Lista3 Conicas

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro - UFRRJ
Instituto de Ciências Exatas - ICE
Departamento de Matemática - DEMAT
Professor: Renan Teixeira
Cálculo II - Lista 3 - Cônicas
1. Determine a equação geral da circunferência que tem centro sobre o eixo Ox e na qual uma de
suas cordas tem por extremo os pontos A(6,4) e B(3,-5).
R.: x2 + y2 − 6x− 16 = 0
2. Escrever a equação geral da circunferência que passa pelos pontos A(0,1), B(1,2) e C(1,8).
R.: x2 + y2 + 6x− 10y + 9 = 0
3. Um satélite em órbita elíptica e excentricidade
3
1
, viaja ao redor da Terra, situada num dos
focos da trajetória do satélite. Sabendo-se que a distância mais próxima do satélite a Terra é
de 300 Km, calcular a maior distância.
R.: 600km
4. Mostre que a equação 4x2−y2 = E, sendo E ∈ IR e E 6= 0, representa uma família de hipérboles
de excentricidade constante igual a
√
5.
5. Determine o parâmetro, o foco, o vértice e a reta diretriz da parábola de equação y2 = 12x.
R.: p = 6, V (0, 0), F (3, 0) e x = −3
6. Determine o parâmetro, o foco, o vértice e a reta diretriz da parábola de equação y = −x2 +
2x+ 3.
R.: p =
1
2
, V (1, 4), F (1,
15
4
) e y =
17
4
7. Determine a equação geral e esboce o gráfico da cônica dada. Faça também um esboço com os
principais elementos identificados nas equações das cônicas.
a) (x− 3)2 = 4 (y − 1)
b) (x+ 1)2 = 6y
c) (y − 3)2 = 10 (x− 9)
d) (y + 9)2 = −4 (x+ 5)
e)
(x− 2)2
16
+
(y − 2)2
25
= 1
1
f)
(x+ 1)2
20
+
(y − 1)2
36
= 1
g)
x2
36
+
(y − 2)2
27
= 1
h)
y2
4
− x
2
16
= 1
8. Identifique e escreva a equação reduzida das cônicas dada na forma geral:
a) x2 − 10x+ 2y + 23 = 0
b) x2 + 4x+ 4y2 + 8y + 4 = 0
c) y2 − 8y + 9x+ 16 = 0
d) 5y2 − 6x− 3x2 − 10y − 13 = 0
e) 9x2 − 18y2 + 24y − 26 = 0
f) 3x2 − 12x+ 2y2 + 8y + 14 = 0
9. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da parábola a partir dos elementos dados:
a) foco F(3,4) e diretriz d : x− 1 = 0;
b) foco F(-1,1) e vértice V(0,0);
c) vértice V(1,2), eixo focal paralelo a OX e P(-1,6) é um ponto do seu gráfico;
d) eixo focal paralelo a OY e os pontos P(0,0), Q(1,-3) e R(-4,-8) pertencem ao seu gráfico;
e) eixo focal e.f : y − 5 = 0, diretriz d : x− 3 = 0 e vértices sobre a reta r : y = 2x+ 3;
f) foco F(0,2) e vértice V(1,1);
10. Em cada um dos seguintes itens, determine a equação da elipse a partir dos elementos dados:
a) focos F1(3, 8) e F2(3, 2), e comprimento do eixo maior igual a 10;
b) vértices V1(5,−1) e V2(−3,−1), e excentricidade e = 34 ;
c) centro C(−1,−1), vértices V (5,−1) e excentricidade e = 2
3
;
d) centro C(1, 2), foco F (6, 2) e P (4, 6) é um ponto da elipse;
2