Física I Apontamentos Teóricos Dinâmica e Estática de um Ponto Material (1)

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Dinâmica de uma partícula 
 
Cinemática : Como se move ? 
 Descrição do movimento de uma partícula 
Dinâmica : Porque se move ? 
 Razões pelas quais as partículas se movem. 
 Estudo da relação entre o movimento de um corpo e as 
causas desse movimento. 
 
• Movimento de um corpo resulta da interacção com outros corpos 
que o cercam. 
• Interacções são descritas por forças 
• A dinâmica pode ser considerada como a análise da relação entre 
a força e o movimento 
 
1ª Lei de Newton : Lei da Inércia : Uma partícula livre move-se 
sempre com velocidade constante, ou seja, sem aceleração (a = 0) 
 repouso 
 partícula em 
 movimento rectilíneo uniforme 
Partícula livre : partícula que não está sujeita a interacções com 
outras (uma partícula isolada). 
 
Movimento é um 
conceito relativo 
 
 
 
 
 
 
 
 
Terra não é um referencial inercial pois: 
 
Sol não é um referencial inercial pois: roda em torno do centro da galáxia 
Sol é mais próximo de um referencial inercial do que a terra pois o seu 
movimento é mais próximo do movimento rectilíneo uniforme ( raio de curvatura 
muito maior que o da Terra). 
Para descrever o movimento de uma partícula livre 
é necessário que o observador também seja uma 
partícula livre (sem aceleração). Tal observador é 
um observador inercial e o sistema de referência 
por ele usado é um referencial inercial. 
Sol 
Terra 
3x1020m 1.5x1011m 
Rotação em torno do eixo 
Rotação em torno do sol 
 
Quantidade de Movimento (momento cinético ) 
 
 P = m v (kg m s-1) 
 
Combina dois elementos que caracterizam Velocidade 
 o estado dinâmico de uma partícula Massa 
 
 
1ª Lei de Newton : Partícula livre move-se com P constanteg 
 
Princípio da conservação da Quantidade de Movimento 
 
Sistema de duas partículas isoladas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No instante t 221121 VmVmPPP +=+= 
No instante t’ 221121 ´Vm´Vm´P´P´P +=+= 
 
 
Constante´PP ==
 a qualquer instante 
 
 
Sistema de n partículas isoladas 
 
 
ConstantePP
i
i == ∑ 
 (relativamente a um referencial inercial) 
 
• Não se conhecem excepções a este princípio 
 
 
 
 
V1 , t A 
B 
V2 , t 
V´1 , t´ 
A´ 
B´ V´2 , t´ 
Princípio da conservação 
da quantidade de 
movimento 
 
Considerando dois instantes tin e tf têm-se : 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .....PPP.....PPP f3f2f1in3in2in1 +++=+++ 
ou seja 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∑
≠
∆−=∆
=+∆+∆+∆
=−+−+−
)ji(
i
ij
321
in3f3in2f2in1f1
PP
0.........PPP
0.....PPPPPP
 
 
Num sistema de duas partículas 
21 PP ∆−=∆ 
• Interacção entre partículas leva a uma troca de quantidade de 
movimento 
 
Exemplo: Recuo de uma arma 
 
Inicialmente arma (corpo 1) e bala (corpo 2) em repouso: P1 + P2 = 0 
Após o disparo e utilizando a conservação da quantidade de movimento tem-se: 
 2
1
2
12211 Vm
mV0VmVm −=⇔=+ 
Se m1=0.8kg , m2=0.016kg e V2=700ms-1 obtem-se V1=-14ms-1 
 
A 2ª e 3ª Leis de Newton : Conceito de Força 
 
 21 PP ∆−=∆ 
 
dividindo pelo intervalo de tempo em que as variações de P ocorrem 
 
dt
Pd
dt
Pd0ttomando
t
P
t
P 2121
−=∆
∆
∆
−=
∆
∆
 
 
F
dt
Pd
= 
Variação de P de uma dada 
partícula é o simétrico da variação 
de P do resto do sistema 
2ª Lei de Newton 
Força que actua numa partícula é a 
derivada temporal da quantidade de 
movimento P 
 
