Elipse ENIAC

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Elipse
APRESENTAÇÃO
A elipse pode ser obtida pela intersecção de uma superfície cônica com um plano secante não 
perpendicular ao eixo, em paralelo a uma geratriz e que intercepta uma única folha da superfície 
cônica. Essa é uma seção cônica que também tem aplicação prática; por exemplo: ao estudar a 
órbita dos planetas ao redor do Sol, percebe-se que ela é elíptica. 
Para que você possa acompanhar adequadamente esta unidade, é necessário que você retome os 
conceitos de seções cônicas, de Álgebra e de Trigonometria. 
Nesta Unidade de Aprendizagem você aprenderá conceitos específicos desse tipo de cônica, 
além de estudar suas equações e representações gráficas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir elipse e associá-la à sua equação.•
Descrever uma elipse pelos seus elementos.•
Diferenciar as elipses com eixo maior na vertical e daquelas com eixo maior na horizontal 
a partir de sua equação.
•
DESAFIO
A cônica elipse pode ser definida da seguinte maneira: dados dois pontos quaisquer do plano F1 
e F2, e sendo 2c a distância entre eles, então, a elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja 
soma das distâncias a F1 e F2 é a constante 2a (2a > 2c).
É possível observar elipses na Terra, pois ela descreve uma trajetória elíptica em torno do Sol, 
que é um dos focos dessa trajetória. A Lua em torno da Terra, bem como os demais satélites em 
relação aos seus respectivos planetas, também apresentam esse comportamento.
Utilize os conceitos e os exemplos aprendindo nesta Unidade de Aprendizagem para resolver 
este Desafio.
INFOGRÁFICO
A excentricidade é responsável por determinar a forma da elipse – se ela será mais achatada ou 
mais circular –, podendo variar entre zero e um.
Neste Infográfico, você vai conhecer a fórmula da excentricidade, além de visualizar uma 
representação associada à órbita dos planetas. 
 
CONTEÚDO DO LIVRO
As elipses são chamadas de cônicas porque se configuram pelo corte feito em um cone circular 
reto por um plano oblíquo em relação à sua base. Essa cônica tem dois focos, que, no caso do 
círculo, são sobrepostos. O segmento de reta que passa pelos dois focos é chamado de eixo 
maior, e o segmento de reta que passa pelo ponto médio do eixo maior e perpendicular a ele 
denomina-se eixo menor. As elipses têm características, elementos e equações específicas.
No capítulo Elipse, da obra Geometria Analítica, você vai aprofundar o estudo das seções 
cônicas com uma análise direcionada às elipses. Ainda, você verá as representações gráficas das 
elipses, além de aprender a encontrar seus elementos.
Boa leitura. 
 
