantes de R2 deverão ter x < 0 e y > 0. 9. Quais são as características dos pontos que pertencem ao terceiro quadrante de R2 ? Solução: Os pontos que pertencem ao terceiro quadrantes de R2 deverão ter x < 0 e y < 0. 10. Quais são as características dos pontos que pertencem ao quarto quadrante de R2 ? Solução: Os pontos que pertencem ao quarto quadrantes de R2 deverão ter x > 0 e y < 0. 11. Quais são as características dos pontos que pertencem ao eixo das abscissas de R2 ? Solução: Os pontos que pertencem ao eixo das abscissas de R2 , ou seja, ao eixo x, deverão ter x 0 e y = 0. 12. Quais são as características dos pontos que pertencem ao eixo das ordenadas de R2 ? Solução: Os pontos que pertencem ao eixo das ordenadas de R2 , ou seja, ao eixo y, deverão ter x = 0 e y 0. 13. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine A + B. Solução: A + B = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d). 14. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine A - B. Solução: A - B = (a,b) - (c,d) = (a-c, b-d). http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 6 15. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine 2A + 3B. Solução: 2A +3B =2.(a,b) + 3.(c,d) = (2a ,2b ) + (3c,3d) = (2a+3c,2b+3d). 16. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), determine 2A - 3B. Solução: 2A -3B =2.(a,b) - 3.(c,d) = (2a ,2b ) - (3c,3d) = (2a -3 c,2b-3d). 17. Dados os pontos A=(a,b), B=(c,d) e C=(e,f), demonstre que (A+B) + C = A + (B+C). Solução: (A + B) + C = [(a,b) + (c,d)] + (e,,f) = (a+c,b+d) + (e,,f) = (a+c+e,b+d+f) = [a+(c+e), b+(d+f)] = (a,b) + (c+e,d+f) = (a,b) + [(c+e,d+f)] = A + (B+C). 18. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d), demonstre que A+B = B+A. Solução: A + B = (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) = (c+a,d+b) = (c,d) + (a,b) = B + A. 19. Demonstre que o elemento neutro da adição de pares ordenados em R2, é o par O=(0,0). Solução: Sendo A = (a,b), e A + O = A, então (a,b) + O= (a,b) O = (a,b) – (a,b) O = (a- a,b-b) O = (0,0). 20. Demonstre que para todo A=(a,b) R2, existe –A tal que A + (-A) = 0. Solução: Sendo A=(a,b) R2 e A + B = 0, então (a,b) + B = (0,0) B = (0,0) – (a,b) B = (0-a,0-b) B = (-a, -b). Como –a e –b R, então B = (-a,-b) = -A R2. 21. Sendo A e B R2 e k R, demonstre que k(A + B) = kA + kB. Solução: Supondo que A = (a,b) e B = (c,d), k(A + B) = k(a+c, b+d) = (k(a+c), k(b+d)) = (ka+kc, kb+kd) = (ka, kb) + (kc,kd) = k(a,b) + k(c,d) = kA + kB. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 7 22. Sendo k e h R e A R2, demonstre que A(k + h) = kA + mA. Solução: Supondo que A = (a,b), A(k + h) = (a,b).(k+h) = (a.(k+h), b.(k,h)) = (ak+ah, bk+bh) = (ak,bk) + (ah,bh) = kA + hA . 23. Sendo k e h R e A R2, demonstre que k(hA) = (k.h)A. Solução: Supondo que A = (a,b), k(hA) =k(h(a,b)) = k(ha,hb)= (kha, khb) = (kh).(a,b)= (kh).A. 24. Determine k R de modo que k.A = A, para A R2. Solução: Se k.A = A, então, k(a,b) = (a,b) ka = a e kb = b k = 1 R. 25. Determine o ponto simétrico do ponto (2,4) em relação ao eixo das abscissas. Solução: O ponto simétrico ao ponto (2,4) em relação ao eixodas abscissas é um ponto com a mesma abscissa e ordenada simétrica, ou seja, o ponto (2,-4). 26. Determine o ponto simétrico do ponto (2,4) em relação ao eixo das ordenadas. Solução: O ponto simétrico ao ponto (2,4) em relação ao eixo das ordenadas é um ponto com a mesma ordenada e abscissa simétrica, ou seja, o ponto (-2,4). 27. Determine o ponto simétrico do ponto (2,4) em relação a origem do plano cartesiano. Solução: O ponto simétrico ao ponto (2,4) em relação a origem do plano cartesiano é um ponto com ordenada e abscissa simétricas, ou seja, o ponto (-2,-4). http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 8 28. Determine a distância entre os pontos A=(1,3) e B=(4, 7). Solução: A distância entre dois pontos em R2 é determinada por 2 12 2 12, )()( yyxxd BA . Assim, .525169)4()3()37()14( 2222 , BA d 29. Determine a distância entre os pontos A=(-2,5) e B=(4, -3). Solução: A distância entre dois pontos em R2 é determinada por 2 12 2 12, )()( yyxxd BA . Assim, .101006436)8()6()53())2(4( 2222 , BA d 30. Determine o perímetro do retângulo ABCD, onde A=(1,2), B=(1,5), C=(4,5) e D=(4,2). Solução: Para calcular o perímetro do retângulo ABCD, deveremos determinar as medidas de seus lados. Porém, é importante perceber que a medida do lado AB é igual a medida do lado CD, e que o mesmo ocorre com os lados BC e DA. Assim, o perímetro do retângulo será dado por : .123.23.23.23.2)55()14(.2)25()11(.2222 222222 ,, CBBA ddp 31. Determine o perímetro do quadrilátero ABCD, onde A=(-1,2), B=(3,4), C=(4,0) e D=(2,-8). Solução: .1745517.217172 ,,,, ADDCCBBA ddddp 32. Dados os pontos A=(a,b) e B=(c,d) de R2, determine o ponto médio de AB . Solução: O ponto médio do segmento AB é um ponto M situado entre os pontos A e B, onde ). 2 , 2 ( 2 ),(),( 2 dbcadcbaBA M http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 9 33. Dados os pontos A=(3,1) e B=(5,3) de R2, determine o ponto médio de AB . Solução: O ponto médio do segmento AB é um ponto M situado entre os pontos A e B, onde ).2,4() 2 31 , 2 53 ( 2 )3,5()1,3( 2 BA M Parte 2: Pontos em R3 34. Como pode ser descrito o conjunto R3 ? Solução: R3 é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais e pode ser descrito como {(x,y,z) x, y e z R}. 35. Qual a condição para que dois pares ordenados de R3 sejam iguais ? Solução: Dizemos que os pares ordenados (a,b,c) e (d,e,f) são iguais se, e somente se, a = d, b = e e c = f. 36. Determine x e t de modo que os pontos A=(2, 4, t) seja igual ao ponto B=(x, 2x, 3x). Solução: Para que A e B sejam iguais, as coordenadas (x,y,z) de ambos os pontos deverão ser iguais, ou seja, 2 = x, 4 = 2x e t = 3x. Assim, os valores de x=2 e, por consequência, t=6 irão satisfazer às duas condições. 37. Determine os valores de x e de y de modo que (5x, y + 5, z - 3) = (10, 10, 5). Solução: Deveremos ter 5x = 10 x = 2, y + 5 = 10 y =5 e z – 3 = 5 z=8 . 38. Determine os valores de x, de y e de z, de modo que (x + y - z, 2x + 2y – z, x – y – 3z) = (0, 2, -2). Solução: Deveremos ter .21,3 23 222 0 zeyx zyx zyx zyx http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 10 39. Dados os pontos A=(a,b,c) e B=(d,e,f), determine A + B. Solução: A + B = (a,b,c) + (d,e,f) = (a+d, b+e, c+f). 40. Dados os pontos A=(a,b,c) e B=(d,e,f), determine A - B. Solução: A - B = (a,b,c) - (d,e,f) = (a-d, b-e, c-f). 41. Dados os pontos A=(a,b,c) e B=(d,e,f), determine 2A + 3B. Solução: 2A +3B =2.(a,b,c)+ 3.(d,e,f) = (2a ,2b, 2c ) + (3d, 3e, 3f) = (2a+3d,2b+3e,2c+ef). 42. Dados os pontos A=(a,b,c) e B=(d,e,f), determine 2A - 3B. Solução: 2A -3B =2.(a,b,c) – 3.(d,e,f) = (2a ,2b, 2c ) - (3d,3e,3f) = (2a –3d,2b-3e,2c-3f). 43. Dados os pontos A=(a,b,c), B=(d,e,f) e C=(g,h,i), demonstre que (A+B) + C = A + (B+C). Solução: (A + B) + C = [(a, b, c) + (d, e, f)] + (g, h, i) = (a+d,b+e,c+f) + (g, h, i) = (a+d+g,b+e+h, c+f+i) = [a+(d+g), b+(e+h), c+(f+i)] = (a, b, c) + (d+g, e+h, f+i) = (a, b, c)+[(d, e, f) + (g, h, i)] = A + (B+C). 44. Dados os pontos A=(a,b,c), B=(d,e,f), demonstre que A+B = B+A. Solução: A + B = (a, b, c)+ (d, e, f)= (a+d,b+e, c+f) = (d+a,e+b,f+c) = (d, e, f) + (a, b, c)= B + A. 45. Demonstre que o elemento neutro da adição de pares ordenados em R3, é o par O=(0,0,0). Solução: Sendo A = (a, b, c), e A + O = A, então (a, b, c) + O= (a, b, c) O = (a, b, c) – (a, b, c) O = (a-a, b-b, c-c) O = (0,0,0). http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 11 46. Demonstre que para todo A=(a,b,c) R3, existe –A tal que A + (-A) = O. Solução: Sendo A=(a, b, c) R3 e A + B = O, então (a, b, c) + B = (0,0,0) B = (0,0,0) – (a, b, c) B = (0-a,0-b, 0-c) B = (-a, -b, -c). Como –a , –b e –c R, então B = (-a,-b, -c) = - A R3. 