• Como dP resulta de interacção entre partículas então F descreve 
a interacção das partículas. 
• Numa partícula livre P=constante pelo que F = 0 
(numa partícula livre não actuam forças) 
 
De 
dt
Pd
dt
Pd 21
−= obtém-se 21 FF −= 
 
 
 ( )
dt
Vd
mV
dt
dm
dt
Vmd
dt
PdF +=== 
 
massa constante => 
 
m
F
aam
dt
Vd
mF =⇔== 
 
Se uma partícula m interactuar com várias partículas m1, m2, .... : 
 
 
 
 
 
 
 
F.....FFF
dt
Pd
olog....
dt
Pd
dt
Pd
dt
Pd
dt
Pd
sejaou....
t
P
t
P
t
P
t
P
.....PPPP
321
321321
321
=+++=
++=+
∆
∆
+
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
+∆+∆+∆=∆
 
 (admite-se que não existe interferência entre os efeitos das várias 
interacções com a partícula m) 
• Na dinâmica da partícula admite-se que a força resultante, F, só 
depende das coordenadas dessa partícula. 
(ignoram-se os movimentos das outras partículas m1, m2, m3, ...., com as 
quais interage) 
3ª Lei de Newton 
(Lei de acção e 
reacção) 
Quando duas partículas 
interagem a força que actua 
sobre uma partícula é simétrica 
à que actua sobre a outra 
m3 
m 
m1 
m2 
F3 
F1 F2 
Cada partícula m1, m2, m3, ..., 
produz, através da sua interacção 
com m, uma variação da quantidade 
de movimento ∆Pi num dado 
intervalo de tempo ∆t 
Força Resultante 
 
 
 
 
 
• Enunciado das Leis Fundamentais de Newton 
 
 
 
1. Se a intensidade da força resultante que actua num ponto material 
é zero, então este está em equilíbrio, ou seja 
 em repouso (se estava inicialmente 
 em repouso) 
 permanecerá com velocidade (se estava inicialmente 
 constante e em em movimento) 
 linha recta 
 
2. Se a força resultante que actua num ponto material é diferente de 
zero, então este terá uma aceleração proporcional à intensidade 
da resultante, na sua direcção e com o mesmo sentido: 
 
FR = m a 
 
3. Para cada acção existe uma reacção igual e oposta; então, a 
força exercida por um corpo em outro é igual em módulo e 
direcção, e tem sentido oposto à força exercida pelo segundo 
corpo no primeiro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• A 1ª e 2ª leis de Newton referem-se às forças aplicadas num dado corpo. 
• A 3ª lei de Newton refere-se a duas forças aplicadas em corpos diferentes. 
 
• Deve considerar-se cada objecto como um corpo livre isolado e determinar 
a resultante de todas as forças aplicadas nesse objecto. 
 
 
Unidades de força 
 
)Newton(Nsmkg
s
smkg
dt
PdF 2
1
===
−
−
 
No sistema CGS a unidade de força é g cm s-2 = Dine = 10-5N 
 
1kgf (quilograma-força) =1 kg x 9.807 ms-2 = 9.807 N 
(corresponde ao peso de um corpo com 1kg de massa) 
 
 
• Comentários ao conceito de força 
 
• As forças actuam sempre à distância (não existe contacto) 
 ser muito grande 
 (ex. : interacção gravítica interplanetária) 
Essa distância poderá ser muito pequena 
 (ex. :interacções interatómicas 
 contacto aparente entre dois objectos) 
 
• Transferência de quantidade de movimento entre as partículas 
envolve um meio de transmissão. A lei de acção e reacção pressupõe 
que essa transmissão seja instantânea. 
 
• Características da força 
 
 
 
 
 
 
Força 
 
 
 
 
 
 
 
 
força que aplicada a um corpo de 1kg 
provoca uma aceleração de 1 ms-2 
m g 
• Representa a acção de um corpo sobre outro 
• Pode ser exercida por contacto (?) 
 ou à distância 
 
 
• Caracterizada por 
 
 
 
• Representada por um vector 
Força gravitacional 
Força magnética 
• Ponto de Aplicação 
• Intensidade 
• Direcção 
• Sentido 
 
 
 
 
Forças 
aplicam-se a 
 
 
 
 
 
