Robortella Vol 02 Dinâmica- completo

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A coleção consta de 
oito volumes:
/.Mecânica: Cinemática 
«^Mecânica: Dinâmica 
/^M ecânica: Estática, Hidrostática e Gravitação 
<--/ Óptica Geométrica
6
r ~
O Termologia 
Oscilações, Ondas e Acústica
7
/ Eletricidade: Eletrodinámica
S Eletricidade: Eletrostática e Eletromagnetismo
Cada capítulo apresenta as 
seguintes partes:
Cã. Introdução Teórica
l Questões Resolvidas
C Questões Propostas 
d. Respostas
CflfïïULO
1
Irincípioô da Dinâmica
Dinâmica
A Cinemática estuda os movimentos dos corpos, descrevendo 
suas características, em cada instante, através das grandezas espaço, 
velocidade e aceleração.
A Cinemática não se preocupa com as causas do movimento. 
Muitas vezes, entretanto, nos interessa estudar os movimentos, de­
terminando suas causas e relacionando-as com os correspondentes 
efeitos. Este é o objetivo da Dinâmica. Assim, podemos dizer que:
Cinemática: estuda os movimentos, descrevendo-os 
independentemente de suas causas.
Dinâmica: estuda os movimentos, determinando suas 
causas e relacionando-as com seus efeitos.
Força
Observe os exemplos abaixo:
_____í *
_________________ ÈÈA_____
_____ Â m :
È S è l
O hom em empurra a caixa: a caixa se movimenta.
O horr.em puxa a mola: a mola 
se deform a.
A raquete atinge a bola: a bola 
so fre a lte ração em sua ve locidade.
Esses exemplos mostram que os corpos estão trocando ações, 
isto é, estão se influenciando mutuamente. Dizemos, então, que eles 
estão interagindo.
Verifique que quando os corpos interagem podem ocorrer os se­
guintes efeitos: alteração de velocidade e deformação.
Assim, nos exemplos 1 e 3 temos alteração de velocidade, en­
quanto que no exemplo 2 há uma deformação.
O agente físico de natureza vetorial responsável por estes efeitos 
é denominado força. Portanto:
, „_w f alteração de velocidade (efeito)
Força (causa)H »{ , _ . , . . ,
^ deformação (efeito)
Como os corpos estão se influenciando mutuamente, concluímos 
que as forças surgem sempre aos pares: uma em cada corpo.
Por serem de natureza vetorial, as forças necessitam de uma 
intensidade, uma direção e um sentido para ficarem perfeitamente 
caracterizadas.
Assim:
Força
grandeza
vetorial
Resumo:
2___________________________________________________
É costume representar uma força do acordo com uma das seguintes
convenções:
segm ento o rien tado (represen tação g rá fica )
F s im oo lo da fo rça (represen tação s im bó lica )
segm ento o rien tado seguido do s ím bo lo da fo rça
segm ento o rien tado seguido do s ím bo lo da intensidade da fo rça
U sarem os qua lquer uma destas convenções con fo rm e a ex igência d idá tica 
do m om ento.
Importante: A representação g rá fica de uma fo rça só tem s gn ifica d o fís ic o 
quando associada ao co rpo no qual e la está aplicada.
• Medida da força — As forças podem ser medidas pelo dinamô- 
metro. Esse aparelho é constituído, fundamentalmente, por uma mola 
associada a uma escala que registra as intensidades das foiças que 
deformam a mola.
'
• Unidades de força — Em homenagem ao físico inglês Isaac 
Newton, a unidade de força, no Sistema Internacional de Unidades 
(SI), é o newton (N). No Sistema Técnico, a força é medida em qui- 
lograma-força (kgf); no Sistema CGS, a força é medida em dina 
(dyn).
Verifica-se que:
1 kgf = 9,8 N 
1 N = 1CR dyn
• Resultante de um sistema de forças — Ouando um conjunto de 
forças está agindo num ponto material, podemos analisar mais facil­
mente o efeito final sobre ele determinando a resultante do sistema 
de forças, ou, simplesmente, resultante.
Resultante é a força fictícia que. se fosse aplicada ao ponto ma­
terial, causaria o mesmo efeito que as demais em conjunto.
Obtemos a resultante somando vetorialmente as forças que agem 
no ponto material num dado instante.
Sejam as forças Fi. Fa, Fm. Fi agentes num ponto materai P. ilus­
tradas abaixo. Determinemos a resultante deste sistema de forças 
através do processo gráfico.
Princípios da Dinâmica
A observação atenta dos fenômenos físicos, naturais ou artificiais, 
nos leva a obter relações entre as grandezas envolvidas nesses fenô­
menos. Estas relações são denominadas leis físicas.
Princípios são leis físicas de caráter geral, confirmadas pela expe­
riência, embora não sejam demonstráveis matematicamente.
• Princípio da Inércia (Primeira Lei de Newton) — A maioria dos 
antigos sábios gregos — dentre eles o famoso Aristóteles — susten­
tava que o estado natural dos corpos era o repouso. Para que eles 
saíssem deste estado era necessária a ação de uma força e, quando 
esta força deixava de agir. o movimento terminava c os corpos vol­
tavam, imediatamente, a seu estado natural, o repouso.
12
A influência deste raciocínio foi tão grande que até hoje muitas 
pessoas pensam desse modo. Coube ao sábio italiano Galileo Galilei 
apresentar os fatos como realmente sáo. mostrando que Aristóteles 
e muitos outros sábios gregos não estavam certos.
Galileo sustentava que para iniciar o movimento era necessária, 
sem dúvida, a açáo de uma força. Entretanto, se esta deixasse de 
agir sobre o corpo, este continuaria a se mover com a velocidade 
que tinha naquele momento até que ima nova força o detivesse.
Em outras palavras, Galileo acreditava que, além do repouso, 
a tendência natural dos corpos é a de se manter em movimento reti­
líneo uniforme.
w f& va p & L __________________________________________________
Punto material mecanicamente isolado
Quanco sobro um ponto material não agem forças externas, ou
quando estas forças externas existem mas sua resultante é nula,
dizemos quo o ponto material está mecanicamente isolado.
Assim:
Ponto material mecanicamente isolado R — O
Princípio da Inércia ou Primeira Lei de Newton
A tendência natural de um ponto material mecanicamente 
isolado é manter sua velocidade vetorial constante: 
se estiver em repouso, sua tendência é a de sc manter 
em repouso e. se estiver em movimento, sua tendência 
é a de se manter em movimento retilíneo e uniforme.
Um ponto material em repouso tem a tendência natural 
de se manter em repouso e ficará neste estado se estiver 
mecanicamente isolado.
Um ponto material em movimento tem a tendência natural 
de se manter em movimento retilíneo uniforme e ficará 
em movimento retilíneo uniforme se estiver 
mecanicamente isolado.
Em s ím b o lo s :
—>
cte. - O (repouso)
R = ü é constante <C
cte. / 0 (MRU)
0 estado de repouso é denominado equilíbrio estático. 
O estado de MRU é denominado equilíbrio dinâmico.
Sc um carro cm movimento em relação à Tcr-a freia bruscamente, seu 
motorista tende a continuar com a mesma velocidade que tinha em relação 
à Terra.
Uma espaçonave bastante afastada de qualquer corpo celeste tende a 
se manter em movimento retilíneo uniforme, embora tenha todos seus 
motores desligados.
O acompanhante do motociclista tende a manter seu estado inicial de 
repouso em relação à Terra quando a moto 'arranca”.
Um corpo em movimento 
curvilíneo tende a manter sua 
velocidade seguindo numa 
direção tangente à curva em 
cada ponto.
As máquinas de lavar secam 
a roupa pelo Princípio da Inércia. 
O tambor contendo a roupa, 
passa a girar com grande 
velocidade e a água. ao encontrar 
os furos, continua na direção 
da tangente ao tambor, saindo 
da roupa c da máquina
— Inércia A tendência que os corpos têm de manter sua velo­
cidade vetorial constante denomina-se inércia. A experiência mostra 
que a inércia está diretamente relacionada com a quantidade de ma­
téria do corpo.
Exemplo: Por causa de sua grande inércia, é difícil pôr um ca­
minhão em movimento.
O caminhão tem grande inércia: dai a dificuldade de alterar sua 
velocidade.
• Princípio Fundamental (Segunda Lei de Newton) — O Princípio 
da Inércia nos diz o que sucede a um ponto material quando a resul­
tante das forças externas é nula: sua velocidade vetorial permanece 
constante.
15
Quando a resultante de um sistema de forças que agem num 
ponto material é não-nula a velocidadedo móvel se altera. Em outras 
palavras, isso quer dizer que o efeito de uma resultante não-nula é 
produzir no ponto material uma aceleração
Newton. em seu Princípio Fundamental, enunciou a relação exis­
tente entre a resultante não-nula que age num ponto material e a 
correspondente aceleração adquirida pelo ponto.
Principio Fundamental ou Segunda Lei de Newton
Quando, num certo instante, diversas forças agem
—>
num ponto material, ele adquire uma aceleração y que é
—>
proporcional à sua resultante R
Em símbolos: R ~ my Equação fundamental da Dinâmica
Nesta equação, m é uma constante positiva, característica do 
ponto material.
Exemplo: Seja um ponto material P sujeito à ação das forças 
—> —> —* —>
Fi , Fa, Fj, de resultante não-nula.
Observe que R e y têm sempre a mesma direção e o mesmo sen­
tido, qualquer que seja o tipo de movimento.
Analisemos, agora, o significado físico da constante m.
Para uma dada resultante, a aceleração é tanto mais intensa 
quanto menor for m. Isto quer dizer que m reflete a maior ou menor 
resistência que o ponto material oferece à mudança de sua velocidade. 
A constante m á denominada medida da inércia ou massa inercial ou. 
simplesmente, massa do ponto material.
A experiência mostra que a constante m está associada à quan­
tidade de matéria que o corpo possui.
— Unidades de massa — No Sistema Internacional de Unidades 
(SI), a unidade de medida de massa é o quilograma-padrão, que é 
um cilindro do platina iridiada que se encontra no Instituto Interna­
cional de Pesos e Medidas, em Paris.
3.9 cm
Quilograma-padrão
No Sistema CGS. a unidade de massa é o grama (g) e. no Sistema 
Técnico (MK*S). a massa é medida em unidade técnica de massa 
(utm).
Relacionando estas un dades, temos:
1 kg = 10* g 
1 utm — 9.8 kg
V w a va & te -
So na equação fundamental da Dinâmica m = 1 kg e y = 1 m /s2. teremos, 
em intensidade. R = mv.I
Logo: 1 N = 1 kg . 1 m /s2
Temos, então, a definição da unidade de fo^ça no SI: newton (N) é a 
intensidade da força que agindo sobre um porto material com massa do 1 kg. 
provoca nesse ponto uma aceleração de 1 m /s- na sua direção e no seu 
sentido.
— Relações entre R, V e y - Basicamente há duas situações a se­
rem analisadas: movimentos retilíneos e movimentos curvilíneos.
Nos movimentos retilíneos, a aceleração tem a direção da velo­
cidade e, tendo em vista o Princípio Fundamental, o mesmo acontece 
com a resultante.
v á //u m , 17
1) Movimento retilíneo acelerado — A resultante R tem a mesma 
direção e o mesmo sentido do movimento.