47. Sendo A e B R3 e k R, demonstre que k.(A + B) = k.A + k.B. Solução: Supondo que A = (a, b, c) e B = (d, e, f), k(A + B) = k(a+d, b+e, c+f) = (k(a+d), k(b+e), k.(c+f)) = (k.a+k.d, k.b+k.e, k.c+k.f) = (k.a, k.b, k.c) + (k.d, k.e, k.f) = k.(a,b,c) + k.(d, e, f) = k.A + k.B. 48. Sendo k e h R e A R3, demonstre que A(k + h) = k.A + m.A. Solução: Supondo que A = (a,b,c), A.(k + h) = (a,b,c).(k+h) = (a.(k+h), b.(k+h), c(k+h)) = (a.k+a.h, b.k+b.h, c.k + c.h) = (a.k, b.k, c.k) + (a.h, b.h, c.h) = k.A + h.A . 49. Sendo k e h R e A R3, demonstre que k.(h.A) = (k.h).A. Solução: Supondo que A = (a,b,c), k.(h.A) = k.(h.(a,b,c)) = k.(h.a, h.b, h.c)= (k.h.a, k.h.b, k.h.c) = (k.h).(a,b,c)= (k.h).A . 50. Determine k R de modo que k.A = A, para A R3. Solução: Se k.A = A, então, k.(a,b,c) = (a,b,c) k.a = a, k.b = b e k.c = c k = 1 R. 52. Determine a distância entre os pontos A=(1,2,3) e B=(2, 4, 5). Solução: A distância entre dois pontos em R3 é determinada por )()()( 12 2 12 2 12, zzyyxxd BA . Assim, .39441)2()2()1()35()24()12( 222222 , BA d http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 12 53. Determine a distância entre os pontos A=(-1, 3,-2) e B=(1, -2, 3). Solução: A distância entre dois pontos em R3 é determinada por )()()( 12 2 12 2 12, zzyyxxd BA . Assim, .1325425254)5()5()2())2(3()32())1(1( 222222 , BA d Parte 3: Vetores 54. Dados os pontos A=(1,2) e B=(5,3), represente no plano cartesiano o segmento orientado . Solução: 55. Calcule o módulo do segmento orientado AB, sendo A=(1,2) e B=(5,3). Solução: O módulo do segmento orientado AB será calculado pela distância entre A e B. Assim, teremos .1714)23()15( 2222 AB 56. Calcule o módulo do segmento orientado AB, sendo A=(1,3,2) e B=(-1,2,-3). Solução: O módulo do segmento orientado AB será calculado pela distância entre A e B. Assim, teremos .30)5()1()2()23()32()11( 22222 AB 57. Determine um vetor vque possua o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido do segmento orientado AB, onde A=(1,2) e B=(5,3). AB http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 13 Solução: Para que v tenha o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido de AB, então v = B-A = (5,3) – (1,2) = (4,1). 58. Determine um vetor u que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido do segmento orientado AB, onde A=(1,3,2) e B=(-1,2,-3). Solução: Para que u tenha o mesmo módulo, a mesma direção e o mesmo sentido de AB, então u = B-A = (-1, 2, -3) – (1, 3, 2) = (-2, -1,-5). 59. Determine um vetor t que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido contrário ao do segmento orientado AB, onde A=(1,2) e B=(5,3). Solução: Para que t tenha o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido contrário ao de AB, então t = A-B = (1,2) – (5,3) = (-4,-1). 60. Determine um vetor z que possua o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido contrário ao do segmento orientado AB, onde A=(1,3,2) e B=(-1,2,-3). Solução: Para que z tenha o mesmo módulo, a mesma direção e o sentido contrário ao de AB, então z = B-A = (1, 3,2) – (-1,2,-3) = (2, 1,5). 61. Dados o ponto P=(2,1) e o vetor v=(5,3), determine o ponto Q de modo que P+v = Q. Solução: Se P + v = Q, então, (2,1) + (5,3) = Q Q=(7,4). 62. Dados os pontos P=(2,4) e Q=(-3,5), determine o vetor v de modo que Q + v = P. Solução: Se Q + v = P, então, v = P-Q v = (2,4)-(-3,5) v = (2+3, 4-5) v=(5,-1). 63. Dados os pontos A=(1, -2, 3), B=(1, -3, 2) e C=(-1, 3, 1), determinar as coordenadas do ponto D tal que 0CDAB . http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 14 Solução: Se D=(x, y, z) e ).0,0,0()1,3,1()1,1,0(,.0,,0 zyxsejaOuCDABentãoCDAB Assim, x + 1 + 0 = 0 x = -1. y – 3 - 1 = 0 y = 1. z – 1 – 1 = 0 z = 2. 64. Prove que as diagonais de um paralelogramo têm o mesmo ponto médio. Solução: Considere o paralelogramo ABCD, de diagonais AC e DB. Seja M o ponto médio de AC. Como BM = BC + CM = AD + MA = MD, pode-se afirmar que M também é ponto médio de BD. 65. Represente no plano cartesiano o vetor v=(4,1). Solução: 66. Represente no plano cartesiano o vetor t=(-4, -1). Solução: 67. Determine o módulo do vetor v=(a,b). Solução: O vetor v=(a,b) terá origem no ponto (0,0) e extremidade no ponto (a,b), assim http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 15 2222 )0()0( babav 68. Determine o módulo do vetor u=(a,b,c). Solução: O vetor u=(a,b,c) terá origem no ponto (0,0,0) e extremidade no ponto (a,b,c), assim .)0()0()0( 222222 cbacbav 69. Determine o módulo do vetor v=(4,1). Solução: .1711614 2222 bav 70. Determine o módulo do vetor t = (-4, -1). Solução: .17116)1()4( 22 t 71. Determine o módulo do vetor u=(-2, -1, -5). Solução: .302514)5()1()2( 222222 cbau 72. Determine o módulo do vetor z=(2, 1, 5). Solução: .302514512 222 z 73. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine v + u. Solução: v + u = (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d). Geometricamente, determinamos o vetor v+u da seguinte maneira: 74. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine v - u. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 16 Solução: v - u = (a,b) - (c,d) = (a-c, b-d). 75. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine u – v. Solução: u -v = (c,d) - (a,b) = (c-a, d-b). 76. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine 2v + 3u. Solução: 2v +3u =2.(a,b) + 3.(c,d) = (2a ,2b ) + (3c,3d) = (2a+3c,2b+3d). 77. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), determine 2v – 3u. Solução: 2v –3u =2.(a,b) - 3.(c,d) = (2a ,2b ) - (3c,3d) = (2a -3 c,2b-3d). 78. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d) e t=(e,f), demonstre que (v+u) + t = v + (u+t). Solução: (v + u) + t = [(a,b) + (c,d)] + (e,,f) = (a+c,b+d) + (e,,f) = (a+c+e,b+d+f) = [a+(c+e), b+(d+f)] = (a,b) + (c+e,d+f) = (a,b) + [(c+e,d+f)] = v + (u+t). 79. Dados os vetores v=(a,b) e u=(c,d), demonstre que v+u = u+v. Solução: v + u = (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d) = (c+a,d+b) = (c,d) + (a,b) = u + v. 80. Demonstre que o elemento neutro da adição de vetores em R2, é o vetor o=(0,0). Solução: Sendo v = (a,b), e v + o = v, então (a,b) + o= (a,b) o = (a,b) – (a,b) o = (a-a,b- b) o = (0,0). 81. Demonstre que para todo vetor v=(a,b) R2, existe –v tal que v + (-v) = o. Solução: Sendo v=(a,b) R2 e v + v’ = o, então (a,b) + v’ = (0,0) v’ = (0,0) – (a,b) v’= (0-a,0-b) v’ = (-a, -b). Como –a e –b R, então v’ = (-a,-b) = -v R2. 82. Sendo v e u vetores de R2 e k R, demonstre que k(v + u) = kv + ku. Solução: Supondo que v = (a,b) e u = (c,d), k(v + u) = k(a+c, b+d) = (k(a+c), k(b+d)) = (ka+kc, kb+kd) = (ka, kb) + (kc,kd) = k(a,b) + k(c,d) = kv + ku. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 17 83. Sendo k e h R e v um vetor de R2, demonstre que v(k + h) = kv + mv. Solução: Supondo que v = (a,b), v(k + h) = (a,b).(k+h) = (a.(k+h), b.(k+h)) = (ak+ah, bk+bh) = (ak,bk) + (ah,bh) = kv + hv . 84. Sendo k e h R e v um vetor de R2, demonstre que k(hv) = (k.h)v. Solução: Supondo que v= (a,b), k(hv) =k(h(a,b)) = k(ha,hb)= (kha, khb) = (kh).(a,b)= (kh).v. 85. Determine k R de modo que k.v = v, para todo vetor de R2. Solução: Se k.v = v, então, k(a,b) = (a,b) ka = a e kb = b k = 1 R. 86. Os vetores u=(3,4), v=(2, 3b) e t=(5a,1) satisfazem à equação 2u – 3v + t = o, onde o é o vetor nulo. Assim, determine os valores de a e b. Solução: 2.(3,4) – 3.(2, 3b) + (5a,1)=(0,0) (6, 8) – (6, 9b) + (5a, 1) = (0,0) (6-6+5a,8- 9b+1) = (0,0) 5a = 0 e 9 – 9b = 0 a = 0 e b = 1. 87. Dados os vetores u=(4,3), v=(-5,1) e w=(3,0), determine u - v+w. Solução: (4,3) – (-5,1) + (3,0) = (4 + 5 + 3, 3 – 1 + 0) = (12, 2). 