 
Linha de acção de uma força – linha que define a direcção da força 
 
Princípios Fundamentais: 
 
• Príncípio da transmissibilidade : as condições de equilíbrio 
ou de movimento de um corpo rígido não se alteram se uma 
força que actua num dado ponto de um corpo rígido fôr 
substituida por outra com a mesma intensidade, direcção e 
sentido mas que actuanum ponto diferente na mesma linha 
de acção – força aplicada num corpo rígido é um vector 
deslizante 
 
 
 
 
 
 
 
 
Conclui-se que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ponto 
Material 
 
 
 
 
 
 
 
Corpo 
Deformável 
 
• Pequena porção de matéria que se pode 
considerar que ocupa um ponto no espaço. 
 
• É utilizado quando o tamanho e a forma dos 
corpos em estudo não têm influência 
significativa. 
Equivalente a 
Corpo 
Rígido 
Conjunto de um grande número de pontos materiais em 
que as suas posições relativas são fixas (corpo 
indeformável) 
 
Ponto de Aplicação fixo 
( Vector Fixo ) 
Ponto de Aplicação pode deslocar-se 
ao longo da linha de acção 
( Vector Deslizante ) 
Todo o corpo rígido sujeito à acção de forças cujas 
linhas de acção concorram num mesmo ponto pode 
ser representado por um ponto material 
• A força resultante total (FR) aplicada a qualquer sistema é a 
soma vectorial de todas as forças individuais que podem 
agir nele. 
 
Tipos de forças: 
 
• Força gravítica 
 
Lei da gravitação de Newton : Dois pontos materiais de massas M 
e m são mutuamente atraídos com forças iguais e opostas F e – 
F de intensidade, F, dada por 
 
2
ABr
MmGF = 
 
no caso da atracção pela Terra de um ponto material à sua superfície 
 
 
2
2
Terra
Terra ms8.9
R
GMgmgP −=== 
 
P é a força de atracção exercida pela Terra num ponto material de 
massa m e é definida como o seu peso. 
 
• Forças de contacto 
 
 
Diagrama espacial 
de um objecto na 
superfície terrestre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G – constante de gravitação 
rAB – distância entre os dois pontos materiais 
R
P
R’
P’
Diagrama de corpo livre 
do objecto 
Diagrama de corpo livre 
da Terra 
R
P
P
R
R’
P’
R’
P’
R’ = - R P’ = P 
B 
A 
F 
-F 
• R e R’ são as forças de contacto entre o solo e o corpo. É 
uma força normal à superfície de contacto 
Gravítica 
Electromagnética 
Interacções fracas 
Interacções fortes operantes no núcleo atómico 
 
• Forças de compressão e de tensão 
 
Corpo em compressão Corpo em tensão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T 2 ’ 
T 2 
T 1 
T 1 ’ 
P o 
P o ’ 
Diagrama de corpo livre 
do objecto 
Diagrama de corpo livre 
da corda 
Diagrama espacial de 
um objecto pendurado 
por uma corda T1
Po
T1
Po
T 2 ’ 
T 1 ’ 
T1 – força exercida pela corda no objecto 
T1’ – reacção à força T1 exercida pelo objecto na corda 
T2 – força exercida pela corda no suporte 
T2’ – reacção à força T2 exercida pelo suporte na corda 
 
Po – peso do objecto Po’ – força de atracção gravítica aplicada na Terra devida ao objecto 
T1’ = - T1 T2’ = T2 
 
 Po’ = Po o1o1
21
'
2
'
1
'
2
'
1
PT0PT:corpo
TTTT0TT:corda
=⇒=+
=⇒=⇒=+
 
• Forças em cordas flexíveis: 
1. A corda pode estar sob tensão mas não sob compressão 
2. A corda pode transmitir uma força apenas ao longo do seu comprimento 
3. Na ausância de atrito a tensão é a mesma em todos os pontos da corda 
4. Despreza-se normalmente o peso da corda 
F -F F -F 
 
• Forças de atrito 
Atrito de escorregamento: ocorre quando existe movimento relativo 
entre duas superfícies em contacto. 
 