GEOMETRIA 
ANALÍTICA
Cristiane da Silva 
Elipse
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Identificar a elipse, suas características e sua equação.
 � Descrever uma elipse por seus elementos.
 � Diferenciar elipses com eixo maior na vertical e com eixo maior na 
horizontal, a partir de sua equação.
Introdução
Neste capítulo, você aprofundará o estudo das seções cônicas, especifi-
camente da elipse. Estudaremos sua definição, representação gráfica e 
elementos que a compõem; ao longo do capítulo também são destacadas 
as diferentes notações conforme o referencial teórico consultado.
Busca-se aprofundar os conteúdos sobre as seções cônicas para que 
você compreenda as elipses, fazendo associações com suas equações.
O que é elipse?
Podemos definir elipse como o conjunto de todos os pontos de um plano 
cuja soma das distâncias a dois pontos fixos, chamados focos, desse plano é 
constante (WINTERLE, 2014). A Figura 1 ilustra uma elipse em sua definição.
Figura 1. Elipse.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
P
F1 F2
Considerando no plano dois pontos distintos, F1 e F2, tal que a distância 
d(F1,F2) = 2c, e um número real positivo a com 2a > 2c. Chamando de 2a 
a constante da definição, um ponto P pertence à elipse se, e somente se, 
d(P,F1) + d(P,F2) = 2a.
Veja na Figura 2 como podemos construir uma elipse no papel.
P
F1 F2
Figura 2. Elaboração de elipse no papel.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
Elipse2
Fixam-se dois pontos em pontos arbitrários F1 e F2, amarrando-se neles as extremi-
dades de um fio não esticado. Um lápis que deixa o fio distendido marca o ponto P. 
Se fizermos o lápis deslizar sobre o papel, mantendo o fio sempre distendido, a ponta 
descreverá a elipse e, portanto, para todo o ponto P da elipse, a soma das distâncias 
d(P,F1) e d(P,F2) será sempre igual ao comprimento do fio, ou seja, um valor constante, 
que, na definição, foi denominado 2a.
Se variarmos as posições de F1 e F2 mantendo fixo o comprimento do fio, a forma 
da elipse irá variar. Assim, quanto mais afastados um do outro estiverem os pontos F1 
e F2, tanto mais “achatada” é a forma da elipse. Por outro lado, se d(F1,F2) está próximo 
de zero, a elipse é quase circular, e, no caso de F1 = F2, temos a circunferência de 
centro F1 e raio a.
Equação da elipse
Vamos estudar a equação da elipse analisando um gráfico, como mostra a 
Figura 3. Nessa ilustração, o eixo maior da elipse está sobre o eixo x e o eixo 
menor está sobre o eixo y. O centro da elipse é denominado O (alguns autores 
utilizam C para o centro da elipse) que, nesse caso, é o ponto de coordenadas 
(0,0) (LEITE; CASTANHEIRA, 2017). 
Figura 3. Eixos da elipse sobre os eixos cartesianos.
Fonte: Adaptada de Leite e Castanheira (2017).
F1 F2O
b
y
a x
P
3Elipse
Temos que, se o eixo maior da elipse mede 2a, então a distância do centro 
à intersecção da elipse com o eixo x mede a (semieixo maior). Se o eixo menor 
da elipse mede 2b, então a distância do centro à intersecção da elipse com o 
eixo y mede b (semieixo menor). Além disso, a soma das distâncias de um 
ponto P(x,y) qualquer da elipse até os focos F1 e F2 é constante e igual a 2a. 
Ou seja, uma elipse é o conjunto dos pontos de um plano tal que PF1 + PF2 
= 2a. Se a distância do centro da elipse aos focos medir c, então o ponto F1 
tem coordenadas (–c,0) e o ponto F2 tem coordenadas (c,0) (LEITE; CASTA-
NHEIRA, 2017, p. 112). 
Leite e Castanheira (2017) deduzem as fórmulas da elipse detalhadamente. 
Sabe-se que a distância entre dois pontos P1(x1,y1) e P2(x2,y2) é dada pela 
seguinte fórmula:
Então, a distância entre os pontos P e F1 é:
E a distância entre os pontos P e F2 é:
Como PF1 + PF2 = 2a, temos:
Elipse4
Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado:
Dividindo os dois lados da igualdade por 4:
Elevando os dois lados da igualdade ao quadrado:
Sabemos que a2 = b2 + c2, ou seja, b2 = a2 – c2. Assim,
b2x2 + a2y2 = a2b2
5Elipse
Ou ainda:
Essa é a forma reduzida da equação de uma elipse cujo centro está na 
origem dos eixos cartesianos e cujo eixo focal é o eixo horizontal. Lembre-se 
de que o ponto P(x,y) pertence à elipse, e que a > c ≥ 0. Caso o eixo focal da 
elipse esteja sobre o eixo vertical, a equação da elipse será:
Elementos 
Vamos conhecer agora os elementos e as medidas de uma elipse. Observe a 
Figura 4.
Figura 4. (a) Elementos da elipse. (b) Medidas a, b e c.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009).
V1 V2F1 C
P1
P2
F2
V1 V2F1 C F2
c c
b
b
a a
(a) (b)
 � Focos: pontos F1 e F2.
 � Eixo maior: segmento de reta V1V2 que passa pelos focos.
 � Vértices: pontos V1 e V2. Os vértices são as extremidades do eixo maior.
 � Centro: ponto C. O centro é o ponto médio dos focos e também dos 
vértices.
Elipse6
 � Eixo menor: segmento de reta P1P2 que passa pelo centro e é perpen-
dicular ao eixo maior.
Como vemos na Figura 4b, no estudo da elipse adotamos as seguintes con-
venções para suas medidas (a, b e c são números reais positivos, a > b e a > c):
 � Distância entre os vértices (comprimento do eixo maior): |V1V2| = 2a.
 � Comprimento do eixo menor: |P1P2| = 2b.
 � Distância entre os focos (distância focal): |F1F2| = 2c.
Leite e Castanheira (2017) apresentam os elementos da elipse em uma 
notação um pouco diferente,como visto na Figura 5. Aproveite essa seção 
para aprofundar também os conhecimentos sobre relações entre os eixos e a 
distância focal, e a excentricidade da elipse.
C
B1
F1 OA1
d1 d2
B2
2 . c
2 . b
2 . a
F2
A2
Figura 5. Elementos da elipse.
Fonte: Adaptada de Leite e Castanheira (2017).
 � F1 e F2 são os focos da elipse.
 � A1,A2,B1,B2 são os vértices da elipse.
 � O é o centro da elipse e também o ponto médio de F1F2.
7Elipse
 � A1 A2 é o eixo maior da elipse: A1 A2 = 2a.
 � B1 B2 é o eixo menor da elipse: B1 B2 = 2b.
 � F1 F2 é a distância focal: F1 F2 = 2c.
 � CF1 e CF2 são os raios vetores (segmento com origem em um dos focos e extremi-
dade em um ponto da curva):
 