88. Os vetores u=(1,2), v=(5, 7) e w=(x,2) do R2, satisfazem à equação 4u + 3w = 2v. Determine o valor de x. Solução: 4.(1,2) + 3.(x,2) = 2.(5,7) (4,8) + (3x, 6) = (10,14) (4+3x, 14) = (10,14) 4 + 3x = 10 3x = 6 x = 2. 89. Determine o produto interno entre os vetores u=(a,b) e v=(c,d). http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 18 Solução: Simbolizamos o produto interno, que também é denominado de produto escalar, por<a;v> ou u.v, que é determinado da seguinte maneira: <u;v> = (a,b).(c,d) = a.c+b.d. 90. Determine o produto interno entre os vetores u=(2,3) e v=(4,2). Solução: <u;v> = (2,3).(4,2) = 2.4 + 3.2 = 8+6 = 14. 91. Determine o produto interno entre os vetores u=(-2,1) e v=(5,-3). Solução: <u;v> = (-2,1).(5,-3) = (-2).5 + 1.(-3) = -10+(-3) = -10 – 3= -13. 92. Determine o produto interno entre os vetores u=(3,6) e v=(2,-1). Solução: <u;v> = (3,6).(2,-1) =3.2 + 6.(-1) = 6 – 6 = 0. 93. Determine o produto interno entre os vetores u=(-2,4,1) e v=(2,5,-3). Solução: <u;v> = (-2,4,1).(2,5,-3)= (-2).2+4.5+1.(-3) = -4+20 –3=13. 94. Determine o produto interno entre os vetores u=(2,-2,3) e v=(-1,5,4). Solução: <u;v> = (2,-2,3).(-1,5,4)= 2.(-1)+(-2).5+3.4 = -2+(-10)+ 12= -2 -10+12= 0. 95. Demonstre que, para u 0, u.u > 0. Solução: Sendou=(a,b), onde a e b R*, u.u = (a,b) . (a,b) = a.a + b.b = a2 + b2. Como, a e b R*, a2 >0 e b2 > 0, então a2 + b2>0. 96. Demonstre que u.v = v.u, para u e v R2. Solução: Sendo u=(a,b) e v=(c,d), u.v = (a,b) . (c,d) = a.c + b.d = c.a + d.b = (c,d).(a,b) = v.u. 97. Demonstre que u.(v+w) = u.v + u.w, para u, v e w R2. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 19 Solução: Sendo u=(a,b), v=(c,d) e w=(e, f), u.(v+w) = (a,b).[(c,d) + (e, f)] = (a,b). (c+e, d+ f) = a.(c+e) + b.(d+f) = ac + ae + bd + bf = ac + bd + ae + bf = (a,b) . (c,d) + (a,b).(e, f) = u.v + u.w. 98. Demonstre que u.(k.v) = k.(u.v), para u e v R2 e k R. Solução: Sendo u=(a,b) e v=(c,d), u.(k.v) = (a,b).(k.(c,d)) = (a,b).(kc,kd) = kab + kcd = k.(ab + cd) = k.(a,b).(c,d) = k.(u.v). 99. Demonstre que o módulo de um vetor u R2 também pode ser calculado por uuu . . Solução: Sabemos que, para u = (a,b), 22 bau . Como a2 + b2 = (a,b).(a,b) = u.u, então, uuu . . 100. Determine o valor de x para que o vetor v=(x,2) seja unitário. Solução: Um vetor é unitário quando seu módulo é igual a 1. Assim, . 2 3 4 3 4 1 11 4 1 1 4 1 1 4 1 1) 4 1 ( 222 2 2 2222 xxxx xxxx 101. Demonstre que o vetor , para v R2 e não nulo, é necessariamente unitário. Solução: Sendo v=(a,b), onde a e b R*, .1 ',).,( ),( ' 22 22 22 2 22 2 2 22 2 22222222 ba ba ba b ba a ba b ba a vAssim ba b ba a ba ba v 102. Determine o versor do vetor v=(2,4). v v v ' http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 20 Solução: O versor de um vetor v qualquer, não nulo, é um vetor unitário que possui a mesma direção e o mesmo sentido de v. O versor de v, simbolizado por v’, é determinado por . Assim, para v = (2,4) teremos: ). 5 2 , 5 1 ( 52 )4,2( 20 )4,2( 42 )4,2( ' 22 v 103. Sendo u=(-2,3) e v=(5, -2), determine u’+ v’. Solução: Sendo u’ e v’ os versores de u e v respectivamente, então: ). 13 1 , 13 1 () 13 )2(3 , 13 32 ( 13 )2,3( 13 )3,2( )2()3( )2,3( )3()2( )3,2( 2222 104. Determine u’.u’, sendo u um vetor de R2. Solução:Sabemos que o módulo de um vetor u pode ser calculado por ..uuu Assim, .1''.)''.()1(''.1''.' 22 uuuuuuuuu 105. Prove que vuvu .. , sendo u e v vetores de R2. (Desigualdade de Cauchy- Schwarz). Solução: Fazer. 106. Prove que, se o vetor u=(a,b) é paralelo ao vetor v=(c,d), ambos de R2 onde c.d 0, então d b c a . Solução: Se u e v são paralelos, então u = kv. Logo, (a,b) = k(c,d) (a,b) = (kc,kd) a = kc e b = kd .k d b c a 107. Determine o valor de x para que os vetores u=(x,2) e v=(9,6) sejam paralelos. Solução: Se u e v são paralelos, então .3 6 9.2 6 2 9 xx x 108. Determine os valores de x e y para que os vetores u=(2, 5, y) e v=(x, 10, 8) sejam paralelos. v v v ' http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 21 Solução: Se u e v são paralelos, então .44 810 52 yex y x 109. Prove que o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é perpendicular ao terceiro lado e tem por medida a metade da medida deste lado. Solução: Seja o triângulo ABC, onde M e N são, respectivamente, os pontos médios de AC e BC. Podemos afirmar que CNCB MCAC 2 2 . Somando membro a membro teremos: . 2 1 2)(2 ABMNABMNCBACCNMC 110. Prove que, se u e v são vetores de R2 tais que u=kv, então ..vku Solução: Supondo que v=(a,b), então u=(ka,kb). Assim, )( 2222222 bakubkaku ... 22 vkubaku 111. Prove que, sendo u e v vetores ortogonais, então u.v=0. Solução: Com o auxílio da figura, pode-se observar que u+v é a hipotenusa do triângulo retângulo que possui catetos u e v. Aplicando Pitágoras encontra-se .222 vuvu Utilizando uma propriedade do produto interno tem-se: (u+v).(u+v) = u.u + v.v u.u + u.v + v.u + v.v = u.u + v.v 2(u.v) = 0 u.v=0. 112. Verifique se os vetores u=(3,2) e v=(-4,6) são ortogonais. Solução: Os vetores serão ortogonais se e somente se u.v=0. Assim, (3,2).(-4,6) = -12+6 = -6 0. Logo u e v não são ortogonais. 113. Obter y de modo que os pontos A=(3,y), B=(0,4) e C=(4,6) sejam os vértices se um triângulo retângulo em A. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 22 Solução: Para que o triângulo ABC seja retângulo em A, os vetores AB e AC deverão ser ortogonais. Assim, AB.AC = 0. Logo, (B-A).(C-A) = 0 (0 - 3, 4 - y).(4 - 3, 6 - y) = 0 (- 3, 4 – y).(1, 6-y) = 0 -3.1 + (4 - y).(6 - y) = 0 -3 + 24 – 4y – 6y + y2 = 0 y2 –10y + 21 = 0 y = 3 ou y = 7. 114. Sendo u=(2,5) e v=(5,2), verifique se u+v e u-v são ortogonais. Solução: u+v=(7,7) e u-v=(-3, 3). Assim, (7,7).(-3,3) = -21+21 = 0. Logo u+v e u-v são ortogonais. 115. Determine x de modo que os vetores u=(x, 0, 3) e v=(1, x, 3) sejam ortogonais. Solução: Para que u e v sejam ortogonais, u.v = 0. Assim, (x, 0, 3).(1, x, 3) = 0 x + 0 + 9 = 0 x = -9. 116. Determine o vetor u ortogonal a v=(4, -1, 5) e a w=(1, -2, 3), tal que u.(1, 1, 1) = - 1. Solução: Supondo u=(x, y, z) tem-se: 11)1,1,1).(,,( 0320)3,2,1).(,,( 0540)5,1,4).(,,( zyxzyx zyxzyx zyxzyx . Assim, solucionando o sistema, encontra-se x= 1, y = -1 e z = -1. Logo, u=(1, -1, -1). 117. Prove que se kv = tv, sendo v0, então k = t. Solução: kv = tv kv – tv = 0 (k-t).v = 0 k=t, pois v0. 118. Sendo v0, prove que v v , denominado de versor de v, é um vetor unitário. Solução: Escrevendo v v como u e considerando que vvv . 2 , então v v v v uuuu .. 22 http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 23 .11 . .. 22 2 2 uu vv vv u v vv u 119. Prove que, para u e v 0 e sendo o ângulo formado pelos vetores, . . . cos vu vu Solução: Observando a figura ao lado e aplicando a Lei dos Cossenos encontra-se: . . . coscos..2..2 cos...2..2cos2 2222222 vu vu uvuv uvuvuvuvuvuvuv 120. Determine o ângulo formado pelos vetores u=(1,1) e v=(2,0). Solução: .45 2 2 cos 2.2 2 cos 2.2 )0,2).(1,1( cos . . cos o vu vu 121. Determine o ângulo formado pelos vetores u=(1, -1, 0) e v=(1, 0, 1). Solução: .60 2 1 cos 4 1 cos 2.2 )1,0,1).(0,1,1( cos . . cos o vu vu 122. Dados os vetores u=(a,b,c) e v=(d,e,f) determine o produto vetorial entre u e v. Solução: O produto vetorial entre u e v, que pode ser simbolizado por u x vou u ^ v, tem como solução um vetor e pode ser calculado das seguintes maneiras: Supondo que (x, y, z) são as coordenadas do vetor solução, tem-se fbea ed ba z fadc df ac y ecfb fe cb x .. .. .. Assim, u x v = (b.f – c.e, c.d – a.f, a.e – b.f). O produto vetorial entre u e v também poderá ser calculado da seguinte maneira: http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 24 )...()..()..(............ dbeazfadcyecfbxyfaxeczdbzeaydcxfb fed cba zyx Assim, uxv será o vetor de coordenadas (b.f – c.e, c.d – a.f, a.e – b.f). 123. Sendo u=(1, -2, 3, -4) e v=(5, -4, 5, 7), determine se u e v são ortogonais. Solução: Se u e v são ortogonais (perpendiculares), então u.v = 0. Assim, (1, -2, 3, -4).(5, -4, 5, 7) = 1.5 + (-2).(-4) + 3.5 + (-4).7 = 5 + 8 + 15 – 28 = 28 – 28 = 0. Logo, u e v são ortogonais. 124. Determine o versor do vetor v=(3, -12, -4). Solução: O versor do vetor v será o vetor unitário u, tal que v v u . Como ,13169)4()12(3 222 v então ). 13 4 , 13 12 , 13 3 ( u 125. Determine o vetor direção do vetor v=(2, -3, 8, -5). Solução: O vetor direção, ou versor, do vetor v será o vetor unitário u, tal que v v u . Como ,102)5(8)3(2 2222 v então ). 120 5 , 120 8 , 120 3 , 120 2 ( u 126. Dados os vetores v, u1 e u2 R2 , determine a condição para que o vetor v seja escrito como uma combinação linear de u1 e u2 . Solução: v poderá ser escrito como uma combinação linear de u1 e u2 se existires escalares k1 e k2 tais que v = k1 . u1 + k2 . u2. 127. Determine se é possível escrever o vetor v=(6, 9) como uma combinação linear do vetor u=(2,3). Solução: Se v é uma combinação linear de u, então v poderá ser escrito como v = k.u, ou seja, (6,9) = k.(2,3). Assim, 2.k = 6 e 3.k = 9. Como k = 3 satisfaz às duas equações, então v é http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 25 uma combinação linear de u, pois (6,9) = 3.(2,3), ou seja, v=3.u. É importante observar que, neste caso, u e v são paralelos. 128. Determine se é possível escrever o vetor v=(-3,8) como uma combinação linear dos vetores u1=(1,2) e u2=(-2,3). Solução: v poderá ser escrito como uma combinação linear de u1 e u2 se existirem escalares k1 e k2 tais que v = k1 . u1 + k2 . u2. Assim, deverão existir escalares para que (-3,8) = k1.(1,2) + k2.(-2,3). O sistema, com as equações k1 - 2k2 = -3 e 2k1 + 3k2 = 8, terá como solução k1 = 1 e k2 = 2. Logo, v é uma combinação linear de u1 e u2, pois (-3,8) = 1.(1,2) + 2.(-2,3), ou seja, v=1.u1 + 2.u2, . 129. Dados o vetor v e o conjunto de vetores { u1, u2, u3, u4, ..., un } todos de Rn, determine a condição para que o vetor v seja escrito como uma combinação linear de { u1, u2, u3, u4, ..., un }. Solução: v poderá ser escrito como uma combinação linear de { u1, u2, u3, u4, ..., un } se existirem escalares { k1, k2, k3, k4, ..., kn } tais que v = k1 . u1 + k2 . u2,+ k3 .u3 + k4 . u4 + .... kn,. un . 130. Determine se é possível escrever o vetor v=(2, 3, -4) como uma combinação linear de u1 = (1,1,1), u2 = (1,1,0) e u3 = (1,0,0). Solução: v poderá ser escrito como uma combinação linear de u1, u2 e u3 se existirem k1, k2 e k3 de modo que v = k1 . u1 + k2 . u2,+ k3 .u3 . Assim, (2, 3, -4) = v = k1 . (1,1,1) + k2 .(1,1,0)+ k3 .(1,0,0). O sistema, com as equações k1 + k2 + k3 = 2, k1 + k2 = 3 e k1 = -4, terá como solução k1=-4, k2= 7 e k3 =-1. Logo, v é uma combinação linear de u1, u2 e u3 pois (2, 3, -4) = -4.(1,1,1) + 7.(1,1,0) – 1.(1,0,0), ou seja, v = -4 u1 + 7 u2 - u3. 131. Determine os escalares k1, k2 e k3 de modo que o vetor v=(3, 5,-2) seja uma combinação linear dos vetores i, j e k, onde i=(1,0,0), j=(0,1,0) e k=(0,0,1) (O conjunto {i, j, k} é uma base ortonormal de R3, denominada de base canônica de R3). Solução: (3, 5, -2) = k1 . (1,0,0) + k2 .(0,1,0)+ k3 .(0,0,1). Assim, k1=3, k2= 5 e k3 =-2. Logo, v=3i + 5j – 2k. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 26 132. Sendo u = 3i + 5j – 2k e v = 4i – 3j + 7k, determine u + v. Solução: u + v = (3i + 5j – 2k) + (4i – 3j + 7k) = 7i + 2j + 5k. 133. Sendo u = 3i + 5j – 2k e v = 4i – 3j + 7k, determine 2u - 3 v. Solução: 2u – 3v = 2.(3i + 5j – 2k) – 3.(4i – 3j + 7k) = (6i + 10j – 4k) – (12i –9j + 21k) = -6i + 19j – 25k. 134. Sendo u = 3i + 5j – 2k e v = 4i – 3j + 7k, determine u . v. Solução: u.v = 3.4 + 5.(-3) + (-2).7 = 12 – 15 – 14 = -17. 135. Calcular o módulo do vetor v = 4i + 3j. Solução: .52591634 22 v 136. Calcular o módulo do vetor v=2i + 4j – k. Solução: .211164)1(42 222 v 137. Determinar o versor do vetor v=4i + 3j. Solução: Como ,5v então o versor de v será o vetor . 5 3 5 4 ji v v u 138. Determine o versor do vetor v=2i + 4j – k. Solução: Como ,21v então o versor de v será o vetor . 21 1 21 4 21 2 kji v v u 139. Determine o valor de m de modo que o vetor v=(2m, 4m, 4m) seja um versor. Solução: para que v seja um versor, v deverá ser unitário, ou seja, .1v Assim, .13616164 2222 mmmmv Ou seja, 36m2 = 1 ou m= 1/6. 140. Sendo A=(1,0), B=(4,1) e C=(4,y), calcule y de modo se tenha BÂC = 60o. Solução: O ângulo BÂC é formado pelos vetores AB e AC, onde AB = (3,1) e AC=(3,y). Como http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 27 CABA CABAo . . 60cos , então yy y y 2181090 9.10 9 2 1 2 2 . Elevando os dois membros ao quadrado tem-se .356039124723241090 222 yyyyyy 141. Sendo v um vetor unitário, prove que a projeção de um vetor u na direção de v é o vetor p=(u.v).v. Solução: Como pode ser observado na figura, o vetor p possui a mesma direção que o vetor v. Assim, p poderá ser escrito como p=kv. Como (u - p) e v são ortogonais, então (u - p).v = 0(u - kv).v = 0 u.v – k.(v.v) = 0. Como v é unitário, então v.v = 1. Logo, u.v – k = 0 k = u.v. Assim, como p = k.v, substituindo-se k por u.v tem-se p = (u.v).v. 142. Determinar a projeção do vetor u=(10,5) na direção do vetor ). 5 4 , 5 3 (v Solução: .1 25 16 25 9 v Assim, sabendo-se que p=(u.v).v, tem-se: . 5 52 , 5 39 5 4 , 5 3 .13 5 4 , 5 3 . 5 65 5 4 , 5 3 . 5 20 5 45 5 4 , 5 3 . 5 4 , 5 3 .5,15 p pppp 143. Determinar a projeção do vetor t=(0,4) na direção do vetor v=(1,1). Solução: Como v não é unitário, pois ,2v será necessário calcular o versor de v. O versor de v será o vetor . 2 1 , 2 1 u Assim, ).2,2( 2 1 , 2 1 . 2 4 2 1 , 2 1 . 2 1 , 2 1 ).4,0( ppp 144. Mostre que se v é unitário, então, o produto escalar u.v é, em valor absoluto, o módulo da projeção de u sobre v. Solução: Sendop = (u.v).v e supondo que u.k = k, então ... vkvkp Como v é unitário, então .,.1 kpAssimv http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 28 145. Sendo v um vetor não nulo, prove que a projeção de um vetor u sobre o vetor v é um vetor que possui módulo igual a cos.u , onde é o ângulo entre u e v. Solução: Sendo v um vetor não nulo, então a projeção de u sobre v será calculada em função do versor de v. Assim, v v v v up )..( . Como cos. . . cos vuvu vu vu , então v v v vu p . . .cos.. cos up v v v vu p 146. Determine o coeficiente angular de uma reta que faz um ângulo de 45o com o eixo das abscissas. Solução: Define-se como coeficiente angular (m) o valor numérico da tangente trigonométrica da inclinação da reta, ou seja: .1450 mtgm 147. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A=(xA, yA) e B=(xB, yB). Solução: Conforme pode ser observado na figura, . x y xx yy deadjacentecatetodomedida deopostocatetodomedida tgm AB AB 148. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A=(1,3) e B=(2, 5). Solução: .2 12 35 x y m 149. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A=(-3,1) e B=(1,-2). Solução: . 4 3 )3(1 12 x y m http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 29 150. Determine o valor de k de modo que os pontos A=(1,3), B=(2,7) e C=(4,k) estejam alinhados. Solução: Para que os pontos estejam alinhados, o coeficiente angular calculado pelos pontos A e B deverá ser igual ao coeficiente angular calculado por B e C. Assim, .1587 2 7 1 4 24 7 12 37 kk kk m 151. Se os pontos (2,-3), (4,3) e (5, 2 k ) estão numa mesma reta, então k é igual a: Solução: .12666)32/(2 1 32/ 2 6 45 32/ 24 )3(3 kkk kk m 152. Verificar que os pontos A=(2,3), B=(5,11) e C=(10,25) são vértices de um mesmo triângulo. Solução: Para que os pontos sejam vértices de um mesmo triângulo eles não poderão estar alinhados. Assim, .0201751770155011012530220 12510 1115 132 Como os pontos não estão alinhados, eles poderão ser vértices de um mesmo triângulo. 