• Um dado objecto em movimento vai perdendo a sua quantidade de 
movimento por acção do atrito (velocidade diminui até o objecto parar) 
• Essa diminuição de P ocorre devido à força de atrito (Fat) 
• A força de atrito de escorregamento opõe-se sempre ao movimento e 
tem, por isso, a mesma direcção da velocidade mas sentido oposto 
• A linha de acção da força de atrito está no plano de contacto entre as 
duas superfícies 
• O atrito resulta da interacção entre as moléculas dos dois corpos em 
contacto (depende da natureza das superfícies, da velocidade relativa, 
etc) 
• A interacção entre as superfícies é tanto maior quanto maior fôr a 
força normal que pressiona um corpo contra o outro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O peso do corpo pressiona-o contra a superfície originando um par 
acção-reacção N´ , N normal à superfície de contacto. 
 
• Verifica-se experimentalmente que a intensidade da força de atrito é 
proporcional à intensidade da força normal, N, que resulta do contacto 
entre os dois corpos: 
 
0NFat ≥µµ= 
 
• µ é o coeficiente de atrito 
• Quando existe movimento relativo e considerando o versor da 
direcção do movimento, VVûV = , pode-se expressar 
vectorialmente a força de atrito: 
 
 P 
 N´ 
 N 
 F 
 V 
 Fat 
 V 
 Fat 
 P 
 N 
 N´ 
 
V
VNûNF Vat µµ −=−= 
• O coeficiente de atrito, µ, varia consoante existe ou não movimento 
relativo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Quando não existe movimento a força de atrito consegue contradiar a 
acção da força F aplicada no corpo. Deste modo tem-se: 
 
N
F
N
F
0FF
at
at ==⇒=+ µ 
 
• Ao valor máximo de F para o qual a força de atrito consegue “evitar” o 
movimento do corpo corresponde o coeficiente de atrito estático, µe. 
Nesse caso o corpo está na iminência do movimento. 
• Conclui-se então que, na ausência de movimento, a força de atrito 
está no plano de contacto das superfícies e tem intensidade 
NF eat µ≤ 
 
• Quando a força F é suficiente para iniciar o movimento verifica-se que 
o coeficiente de atrito é aproximadamente independente da velocidade 
tomando um valor de µc. Este valor corresponde ao coeficiente de 
atrito cinético e é inferior a µe . 
VVNûNF cVcat µµ −=−= 
 
 
 
 
Com 
movimento 
V ≠ 0 
Sem 
movimento 
V = 0 
| F | 
µ 
µc 
µe 
 F 
 V 
 Fat 
 N 
 
Atrito de rolamento: ocorre quando um corpo rola em cima de outro. 
 
• Como a superfície de contacto entre os dois corpos é menor, a força 
de atrito é geralmente menor do que a de escorregamento. 
 
Atrito em fluidos: Ocorre quando um corpo se move através de um fluido 
(gás, líquido) 
 
• Se a velocidade fôr relativamente baixa, pode-se considerar que a 
força de atrito, Faf , é proporcional à velocidade mas com sentido 
oposto: 
 
VkFaf η−= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Líquidos ηηηη (cP=10-2P) Gases ηηηη (cP=10-2P) 
Água (0°C) 1.792 Ar (0°C) 0.0171 
Água (20°C) 1.005 Ar (20°C) 0.0181 
Água (40°C) 0.656 Ar (40°C) 0.0190 
Glicerina (20°C) 833 Hidrogéneo (20°C) 0.0097 
Álcool (20°C) 0.367 Dióxido de Carbono (20°C) 0.0146 
 
 
Depende da forma do corpo. No 
caso de uma esfera de raio R 
chega-se a que 
R6k pi= (lei de Stokes) 
É o coeficiente de viscosidade. 
Depende do atrito interno do fluido 
(atrito devido ao deslocamento de 
camadas do fluido). 
Da análise dimensional da definição de Faf conclui-se que: 
 
[ ] [ ]
P10smkg1
)CGS(PPoisescmg
)SI(smkg
smsmkgsNmmsmN
11
11
11
2221
=
===
=
==⇒=
−−
−−
−−
−−−− ηη
 
 
• A equação de movimento num fluido é então dada por: 
 
VkFam η−= 
 
 
 
 
 