2) Movimento retilíneo retardado — A resultante R tem a mesma 
direção do movimento, porém sentido contrário.
Como já vimos em Cinemática Vetorial, nos movimentos reti­
líneos a direção da velocidade não sofre alteração e. portanto, a ace­
leração centrípeta é nula. Logo. nos movimentos retilíneos a acele­
ração y coincide com seu vetor-componente-tangencial. Temos, por­
tanto:
R = my = m(a : . f a< )
Como a<: = O. então R = mar.
Ô fó& vap& L_________________________________________________
Da Cinemática sabemos que a.r = 'a| (1).
Como no movimento retilíneo y - a-,, e. portanto. y| = aT|, substituindo cm
( 1) la-rl por |y| teremos |y| = |a|.
Assim, no movimento retilíneo, o módulo tia aceleração vetorial 6 igual ao 
valor absoluto da aceleração escalar.
Portanto, a equação fundamental poderá ser escrita da seguinte forma:
|R; = m'a]
Em intensidade. R = ma.__________________________________________________
18
3) Movimento curvilíneo acelerado A resultante R e a velo- 
—̂
cidade V formam um ângulo açudo em cada instante do movimento.
Sendo R = my — m(aT - f a<J — mar 4- mar, vem: 
—» —>
Rt — mar 
—» —>
Rc = ma<;
Logo:
R — Rt Rc onde <
V
Rt : componente tangencial da resultante 
ou resultante tangencial, responsável pela 
mudança do módulo da velocidade.
Rt: componente centrípeta da resultante 
ou resultante centrípeta, responsável pela 
mudança da direção da velocidade.
2£L
Nesse último caso, a velocidade não sofre mudança no seu mó­
dulo e, portanto, a aceleração tangencial é nula: logo, nos movimentos 
curvilíneos uniformes só ocorrem mudanças na d reção da velocidade. 
—>
e a aceleração y coincide com o seu vetor-componente-ccntrípeta. 
Temos, então:
R = my = m(a<- - f aT)
—► —> —> —>
Sendo ar = O, vem R — mac.
Em intensidade. R = mac.
V2 V2
Como ac. — ------, então R = m ------ .
r r
• Princípio da Ação e Reação (Terceira Lei de Newton) — Quando 
empurramos um objeto, percebemos que, devido à s ja inércia, ele 
apresenta dificuldades para se mover. Fm outras palavras, ele resiste 
à mudança de velocidade. Nós percebemos essa resistência porque 
nos sentimos empurrados em sentido contrário Esta sensação nos 
permite inclusive perceber o objeto. Todo corpo reage desta maneira 
à aplicação de uma força de contato.
Newton. através do Principio da Ação e Reação, analisa o que 
acontece na interação entre dois corpos:
Principio da Ação e Reação ou Terceira Lei de Newton
Se um corpo A aplica uma força num corpo B. então o 
corpo B aplica no corpo A uma outra força de mesma 
intensidade, mesma direção e sentido contrário.
O homem empurra o carro (força F); o carro reage, exercendo sobre o 
homem uma força de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto
(força — F).
IJrn boxeador golpeia o rosto de seu adversário: o rosto do adversário 
‘ golpeia" a mão do boxeador. O boxeador utiliza luvas para proteger sua 
mão da reação.
As forças de ação e reação ocorrem simultaneamente.
Logo. não há interesse em identificar uma separada da outra. 
Uma delas é a ação e a outra será a reação.
A idéia básica contida no princípio é a de que uma força não pode 
ocorrer sozinha: as forças surgem sempre aos pares, ou seja. não 
há ação sem reação.
Por outro lado. se as forças surgem sempre aos pares, poderíamos 
pensar que as forças de ação e reação se cancelam mutuamente, não 
sendo possível ocorrer movimento ou mudança de movimento. En­
tretanto. as forças de ação e reação atuam em corpos distintos. Por 
isso. não tem sentido físico dizer que elas se neutralizam
O atleta ompurra o chão para trás: o chão reage, permitindo seu 
movimento para frente.
Aplicações
Apresentamos, através das ilustrações que seguem, alguns exem­
plos que evidenciam a aplicação do Princípio da Ação e Reação.
22
O foguete emour-ro 
gases reacem • Para trás os gasos produzidos no seu interior; os 
6 empurram' 0 foguete para frente.
0 rerno empurra a água (força F): a ácua reage, exercendo no remo uma 
força de mesma intensidade, mesma direção e sentido oposto (força — F).
A Terra e a nave se atraem à distância.
O ímã e a barra se atraem à distância.
• Referencial inercial — As leis de Newton — os princípios da 
Dinâmica — envolvem os conceitos de repouso, movimento retilíneo 
uniforme e aceleração. Como sabemos, esses conceitos são relativos 
e dependem do referencial adotado. E nem todos os referenciais são 
igualmente úteis para a aplicação das leis de Newton.
As leis de Newton, como foram apresentadas, são válidas apenas 
em relação a um tipo particular de referencial denominado referencial 
inercial. Podemos considerar como referencial inercial todo referen­
cial que não possui aceleração vetorial (MRU ou repouso) em relação 
às "estrelas fixas" do Universo. As 'estrelas fixas" são aquelas que 
não têm sofrido, em relação ao Sistema Solar, mudanças perceptíveis 
em sua posição ao longo dos séculos.
Um sistema de referência 
com origem no Sol e com eixos 
apontando para estas estrelas 
fixas pode ser considerado um 
referencial inercial.
Um sistema de referência 
preso à Terra não é efetivamente 
um referencial inercial, pois des­
creve um movimento em relação 
ao Sol e em relação ao seu pró­
prio eixo. Esse movimento pos­
sui aceleração. Logo, o sistema 
de referência preso à Terra não 
é um referencial inercial. Entre­
tanto. para movimentos de curta 
duração, podemos considerar os 
referenciais presos à Terra como inerciais, poissua aceleração prati­
camente não interfere na análise dos fenômenos.
24
1. UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO — Na figura abaixo, o corpo
— > — >
A é submetido à ação das duas forças F( e Fa que formam um 
ângulo reto entre si. As forças têm intensidades iguais a 3 N e 
4 N, respectivamente. A resultante que atua sobre o corpo A 
terá intensidade de:
a) 5 N. d) 25 N.
b) 7 N. e) 12 N.
c) 1 N.
Resolução: Observando a figura abaixo, podemos escrever que: 
—> —> —>
R = Fi 4 - Fs (vetorialmente)
vâm taz 25
Aplicando o teorema de Pitágoras, podemos calcular a intensidade da 
resultante.
Assim, temos R 2 = Ff -f- Ff.
Logo, R2 = 32 + 42 = 9 - f 16 = 25 = > 
Resposfa: alternativa a.
2. PUC (SÃO PAULO) — Um garoto arma um estilingue com uma 
pedra. Supondo que a força em cada ramo do estilingue seja igual 
a 40N e que o ângulo a entre eles seja tal que cosa =0.805, 
o valor da resultante que atua sobre a pedra será de:
a) 40 N.
b) 60 N.
c) 76 N.
Resolução: Observando um dos triângulos que formam o polígono das 
forças, podemos escrever, pela lei dos cossenos:
R* - F2 - f F- - 2FFcos ( 180 — a) = > R- - 2F- - 2F2( - cos a) = > 
R* = 2F- 4- 2F2 cos x = > R 2 — 2F*( 1 + cos a) = >
R = F V 2(1 - co sa ) = 40 \ 2(1 -f 0,805) =
= 40 V T 6T = 40 . 1,9 = >
Resposta: alternativa c.
26
3. UNIVERSIDADE DE UBERLÂNDIA — Sobre o sólido esquematizado 
abaixo atuam quatro forças concorrentes dc intensidades:
F, = 1.0 N F:< = 7,0 N
F, = 4 .0 \3 N F4 = 7.0 V"2 N
Nessas condições, poderemos afirmar que a resultante tem:
a) intensidade zero. pois o sólido está em equilíbrio.
b) intensidade 1.0 VÜ N; direção Norte-Sul: sentido do Norte para 
o Sul.
c) intensidade 1.0 \'~3 N: direção Norte-Sul; sentido do Sul para o 
Norte.
d) intensidade 2.0 V 3 N; direção Norte-Sul; sentido do Sul para 
o Norte.
e) irtensicadc 2.0 Y~3N; direção Norte-Sul; sentido do Norte para 
o Sul.
Resolução: Um dos métodos de obtenção da resultante R é determiná-la
— > — >
através dc seus vctores-componentcs R, e Ry.
As forças Fi, Fa, F3 e F4 agentes no corpo podem scr decompostas 
segundo as direções x e y.
Fa = F sx 4" F3j
f4y
Observando a figura abaixo, podemos escrever:
I ) Rx = K + + Fu => Rx = F, + F ,x - F,x
Rv = F, Fo cos 30° — Fj cos 45° = >
Rv = 1 + 4 . V T . — - ------ 7 . V T . — "2-
= 1 : 6 - 7 K = 0 I
2) Ry = Fs + For + F4/ = > Ry = F» -f F2j. - F 4 
Rr = F8 -f- F,> son 30° — Fj sen 45° = >
R ,= 7 + 4 . V T . — - 7 . V T . — = 
2 2
= 7 + 2 -\r 3 - 7 = > | r , . ^ 2 \ 'T N
—> —> —> —>
Como R = Rx Ry, para Rx = O vem R = Rv.
Assim:
r
—>
R •<
intensidade: R — 2 \ 3 N
,
direção: vertical
sentido: orientado de baixo para 
cima (Sul-Norte)
Resposta: alternativa d.
R = R,
28
4. ENGENHARIA DE SANTOS Três forças coplanares de mesma 
intensidade estão aplicadas num ponto material e se equilibram. 
Fodemos dizer que os ângulos formados peles vetores represen­
tativos das forças:
a) sao iguais entre si e valem 60°.
b) são iguais entre si e valem 150’ .
c) são iguais entre si e valem 120“.
d) têm valores iguais a 60°, 120° e 150°, respectivamente.
e) têm valores diferentes entre si.
Resolução: Para que o ponto material esteja em equilíbrio, é necessário 
que R = O.
Como as forças componentes do polígono vetorial são de mesma inten­
sidade, o triângulo obtido é eqüilátero. Logo, os ângulos internos são 
iguais a 60° (fig. I). Todavia, o ângulo formado entre dois vetores é 
aquele correspondente à situação em que ambos têm origem cotnurn 
(fig. II).
5. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO SANTO — Um carro é freario brus­
camente e o passageiro bate com a cabeça no vidro pára-brisa. 
Três pessoas dão as seguintes explicações sobre o fato:
1. *) O carro foi freado. mas o passageiro continuou em movimento.
2. ‘ ) O banco do carro impulsionou a pessoa para a frente no ins­
tante da freada.
3. ") O passageiro só continuou em movimento qorque a velocidade
era alta e o carro foi freado bruscamente.
Ystâmtaz 29
Podemos concordar:
a) com a 1.- e a 2 / pessoas.
b) apenas com a 1.a pessoa.
c) com a 1,' e a 3.' pessoas.
d) apenas com a 2.* pessoa.
e) com as três pessoas.
R e s o lu ç ã o : Quando o carro é freado, a tendência natural do passageiro 
é manter sua velocidade constante em relação ao solo.