153. Verifique se os pontos A=(xA,yA), B=(xB,yB) e P=(x,y) estão alinhados. Solução: Como já foi visto anteriormente, pode-se utilizar o critério do determinante para verificar se os pontos estão alinhados. Assim, .0)()( 000 1 1 1 ABBAABBA ABBAABBAABABBABA BB AA yxyxxxyyyx yxyxyxyxxyxyyxxyyxyxyxxy yx yx yx Fazendo a=(yA – yB), b=(xB –xA) e c=(xAyB – xByA), tem-se ax + by + c=0, que é a forma algébrica da equação da reta que passa pelos pontos A, B e P. 154. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A=(1,3), B=(2,4) e P=(x,y). http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 30 Solução: .020464230 142 131 1 yxxyyx yx 155. Dada a equação da reta r: ax + by + c=0, mostre que a e b são coordenadas de um vetor ortogonal à reta r. Solução: Tomando-se os pontos A=(xA,yA) e B=(xB,yB) da reta r, pode-se mostar o vetor AB, que terá coordenadas AB=( xB-xA, yB -yA). Assim, sendo v=(a,b) onde a=(yA – yB) e b=(xB –xA), observa-se que AB=(-b,a), que é ortogonal à v. O vetor v=(a,b) é denominado de vetor normal da reta r. 156. Determine as coordenadas do vetor normal da reta r: 2x + 3y – 5=0. Solução: O vetor normal da reta r terá coordenadas v=(2,3). 157. Determine as coordenadas do vetor normal da reta que passa pelos pontos A=(-3,5) e B=(1,1). Solução: Calculando as coordenadas do vetor AB, e sabendo que AB=(-b,a), tem-se: AB = (1-(-3), 1-5)=(4,-4). Assim, v=(-(-4),4), ou seja, v=(4,4). Outra forma de encontrar a solução do problema é montando a equação da reta que passa pelos pontos A e B. Assim, encontrando a equação 4x + 4y – 8 = 0, verifica-se que v=(4,4). 158. Determine as coordenadas do vetor normal da reta que passa pelos pontos A=(3,2) e B=(6,2). Solução: Construindo a equação da reta que passa por A e B, em sua forma algébrica, encontra-se .01230032126620 126 123 1 yxyxyx yx Assim, v=(0,3). Observa-se que a reta é paralela ao eixo das abscissas. 159. Determine as coordenadas do vetor normal da reta que passa pelos pontos A=(3,5) e B=(3,2). http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 31 Solução: Construindo a equação da reta que passa por A e B, em sua forma algébrica, encontra-se .0903032156350 123 153 1 yxyxyx yx Assim, v=(3,0). Observa-se que a reta é paralela ao eixo das ordenadas. 160. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos P=(x,y) e Q=(xA,yA). Solução: O coeficiente angular da reta que passa por P e Q será ).( AA A A xxmyy xx yy m 161. Determine a equação da reta que passa pelos pontos A=(5,1) e que tenha coeficiente angular m=2. Solução: Aplicando A e m na equação geral da reta encontra-se (y - 1) = 2(x - 5) y – 1= 2x – 10 2x – y – 9 = 0. 162. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A=(3,0) e tenha coeficiente angular m= -3. Solução: (y – 0) = -3(x – 3) y = -3x + 9 -3x – y + 9 = 0 ou 3x + y – 9 = 0. 163. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A=(0,0) e tenha coeficiente angular m=1/2. Solução: (y – 0) = ½.(x – 0) 2y = x x – 2y = 0. 164. Determine a equação da reta que passa pelo ponto A=(7,-2) e faça um ângulo de 45o em relação ao eixo das abscissas. Solução: m = tg 45o = 1 (y – (-2)) = 1(x-7) y + 2 = x – 7 -x + y + 9 = 0 ou x – y – 9 = 0. 165. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto A=(-5,3) e é perpendicular ao eixo das abscissas. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 32 Solução: m = tg 90o é impossível calcular m. Como a reta é perpendicular ao eixo das abscissas, ou seja, paralela ao eixo das ordenadas, a reta terá valor de x fixo para todo valor de y. Assim, para qualquer ponto A=(xA, yA), a equação da reta perpendicular ao eixo das abscissas, passando por A, será dada por x = xA. Desta forma, a equação da reta que passa por A=(-5,3) e é perpendicular ao eixo das abscissas será a equação x = -5. 166. Escreva a equação da reta que passa pelo ponto A=(3, 1) e é perpendicular ao eixo das ordenadas. Solução: m = tg 0o m = 0. Logo, y – 1 = 0(x – 3) y – 1 = 0 y = 1. Observa-se que a reta em questão é paralela ao eixo das abscissas, ou seja, a reta terá valor fixo de y para qualquer valor de x. Assim, para qualquer ponto A=(xA, yA), a equação da reta paralela ao eixo das abscissas, passando por A, será dada por y = yA. 167. Dada a reta de equação r: x + 2y – 3 = 0, verifique se o ponto A=(1,1) pertence à reta. Solução: Se A r, então xA + 2yA – 3 = 0 . Assim, 1 + 2.1 – 3 = 0 1 + 2 – 3 = 0 0 = 0. Logo, pode-se afirmar que o ponto A pertence à reta r. 168. Verifique se o ponto P=(1,2) pertence à reta r: 2x – 3y + 2 = 0. Solução:Aplicando P em r tem-se, 2.1 – 3.2 + 2 = 0 2 – 6 + 2 = 0 -2 0. Logo, P r. 169. Determine as coordenadas do ponto P da reta de equação 2x – y + 2 = 0 que possui abscissa 3. Solução: O ponto P terá coordenadas P = (3, y). Assim, 2.3 – y + 2 = 0 6 – y + 2 = 0 y = 8. Logo, P=(3, 8). 170. Para a reta 3x – 2y + 5 = 0, determine as coordenadas do ponto P desta reta, que possua ordenada 2. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 33 Solução: O ponto P terá coordenadas P = (x, 2). Assim, 3x – 2.2 + 5 = 0 3x – 4 + 5 = 0 3x = -1 x = -1/3. 171. Determine o ponto de encontro da reta r: 2x – 3y + 6 = 0 com o eixo das abscissas. Solução: O ponto de interseção entre a reta r e o eixo das abscissas terá coordenadas (x, 0). Assim, 2x – 3.0 + 6 = 0 2x + 6 = 0 x = -3. Logo, as coordenadas serão (-3, 0). 172. Determine o ponto de encontro da reta r: 3x + 2y – 8 = 0 com o eixo das ordenadas. Solução: O ponto de interseção entre a reta r e o eixo das ordenadas terá coordenadas (0, y). Assim, 3.0 + 2.y – 8 = 0 2y = 8 y = 4. Logo, as coordenadas serão (0, 4). 173. Determine o valor de k, de modo que o ponto P=(2,1) pertença à reta x + y + k = 0. Solução: Substituindo as coordenadas de P na reta, encontra-se 2 + 1 + k = 0 3 + k = 0 k = -3. 174. Verifique se a reta 3x + y = 0 passa pela origem do sistema de eixos cartesianos. Solução: Substituindo as coordenadas da origem, ou seja, o ponto (0,0), encontra-se 3.0 + 0 = 0 0 = 0. Logo, a reta passa pela origem do sistema de eixos cartesianos. 175. Determine a equação reduzida da reta de equação r: 2x – y + 4 = 0. Solução: A equação reduzida da reta é uma equação do tipo y = mx + n, onde m é o coeficiente anular e n é o coeficiente linear. Assim, 2x – y + 4 = 0 y = 2x + 4. 176. Determine a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A=(3,1) e B=(1,5). Solução: .2 2 4 31 15 m Assim, para A=(3,1), tem-se: y – 1 = -2(x – 3) y – 1 = -2x + 6 http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 34 y = -2x + 7. 177. Determine a equação reduzida da reta que passa pelo ponto P=(3,5) e que possua coeficiente angular m=4. Solução: y – 5 = 4.(x – 3) y = 4x – 12 + 5 y = 4x – 7. 178. Determinar a equação da reta que corta os eixos nos pontos P=(p,0) e Q=(0,q), para p e q 0. Solução: .100 10 10 1 q y p x qppyqx p q yx Esta equação é conhecida como equação segmentaria da reta. 179. Determine a equação da reta que intercepta o eixo das ordenadas no ponto A=(0,4) e intercepta o eixo das abscissas no ponto B=(2,0). Solução: A solução deste problema poderá ser dada por meio do cálculo do coeficiente angular e da utilização de um dos pontos, ou seja: 2 20 04 m y – 4 = -2(x - 0) y = - 2x + 4. Porém, observando que o coeficiente linear da reta é 4, pois a reta corta o eixo das ordenadas no ponto A=(0,4), o problema também poderá ser resolvido da seguinte maneira: y=mx + n y = mx + 4, substituindo o ponto A, encontra-se 0 = m.2 + 4 m = -4/2 m = -2. Assim, a equação da reta será y = -2x + 4. Pela equação segmentaria também é possível encontrar a solução do problema .42428241 42 1 xyouyxouyx yx q y p x 180. Determine a equação da reta que passa pelos pontos P=(-1,0) e Q=(0,1). Solução: Pela equação segmentaria tem-se .10111 11 1 xyouyxouyx yx q y p x 181. Determine a equação da reta que passa por P=(1,3) e Q=(0,-1). http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 35 Solução: Como o coeficiente linear é –1, pois a reta corta o eixo das ordenadas em Q=(0,-1), tem-se y = mx + n y=mx-13=m.1 - 1m=4 y=4x – 1. 