• Se a força aplicada, F, fôr constante então à medida que a velocidade 
aumenta sob o efeito da aceleração a , aumenta igualmente a força de 
atrito no fluido o que, por sua vez, faz com que a aceleração diminua. 
• Para uma determinada velocidade atinge-se uma situação em que 
a = 0. Nessa situação a velocidade já não varia mais, e a força 
aplicada compensa exactamente a força de atrito do fluido. 
• Quando seatinge a situação em que a = 0 o corpo continua a 
deslocar-se no sentido da força aplicada, mas com uma velocidade 
constante que se designa por velociade-limite, VL que é dada por: 
η= k
FVL 
• No caso da queda livre de um corpo ter-se-ia 
η= k
gmVL 
• É, no entanto, necessário corrigir esta última expressão devido à 
existência da força de impulsão, Fi , excercida pelo fluido no corpo: 
 
 
 
 
( ) ( )ηηη
−
=⇔=−⇔−+==
k
gmmVVkgmmVkFgm0am fLLfLi
 
De acordo com o princípio de Arquimedes a força de impulsão (para 
cima) é igual ao peso do fluido, mf g , deslocado pelo corpo : 
 Fi = -mf g 
F 
Faf 
v 
P 
Faf 
v 
Fi 
 
• A massa do fluido pode ser calculada através de corpof Vfm ρ= em 
que ρ é a massa específica do fluido (massa por unidade de volume. 
Ex.: ρ=1kg/litro=1Kg dm-3=103kg m-3), e Vcorpo é o volume do corpo. 
• Considerando uma partícula esférica tem-se k=6piR (Lei de Stokes) e 
Vsol=4/3piR3 donde se pode concluir que ( )
η
ρ−ρ
=
fcorpo2
L gR9
2V 
 
• Força muscular 
 
O músculo consiste num conjunto de fibras , de células que se podem 
contrair ao ser estimuladas por impulsos eléctricos que vêm dos nervos. 
O músculo é ligado usualmente a dois ossos através de tendões. 
Os tendões funcionam como cordas flexíveis. 
Os dois ossos estão unidos de forma flexível através de uma articulação. 
 
 
� Contracção do músculo origina dois 
pares de forças 
� Devido à 3ª lei de Newton as forças 
que actuam em ambos os pontos de 
ligação com os ossos são iguais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ponto de origem 
(osso menos móvel) 
articulação 
músculo 
tendão 
ponto de inserção 
(osso mais móvel) 
 
• Forças em molas 
 
• Quando se estica ou comprime uma mola existe uma força que tende a levar 
a mola ao seu comprimento de equilíbrio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
• A força Fel é proporcional ao afastamento da posição de equilíbrio da mola: 
( ) xoel ûxxkF −−= 
 
• Resolução de problemas em estática 
 
 Equilíbrio dinâmico – a aceleração do corpo em estudo é nula 
 (velocidade ou é nula ou é constante) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O xo 
O xo 
Fel 
x 
O xo 
Fel 
x 
Mola comprimida 
Mola esticada 
De acordo com a primeira lei de Newton, a condição de equilíbrio de um 
ponto material, ou de sistemas que a ele são redutíveis é dada por: 
 0FF
i
iR == ∑
→→
 
em que o somatório se estende a todas as forças aplicadas no ponto material. 
 
Utilizando as componentes das forças em cada um dos eixos 
cartesianos chega-se a que: 
0F0F0F
i
zi
i
yi
i
xi === ∑∑∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tipos de forças: 
 
• Força gravítica 
 
 
Exemplos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso de estarem envolvidas apenas três forças a soma vectorial determina 
que a aplicação sucessiva dessas forças conduz a triângulo de forças. 
F3 
F1 
F2 
F1 
F3 
F2 
Método de resolução de problemas de estática: 
 
1. Escolher o corpo. 
2. Esquematizá-lo de acordo com um diagrama de corpo livre. 
3. Marcar todas as forças externas aplicadas a esse corpo. 
4. Obter as equações de equilíbrio. 
B 
A 
A 
PA 
FAB 
B 
PB 
F’AB 
RB 
Y 
gmPF
0PF
0PF
AAAB
AAB
AAB
==
=−
=+
 
( )gmmFPR
'FPR
0RP'F
0RP'F
BAABBB
ABBB
BBAB
BBAB
+=+=
+=
=+−−
=++
 
Pela 3ª lei de Newton as forças de 
interacção entre os dois corpos A e B têm a 
mesma intensidade mas sentidos opostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo que m1=90.8kg calcule o valor de m2 para que o sistema se encontre 
em equilíbrio. 
 