Observe que. ao contrário do que erradamente costuma-se ouvir, o 
homem não foi arremessado para a frente; ele simplesmente continuou 
seu movimento em relação ao solo.
Resposta: alternativa b.
6. FAC. NUNO LISBOA — Um caminhão, que tem sobre sua carro- 
ceria um caixote, arranca com uma determinada aceleração cons­
tante. O atrito entre o caixote e o caminhão é desprezível. Nessas 
condições, podemos afirmar que, durante a partida:
a) cm relação ao motorista, o caixote fica parado.
b) em relação ã estrada, o caixote fica parado.
c) em relação ao motorista, o caixote escorrega para a frente.
d) em relação à estrada, o caixote movimenta-se para trás.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
Resolução: Como o caixote encontra-se, inicialmente, em repouso cm 
relação à estrada (referencial inercial), sua tendência é manter-se nesse 
estado enquanto o caminhão arranca. Hm relação ao motorista, o cai­
xote movimenta-se para trás.
Resposta: alternativa b.
7. MEDICINA DE TAUBATé — Uma pedra gira em torno de um apoio 
fixo. presa por uma corda. Em dado momento, corta-se a corda, 
ou seja. cessam de agir forças sobre a pedra. Pela Lei da Inércia, 
conclui-se que:
a) a pedra se mantém em movimento circular.
b) a pedra sai em linha reta, segundo a direção perpendicular à
corda no instante do corte.
c) a pedra sai em linha reta. segundo a direção da corda no ins­
tante do corte.
d) a pedra pára.
e) a pedra não tem massa.
Resolução: Pelo Princípio da Inércia, a tendência da pedra é manter- 
-sc cm movimento retilíneo e uniforme. Só não o faz por causa da 
corda, que a obriga, a descrever um movimento circular. I.ogo que 
a corda se rompe, a pedra continua movimentando-se na direção da 
tangente, pois esta é a. direção do seu movimento nesse instante. Ob­
serve que a direção tangente é perpendicular à direção radial.
3d ________ —
i
Resposta: alternativa b.
8. FESP — Conforme o Principio da Inércia:
a) um corpo em movimento está obrigatoriamente sujeito à ação 
de uma força.
b) se nenhuma força atua sobre um corpo, este obrigatoriamente 
está em repouso.
c) um corpo tem movimento retilíneo e uniforme: logo. a resul­
tante das forças que agem sobre o mesmo é nula.
d) um corpo em repouso não pode estar sujeito a nenhuma força.
Resolução:
• Um corpo em movimento retilíneo uniforme pode estar sujeito a for­
ças cuja resultante é nula, assim cörno pode também não estar sujeito 
a força alguma: seu movimento processa-se por inércia.
• Sc nenhuma força atua sobre o corpo, ele pode estar cm repouso 
ou pode estar em movimento retilíneo uniforme.
• Sc c movimento do corpo c retilíneo uniforme, necessariamente a 
resultante das forças atuantes é nula (equilíbrio dinâmico).
• Um corpo em repouso pode estar sujeito à ação de forças, desde 
que a resultante seja nula (equilíbrio estático).
Kcsposta: alternativa c.
9. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — A figura representa a resultante
R das forças que atuam em uma partícula, num dade instante. Dos 
segmentos apresentados, o que poderia representar a aceleração 
da partícula, no mesmo instante, seria o segmento número:
a) 1. d) 4.
b) 2. e) 5.
c) 3.
Resolução: Sendo m a massa da partícula e lembrando que R — my, 
—> —>
temos que R c diretamente proporcional a y.
—> ->
Sendo ni positivo, R e y terão a mesma direção c o mesmo sentido. 
—►
Portanto, y lerá a direção c o sentido do segmento 2.
Resposta: alternativa b.
10. MEDICINA DE POUSO ALEGRE — Um foguete de massa 10 kg 
possui reator que lhe comunica uma força de intensidade cons­
tante igual a 10 N. O foguete está inicialmente err repouso e é 
obrigado a mover-se sobre uma circunferência horizontal de raio
32
igual a '0 m. Depois de 5 s, a intensidade daresultante centrípeta 
agente no foguete será igual a:
a) 10 N. d) 4 N.
b) 25 N. e) 100 N.
c) 50 N.
Resolução:- A força aplicada pelo reator do foguete ó a própria resul­
tante tangencial.
Assim, Rt — maT H = maT.
Logo:
10 = 10aT aT = 1 m /s2.
Lembrando que |aT| = |a|, então a — 1 m/s2.
a * . , Rr
K:
N.
Como o foguete parte do repouso c sua aceleração escalar é constante, 
podemos escrever:
V = Vo -f at V = 0 4- 1 . 5 V = 5 m/s
Va
Como R c = mac R c = n i -------
r
Rc = 10
(5)2
10
Re - 25 N
Resposta: alternativa b.
11. PUC (RIO DE JANEIRO) — Se o velocímetro indica que um carro 
inicia uma curva a 80 km/h e este valor vai caindo até atingir 
60 km/h no fim da curva, qual das figuras melhor representa a 
força resultante que atua sobre o automóvel?
Resolução: Como a velocidade diminui sua intensidade, o corpo possui 
aceleração tangencial de sentido oposto à velocidade (movimento re­
tardado, causada pela resultante tangencial R T).
Como a trajetória é curvilínea, o corpo também possui aceleração cen­
trípeta, causada pela resultante centrípeta R c.
Logo, representando sobre o corpo os vetores-componentes tangencial 
—> —> —» —> —»
Rr e centrípeta R t:, temos R = R r -f Rc.
Resposta: alternativa c.
12. FUVEST — Um veiculo de 5,0 kg descreve uma trajetória retilínea 
que obedece à seguinte equação horária: S — 3t2 | 2t 4- 1. onde 
S é medido em metros e t em segundos. A intensidade da força 
resultante sobre o veículo vale:
a) 30 N. d) 15 N.
b) 5 N. e) 20 N.
c) 10 N.
Resolução: Da função horária S = 1 [ 2t • 3t2 podemos concluir:
Sn = 1 m
V0 = 2 m /s 
1
— a = 3 = > a = 6 m /s2 
2
At
Como |aT = lai, vem aT = 6 m/s"
— > — >
Se o movimento é retilíneo, a<3 = O.
Logo, r = aT -f ac = > Y = aT = > r = aT. 
Assim: y — 6 m /s-
Pelo Princípio Fundamental, R = my = > R = 5 . 6 
Resposta: alternativa a.
R = 30 N
13. MAPOFEI ~ Um aluno que tinha tido sua primeira aula sobre 
o Princípio da Ação e Reação ficou sem gasolina no carro. Ra-
—y
ciocinou: “Se eu tentar empurrar o carro com uma força F, ele
—>
vai reagir com uma força F: ambas vão se anular e eu não 
conseguirei mover o carro". Mas seu colega desceu do carro e 
o empurrou, conseguindo movê-lo. Qual o erro cometido pelo 
aluno em seu raciocínio?
Resolução: O erro cometido pelo aluno foi o de pensar que as forças 
—► —y —> —>
F c F se equilibram. As forças F e —F trocadas entre o aluno c o
carro formam um par ação c reação. As forças de ação e reação estão 
aplicadas em corpos distintos e, portanto, nunca se neutralizam.
Seria interessante observar que a força responsável pela colocação do 
carro em movimento c a resultante de todas as forças nele aplicadas
pelos corpos com os quais ele interage, e não apenas a força F.
•j*'
—>
Na figura acima, sendo A a soma das forças de atrito agentes nos 
pneus do veículo, para que o carro adquira aceleração devemos ter 
F > A.
Pelo Princípio Fundamental, o móvel é acelerado pela resultante, dada
1 >
•
m
por R = my.
Em intensidade temos R = F — A => my = F — A =>
14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um corpo apoiado sobre uma
superfície é puxado com uma força resultante constante F a partir 
do repouso. Se não há atrito entre o corpo e a superfície, qual 
dos seguintes gráficos melhor representa a velocidade escalar 
(V] do corpo em função do tempo (t)?
Resolução: O movimento causado por uma resultante agente em um 
móvel que parte do repouso será necessariamente retilíneo. Como a 
resultante é constante, a aceleração também o será. Logo, o movi­
mento do móvel será retilíneo uniformemente acelerado. 
Consequentemente, a relação entre V e t será do tipo V = V„ -F at. 
onde Vo = 0.
A representação gráfica da relação V X t será uma reta passando pela 
origem.
Resposta: alternativa e
1. ENGENHARIA DE 1AUBATÉ — A Dinâmica é a parle da Mecânica 
que estuda:
a) os movimentos.
b) o equilíbrio de corpos.
c) os movimentos relacionados com as suas causas.
d) a equação horária dos movimentos.
2. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Qual é a intensidade da resultante 
de duas forças aplicadas a um mesmo corpo, que têm sentidos contrários c 
mesma direção, com intensidades de 10 N c 20 N?
a) 5,0 N c) 15 N e) 25 N
b) 10 N d) 20 N
3. FUNDAÇÀO CARLOS CHAGAS — Uma força de intensidade 10 N e 
outra de intensidade 12 N são aplicadas simultaneamente a um corpo. 
Qual das opções abaixo apresenta uma possível intensidade resultante dessas 
forças?
a) 0N c) 15 N e) 120 N
b) 1 N d) 24 N
4. PUC (SÃO PAULO) — O esquema representa 5 forças f,, f2, f „ f4, f5 
concorrentes em A, cujas extremidades se dirigem aos vértices dc um hexá­
gono regular. Sabendo que suas intensidades são proporcionais aos com­
primentos dos segmentos respectivos, a direção da resultante deve coincidir 
com a direção da força:
A
e) f5.
b) f2. d) f,.
5. FUNDAÇÃO CARI.OS CHAGAS Duas forças (P c Q) têm o mesmo 
ponto de aplicação. Suas intensidades são. respectivamente, P = 20 N e 
Q — 10 N. Qual dos seguintes gráficos representa melhor a intensidade (R) 
da resultante destas duas forças cm função do ângulo (A) entre elas, medido 
em graus?
esferas que estão sobre mesas horizontais sujeitas a forças horizontais. O 
atrito entre as mesas c as esferas c desprezível. F é a intensidade de uma 
força unitária.
Qual das esferas tem velocidade escalar constante?
a) A d) I)
b) B c) E
c) C
7. CESESP — Um dinamômctro é empregado para medidas de:
a) comprimento. d) temperatura.
b) tempo. e) pressão.
c) força.
8. ENGENHARIA DE SÀO CARI.OS — Coloca-se um cartão sobre um 
copo e uma moeda sobre o cartão. Puxando bruscamente o cartão, a moeda 
cai r.o copo. O fato descrito ilustra o fenômeno:
a) da inércia. d) da ação e reação.
b) da’aceleração. e) Nenhuma das anteriores.
c) do atrito.
9. ITA — Um carro roda por uma estrada com várias malas no porta-bagagem 
sobro o seu teto. Numa curva fechada para a esquerda, uma das malas que 
estava mal segura é atirada para a direita do motorista.
Um físico parado à beira da estrada explicaria o fato:
a) pela força centrífuga.
b) pela lei da gravidade.
c) pela conservação da energia.
d) pelo Princípio da Inércia.
e) pelo Princípio da Ação c Reação.
10. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — Uma partícula se desloca 
com velocidade de 1,0 m/s. Sobre ela não atua qualquer força. Após I0s, 
sua velocidade, em metros por segundo, será de:
a) 0,01. d) 0,0.
b) 10,0. e) 0.1.
O 1,0.
11. FUVEST — Um corpo de massa igual a 3,0 kg está sob a ação de uma 
força horizontal constante. Ele se desloca num plano horizontal sem atrito 
e a sua velocidade sofre um aumento de 2.0 m/s em 4 s. A intensidade da 
força vale:
a) —— N.
8
b) 1,5 N. d) 6,0 N.
c) 3.0 N. e) 24 N.
12. UNIVERSIDADE DO CEARA — Um corpo de massa iguala 10 kg sujeito 
a urna força de 30 N. partindo do repouso, tem. após 6 m de percurso, uma 
velocidade igual a:
a) 10 m/s. d) 2 m/s.
b) 6 m/s. e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) 3 m/s.
13. UNIVERSIDADE DE PONTA GROSSA — Um corpo dc massa 2 kg tem 
a velocidade inicial dc 4 m/s e, após certo deslocamento, atinge a veloci­
dade de 10 m/s. Sabendo que o deslocamento do móvel foi dc 7 m. pode-se 
afirmar que a intensidade da força média aplicada é de:
a) 84 N. d) 12 N.
b) 24 N. e) Nenhuma das respostas anteriores.
c) 16 N.
40
14. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — No gráfico abaixo está representada 
a velocidade escalar V de um corpo cm função do tempo I. A trajetória do 
corpo é uma reta. Qual dos seguintes gráficos melhor representa a inten­
sidade F da força resultante que atua sobre este corpo?
15. MEDICINA DE POUSO ALEGRE Uma partícula é acelerada por uma 
força de intensidade F. O gráfico da aceleração que a partícula adquire 
sob a ação da força é mostrado abaixo. A massa da partícula vale:
a) 50 kg
b) 18 kg
d) 2 kg.
e) 0,02 kg.
41
16. UNIVERSIDADE DE MINAS 
GERAIS — Uma força de inten­
sidade 20 N é aplicada cm um 
bloco de massa 10 kg, como mos­
tra a figura. O bloco desloca-sc, 
então, com velocidade constante, 
para a direita. A aceleraçãodo 
bloco é de:
a) 0 m /sJ.
b) 0,5 m /s2.
c) 2,0 m /s2.
d) 200 m /s2.
e) ê impossível calcular a aceleração do
17. MEDICINA DA SANTA CASA A força resultante que atua em uma 
partícula em movimento circular uniforme é:
a) nula. porque não há aceleração.
b) nula, porque a força centrípeta é anulada pela força centrífuga.
c) centrípeta c de intensidade constante.
d) centrífuga c de intensidade variável.
e) constante cm direção e intensidade.
18. PUC (SÀO PAULO) —- Um ponto material está dotado de movimento cir­
cular uniforme. A resultante das forças que atuam sobre ele:
a) é radial centrípeta.
b) c nula.
c) c tangente à trajetória.
d) é radial centrífuga.
c) tem direção que depende da intensidade dc sua velocidade.
19. UNIVERSIDADE DO RIO DE JANEIRO — Um pêndulo oscila no labo­
ratório. Qual das opções propostas representa corretamente a força resul­
tante K sobre a massa do pendulo, no instante cm que passa pela vertical, 
vindo da esquerda?
42
20. UNIVERSIDADE DO ESPIRITO SANTO — Um carro sc desloca na es­
trada piana representada na figura abaixo. No instante considerado, o carro 
tem velocidade V e está freando. O segmento que pode representar a força 
resultante que atua no carro é:
a) a.
b) b.
c) c.
d) cf
c) e.
21. UNIVERSIDADE DO CEARÁ As forças de ação e reação (Terceira 
Lei de Newton) não sc anulam mutuamente porque tem intensidades dife­
rentes.
a) A afirmação é certa e o argumento é errado.
b) A afirmação é errada c o argumento é certo.
c) A afirmação e o argumento são corretos, rnas não relacionados.
d) A afirmação c o argumento são corretos e relacionados.
22. CESCEA — A Terceira Lei de Newton diz que: "A uma ação corresponde 
uma reação de intensidade igual à intensidade da ação, porém de sentido 
contrário”.
No caso de um corpo cm queda livre, dizemos que ele está sujeito apenas:
a) à força de atração da Terra.
b) à força de atração da Terra e à força de reação, dc modo que a resultante 
fornece a aceleração g.
c) à força dc atração da Terra, porque a força dc reação é desprezível.
d) à força dc reação proveniente da ação da força da Terra.
e) às forças de ação e reação que âgindo sobre o corpo se anulam.
23. UNIVERSIDADE DE SANTA CATARINA — O Princípio da Ação e 
Reação rcfcre-sc a forças:
a) dc mesma direção, mesmo sentido, mesma intensidade e que se aplicam 
no mesmo corpo.
b) dc mesma direção, sentidos opostos, mesma intensidade e que sc aplicam 
no mesmo corpo.
c) dc mesma direção, sentidos opostos, mesma intensidade c que se apli­
cam em corpos diferentes.
d) de mesma direção, mesmo sentido, mesma intensidade e que se aplicam 
cm corpos diferentes.
c) de mesma direção, sentidos opostos, intensidades diferentes c que se apli­
cam cm corpos diferentes.
24. MEDICINA DE ITAJUBÂ Um trator dc massa igual a 5.J3 . I03 kg 
puxa uma carreta de 7,0 . 10:1 kg de massa. A força dc tração F é trans­
mitida à carreta através de uma corda que se mantém esticada, paralela ao 
plano horizontal e que tem intensidade de 9,0 . 10» N.
Qual é a intensidade da força que a carreta exerce sobre o trator?
a) 2,0 . IO4 N
b) 7,0 . 104 N
c) 5,0 . 104 N
d) 9.0 . 103 N
e) 0N
25. MEDICINA DE VASSOURAS O número de forças de interação que 
num dado instante podem estar agindo sobre partículas do nosso Universo:
a) é obrigatoriamente par.
b) é obrigatoriamente ímpar.
c) tanto pode ser par como ímpar.
d) não é par nem ímpar.
e) Nenhuma das respostas acima.
26. MEDICINA DE ITAJUBÁ — Um corpo com massa igual a 100 kg é atraído 
pela Terra, que provoca no mesmo uma aceleração. Este corpo, por sua 
vez, também exerce uma força sobre a Terra comunicando-lhe uma acele­
ração. Sabendo que a massa da Terra tem cerca dc !0 -‘ kg, qual a acelera­
ção que a Terra adquire como conseqüéncia da interação com o referido 
corpo?
a) 10-2 - m /s2
b) IO-21 m /s2
c) 10_ 1 m /s2
d) 10 m /s2
e) 1025 m /s2
27. MEDICINA DE SANTOS — A Terra não c um bom sistema de referencia 
para a Mecânica ncwtoniana porque a Terra é um sistema não-incrcial.
a) Asserção certa, razão ecrta c a razão c uma justificativa da asserção.
b) Asserção certa, razão certa, mas a razão não c uma justificativa da as­
serção.
c) Asserção certa, razão errada.
, d) Asserção errada, razão certa.
c) Asserção errada, razão errada.
28. UNIVERSIDADE DE BRASÍUA — Levando em conta as »rês leis de 
Newton, com relação a qualquer sistema dc referência, podemos dizer que:
a) as três leis são válidas em qualquer sistema dc referencia.
b) a primeira e a segunda leis são válidas tanto num referencial inercial 
como num sistema não-incrcial.
c) a segunda c a terceira leis são válidas em qualquer sistema.
d) Nenhuma das respostas anteriores é correta.
44
29. FUVEST — Um corpo de massa igual a 20 kg está cm repouso sobre um 
plano horizontal sem atrito. Uma força F. constante, agindo por um espaço 
<1 faz com que o corpo adquira urna velocidade de 8 ,0m/s. Determine a 
velocidade adquirida por um corpo dc massa igual a 10 kg. submetido à 
ação de uma força igual a F, nesse mesmo espaço d.
30. INATEL — Ura elétron, de massa igual a 9 . 10— s g. sai do cátodo dc 
uma válvula de rádio com velocidade inicial nula c se dirige em linha reta 
para o ânodo, distante I cm dc cátodo. Supondo a força aceleradora 
constante, e sabendo que o elétron atinge o ânodo com a velocidade de 
6 . 10“ cm/s, calcule:
a) a força, em dinas, que acelera o elétron.
b) c tempo necessário para atingir o ânodo.
31. MAPOFEI — Uma partícula de massa m, inicialmente cm repouso, é 
submetida à ação de duas forças perpendiculares e de mesma intensidade F. 
Qual a direção do movimento c qual a aceleração?
1. c 2. b 3. c 4. c 5. o 6. e 7. c 8. a 9. d 10. c
11. b (Lem brar que. numa tra je tó r ia re tilín e a . |y ! - a . A ss im , podem os ob ter
a através das equações do m ovim ento u n ifo rm e m e n te variado e depois
aplicá-la na ecuação fundam ental da D inâm ica (R — m y ).)
12. b 13. d 14. a 15. a
16. a (Se a ve locidade do b loco é constante , a aceleração deverá ser nula: logo,
a resu lta n te deverá tam bém ser nula. C onsequentem ente . F não é a 
única fo rça agente no corpo.)
17. c 18. a 19. a 20. c
21. a 22. a 23. c 24. d 25. c 26. b 27. a 28. d
29. V = 8 V~Z m /s
30. a) F = 1.62 . 10— l0 dyn:
b) t = 3,33 . 10 -» s.
31. (Sc .evássem os em conta a te o ria dos a lgarism os s ig n if ca tivos, te ríam os as 
segu intes respostas: F — 2 . 1 0 - 10 dyn e t — 3 10-» s.)
O m ovim ento a d q u irid o pela p a rtícu la é 
re tilín e o . uni*'orm em ente acelerado, com
F V~T
aceleração de in tens idade y ------------------ na
m
direção da diagonal do quadrado form ado 
pelas fo rças , co n fo rm e indica a figu ra .
CffííULO
Tipos de forças
A interação entre dois corpos pode ser feita de duas formas:
• contato direto;
• ação à distância.
Analisemos inicialmente a troca de forças resultante de um con­
tato direto entre os corpos envolvidos.
Observe as ilustrações a seguir:
Através de contato direto, a racuete 
aplica uma força F ã bola.
Numa cclisão. as lorças trocadas 
entre os veículos são resultado do 
contato direto.
J.
‘ Ar
r
/
i f c
» í
•. »•
>>■
< r
Através do contato direto, o pc do jogador aplica uma lorça à bola.
O atleta arremessa o corpo através da força de contato F.
A força F splicada pela máquina à carga é uma força de contato.
48
• Forças de contato — Ana­
lisemos com maiores detalhes 
a força de contato entre um 
corpo e uma superfície (apoio).
Caso as superfícies em contato 
sejam perfeitamente lisas, as 
forças trocadas serão normais 
às superfícies na região de con­
tato.
Neste caso. chamaremos as 
forças de contato trocadas entre 
as superfícies de forças-normal.
—> —>
representando-as por N e —N.
Observemos as ilustrações apresentadas. Nessas ilustrações, as 
superfícies em contato são perfeitamente lisas.