d1 + d2 = 2a
Para estudarmos as relações entre os eixos e a distância focal, observe a Figura 6.
C
B1
F1 OA1
aa b
B2
F2
A2
Figura 6. Relação entre os eixos da elipse.
Fonte: Adaptada de Leite e Castanheira (2017).
Vamos aplicar o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo F1OB1, sendo OB1 o 
semieixo menor da elipse, e F1O a semidistância focal. Pela aplicação do teorema de 
Pitágoras, temos:
a2 = b2 + c2
Também é relevante compreender a excentricidade, representada por e, que constitui 
a relação entre a distância focal e o eixo maior da elipse, ou seja: 
e = c
a
Sabemos que c < a. Então: 0 < e < 1. Como a2 = b2 + c2, c = √a2 – b2. Então: 
e =
√a2 – b2
a
Elipse8
Eixos das elipses
Nesta seção, vamos estudar a elipse sob duas perspectivas:
1. com centro na origem e eixo maior horizontal;
2. com centro na origem e eixo maior na vertical. 
Na primeira seção, quando vimos a equação da elipse, detalhamos essa 
primeira perspectiva, portanto, vamos detalhar aqui a segunda.
Centro da origem e eixo maior horizontal
Vimos que, quando a elipse tem centro na origem e eixo maior horizontal, 
como mostra a Figura 7, sua equação reduzida será: 
Figura 7. Elipse de eixo maior horizontal e centro na origem.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009).
(0, 0)F1(–c, 0)V1(–a, 0) F2(c, 0) V2(a, 0)
P2(0, –b)
P1(0, b) P(x, y)
P1
F1 F2
a ab
c c
a2 = b2 + c2
9Elipse
Vejamos um exemplo em que a elipse tem centro na origem e eixo maior 
horizontal.
Determine a equação da elipse de centro na origem, eixo maior horizontal de com-
primento 10 e eixo menor de comprimento 6.
Temos que 2a = 10 ∴ a = 5 e 2b = 6 ∴ b = 3. Assim, a equação dessa elipse é:
Como a2 = b2 + c2, e lembrando que a, b e c são sempre positivos, temos:
25 = 9 + c2 ∴ c2 = 16 ∴ c = 4
A Figura 8 exibe os vértices, os focos e as extremidades do eixo menor dessa elipse.
V1(–5, 0) V2(5, 0)F1(–4, 0) F2(4, 0)
P1(0, 3)
P2(0, –3)
Figura 8. Elipse . 
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009).
Centro da origem e eixo maior vertical
Agora vamos estudar uma elipse de eixo maior vertical de comprimento 2a e 
centro na origem como mostra a Figura 9.
Elipse10
Figura 9. Elipse de eixo maior vertical e centro na origem.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009).
V1(0, a)
V2(0, –a)
F1(0, c)
F2(0, –c)
(0, 0)
P1(b, 0)P2(–b, 0)
P(x, y)
Analisando a Figura 9, temos que:
 � os vértices são os pontos V1(0,a) e V2(0,–a);
 � os focos são os pontos F1(0,c) e F2(0,–c);
 � as extremidades do eixo menor são os pontos P1(b,0) e P2(–b,0).
Procedendo de modo análogo ao caso de elipse com eixo maior horizontal, 
usando a definição de elipse como lugar geométrico, a equação reduzida da 
elipse da Figura 9 é dada por:
11Elipse
Devemos observar que, se a elipse possui eixo maior horizontal, então a 
constante a (que é a medida do semieixo maior) ocorre no denominador da 
variável x. Por outro lado, se a elipse possui eixo maior vertical, a constante 
a ocorre no denominador da variável y. Vejamos um exemplo em que a elipse 
tem centro na origem e eixo maior vertical.
Consideremos a elipse de equação 25x2 + 9y2 = 225. Sua equação reduzida é obtida 
dividindo todos os seus termos por 225, de modo que o membro direito seja 1. Logo:
Pela equação reduzida, observamos que a = 5 e b = 3. Logo, essa elipse possui eixo 
maior de comprimento 2a = 10 e eixo menor de comprimento 2b = 6. Além disso, o 
eixo maior é vertical.
Como a2 = b2 + c2, temos 25 = 9 + c2 ∴ c2 = 16 ∴ c = 4; logo, a distância focal 
vale 2c = 8. A Figura 10 exibe os vértices, os focos e as extremidades do eixo menor 
dessa elipse.
V1(0, 5)
V2(0, –5)
F1(0, 4)
F2(0, –4)
P1(3, 0)P2(–3, 0)
Figura 10. Elipse .
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009).
Elipse12
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria analítica em espaços de duas e três dimensões. 
Curitiba: InterSaberes, 2017.
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.
13Elipse
DICA DO PROFESSOR
A elipse é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos 
fixos desse plano, chamados de focos, é constante.
Nesta Dica do Professor, você verá, passo a passo, dois problemas envolvendo os elementos da 
cônica elipse.
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EXERCÍCIOS
1) 
Sendo a equação reduzida da elipse: Determine as 
coordenadas do seu centro e o comprimento dos eixos maior e menor.
A) C(-1,-2). Eixo maior = 5; eixo menor = 3.
B) C(1,2). Eixo maior = 10; eixo menor = 6.
C) C(1,2). Eixo maior = 5; eixo menor = 3.
D) C(-1,-2). Eixo maior = 10; eixo menor = 3.
E) C(1,2). Eixo maior = 25; eixo menor = 9.
2) Determine as coordenadas dos focos da elipse 4x2 + 9y2 = 36.
A) F1 (-√5,0) e F2 (√5,0).
B) F1 (9,4) e F2 (3,2).
C) F1 (9,0) e F2 (3,0).
D) F1 (-5,0) e F2 (5,0).
E) F1 (√5,2) e F2 (-√5,4).
3) 
Considere um ponto P da elipse que dista 2 de um dos focos. Nesse 
contexto, é correto afirmar que a distância de P ao outro foco da elipse é:
A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
E) 7.
4) Considere uma elipse que tenha distância focal igual a 8 e eixo maior (sobre o eixo x) 
igual a 10. A equação dessa elipse será:
A) 
 
