Capítulo 23

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Capítulo 23: Lei de Gauss
• Um dos principais objetivos da física é descobrir formas simples de resolver 
problemas aparentemente complexos. Um dos instrumentos usados pela física 
para conseguir esse objetivo é a simetria. Neste capítulo, discutimos uma bela 
relação entre carga e campo elétrico que nos permite, em certas situações de alta 
simetria, calcular o campo elétrico produzido por objetos macroscópicos usando 
poucas equações algébricas. Essa relação é chamada de lei de Gauss e foi 
descoberta pelo matemático e físico Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Fluxo elétrico
• A Fig. 23-1 mostra uma partícula de carga +Q cercada por 
uma esfera imaginária cujo centro é a posição da partícula. 
Em todos os pontos da esfera (chamada de superfície 
gaussiana) os vetores do campo elétrico têm o mesmo 
módulo (dado por E = kQ/r2) e apontam radialmente para 
longe da partícula (porque a partícula é positiva). As linhas 
de campo elétrico também apontam para longe da partícula 
e têm a mesma densidade (já que, como vimos no Capítulo 
22, a densidade de linha de campo elétrico é proporcional ao 
módulo do campo elétrico). Dizemos que os vetores do 
campo elétrico e as linhas de campo elétrico atravessam a 
superfície.
• A Fig. 23-2 é igual à Fig. 23-1, exceto pelo fato de que a carga 
da partícula é +2Q. Como a carga envolvida é duas vezes 
maior, o módulo dos vetores do campo elétrico que 
atravessam a (mesma) superfície gaussiana é duas vezes 
maior que na Fig. 23-1, e a densidade das linhas de campo 
elétrico também é duas vezes maior. Foram observações 
como essa que levaram à lei de Gauss.
• Vamos examinar um terceiro exemplo, 
mostrado na Fig. 23-3, em que uma partícula 
está no centro da mesma superfície gaussiana 
esférica. Quais são o sinal e o valor absoluto 
da carga? Como os vetores do campo elétrico 
apontam para a partícula, sabemos que a 
carga da partícula é negativa. Além disso, 
como o comprimento dos vetores é metade 
do comprimento dos vetores da Fig. 23-1, 
concluímos que o valor absoluto da carga é 
0,5Q.
• A lei de Gauss relaciona os campos elétricos 
nos pontos de uma superfície gaussiana 
(fechada) à carga total envolvida pela 
superfície.
• Os problemas discutidos neste capítulo são de 
dois tipos. Nos problemas do primeiro tipo, 
conhecemos a carga e usamos a lei de Gauss 
para determinar o campo elétrico em um 
dado ponto; nos do segundo tipo, 
conhecemos o campo elétrico em uma 
superfície gaussiana e usamos a lei de Gauss 
para determinar a carga envolvida pela 
superfície.
• Começamos com uma superfície plana, de área A, em uma região onde existe um campo elétrico 
uniforme. A Fig. 23-4a mostra um dos vetores de campo elétrico atravessando um pequeno 
quadrado de área ΔA (em que Δ significa “pequeno”). Na verdade, apenas a componente x (de 
módulo Ex = E cos θ na Fig. 23-4b) atravessa a superfície. A componente y é paralela à superfície e 
não aparece na lei de Gauss. A quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície é 
chamada de fluxo elétrico ΔΦ e é dada pelo produto do campo que atravessa a superfície pela 
área envolvida:
ΔΦ = (E cos θ) ΔA
• Para relacionar o fluxo à carga usando a lei de 
Gauss, precisamos de uma superfície fechada. 
Vamos usar a superfície fechada da Fig. 23-5, 
que está submetida a um campo elétrico não 
uniforme. Como antes, vamos começar pelo 
fluxo através de pequenos quadrados. Agora, 
porém, estamos interessados, não só em 
saber se as componentes do campo elétrico 
atravessam a superfície, mas também se elas 
atravessam a superfície de dentro para fora 
(como na Fig. 23-1), ou de fora para dentro 
(como na Fig. 23-3).
• Se o sentido do campo elétrico é para fora da 
superfície, o fluxo é positivo; se o sentido do 
campo elétrico é para dentro da superfície, o 
fluxo é negativo; se o campo elétrico é 
paralelo à superfície, o fluxo é zero.
• Em princípio, para determinar o fluxo total através da superfície da Fig. 23-5, poderíamos calcular o 
fluxo através de pequenos quadrados e somar os resultados (levando em conta os sinais algébricos). 