Quando as duas superfícies 
em contato forem ásperas, as 
forças de contato trocadas entre 
elas terão direção qualquer em 
relação à região de contato.
Considere o péde uma pes­
soa trocando forças de contato 
com o so o durante uma cami-
—y
nhada. Chamemos de C a força 
exercida pelo solo sobre o pé e 
—>
de —-C a força exercida pelo 
pé sobre o solo.
Vamos decompor vetorial­
mente esta força de contato e 
analisá-la com mais detalhes.
N (no b ioco)
- N ,
VSSS' \ - N (no apoio)
49
Obteremos, então:
N: componente normal da 
força de contato ou simples­
mente normal. Este vetor-com­
ponente caracteriza-se por ser 
perpendicular às superfícies em 
contato que se comprimem.
A: componente tangencial 
de contato ou simplesmente 
força de atrito. Caracteriza-se 
por ser tangente às superfícies 
em contato que se comprimem.
—> —> —>
Verifique que C = N - f A, sendo CJ = N2 - f A*.
Mais adiante, faremos uma análise mais profunda da força de 
atrito.
Observe, agora, as ilustrações abaixo:
Nos dois casos, os homens exercem forças na corda e na vara por 
contato direto.
50
Analisemos esses tipos de forças de contato denominadas, res­
pectivamente. força de tração e força de compressão.
Tomemos uma barra cilíndrica, rígida, de eixo retilíneo. Se 
aplicarmos duas forças nesta barra, uma em cada extremidade, na 
direção de seu eixo, de modo a procurar diminuir o compr mento da 
barra, tais forças serão denominadas forças de compressão longitu­
dinal.
Se, por outro lado, aplicarmos ã mesma barra duas forças, uma 
em cada extremidade, na direção de seu eixo, dc modo e procurar 
aumentar seu comprimento, tais forças serão denominadas forças de 
tração longitudinal.
e\*° -
No nosso dia-a-dia e nos estudos das forças usamos cordas, 
barbantes e cabos bastante flexíveis, praticamente inextensíveis c de 
massa desprezível relativamente às massas dos demais corpos envol­
vidos. Tais elementos recebem o nome genérico de fios ideais.
Verifica-se. experimentalmente, que as forças trocadas entre os 
corpos e o fio a que se encontram ligados por suas extremidades 
são sempre forças de tração longitudinal. É claro que tais forças 
só se manifestam quanco os fios estão esticados.
52
A polia ideal tem inércia desprezível e está livre de qualquer 
tipo de atrito. Sua função é a de modificar a direção do fio sem alterar 
a intensidade da força de tração transmitida.
A intensidade da força de tração é registrada através de um dina- 
mômetro inserido no fio.
Analisemos, finalmente, a troca de forças resultante de uma ação 
à distância entre os corpos envolvidos (forças de campo).
• Forças de campo
Observe as ilustrações a seguir:
Imã ' Ferro
-
v -v VÄ-* r
/ ~ > : r \
£ ' I ? f ; j J ^
O ím ã a tra i o pedaço de fe rro a través de uma ação à d is tância .
Elétron
A Terra a tra i a Lua à d is tânc ia O pró ton e o o lé tro n atraem -se
e é tam bém atra ída por ela. m utuam ente ã d is tânc ia .
Estudemos, agora, a força gravitacional trocada, á distância, entre 
dois corpos.
— Força gravitacional — Em 1687. Newton constata que matéria 
atrai matéria", independente do meio onde as porções de matéria se 
encontrem. E enunciou, então, a Lei da Gravitação Universal.
Lei da Gravitação Universal
Dois corpos quaisquer de massas M e m. cuja distância 
entre seus centros é d trocam entre si forças de atração 
que agem ao longo da linha que une seus centros.
A intensidade F dessas ;orças é diretamente proporcional 
ao produto das massas envolvidas e inversamente 
proporcional ao quadrado da distância que as separa.
Em símbolos:
G é uma constante universal, isto é, tem o mesmo valor quais­
quer que sejam os corpos que sc atraiam c o lugar onde se encon­
trem. Seu valor é:
G = 6.67 . IO-11 N . n r / kg2
Como podemos perceber, a constante G é muito pequena em 
relação aos valores com os quais estamos acostumados a lidar. E 
as forças gravitacionais, por este motivo, são de intensidade despre­
zível na maioria dos casos.
Quando pelo meros um dos corpos tiver massa muito grande 
e estiver relativamente próximo do outro, a intensidade das forças
de atração não será desprezível É o caso, por exemplo, do planeta 
Terra e dos corpos situados em suas proximidades.
A expressão F — G ----- pode ser escrita assim:
d2
GM
F = m -----
d*
Pa-a corpos situados na superfício da Terra o admitindo que nosso 
. G.V.
planeta soja perfeitamente esférico, a expressão ----- é constante.
d2
Essa constante é denom nada intensidade do campo gravitacional
do planeta em sua superfície c vamos indicá-la por g*.
Podemos escrever, então: | F — mg*~|
— Força-peso — Ao abandonarmos um corpo bem próximo à super­
fície da Terra, verificamos que ele é atraído pela Terra e se projeta 
em direção a ela. Uma experiência simples realizada no tubo de 
Newton (tubo cilíndrico onde se faz o vácuo) permite concluir que, 
na ausência de resistência do ar, a aceleração adquirida é a mesma 
para qualquer corpo, independentemente de sua massa.
Se abandonarmos, por exem­
plo. uma esfera de aço e uma 
pena no interior do tubo onde se 
fez o vácuo, constatamos que 
ambos caem com a mesma ace­
leração. chamada de aceleração 
da gravidade, de direção vertical 
e orientada para baixo.
A força responsável pela 
aceleração da gravidade é a
força-peso. indicada por P.
Tendo em vista o Princípio 
Fundamental da Dinâmica (Se­
gunda Lei de Newton) aplicado 
ao corpo, temos: ps corpos caen corr a mesma aceleração.
—> I R = P = força-peso
R = mr onde < _> _►
| v = g — aceleração da gravidade
-> -»
Logo, P — mg.
Em intensidade:
(% 0 v a p !ta .-
A aceleração da gravidade g sofre a influência da rotação da Terra o este 
fato pode ser constatado experimentalmente. Para isso. basta medir o 
valor de g em função da latitude do luçar.
A latitude de um lugar é dada pola ângulo X ilustrado na figura abaixo:
I
56
Podemos, então, construir uma tabela onde se representam os valores de g 
em função das correspondentes latitudes:
Latitude»“) Valor de g (m/s2)
0 9,780
10 9,782
20 9,786
30 9.793
40 9,802
50 9,812
60 9,813
70 9,825
80 9.831
90 9,837
Em situações nas quais não se reque' precisão muito acentuada, os efeitos 
do movimento de rotação da Terra podem ser desprezados. Nesse caso, a 
aceleração da gravidade terá sua intensidade (g) confundida com a intensidade 
do campo gravitacionai (g*) na superfície do planeta, e o peso coincidirá 
com a força gravitacionai.
Na solução de problemas, representaremos o peso verticalmente 
orientado para baixo, como ilustramos a seguir:
Estudo da força de atrito de escorregamento (a seco)
• Análise qualitativa — 0 vetor-componente-tangencial da força de 
contato, isto é, a força de atrito, só se manifesta quando as condições 
seguintes são observadas simultaneamente:
a) os corpos estão em contato:
b) os corpos estão se comprimindo mutuamente (o que implica na 
existência do vetor-componente-normal);
c) os corpos apresentam rugosidades superficiais:
d) os corpos estão em movimento relativo (escorregamento) ou pelo 
menos apresentam tendência inicial ao movimento relativo.
A força de atrito tem sempre direção tangencial às superfícies 
em contato e sentido contrário ao movimento de escorregamento ou 
à sua tendência inicial.
i
3
A troca de forças tangenciais — forças de atrito — é explicada 
pelas rugosidades das superfícies em contato e pelas aderências e 
microssoldas provocadas pela compressão.
Vejamos alguns exemplos ilustrativos:
1. Bloco abandonado sobre apoio horizontal
N (reaçào do apoio
bloco
soo
— ■
e o bloco)
^ _,_
apoio
N (ação do bloco 
sobre o apoio)
Neste caso. a força de contato entre os corpos coincide com 
a força normal, pois não trocam entre si forças tangenciais, uma vez 
que não há tendência de escorregamento entre eles.
2 Bloco abandonado sobre apoio inclinado
53
(reação
apoio sobre o N (reação norm al do apoio 
scb re o bloco)
(açào normal do bloco 
sobre o apoio) N
escorregamento
(ação tangencial do 
bloco sobre o apoio)
apoio
3. Bloco deslizando sobre apoio horizontal
(reaçáo normal do apoio n 
sobre o blocol
(reação tangencial cio
apoio sobre o bloco) A
movimento
(ação tangencialdo bloco 
sobre o apoio)
N (ação normal do bloco 
sobre o apoio)
4. Caixa interagindo com outra caixa
caixa A 
caixa B)
As forças de contato trocadas pelos corpos A e B se resumem 
às forças normais.
As forças de atrito existentes entre as caixas não se manifes­
tam, pois não há tendência de uma escorregar em relação à outra.
5. Homem apoiado no piso de um elevador
normais, pois há apenas compressão mútua entre os pés do homem 
e o piso dc elevador, sem tendência para o escorregamento.
6. Bloco puxado sobre piso horizontal
(reação tangencia l do 
p s o sobre o b loco)
N (reação norm al do p iso sobro o bloco)
bloco tendência de escorregamento
A (ação tangent ial 
b loco sobre c
N (ação norm al do bloco 
sobre o p iso)
• Análise quantitativa
Quando, com o auxílio de uma corda, você puxa um bloco sobre 
um plano horizontal, ele é mantido em repouso pela ação da força 
■—>
de atrito estático (AJ exercida peio apoio. Logo, enquanto não houver 
escorregamento. A,. = F.
—̂
A força de atdto estático Ae tem intensidade variável. À medida 
que você aumenta a intensidade da força com a qual você puxa o 
bloco, a intensidade da força de atrito estático também aumenta, 
mantendo o bloco em repouso, é o que as experiências deixam evi­
dente.
V = 0
(repouso)
Quando o bloco estiver na iminência de escorregar sobre o 
apoio, constata-se que a intensidade da força de atrito estático atinge 
o seu limite máximo. Nesse caso a força de atrito é denominada
—>
força de atrito de destaque (Aj,„). Assim, quando a força que você 
aplica ao bloco tiver intensidade superior a este limite máximo de 
resistência ao escorregamento, o bloco começará a escorregar sobre 
o apoio. Logo, para iniciar o escorregamento. F > A*«,,».
v = o
i
Durante o escorregamento, a força de atrito é denominada força
de atrito cinético (Ac). F = A : m ovim ento un ifo rm e
F > A f : m ovim ento acelerado 
V ¥= 0 F < A c : m ovim ento retardado
Vejamos, agora, algumas aplicações práticas em que é funda­
mental a presença da força de atrito.