 
No ponto A o fio AB puxa a parede. A parede reage com uma força 
aplicada no fio AB: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Análogamente para o ponto D tem-se: 
 
 
 
 
 
 
A massa m1 puxa o fio BE com uma força de tensão através da acção do 
seu peso . Este reage através de uma força aplicada em m1 : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TAB 
TAB 
TDC
 
A 
C B 
D 
m1 m2 
30° 60° 
F E 
TBE 
TBE´ P1 
B 
E 
P1 
TBE 
TBE´ 
TBE TBE´ = - 
(3ª Lei de Newton: Lei da acção e reacção) 
 
De modo análogo para a massa m2 tem-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O ponto C puxa, através da massa m2, o ponto B com uma força T2. Este reage 
com uma força T2´ aplicada no ponto C. De igual modo o ponto B puxa, através 
da massa m1, o ponto C com uma força T1. Este reage com uma força T1´ 
aplicada em B: 
 
 
 
 
 
Considerando = + e = + 
 
 
tem-se 
 
 
 
 
 
 
Colocando então todas as forças aplicadas no sistema em estudo obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F 
P2 
TCF 
TCF´ 
TCF TCF´ = - 
(3ª Lei de Newton: Lei da acção e reacção) 
C 
B C 
T2 T1 ´ T1 T2 ´ 
T2 T1 ´ TBC T2 ´ T1 TBC ´ 
B C 
TBC TBC ´ 
TBC TBC´ = - 
(3ª Lei de Newton: Lei da acção e reacção) 
TBE´ 
A 
C B 
D 
m1 m2 
30° 60° 
F E 
TBC TBC´ 
TCF 
TCF´ 
TBE 
TDC TAB 
P1 P2 
Y 
X 
30° 60° 
 
Aplicando a condição de equilíbrio às massas m1 e m2 e aos pontos B e C 
chega-se a que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Utilizando o sistema de eixos XY indicados na figura os vários vectores são 
representados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A resolução conjunta destas quatro equações permite obter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
de onde se conclui que 
 
0TP
0´TP
mmassa
BE1
BE1
1
=−
=+ 
0TPT
0TTT
Bponto
BC1AB
BCBEAB
=++
=++ 
0TP
0´TP
mmassa
CF1
CF2
2
=−
=+ 
0TPT
0´TTT
Cponto
BC2DC
BCCFDC
=−+
=++ 
( ) ( )
( ) ( )
^
22
^
11
^
BCBC
^
DC
^
DCDC
^
AB
^
ABAB
jPP
jPP
iTT
j60senTi60cosTT
j30senTi30cosTT
−=
−=
=
°+°=
°+°−=
 
1 
2 
Substituindo na equação 1 
 
( )
( )

=−°
=+°−
0P30senT
0T30cosT
1AB
BCAB
 
Substituindo na equação 2 
 
( )
( )

=−°
=−°
0P60senT
0T60cosT
2DC
BCDC
 
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )°°
°°
=⇔
°°
°°
=
°°
°
=
°°
°
=
°
°
=
°
°
=
°
=
°
=
60cos30sen
60sen30cosgmgm
60cos30sen
60sen30cosPP
60cos30sen
30cosgm
60cos30sen
30cosPT
30sen
30cosgm
30sen
30cosPT
30sen
gm
30sen
PT
1212
11DC
11BC
11
AB
 
kg4.272m
N3082T
N1541T
N1780T
2
DC
BC
AB
=
=
=
=
 
 
 