B) 
 
C) 
D) 
 
E) 
 
5) Determine as coordenadas dos focos da elipse de equação 9x2 + 16y2 - 144 = 0.
A) F1 (-7,0); F2 (7,0).
B) F1 (0,-9); F2 (0,9).
C) F1 (-4,0); F2 (4,0).
D) F1 (-√3,0); F2 (√3,0).
E) F1 (-√7,0); F2 (√7,0).
NA PRÁTICA
Embora a cônica elipse não pareça simples quando associamos à vida real, se pensarmos na 
órbita dos planetas, por exemplo, é possível perceber a sua relevância.
Elucide essa questão Na Prática.
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SAIBA MAIS
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Elipse - Cônicas
Acompanhe, neste vídeo, uma explicação sobre o fato das seções serem chamadas de cônicas; 
em seguida, a partir de ilustrações, você vai aprender a obter uma elipse partindo de uma secção 
cônica.
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Como encontrar a equação reduzia a partir da equação normal?
Neste vídeo, você encontra a resolução detalhada, com explicação e lembretes importantes para 
encontrar a equação reduzida de uma elipse. A equação dada, inicialmente, é extensa e não está 
no formato da equação da elipse; as manipulações algébricas também ajudarão você a retomar 
algumas operações matemáticas básicas.
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Cônicas: equação da elipse
Neste vídeo, você retomará os estudos sobre elipse;ele aborda a definição da elipse com a ajuda 
da representação gráfica, além de tratar da equação geral de uma elipse.
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Lista de exercícios
Para aprender Elipse, é importante que você treine fazendo diversos exercícios. Para tanto, baixe 
a lista de exercícios a seguir e resolva as questões.
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