1. Pneumáticos trocando forças de contato com o solo rugoso
rodas liv res
rodas m otrizes
N (reação norm a do 
sobre o pneu:ào norm al do apoio 
sobre o pneu)
(reação tangenc iaT a 
apoio sobre o pneu
tào tangencia l 
lio sobre o pn<(ação ' tangencia l do pneu
(ação tangenc al do pneu 
sobre o apoio)
n (ação norm al do pneu 
sobre o apoio) N (ação norm al do pneu 
sobre o apoio)
Quando o automóvel é acelerado, as rodas motrizes e as rodas 
livres comportam-se diferentemente no que diz respeito à troca dc 
forças de contato com o soío.
A roda motriz irdicada na figura está apoiada no solo em A. A 
tendência inicial de escorregamento do pneu. em relação ao solo, 
é para a esquerda. A força de atrito estático, no pneu. é orientada 
para a direita (sentido contrário ao escorregamento). Esta força de 
atrito estático é que empurra o automóvel no sentido de seu movi­
mento de translação. Observe que a força de atrito tem caráter 
estático, pois não há escorregamento entre o pneu e o solo, embora 
haja tendência para que isto aconteça.
Resumindo, podemos dizer que, na roda motriz, a força de atrito 
estático favorece o movimento de translação do automóvel.
A roda livre, indicada na figura, está apoiada no solo em B. A 
tendência inicial de escorregamento do pneu em relação ao solo, 
é para a direita, pois a roda livre funciona como um elemento da 
carroceria e é "arrastada’' pelo automóvel. A força de atrito estático.
62
no pneu, é orientada para a esquerda (sentido contrário ao da 
tendência de escorregamento). Esta força de atrito estático procura ,
impedir o movimento de translação do automóvel, "resistirdo" sem­
pre. Observe que a força de atrito tem caráter estático, pois não 
há escorregamento entre o pneu e o solo. embora haja tendência para (
que isto aconteça.
Resumindo, podemos dizer que, na roda livre, a força de atrito 
estático resiste ao movimento de translação do automóvel.
Quando o carro é freado, travando-se as rodas, os pneus passam, 
então, a escorregar em relação ao solo, e a força de atrito adquire 
caráter cinético, com sentido sempre contrário ao do escorregamento.
2. Motocicleta trocando forças de contato com o solo, numa curva 
horizontal
63
(ação norm al radial do A e 
pneu sobro o so lo l
% A 'e (reação tangenc al 
transversa l do
(reação norm al radial 
do so lo sobre o pneu)
^ II Ü I I O V O I O d l u u
fação norm al do N ♦ % s ° l ° s o b 'e o pneu) 
pneu sobre o so lo ) ~ - ® \ ____
O pneu da moto analisado na figura acima está em contato com 
o solo no ponto O. As forças de contato trocadas entre o pneu e 
o solo estão fora do plano da página e admitem três componentes: 
normal, força dc atrito estático radial fe força de atrito estático trans­
versal.
A força de atrito estático transversal atua na direção do movi­
mento. contribuindo para alterar a intensidade da velocidade da 
moto. A força de atrito estático radial atua na direção perpendicular 
à curva, apontando para o seu centro e contribuindo para alterar a 
direção da velocidade da moto.
Observe que as forças de atrito mencionadas têm caráter está­
tico, pois não há escorregamento entre o pneu e o solo durante a 
curva, embora haja tendência para que isto aconteça.
O que acabamos de expor sobre o movimento da moto aolica-se 
também a um carro que descreve uma curva num plano horizontal.
Se as condições forem desfavoráveis, em lugar do atrito estático 
que aparece na ilustração teremos atrito cinético, e o carro iniciará 
uma derrapagem, obedecendo ao Princípio da Inércia.
64
• Leis do atrito de escorregamento (a seco)
Primeira lei
Experimentalmente, verifica-se que a intensidade máxima 
da força dc atrito estático (Aa<»i) é diretamente proporcional 
a intensidade da força normal de compressão entre 
as superfícies em contato.
Em símbolos: Aof»*, • jipN
é um número adimensional, denominado 
coeficiente de atrito estático.
Vamos examinar um exemplo elucidativo.
Na situação A. para fazer o tijo o escorregar, precisamos vencer 
a resistência da força de atrito estático de destaque, cuja intensidade 
é igual a dois newtons — 2 newtons).
Para fazer o conjunto formado por três tijolos idênticos escor­
regar (situação B), precisamos vencer a resistência da força de atrito 
estático de destaque, cuja intensidade é de seis newtons (A’de*t — 6 
newtons).
Observe que a intensidade máxima da força de atrito triplicou 
à medida que a intensidade da normal dc compressão também tri­
plicou.
a t̂ u ca 65
Segunda lei
Experimentalmente, verifica-se que a intensidade da 
força de atrito cinético é diretamente proporcional à 
intensidade da força normal de compressão entre as 
superfícies em contato.
Em símbolos: A<- - jvN
!lc é um número adimensional. denominado 
coeficiente de atrito cinético.
Terceira lei
Os coeficientes de atrito estático (u«J e cinético 
dependem, como mostra a experiência, da natureza déss 
superfícies em contato e do estado do polimento 
dessas superfícies.
Os coeficientes de atrito estático (!*e) e cinético (:-c) 
sáo, dc modo geral, independentes das áreas dc 
contato entre as ^uperfícies.
Na figura, os corpos que se encontram sobre a mesa são do mes­
mo material e têm o mesmo peso. Assim, embora as áreas de con­
tato sejam diferentes, as forças de atrito terão a mesma intensidade.
6ô
Quarta lei
0 coeficiente de atrito cinético (i\.) não depende, dentro de 
certos limites, da velocidade relativa das superfícies 
em contato.
Para um mesmo par de superfícies em contato, 
a experiência revela que |tc < n«..
_________________________________________________
1. A s le is que regem o com portam en to da fo rça de a tr ito são to ta lm en te 
em p íricas. Elas funcionam de m odo aproxim ado e são. m esm o assim , m uito 
ú te is na vida p rá tica , po is o fenôm eno do a tr ito é m u ito com plexo.
2. A segu ir, apresentam os uma tabe la do va.o res tip ic o s m ódios do 
co e fic entes do a tr ito de escorregam ento , para d ive rso s pares de superfíc ies .
Materiais Valores tipicos médios
I1. l4c
ccu ro em m adeira 0.5 0.4
couro c m m etal 0,4 0.3
m eta l em m etal 0.2 0.1
m etal em m adeira 0.5 0.4
m adeira em madeira 0.5 0.3
aço em gelo 0.03 0.01
borracha em cc n c re to seco C.9 0.7
b o rracha om co n cre to m olhado 0,7 0,5
3. De acordo com as le is e m p íricas do a tr ito , duran te o escorregam ento das 
su p e rfíc ie s em con ta to , a in tensidade da fo rça de a tr ito c in é tic o perm anece 
constan te c In fo rio r à in tensidade m áxim a da fo rça de a tr ito o s tá tico . Em 
s ím bo los: A,. < A d*,t .
4. A análise q u a n tita tiva do a tr ito de escorregam ento pede se r resum ida no 
segu in te g rá fico :
0
67
De modo ge ra l, podem os escreve r:
Repouso re la tivo 
das su p e rfíc ie s
Escorregam ento 
das su p e rfíc ie s
5. A grandes ve loc idades re la tiva s o co e fic ie n te de a tr ito c in é tico d im inu i 
com o aum ento de ve locidade Ê o que m ostra a experiência , de m odo çera l.
6. A le i da independência das áreas é m ais aproxim ada para su p e rfíc ie s 
ríg id a s , perdendo precisèo para su p e rfíc ie s e lásticas.
Podemos co n c lu ir, após a análise do te x to , que o a tr ito ó um lenô m e n o que 
se. p o r um lado, p re jud ica aparentem ente o deslocam ento dos co rp o s , é o 
rcsponsávo l tam bém p o r uma sério de ocorrênc ias favoráve is. Com o 
advento dos ve ícu los m otorizados, a in d ú s tria dos ó leos lu b rific a n te s — 
que tê m a fina lidade de reduzir o a tr ito en tre as partes do m oto r que so frem 
desgaste — adquiriu notável im portância.
Para com p le ta r es te assunto, podem os c ita r com o exem plo o a trito 
e x is te n te en tre os ossos do nosso corpo. Esse a tr ito podoria p rovoca r um 
perigoso desgaste nas ju n tas , sc nào fosse a presença de um lu b rific a n to 
denom inado líq u id o s inov ia l. Com a chegada da ve lh ice, esta “ lu b r if ic a ç ã o ' 
torn8-se m ais d if íc il. Esta é uma das c o is a s da a rtr ite .
j»'Complementos
• Força de resistência dos fluidos — Quando um corpo se encontra 
mergulhado em uma massa de fluido e se movimenta em relação a 
ela. passa a sofrer forças de resistência ao movimento relativo. Essas 
forças são denominadas resistências do fluido.
As leis que regem esses fenômenos são empíricas e permitem 
estudá-los com uma certa aproximação.
Os fluidos, pelos quais nos interessaremos neste tópico, são o 
ar e a água.
— Resistência viscosa — Quando um corpo sc desloca no seio de 
um fluido em baixa velocidade relativa (da ordem de 2 m /s no ar 
e de 0,05 m/s na água), uma película desse fluido adere ao corpo, 
movimentando-se juntamente com ele em relação ao restante do 
fluido. As forças tangenciais trocadas entre o conjunto assim for­
mado e as partes adjacentes do fluido restante (forças de atrito in­
terno ao fluido) são denominadas forças viscosas.
Verifica-se, experimentalmente, que as forças viscosas têm inten­
sidade F diretamente proporcional à velocidade relativa V:
F CV 1
Nessa expressão, C é o coeficiente de resistência viscosa. O
valor desse coeficiente depende da natureza do fluido, do formato 
do móvel e de sua posição relativamente ao fluido.
68
— Resistência dinâmica — Quando a velocidade do corpo em relação 
ao fluido adjacente atinge valores maiores (entre 10 m /s e 200 m/s 
no ar e entre 0.05 m /s e 2 m/s na água), os choques entre o corpo 
e as partículas do fluido orovocam o surgimento de forças de resis­
tência ao movimento relativo.
Experimentalmente, verifica-se que a intensidade F de tais forças 
de resistência varia de acordo com a seguinte expressão:
~F = kSV‘ 1
Nessa expressão
V é a velocidade do corpo relativamente 
ao fluido.
S é a maior área de secção do corpo, to- 
I mada perpendicularmentc à direção do 
] movimento.
k é o coeficiente de resistência, o qual 
depende do formato do ccrpo e da na** 
v reza do fluido.
Como podemos perceber, 
a intensidade da resistência do 
fluido depende do quadrado da 
velocidade relativa. Este é um 
fato de muita importância, por 
exemplo, na queda de um corpo 
próximo à Terra. À medida que 
a velocidade aumenta, a inten­
sidade da resistência do ar tam­
bém aumenta e a aceleração de 
queda vertical diminui. Haverá 
um instante (desde que haja 
tempò suficiente) em que a força 
de resistência do ar equilibra a 
ação da força-peso. A partir daí. 
a velocidade de queda não mais 
aumenta. Esta velocidade ó 
denominada velocidade-limite de 
queda.
Por causa disso, as dimen­
sões dos pára-quedas devem ser 
projetadas de modo que a velo­
cidade-limite de queda seja sufi­
cientemente pequena para uma 
aterrissagem segura.
v à s m m 69
Assim, para o esquema anterior, podemos escrever: 
F = P = > V = V ,tm
Logo: KSVrlra = mg V jiir. — / 
V
mg
KS
É importante notar que os fluidos trocam outro tipo de força com 
os corpos que se encontram em seu interior. Esse tipo de força é 
denominado empuxo e será estudado na parte dedicada à Hidrostática, 
nesta obra. Quando a densidade do corpo for elevada em relação 
à densidade do fluido, podemos desprezar o empuxo.