182. Determine a equação da reta que passa por P=(1,1) e Q=(2,2). Solução: .0022220 122 111 1 xyyxyxyx yx Esta reta é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares. 183. Determine a equação da reta que passa por P=(1,-1) e Q=(-2,2). Solução: .033022220 122 111 1 xyyxyxyx yx Esta reta é denominada de bissetriz dos quadrantes pares. 184. Determine os coeficientes angular e linear da reta de equação r: 6x – 2y + 4 = 0. Solução: 6x – 2y + 4 = 0 2y = 6x + 4 y = 3x + 2. Logo, m=3 e n = 2. 185. Determine os coeficientes angular e linear da reta de equação r: -3x + 2y – 4=0. Solução: .2 2 3 2 43 4320423 x y x yxyyx Assim, m= 3/2 e n=2. 186. Para que valor de k o coeficiente linear da reta 3x + y + 2k = 0 é igual a 5? Solução: 3x + y + 2k = 0 y = -3x – 2k -2k = 5 k = -5/2. 187. Determine os coeficientes angular e linear da reta de equação r: ax + by + c = 0. Solução: Sendo r: ax + by + c =0, então, by = -ax – c . b c ne b a m b cax y 188. Dados os pontos A=(0,0), B=(3,7) e C=(5, -1), determinar a equação da reta que passa por A e pelo ponto médio do segmento AB. Solução: ).3,4( 2 )1,5()7,3( M P Assim, a reta passará pelo ponto (4,3) e pelo ponto (0,0). Logo, .043 4 3 )0( 4 3 0 4 3 04 03 yxouxyxym http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 36 189. Obter um ponto A na reta r: x – y = 0 e equidistante dos pontos A=(1,0) e C=(5,2). Solução:Sendo A=(xA, yA) e A r xA - yA = 0 xA = yA . Assim, A=(x,x). Como dAB = dAC, então, ). 3 7 , 3 7 ( 3 7 281214251042 44251012)2()5()0()1( 22222222 Axxxxx xxxxxxxxxxx 190. Obter um ponto P na reta r: y=3x e equidistante dos pontos A=(4,0) e B=(0,2). Solução: Sendo P=(xP, yP) e P r 3xP = yP . Assim, P=(x,3x). Como dPB = dPC, então, ).9,3(3124164128 41299168)23()0()03()4( 22222222 Pxxxx xxxxxxxxxx 191. Obter um ponto A na reta r: y = x tal que o ponto médio do segmento AB, onde B=(2,4), pertença à reta s: 2x – y – 4 = 0. Solução: Sendo A=(x,x), então, . 2 4 , 2 2 2 )4,2(),( xxxx P M Como PM s, então, ).8,8(80844204) 2 4 () 2 2 .(2 Axxx xx 192. Obter um ponto A na reta r: y = x e um ponto B na reta s: y=4x tais que o ponto médio do segmento AB seja M=(1,2). Solução: Sendo A=(a,a) e B=(b, 4b), então ). 3 8 , 3 2 () 3 4 , 3 4 (. 3 2 3 4 44 2 )2,1( 2 )4,(),( BeALogobea ba babbaa P M 193. Dadas as retas r: a1x + b1y + c1=0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, determine as condições para que r e s sejam paralelas. Solução: Sendo v1=(a1, b1) e v2=(a2 ,b2) os vetores normais de r e s respectivamente. Se r//s, então, v1 // v2. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 37 Assim, . 21 2 2 1 1 2 1 2 1 mm b a b a b b a a Logo, r e s são paralelas se e somente se seus coeficientes angulares são iguais. Uma outra relação que é importante ser observada é: Se 2 1 2 1 2 1 c c b b a a as retas são paralelas coincidentes. Se 2 1 2 1 2 1 c c b b a a as retas são paralelas distintas. 194. Dadas as retas r: a1x + b1y + c1=0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, determine as condições para que r e s sejam ortogonais. Solução: Sendo v1=(a1, b1) e v2=(a2 ,b2) os vetores normais de r e s respectivamente. Se r é ortogonal à s, então, v1 é ortogonal à v2. Assim, v1.v2 = 0 (a1, b1).(a2 ,b2)=0 a1.a2 + b1.b2 = 0 a1.a2 = - b1.b2 .1. 1 21 2 1 2 2 1 1 mmou m m a b b a 195. Determinar a interseção entre as retas r: 5x – 2y – 1 = 0 e s: 2x – 4y + 7 = 0. Solução: Para encontrar a interseção entre as retas basta solucionar o sistema 742 125 yx yx . Assim, a interseção entre as retas será o ponto ) 16 37 , 8 9 (P . 196. Determinar a interseção entre as retas r: 3x + y + 1 = 0 e s: 6x + 2y + 3 = 0. Solução: Antes de buscar a solução do sistema 326 13 yx yx , é importante observar que as retas são paralelas, uma vez que os vetores normais vr=(3,1) e vs=(6,2), são paralelos. Além disso, também pode-se observar que mr = ms = -3. Porém, essas retas são paralelas distintas, uma vez que 3 1 2 1 6 3 . Assim, não haverá interseção entre as retas. 197. Determinar a interseção entre as retas r: 2x – y + 3 = 0 e s: 6x – 3y + 9 = 0. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 38 Solução: Da mesma maneira que na questão anterior, é importante observar que as retas são paralelas. Porém, desta vez, as retas são paralelas coincidentes, um vez que 9 3 3 1 6 2 . Logo, as retas terão uma infinidade de pontos de interseção. A solução do sistema será o conjunto )32,(),( 2 xxRyxS . 198. Determinar os valores de k para os quais as retas r: kx + y + 2 = 0 e s: 3x – 6y – 2 = 0 são concorrentes. Solução: Para que as retas sejam concorrentes, os vetores normais não poderão ser paralelos. Assim, . 2 1 6 1 3 k k 199. Determinar os vértices do triângulo cujos lados estão nas retas r: x – 2y = 0, s: 2x – y = 0 e t: x + y – 6 = 0. Solução: Para se determinar os vértices do triângulo, deve-se buscar as intersecções entre as retas, duas a duas. Assim, rs = (0,0), st = (2,4) e rt = (4,2). 200. Mostrar que as retas r: 3x – 2y – 8 = 0, s: x + 2y – 8= 0 e t: 5x – 6y – 8 = 0 são concorrentes num mesmo ponto P. Solução: As retas terão um mesmo ponto de intersecção caso o sistema tenha uma única solução. Resolvendo o sistema, encontra-se o ponto P=(4,2) 201. Determinar o valor de k de modo que as retas r: kx + 2y + 3 = 0 e s: 3x – y – k = 0 sejam paralelas. Solução: Para que as retas sejam paralelas é necessário que .6 1 2 3 k k 202. Determinar os valores de k de modo que as retas r: 2x – ky + 1 = 0 e s : 8x + ky – 1 = 0 sejam perpendiculares. 0865 082 0823 yx yx yx http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 39 Solução: Se r e s são perpendiculares, então seus vetores normais vr=(2,-k) e vs=(8,k) são perpendiculares. Logo, (2,-k).(8,k) = 0 16-k2 = 0 k2 = 16 k = 4. 203. Obter a equação da reta s paralela à reta r: 2x + 3y + 1 = 0 e que passa pelo ponto P=(5, -2). Solução: Se s e r são paralelas, então ms = mr = -2/3. Assim, .0432:)5( 3 2 )2( yxsxy 204. Determinar uma reta s paralela à r: 7x + 15y – 11 = 0 e que passa pela origem do sistema cartesiano. Solução: Se as retas são paralelas, então elas deverão ter vetores normais paralelos. Como a reta em questão deverá passar na origem do sistema cartesiano, então seu coeficiente linear deverá ser c =0. Assim, a equação da reta s poderá ser escrita como 7x + 15y = 0. 205. Obter a equação da reta s perpendicular à reta r: 2x + 5y – 1 = 0 e que passa pelo ponto P=(1,1). Solução: O coeficiente angular da reta r é . 5 2 r m Assim, o coeficiente angular da reta s será . 2 51 r s m m Logo, a equação da reta s será s: 5x – 2y – 3 = 0. 206. Determinar a projeção ortogonal do ponto P=(2,3) sobre a reta r: x + y + 1 = 0. Solução: A projeção ortogonal de P sobre a reta r é o ponto P’, gerado pela intersecção entre a reta r e uma reta s, perpendicular a r, que passe por P. Assim, o coeficiente angular da reta s será ms = 1, uma vez que mr = -1. Desta forma, a equação de s será s: x – y + 1 = 0. Logo, o ponto P’, intersecção entre r e s, será P’= (-1,0). 207. Determinar o ponto simétrico de P=(0,4) em relação à reta r: 2x + y = 0. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 40 Solução: Primeiramente deve-se encontrar a projeção ortogonal de P em relação à reta r. A equação da reta s, perpendicular à reta r, será s: x – 2y + 8 = 0. Assim, a intersecção entre r e s será o ponto P’=(-8/5 , 16/5). O ponto simétrico de P em relação a reta r será um ponto Q, tal que, P’ será o ponto médio entre P e Q, ou seja, ). 5 12 , 5 16 ()4,0() 5 16 , 5 8 (2'2' 2 QQPPQP QP 208. Dados O=(0,0) e r: x + y – 5 = 0, determine o ponto médio do segmento cujas extremidades são o ponto O e a sua projeção ortogonal sobre r. Solução: Sendo mr=-1, a equação da reta ortogonal a r, passando por O, será dada por s: x – y = 0. Assim, a projeção ortogonal de O, em relação à reta r será o ponto O’=(5/2, 5/2). Logo, o ponto médio do segmento OO’ será ). 4 5 , 4 5 ( 2 )2/5,2/5()0,0( M P 209. Dadas duas retas com inclinações r e s, determine a tangente do ângulo formado pelas retas. Solução: Sendo s o maior ângulo, pela figura pode-se observar que rs =s - r, então: tg rs = tg(s - r ). Assim, )).((1 rs rs rs tgtg tgtg tg . Como tgs = ms e tgr = mr , onde ms e mr são os coeficientes angulares das retas s e r, então: rs rs rs mm mm tg .1 . Da mesma maneira, caso r seja o maior ângulo, tem-se: rs sr sr mm mm tg .1 210. Sendo r: 3x + y + 5 = 0 e s: 2x – y – 4 = 0, calcular o ângulo formado pelas retas r e s. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 41 Solução: Verifica-se que os coeficientes angulares das retas são, respectivamente, mr= -3 e ms= 2. Assim, .13511 5 5 )3(21 32 .1 0 rsrsrs rs rs rs tgtg mm mm tg 211. Determine as equações das retas que passam pelo ponto P=(1,2) e formam um ângulo de 45o com a reta r: y – 2x +4= 0. Solução: Supondo que s seja a reta pedida, e que ela passe pelo ponto P=(1,2), então sua equação deverá ser y – 2 = ms.(x-1). O ângulo de 45o pode ser sr ou rs. Assim, o problema terá duas soluções. 1o Caso: Sendo sr = 45o tgsr = 1 e mr = 2, então: . 3 1 2121 21 2 .1 sss s s rs sr sr mmm m m mm mm tg Logo, y – 2 = 1/3(x-1) s: x – 3y + 5 = 0. 2º Caso: Sendo rs = 45o tgrs = 1 e mr = 2, então: .32121 21 2 .1 sss s s rs rs rs mmm m m mm mm tg Logo, y – 2 = -3.(x –1) s:3x + y – 5 = 0. 212. Determinar as equações das retas que passam pelo ponto de intersecção das retas r: 2x – y = 0 e s: 5x + 2y – 2 = 0 e formam um ângulo de 45o com a reta t: x – 2y + 2 = 0. Solução:Verifica-se que rs = (2/9,4/9) e que mt = 1/2. Sendo m o coeficiente angular da reta desejada, então: y – 4/9 = m.(x – 2/9). Assim, as soluções serão: . 3 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 45 1 1 1 1 1 m m m m m tg o Logo, a equação será http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 42 9x + 27 – 14 = 0. ou .3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 45 2 2 2 1 2 m m m m m tg o Neste caso, a equação será 27x – 9y – 2 = 0. 213. Sejam (x,y) as coordenadas de um ponto P em relação ao sistema de eixos xOy e (h,k) as coordenadas da origem O’ de um novo sistema XO’Y de eixos respectivamente paralelos aos primeiros e de igual sentido. Determine as coordenadas (X,Y) do ponto P no novo sistema de coordenadas XO’Y. Solução: Pela figura pode-se observar que X = x – h e Y = y – k. Esta mudança de coordenadas é denominada de Translação de Eixos. 214. As coordenadas de um ponto P são (5,8). Calcule as coordenadas desse ponto em relação a outro sistema de eixos paralelos a xOy, de igual sentido, e de origem no ponto O’=(3,2). Solução: Como X = x – h e Y = y – k, então as coordenadas de P serão (2,6). 215. Transformar a equação x2 – 4y2 – 2x + 8y – 7 = 0 mediante uma translação de eixos, considerando a nova origem no ponto (1,-1). Solução: .1 1 )1( 4 )1( 1 4 1 4 7 1 )12( 4 )12( 4 7 1 )2( 4 )2( 7)2(4)2( 2222 22 22 yxyyxx yyxx yyxx Fazendo a translação de eixos tem-se: X=1-1 = 0 http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 43 Y = 1 –(-1) = 2 Logo, a equação será: .020841 1 )2( 4 )0( 22 22 yyx yx 216. Transformar a equação x2 – 6y + 9 = 0 mediante uma translação de eixos, considerando a nova origem no ponto (0, 3/2). Solução: . 2 3 6 0 6 9 6 096 22 2 y x y x yx Fazendo a translação de eixos tem-se: X= 0 – 0 = 0 Y= 3/2 – 3/2 = 0 Logo, a equação será: .060 6 2 2 xxy x 217. Defina circunferência. Solução: Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo C=(a,b) chamado centro. 218. Determine a equação da circunferência de centro em O=(0,0) e raio R. Solução: Sendo P=(x,y) um ponto qualquer da circunferência, .)0()0( 22222 RyxRyxRd OP 219. Determine a equação da circunferência de centro em C=(0,0) e raio R= 4. Solução: Como x2 + y2 = R2 x2 + y2 = 42 x2 + y2 = 16. 220. Transformar a equação x2 + y2 = R2 mediante uma translação de eixos, considerando a nova origem no ponto (a,b). Solução: x2 + y2 = R2 (x+0)2 + (y+0)2 = R2 . Fazendo a translação de eixos tem-se: X= 0 – a Y= 0 - b http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 44 Logo, a equação será (x-a)2 + (y-b)2 = R2 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = R2 x2 + y2 – 2ax– 2by + a2 + b2 - R2 =0. Esta equação é denominada de equação geral da circunferência 221. Determine a equação geral da circunferência de centro em C=(1,2) e raio R=3. Solução: (x-1)2 + (y-2)2 = 32 x2 – 2x + 1 + y2 – 4y + 4 – 9 = 0 x2 + y2 – 2x – 4y – 4=0. 222. Determine a equação geral da circunferência de centro em C=(-2,-1) e raio R=1. Solução: (x+2)2 + (y+1)2 = 12 x2 + 4x + 4 + y2 + 2y + 1 – 1 = 0 x2 + y2 + 4x + 2y + 4=0. 223. Determine o centro e o raio da circunferência de equação (x – 2)2 + (y – 3)2 = 4. Solução: Comparando com a equação reduzida da circunferência, ou seja, (x - a)2 + (y - b)2 = R2, tem-se: a = 2, b = 3 e R2 = 4 R = 2. 224. Determine o centro e o raio da circunferência de equação (x + 3)2 + (y + 1)2 = 9. Solução: Comparando com a equação reduzida da circunferência, ou seja, (x – a)2 + (y – b)2 = R2, tem-se: a = -3, b = -1 e R2 = 9 R = 3. 225. Determine o centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 – 25 = 0. Solução: Comparando com a equação geral da circunferência, ou seja, x2 + y2 – 2ax– 2by + a2 + b2 - R2 =0, tem-se: a = 0, b = 0 e a2 + b2 - R2 = -25 R = 5. 226. Determine o centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 – 6x = 0. Solução: Comparando com a equação geral da circunferência, ou seja, x2 + y2 – 2ax– 2by + a2 + b2 - R2 =0, tem-se: -2a = -6 a = 3, -2b = 0 b = 0 e a2 + b2 - R2 = 0 R = 3. 227. Determine o raio e o centro da circunferência de equação x2 + y2 – 6x + 10y - 2= 0. Solução: Comparando com a equação geral da circunferência, ou seja, x2 + y2 – 2ax– 2by + a2 + b2 - R2 =0, tem-se: -2a = -6 a = 3, -2b = 10 b = -5 e a2 + b2 - R2 = -2 R = 6. 228. Determine o raio e o centro da circunferência de equação x2 + y2 + 8x + 2y + 11= 0. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 45 Solução: Solução: Comparando com a equação geral da circunferência, ou seja, x2 + y2 – 2ax– 2by + a2 + b2 - R2 =0, tem-se: -2a = 8 a = -4, -2b = 2 b = -1 e a2 + b2 - R2 = 11 R = 6 . 229. Determine a equação da circunferência de centro no ponto C=(3,0) e tangente ao eixo das ordenadas. Solução: Se a circunferência é tangente ao eixo das ordenadas e possui centro em C=(0,3), então ela possui raio R=3. Assim, tem-se: (x-3)2 + (y-0) 2 = 32 x2 + y2 –6x= 0. 230. Determine o centro e o raio da circunferência de equação x2 + y2 = 2(x – y) + 1. Solução: x2 + y2 = 2(x – y) + 1 x2 + y2 = 2x – 2y + 1 x2 + y2 - 2x +2y – 1=0. Comparando com a equação geral da circunferência, ou seja, x2 + y2 – 2ax– 2by + a2 + b2 - R2 =0, tem-se: -2a = -2 a = 1, -2b = 2 b = -1 e a2 + b2 - R2 = -1 R = 3 . 231. Calcular p de modo que a circunferência x2 + y2 – 2px + 2py + p2 = 0 tenha raio igual a 2. Solução: Comparando com a equação geral da circunferência, ou seja, x2 + y2 – 2ax– 2by + a2 + b2 - R2 =0, tem-se: -2a = -2p a = p, -2b = 2p b = -p e a2 + b2 - R2 = p2 R2 = p2+ (-p) 2 –p2 R2= p2 p2 = 4. Logo p= 2. 