• Método de resolução de problemas em dinâmica / estática 
1. Decompôr o sistema em estudo em objectos individuais 
2. Para cada objecto desenhar um diagrama de forças em que se 
representa vectorialmente todas as forças actantes nesse objecto. As 
forças devem ser identificadas com uma letra, mesmo que se conheça o 
seu valor. No processo de identificação é importante reconhecer os pares 
de forças actuantes em corpos diferentes de acordo com a 3ª Lei de 
Newton. 
3. Escolher um sistema de eixos em relação ao qual é conveniente 
expressar as componentes das forças, velocidades e acelerações. 
Escolher um sistema de eixos inercial, ou seja, que não esteja centrado 
num corpo com aceleração. Poderá ser conveniente utilizar um sistema 
de eixos diferentepara cada corpo. 
4. Determinar as relações cinemáticas entre os vários corpos que compõem 
o sistema em estudo. 
5. Escrever a expressão da 2ª lei de Newton para cada corpo. Decompôr a 
equação vectorial resultante em componentes no sistema de eixos 
escolhido. Adicionar as relações entre as acelerações dos vários corpos 
que resultam das relações cinemáticas obtidas no passo 4. 
6. Identificar o número de variáveis. Garantir que é igual ao número de 
equações. 
 
Exemplos: Plano inclinado com atrito 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R 
P 
Fat 
• O corpo desce logo a força de atrito é 
para cima ao longo do plano 
inclinado 
• A força de contacto é normal à 
superfície 
• É conveniente colocar um dos eixos 
na direcção do movimento α 
R 
P 
Fat 
x 
y 
α 
A 2ªlei de Newton é então dada por: 0FPR at =++ 
E usando o sistema de eixos indicado na figura tem-se: 



==+α−
==−α
0maR)cos(P)y(
mamaF)(Psen)x(
y
xat
 
com RF cat µ= 
chega-se a que [ ])cos()(senga c αµ−α= 
 
1 - Determine a relação entre as massas para que o sistema esteja em 
equilíbrio. 
 
Corpo 2 Roldana fixa A 
 
 
 
 
Roldana móvel B Corpo 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 – Considere agora que o sistema não está em equilíbrio e determine as 
acelerações dos corpos 1 e 2 
Aplicando a 2ª Lei de Newton obtém-se as seguintes equações para a 
coordenada das várias forças e acelerações no eixo representado na figura. 
 
 
 
 
m2 
P2 
T2 
T2 
A 
T2 T2 PA 
B 
T2 T2 
T1 PB 
P1 
T1 
m1 m1 
m2 
A 
B 
y 
yA 
y2 
yB 
y1 
gmT
0PT
0PT
22
22
22
=
=−
=+
 
g)mm3(T
g)mm3(T
0TPT3
0TPT3
A23
A23
3A2
3A2
+=
+=
=+−−
=++
 
g)mm2(T
gmT2T
0PTT2
0PTT2
B21
B21
B12
B12
+=
+=
=+−
=++
 
gmT
0PT
0PT
11
11
11
=
=−
=+
 
21
B21
m2m0mB
mm2m
=⇒≅
+=
 







=−
=−−
=+−−
=−
1111
BBB12
3A2
2222
amPT
amPTT2
0TPT3
amPT
 
Usualmente despreza-se 
a massa das roldanas 
 
 Uma vez que os vários corpos estão ligados o seu movimento não é 
independente sendo necessário determinar as relações entre as suas 
acelerações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Novamente desprezando a massa da roldana B chega-se ao seguinte 
conjunto de 6 equações a 6 incógnitas (T1, T2, T3, aB, a1 e a2): 
 
 
 cuja resolução 
permite obter: 
 
 
 
 
 
 
 
A ligaçao entre o corpo 1 e a roldana móvel B ocorre directamente 
através de um fio inextensível. Assim os deslocamentos destes dois corpos 
são iguais e logo 
 vB = v1 
aB = a1 
 
A ligação entre a roldana móvel B e o corpo 2 não é directa. É então 
necessário relacionar os deslocamentos destes dois objectos: 
 
(ya - y2) +2(ya - yR) = L em que L se relaciona com o tamanho do fio 
 3ya - y2 - 2yR = L 
 
derivando em ordem ao tempo e considerando que o fio é inextensível tem-
se: 
- v2 - 2vR = 0 <=> v2 = -2vR = -2v1 
e 
 a2 = -2a1 










−=
=
=−
=−
=+−−
=−
12
1B
1111
12
3A2
2222
a2a
aa
amPT
0TT2
0TPT3
amPT
 
g
mm4
m4m2
a
g
mm4
mm2
a
12
21
2
12
12
1
+
−
=
+
−
=