Para vencer a resistência do ar, os veículos devem apresentar 
desenhos aerodinâmicos.
* 1
Um oxem plo do redução da re s is tê n c ia da água. podem os encontrá-lo no 
hovercraft, ve ícu lo que se m ove sobre um co lchão de ar.
E im portan te , todavia , no tar que em de term inados fenóm enos a res is tênc ia 
do ar é de grande im portânc ia . U m exem plo d isso são as gotas de chuva, 
cuja ve loc idade próxim a ã Terra ó bastante reduzida, p roporc iona lm ente 
è a ltu ra de queda.
• Dinamômetro
É um instrumento que serve 
para medir forças, é constituído 
de um corpo elástico (geral- 
mente uma mola helicoidal) que 
sofre uma deformação. Quanto 
maior for a intensidade dos for­
ças que solicitam esse corpo, 
maior será sua deformação.
A mão que solicita a mola 
aplica-lhe uma força de intensi­
dade F. Pelo Princípio da Ação 
e Reação, a mola aplica na mão 
uma outra força de mesma inten­
sidade F e de sentido contrário.
te to )
mola)
mola)
mão)
71
Entretanto, para que a mola 
se deforme, é necessário que 
ela esteja submetida à ação de 
duas forças, uma em cada ex­
tremo: a força de intensidade F. 
aplicada pela mão. e a força 
de intensidade F'. aplicada pelo 
teto.
De acórdo com o Princípio 
da Ação e Reação, a mola aplica, 
no teto, uma força de mesma 
intensidade F' e de sentido con­
trário.
Evidentemente, se a mola 
for ideal (massa desprezível), 
teremos:
F = F'
O dinamômetro tem a mola 
alojada cm um compartimento 
onde há uma escala graduada em 
unidades de força (newtons no 
SI) para que se possam fazer lei­
turas diretas.
Convém notar novamente 
que para um dinamômetro ideal 
marcar em sua escala 20 N. por 
exemplo, são necessárias duas 
forças de 20 N. uma em cada 
extremidade do dinamômetro.
Veja. pelas figuras anteriores, que o dinamômetro ideal assinala 
a força e a transmite para o corpo seguinte. Nas ilustrações apresen­
tadas, esse corpo é o teto.
T (ind icação do ins tru m e n to )
O d inam ôm etro tra n sm ite a fo rça para o corpo seguinte .
72
Em certos dinamòmetros a deformação da mola é feita por com­
pressão. Seu funcionamento é análogo ao já descrito. Tal dinamô- 
metro é impropriamente chamado "balança de molas” .
Conclusão: Independentemente de sua natureza, as forças de 
contato e de campo podem agir simultaneamente num sistema.
N urra pipa agem as fo rças de tração e res is tô n c ia do ar (con ta to ) e o poso 
(cam po).
Numa lancha, tem os a fo rça de propu lsão e a de res is tê n c ia da água (con ta to ) 
e o peso (cam po). A lém cessas fo rças , tem os tam bém a ação do empuxo, que 
será estudado posterio -rnen to .
Como vimos anteriormente, a resultante de tedas as forças que 
agem num corpo pode ser nula(Princípio da Inércia) ou igual ao 
produto da massa pela aceleração vetorial do corpo (Princípio Fun­
damental).
Nas questões resolvidas, discutiremos como as forças e os prin­
cípios que acabamos de aprender podem ser aplicados na resolução 
de problemas.
1. UNIVERSIDADE DO PARÁ —
A figura ao lado mostra um 
bloco A, em repouso, apoia­
do sobre uma superfície S. 
suposta horizontal. Sendo 
P o peso do bloco e F a reação da superfície, podemos afirmar que:
a) as forças P e F só constituem um par ação-reação se não houver 
tendência de movimento do bloco.
b) as forças P e F constituem um par ação-reação.
c) a lei da interação de Newton não se aplica a esta situação.
d) as forças P e F só constituem um par ação-reação se a super­
fície S for idealmente lisa.
e) as forças P e F não constituem um par ação-reação.
Resolução: Convém lembrar
inicialmente que o par ação- 
-reação jamais poderá estar 
aplicado no mesmo corpo. As 
forças que agem no bloco A 
são: normal — exercida pelo 
apoio; peso — exercida peia 
Terra. Não havendo tendência 
de escorregamento do corpo 
em relação à superfície, a força de contato F coincide com a normal N. 
Como o bloco está em equilíbrio, poderemos escrever N = P. 
Resposta: alternativa e.
2. ITA — Na figura, temos um 
bloco de massa igual a 10 
kg sobre uma mesa que 
apresenta coeficiente de 
atrito estático 0,3 e cinético 
0,25. Aplica-se ao bloco 
uma força F de 20 N. p
74
Utilize a lei fundamental da Dinâmica (Segunda Lei de Newton) 
para assinalar abaixo o valor ca força de atrito A no sistema 
indicado (g = 9.8 m /s2).
a) 20 N
b) 24.5 N
c) 29.4 N
d) 6.0 N
e) Nenhuma das respostas anteriores. N
Resolução: Calculemos inicial- *r ■
mente o valor da intensidade a____l —j----- £
da força de atrito de destaque, ~t0T / * iát**** —rrr—
quando o corpo estiver na imi­
nência de sc mover. p
Sendo A ** = |i*N e obser­
vando que, na direção vertical, 
o bloco deve estar em equi-
A[N)
líbrio, ou seja, N = P, pode-
24.5
20
yLTcinético
mos escrever:
A*« = |trP = p*rag
Logo: A j„ t _ 0 ,3 . 1 0 .9 ,8 => 0/T 111. 1
=> Adwr = 29,4 N 1
Enquanto a intensidade da for- / \ 45o 1 £—J----------- 1 - F(N)
ça solicitadora F não ultra- 0 20 29.4
passar 29,4 N o bloco permanecerá em repouso e a resultante será nula. 
Logo, para F _ 20 N o móvel permanecerá cm repouso e sujeito a 
urna força dc atrito estático de intensidade A = 20 N, conforme po­
demos observar no diagrama anterior. Nesse diagrama aparece tam­
bém a intensidade da força dc atrito cinético.
Resposta: alternativa a.
3. MEDICINA DE SANTOS — Um automóvel percorre uma estrada 
horizontal da direita para a esquerda, conforme as figuras abaixo. 
Nas figuras, as setas indicam o sentido das forças de atrito exer­
cidas sobre as rodas. Em qual das figuras a tração c traseira e 
o carro está sendo acelerado?
Resolução: Na roda motriz, a força de atrito é orientada no sentido 
do movimento do veículo, enquanto que na roda livre a força de atrito 
c orientada cm sentido contrário ao do movimento do veículo.
Assim, podemos escrever: 
movim ento
m ovim ento
Roda
Roda
dianteira: livre 
traseira: motriz
m ovim ento
Roda
Roda
Roda
Roda
Roda
Roda
dianteira: motriz 
traseira: livre
dianteira: motriz 
traseira: motriz
dianteira: livre 
traseira: livre
(Carro em 
ponto morto.)
Resposta: alternativa a (considerando que um automóvel possui nor­
mal mente ou tração traseira ou dianteira).
4. MEDICINA DE SANTOS — Consideremos que uma caixa com di­
mensões L X 2 L X L está sendo puxada, através de um fio. sobre 
uma superfície rugosa (fig. A). Colocando-se a caixa conforme 
indica a figura B e continuando a puxá-la. podemos afirmar que:
2L
Fig. B
76
a) o atrito foi reduzido pela metade.
b) o atrito dobrou.
c) o atrito permaneceu o mesmo.
d) o atrito diminui na razão L \~2 .
e) faltam dados para calcular o atrito.
Resolução: Para corpos rígidos, a força de atrito independe da área 
de contato. Assim, desde que a caixa apresente todas as suas super­
fícies em condições físicas idênticas (mesmo material e mesmo grau 
de polimento), a força de atrito que age nela durante seu movimento 
será sempre a mesma, independentemente da face que estiver em con­
tato com o solo.
Resposta: alternativa c.
5. FUNDAÇÃO CARLOS CHA­
GAS — Deixa-se cair três 
corpos de uma mesma altura 
h = 2 . 10n m. no ar. A ve­
locidade desses corpos va­
ria, em função do tempo, 
de acordo com o diagrama 
ao lado. Com base nestes 
gráficos, podemos afirmar 
que:
a) o corpo que cai segundo (1) tem maior peso.
b) o corpo que cai segundo (2) tem maior área de secção trans­
versal (perpendicular ao deslocamento).
c) sc os três corpos forem esferas de mesmo raio. o corpo que 
cai segundo (1) tem menor peso.
d) as acelerações gravitacionais variam proporcionalmente aos 
pesos.
c) os corpos têm sempre acelerações diferentes.
Resolução: Polo diagrama da­
do, observamos que após um 
determinado intervalo dc tem­
po todos os corpos atingiram 
uma veloeidade-limite. Em 
consequência disso, os movi­
mentos tornam-se retilíneos e 
uniformes.
Nestas condições, podemos 
escrever: P = Far => P =
= KSVfL
77
Se os corpos forem esferas e tiverem o mesmo raio, terão também 
mesma secção reta S. Como o coeficiente de resistência K depende do 
formato do corpo (tedos eles são esféricos) e do fluido envolvente (ar), 
podemos escrever que o produto KS é constante.
Assim, da expressão P — KSVjm podemos concluir que a velocidadc- 
-limite das esferas é proporcional ao peso correspondente.
Logo, se Vjimg > Vllm2> Viim,* então P* > Pa > Pi*
Resposta: alternativa c.
6. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Se a experiência descrita se 
fizesse no vácuo, qual dos gráficos abaixo descreveria melhor a 
queda de três esferas quaisquer?
Resolução: Livres da resistência do ar (vácuo), as esferas com qual­
quer raio, partindo do repouso, teriam, cm cada instante, velocidades 
iguais, já que estariam submetidas à mesma aceleração (g). Seus movi­
mentos seriam retilíneos e uniformemente variados. Logo, os corres­
pondentes diagramas V X t coincidiriam, segundo uma mesma reta de 
equação V = V0 -f at, onde V0 = 0 e a ~ g, ou seja, V = gt, que 
corresponde a uma reta que passa pela origem do sistema cartesiano.
Resposta: alternativa a.
78
7. ITA — Dois dinamômetros A e B estão ligados, como mostra a 
figura. Sejam Fi e Fa as leituras nos dinamômetros A e B, res­
pectivamente. quando se aplica uma força F na extremidade do 
dinamômetro B. Considerando esses dados, podemos afirmar que 
é válida a seguinte relação:
a) F = Fi + Fa = 2Ft.
b) F = Fi + Fa = 3Fjí.
c) F = Fa = 2Ft .
d) F = F, = Fa.
e) F = Fi = 2Fa. (
Resolução: O dinamômetro ideal assinala a força que o solicita e a 
transmite integralmente ao corpo seguinte. Logo, o dinamômetro B 
assinala F2 = F e o dinamômetro A assinala F, = F. Observe que 
a força F c transmitida à parede independentemente da presença dos 
dinamômetros.