232. Calcular p e k de modo que as circunferências C1: x2 + y2 – 4px + 8y – 1 e C2: x2 + y2 +8x – (k - 4)y = 0 sejam concêntricas, ou seja, tenham centro coincidentes. Solução: Comparando com a equação geral da circunferência, observa-se que os centro das circunferências são, respectivamente, C1=(2p, -4) e C2=(-4, (k-4)/2). Assim, como C1 = C2, então: 2p = -4 p = -2 e .44 2 4 k k 233. Determine os valores de m para os quais a equação x2 + y2 + 4x – 6y + m = 0 representa uma circunferência. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 46 Solução: Comparando com a equação geral da circunferência, ou seja, x2 + y2 – 2ax– 2by + a2 + b2 - R2 =0, tem-se: -2a = 4 a = -2, -2b = -6 b = 3 e a2 + b2 - R2 = m R2 = (-2) 2 + 32 – m R2= 4 + 9 – m R2 = 13 - m. Como R > 0 , então, 13 - m > 0 m < 13. 234. Mostrar que existe um único ponto do plano cartesiano que satisfaz à equação x2 + y2 – 2x – 2y + 2 = 0. Solução: Comparando com a equação geral da circunferência, tem-se a = 1 e b = 1. Assim, a2 + b2 –R2 =2 1 + 1 – R2 = 2 R = 0. Logo,a equação representa todos os pontos cuja distância de C=(1,1) é igual a zero. Portanto, a equação representa apenas o ponto C=(1,1). 235. Determinar os valores de k para os quais o ponto A=(k,2) pertence à circunferência x2 + y2 = 9. Solução: Se A pertence à circunferência, então k2 + 22 =9 k2 = 5 k= 5 . 236. Quais os pontos da circunferência x2 + (y - 1)2 = 4 que têm abscissa 1? Solução: Se x = 1, então, 1+ (y – 1)2 = 4 y2 –2y –2 = 0 y= 21 . Assim, os pontos serão: )21,1( . 237. Quais são os pontos onde a circunferência x2 + y2 – 4x – 5y + 3 = 0 intercepta o eixo dos x? Solução: Se a circunferência intercepta o eixo dos x, então, nestes pontos, y = 0. Assim, x2+ 02 –4x – 5.0 + 3 = 0 x2 –4x – 5 = 0 x1= -1 e x2= 5. Logo, os pontos serão (-1, 0) e (5,0). 238. A intersecção das retas r: 2x + 3y – 8 = 0 e s: x – 2y + 3 = 0 é o centro de uma circunferência de raio R=3. Determine a equação da circunferência. Solução: Primeiramente, deve-se encontrar o ponto de intersecção das retas r e s, ou seja, resolver o sistema 032 0832 yx yx . Resolvendo o sistema, encontra-se x = 1 e y = 2. Assim, a equação da circunferência será (x – 1) 2 + (y – 2) 2 = 32 x2 + y2 –2x –4y – 4 = 0. 239. Achar a equação da reta que passa pelo centro da circunferência (x – 3)2 + (y –2) 2 = 8 e é perpendicular à reta r: x + y – 16 = 0. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 47 Solução: O centro da circunferência é o ponto C=(3,2), e o coeficiente angular da reta r é mr= -1. Assim, a reta desejada terá coeficiente angular m=1 e a equação será: y – 2 = 1.(x – 3) y – 2 = x – 3 x – y – 1 = 0. 240. Dadas a circunferência C: x2 + (y – 2)2 = 9 e a reta r: y = x – 5, determine o ponto de C mais próximo de r. Solução: Primeiramente, é importante observar que não existe intersecção entre a reta e a circunferência. Assim, o ponto de C mais próximo de r será dado pela intersecção entre C e a reta perpendicular à r passando pelo centro da circunferência. O centro da circunferência é o ponto C=(0,2), e o coeficiente angular da reta r é mr=1. Assim, a reta desejada terá coeficiente angular m = -1 e a equação será: y – 2 = -1.(x – 0) y = -x + 2. Assim, a intersecção entre a circunferência e a reta perpendicular será: 2 9)2( 22 xy yx x2 + ((-x+2) – 2)2 = 9 x2 + (-x) 2 = 9 2x2 = 9 x= 2 23 P= . 2 234 , 2 23 241. Determine os valores de k para que a reta r: y = x + k seja tangente à circunferência de equação x2 + y2 – 4y – 2 = 0. Solução: Observa-se que o centro da circunferência é o ponto C=(0,2) e que o raio é R= 6 . Assim, para que a reta seja tangente à circunferência, a distância entre C e r deverá ser igual ao raio da circunferência. Portanto, .1226 2 20 6 )1(1 22 k kkyx Logo, 122122 122122 kk kk , ou seja, .322k 242. Determine a posição da reta r: y = 2x + 1 em relação à circunferência x2 + y2 –2x + 4y – 20 = 0. http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 48 Solução: O sistema 12 0204222 xy yxyx terá como solução os pontos (-3, -5) e (1, 3). Logo a reta será secante à circunferência. 243. Determine a equação da circunferência tangente aos eixos coordenados e à reta r: 4x-3y-30=0, sabendo que ela está situada no primeiro quadrante. Solução: Como a circunferência é tangente aos eixos, no primeiro quadrante, então o centro é positivo e está situado na reta y = x, ou seja, C=(a, a), para a > 0. Além disso, o raio da circunferência deverá ser R= a. Assim, dCr=a, ou seja, .530 5 3034 )3(4 3034 22 aaa aa a yx Assim, 5530 4 30 530 aaa aaa Como a>0, então a = 5. Logo, C=(5, 5) e R=5. Portanto, a equação será (x – 5)2+ (y - 5) 2 =25. 244. Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto P= (4, 9), é tangente à reta t: y + 1 = 0 e tem o centro no eixo dos y. Solução: t é a reta y +1 = 0, ou seja, y = -1. Logo, a circunferência, que possui centro C=(0, y), será tangente à reta t no ponto Q=(0, -1). Assim, pode-se afirmar que R = dCP = dCQ .Então: . 5 24 962012811816)1()00()9()40( 222222 yyyyyyyy Logo, o centro da circunferência será o ponto C=(0,6) e, portanto, o raio será R= . 5 29 1 5 24 A equação da circunferência, então, será 25 841 ) 5 24 ( 22 yx . 245. Verificar a intersecção entre a reta r: x + y + 1 = 0 e a circunferência C: x2 + y2 =2. Solução: A equação reduzida de r será y= - x – 1. Substituindo na circunferência encontra- se x2 + (-x – 1) 2 =2 2x2 –2x – 1 = 0 2 31 x . Assim, têm-se dois pontos de intersecção: http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 49 . 2 33 , 2 31 2 33 , 2 31 1 eP 246. Verificar a posição relativa entre a reta r: 3x + 4y +15 = 0 e a circunferência C: x2 + y2 – 4x - 10y – 35 = 0. Solução: A equação reduzida da reta r será 4 153 x y . Substituindo na circunferência, encontra-se a equação 25x2 + 146x + 256=0. Como, para esta equação, <0, então não haverá intersecção entre a reta e a circunferência. Logo, r e C serão externas. 247. Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos M=(2,0) e N=(4,-2), e tem centro na reta r: y = 2x. Solução: Sendo M e N pontos da circunferência, e sendo o centro C=(x,2x), então dCM = dCN. Assim, 84484168444)22()4()02()2( 22222222 yexxxxxxxxxxxx Logo, C=(-4, -8). Como R = dCM = 10, então a equação será (x + 4)2 + (y + 8) 2 = 100. 248. Determinar a equação da circunferência de centro na origem do sistema cartesiano e tangente à reta r: x + y –5=0. Solução: Nestas condições, R = dOr,ou seja, . 2 25 2 500 11 5 22 yx R Logo, a equação será 2 2522 yx . 249. Determinar a equação da circunferência de centro C=(3, 4) e tangente exteriormente à circunferência da equação x2 + y2 = 1. Solução: Sendo R1 = 1 o raio da circunferência dada, que possui centro em O=(0,0), e R2 o raio da circunferência pedida, tem-se que dOC = R1 + R2, ou seja, R2 = dOC – R1. .5)04()03( 22 OC d Como R1 = 1, então, R2 = 5 – 1 = 4. Logo, a equação será (x-3) 2 + (y-4) 2 = 16. 250. Determinar a equação da circunferência que possui um diâmetro de extremidades A=(7,10) e B=(1,2). http://dodireitoaeducacao.blogspot.com.br 50 Solução: Nestas condições, o centro da circunferência será o ponto médio entre A e B, ou seja, .6,4 2 210 , 2 17 C Assim, o raio da circunferência será R = dCB = 5. Logo, a equação da circunferência será (x – 4) 2 + (y – 6) = 25. 251. Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos A=( -1,0) e B=(1,0) e tem raio r = 10 . Solução: Sendo C=(x,y) o centro da circunferência, então, dCA = dCB = r. Assim, )2(929210)0()1( )1(9210)0()1( 222222 2222 xyxxyxyxd xyxyxd CB CA Substituindo (2) em (1), tem-se 2x + 9 + 2x = 9 x = 0 e y
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