Por exem plo, se h - 5 N, os d inam ôm etros reg is tra rão tam bém 5 N.
Resposta: alternativa d.
8. FEI — Dois corpos A e B 
possuem o mesmo peso P = 
= 100N e estão presos a 
um dinamômctro. conforme 
mostra a figura. A indicação 
prevista no dinamômetro é:
a) ON.
b) 100 N.
c) 200 N.
d) 400 N.
e) indeterminada, pois não 
se conhece a velocidade 
dos corpos.
Resolução: Como os pesos de A e B são iguais, o sistema permanecerá 
em equilíbrio.
Assim, teremos: corpo A — P == 100 N; corpo Li = > T 2 = P = 
= 100 N.
Portanto, o fio estará submetido a uma tração de intensidade 100N, 
a qual será registrada no dinamômetro.
âtt ____
Convém ressaltar mais uma ve/ que a presença de um dinamômetro 
ideal não interfere na força de tração transmitida pelo fio.
Resposta: alternativa b.
Técnica de resolução de problemas
As questões seguintes serão resolvidas à luz dos Princípios do 
Dinâmica, através de uma técnica específica.
1. Colocar todas as forças agentes no(s) corpo(s) analisado(s).
A fim de to m a r m ais p rá tica a resolução dos problem as, vamos represen ta r 
g ra ficam ente as fo rças , se g t.d a s do s ím bo lo ce sua in tensidace.
2. Estudar a resultante das forças que agem na direção do movimento 
(direção tangente).
I) Rr — 0 m ovim en to un iform e
-► ■ ► —* —♦
II) RT çfe 0 = > ,RT • max —̂> Rr -- max = o Rr = ma
3. Estudar a resultante das forças que agem na direção perpendicular ao 
movimento (direção normal.
► ■>
I) Rc = o => movimento retilíneo
> V -
II) Rc O => Rc = mac = > R(. = mac = p Rc = rr.---
r
4. No caso geral, R — Rt + R,— > R ' — Fx — R̂ ’
Y - aT + ac => Y2 = 4 4
Observação: Se uma fo rça não e s tiv e r d isposto segundo as d ireções tangente 
ou norm al, devem os decom pô-la nestas d reções para, depois, a p lica r as 
regras acim a expostas.
9. FUNDAÇÃO CARLOS CHAGAS — Um corpo de massa m de 5,0 
kg é puxado horizontaimente sobre uma mesa por uma força F 
de intensidade 15,0 N, conforme mostra a figura abaixo. Observa- 
-se que o corpo adquire uma aceleração de 2.0 m /s2. Oual a in­
tensidade da força de atrito presente?
a) Nula
b) 1.0 N
c) 3,0 N
d) 5,0 N
e) 10.0 N
v â /w tò z si
Resolução: () esquema de for­
ças que agem no corpo está 
indicado ao lado.
Aplicando o Princípio Funda­
mental da Dinâmica às forças 
que agem no corpo, temos:
— > — >
R = my
Direção perpendicular ao mo­
vimento — Como o movimento
é retilíneo, a resultante centrípeta é nula. Isto significa que, na direção 
perpendicular ao movimento, as forças peso e normal se equilibram, 
tendo, portanto, a mesma intensidade. Lego, | N — P |
N
a-,-
Jt»' F
P
Direção do movimento — Como o movimento é retilíneo acelerado, 
a resultante é tangencial e sua intensidade pode ser escrita da seguinte 
forma: RT — maT = >
F — A« = maT = >
15,0 — Ac = 5 ,0 .2 ,0 = > 
Rcsposla: alternativa d.
10. UNIVERSIDADE DE PERNAM­
BUCO — Na figura ao lado, 
a força F empurra o corpo 
dc massa m sobre um plano 
horizontal sem atrito. A di­
reção da força forma um 
ângulo <1> em relação à hori­
zontal. Podemos concluir 
que a aceleração adquirida 
pelo corpo será dada por:
Ftg <I>
a) .
m
meos 4>
F
c) .
msen 4)
Fcos 4»
d) ----------
m
Fsen
e) -----------
m
Resolução: O esquema de forças que agem no corpo está indicado na 
figura seguinte. Nesse esquema já fizemos a decomposição da força 
externa em seus vetores-componentes tangencial e normal.
32.
Aplicando o Princípio Funda­
mental da Dinâmica às forças 
agentes no corpo, temos:
R = my
Direção perpendicular ao mo­
vimento — Como o movimento 
é retilíneo e horizontal, a resul­
tante centrípeta é nula. Isto 
significa que, na direção per­
pendicular ao movimento, as forças tem resultante nula. Assim, quanto 
às intensidades das forças verticais, podemos escrever:
N = P + Fn= >
N = P -f- Fsen <I>
Direção do movimento — O movimento será retilíneo e acelerado hori- 
zontalmente. A intensidade da resultante tangencial pode scr escrita 
da seguinte forma: RT,= maT= >
Ft = maT =>
Fcos <I> — maT aT =
Fcos
m
Resposta: alternativa d.
11. UNIVERSIDADE DO ESPÍRITO
SANTO — Uma força F de 
intensidade igual a 3 N atua 
sobre os blocos 1 e 2 que 
se movem sobre um plano 
sem atrito. Sendo mi = 1 kg 
e ma — 2 kg, qual o valor da 
força que o bloco 1 faz sobre 
o bloco 2?
a) 3N
b) 2 N
c) 1 N
d) A N
e) ON
Resolução: O esquema de forças que agem nos blocos 1 e 2 está indi­
cado abaixo:
83
Vamos aplicar o Princípio Fundamental da Dinâmica a cada bloco 
separadamente:
R = my
Direção perpendicular ao movimento — Como o movimento dos blocos 
é retilíneo, a resultante centrípeta é nula cm cada um deles. Isto signi­
fica que na direção perpendicular ao movimento as forças peso e 
normal se equilibram em cada bloco, tendo, portanto, a mesma inten­
sidade.
Logo: bloco 1 = > N t = P j; bloco 2 = $ N V = P̂ *.
Direção do movimento — O movimento será retilíneo e acelerado. 
Logo, a intensidade da resultante tangencial cm cada bloco pode ser 
escrita como segue:
bloco I : Rj = m:aT = > F — f = mito (I) 
bloco 2: R_. = m sto=> f ~ m2aT (II)
Resolvendo o sistema formado pelas equações I e II, temos: 
(1) F nijto'1 
(11) / = maaT í J
F = (nu 4- m_.)aT = >
3 — (1 4 2)aT ==> a-r = 1 m /s2
Substituindo, por exemplo, na equação II ar por 1 m /s2, temos:
f = m2ar —> 
f = 2 . 1 = >
Resposta: alternativa b.
12. CESCEA — Dois corpos A e B (mA = 2 kg: mB — 1 kg) estão presos 
por uma corda inextensível e sem massa. Puxa-se o sistema com 
uma força F = 6N, conforme mostra a figura.
Qual a aceleração a do sistema? (Suponha o atrito desprezível.)
a) a = 2 m /s2 d) a — 5 m /s2
b) a = 3 m /s2 e) a = 6 m /s2
c) a = 4 m /s2
84
Resolução. O esquema de forças que agem nos corpos A e B está indi 
cado na figura apresentada a seguir:
►NA a
_ _
A
_ _ _ — 
r T
B
F
L J
Pa P«
Vamos aplicar o Princípio Fundamental da Dinâmica a cada corpo 
separadamente:
—> —►
R = my
Direção perpendicular ao movimento — Como o movimento dos corpos 
ó retilíneo, a resultante centrípeta é nula em cada um deles. Isto sig­
nifica que na direção perpendicular ao movimento as forças peso c nor­
mal se equilibram cm cada corpo, tendo, portanto, a mesma intensidade. 
Logo: corpo A NA = PA; corpo B — Pn-
Direção do movimento — O movimento será retilíneo e acelerado.
Logo, a intensidade da resultante tangencial, cm cada corpo, pode ser
escrita da seguinte forma:
corpo A: RA = mAa = > T = mAa (I)
corpo B: R B — mi{a F — T = m»a (II)
Resolvendo o sistema formado pelas equações 1 e II temos:
(I) ? = nua 1
(II) F — df— mBa J u ’
F = (mA -f- mB)a ==>__________
6 = (2 -t- l)a = > | a — 2 m /s - |
Observação: Sc considerarm os o s is tem a fo rm ado pe los do is b locos, podem os 
escreve r:
F 5
F — (mA + m3 )a ■=> a — ----------------- = ----------- = > a = 2 m /s-
mA + mn 2 + 1
Resposta: alternativa a
13. MEDICINA DE ITAJUBÁ —
A figura apresentada ao 
lado mostra um corpo com 
massa igual a 70 kg. sobre 
uma mesa horizontal, ligado 
por uma corda a um segundo 
corpo com massa igual a 50 
kg. Sabendo que a massa 
da corda é desprezível, bem 
como todas as forças de 
atrito, indique o valor da 
aceleração do corpo de massa igual a
a) 9,8 m /s2 c) 4.1 m /s2
b) 10.0 m/s- d) 0,0 m /s2
50 kg. Adote g — 10 m /s2.
e) 6.9 m /s2
Resolução: O esquema de for­
ças agentes em cada corpo está 
indicado ao lado.
Vamos aplicar o Princípio 
Fundamental da Dinâmica a 
cada corpo do sistema:
—> —>
R = my
Direção perpendicular ao mo­
vimento — O movimento do 
corpo A c retilíneo e horizon­
tal, e o movimento do corpo 
B é retilíneo e vertical.
Assim sendo, a resultante centrípeta c nula em cada corpo. Isto signi­
fica que na direção perpendicular ao movimento do corpo A as forças 
peso e normal se equilibram, tendo, portanto, mesma intensidade. 
Logo: corpo A = > NA = PA.
Direção do mosinicnto — Os movimentos dos corpos serão 
c acelerados. Logo, a intensidade da resultante tangencial, 
corpo, pode ser escrita da seguinte forma: 
corpo A: RA _ m AaT = > T = mAaT (I) 
corpo B: R B — mBaT = > P B — T = m„aT (II)
Resolvendo o sistema formado pelas equações I c II temos:
(I) Í = mAaT 
(II) P„ — ' / = m8aT (+ )
retilíneos 
cm cada
P„ = (mA - f mn)aT = > 
mBg = (mA -f mB)aT 
50 . 10 = (70 + 50)aT = > a-i % 4,17 m/s2
ê interessante notar que as intensidades de aceleração dos dois corpos 
são iguais, pois admitimos que a corda que os interliga é inextensível. 
Resposta: alternativa c.
14. MEDICINA DE BRAGANÇA — Um homem de 70 kg está no interior 
de um elevador que possui aceleração ascensional de 3 m /s2. A 
força exercida pelo homem no piso do elevador é de aproximada­
mente:
a) 210 kgf.
b) 91 kgf.
c) 21 kgf.
d) 140 kgf.
e) Nenhuma das respostas anteriores.
Resolução: Examinemos o esquema de forças agentes no homem:
íi bom que fique claro que a força exercida pelo homem no piso do 
elevador é a força normal, dc intensidade N, e não o peso, que é sempre 
uma força trocada com a Terra.
Aplicando o Princípio Fundamental