Entretanto, não há necessidade de executar esse trabalho exaustivo. Em vez disso, podemos reduzir 
o tamanho dos pequenos quadrados até se tornarem áreas elementares d e calcular o resultado 
por integração:
• O círculo no sinal de integral indica que a integral deve se estender a toda a superfície fechada, já 
que estamos calculando o fluxo total através da superfície (o fluxo não precisa ser todo para fora ou 
todo para dentro da superfície; na Fig. 23-5, por exemplo, existem partes da superfície em que o 
fluxo é para dentro e outras partes em que o fluxo é para fora). Não se esqueça de que estamos 
interessados no fluxo total para podermos aplicar a lei de Gauss, que relaciona o fluxo total à carga 
envolvida pela superfície. (A lei será nossa próxima atração.) Note que o fluxo é uma grandeza 
escalar (é verdade que trabalhamos com vetores de campo elétrico, mas o fluxo é a quantidade de 
campo elétrico que atravessa a superfície, e não o campo em si). A unidade de fluxo do SI é o 
newton-metro quadrado por coulomb (N·m2/C).
Teste 1
• A figura mostra um cubo gaussiano, cujas faces têm área A, 
imerso em um campo elétrico uniforme orientado no sentido 
positivo do eixo z. Determine, em termos de E e A, o fluxo (a) 
através da face frontal do cubo (a face situada no plano xy), (b) 
através da face traseira, (c) através da face superior e (d) 
através do cubo como um todo.
Problema 3 (pág. 68)
• O cubo da Fig. 23-31 tem 1,40 m de aresta e está orientado da forma mostrada na figura 
em uma região onde existe um campo elétrico uniforme. Determine o fluxo elétrico 
através da face direita do cubo se o campo elétrico, em newtons por coulomb, é dado por 
(a) 6,00î, (b) –2,00ĵ e (c) –3,00î + 4,00 . (d) Qual é o fluxo total através do cubo nos três 
casos?
Lei de Gauss
• A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ de um campo elétrico através 
de uma superfície fechada (superfície gaussiana) à carga total qenv
envolvida pela superfície. Em notação matemática:
• Usando a Eq. 23-4, a definição de fluxo, podemos escrever a lei de 
Gauss na forma:
• Vamos aplicar essas ideias à Fig. 23-8. 
• Superfície S1. O campo elétrico aponta para fora em todos os 
pontos da superfície. Isso significa que o fluxo do campo 
elétrico através da superfície é positivo e, de acordo com a 
lei de Gauss, a carga envolvida pela superfície também é 
positiva. (Em outras palavras, se Φ é positivo na Eq. 23-6, 
qenv deve ser positiva.)
• Superfície S2. O campo elétrico aponta para dentro em todos 
os pontos da superfície. Isso significa que o fluxo do campo 
elétrico é negativo e, de acordo com a lei de Gauss, a carga 
envolvida também é negativa.
• Superfície S3. De acordo com a lei de Gauss, como a 
superfície não envolve nenhuma carga, o fluxo do campo 
elétrico através da superfície é nulo. Isso é razoável, já que 
todas as linhas de campo que entram na superfície pela 
parte de cima saem pela parte de baixo.
• Superfície S4. A carga total envolvida pela superfície é nula, 
já que as cargas envolvidas pela superfície têm o mesmo 
valor absoluto e sinais opostos. Assim, de acordo com a lei 
de Gauss, o fluxo do campo elétrico através dessa superfície 
deve ser zero. Isso é razoável, já que o número de linhas de 
campo que entram na superfície pela parte de baixo é igual 
ao número de linhas de campo que saem pela parte de cima.
Teste 2
• A figura mostra três situações nas quais um cubo gaussiano está imerso em um 
campo elétrico. As setas e valores indicam a direção das linhas de campo e o 
módulo (em N · m2/C) do fluxo que atravessa as seis faces de cada cubo. (As setas 
mais claras estão associadas às faces ocultas.) Em que situação o cubo envolve (a) 
uma cargatotal positiva, (b) uma carga total negativa e (c) uma carga total nula?
Lei de Gauss e Lei de Coulomb
• A lei de Gauss pode ser usada para determinar o campo elétrico 
produzido por uma partícula carregada.
Teste 3
• Um fluxo Φi atravessa uma esfera gaussiana de raio r que envolve 
uma única partícula carregada. Suponha que a esfera gaussiana seja 
substituída (a) por uma esfera gaussiana maior, (b) por um cubo 
gaussiano de lado r e (c) por um cubo gaussiano de lado 2r. Em cada 
caso, o fluxo total através da nova superfície gaussiana é maior, 
menor ou igual a Φi?
Problema 5
• Na Fig. 23-33, um próton está uma distância d/2 do centro de um 
quadrado de aresta d. Qual é o módulo do fluxo elétrico através do 
quadrado? (Sugestão: Pense no quadrado como uma das faces de um 
cubo de aresta d.)
Problema 13
• Observa-se experimentalmente que o campo elétrico em uma região 
da atmosfera terrestre aponta verticalmente para baixo. A uma 
altitude de 300 m, o campo tem um módulo de 60,0 N/C; a uma 
altitude de 200 m, o módulo é 100 N/C. Determine a carga em 
excesso contida em um cubo com 100 m de aresta e faces horizontais 
a 200 e 300 m de altitude.
UM CONDUTOR CARREGADO
• A lei de Gauss permite demonstrar um teorema importante a respeito dos 
condutores:
Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor, a carga se 
concentra na superfície do condutor; o interior do condutor permanece 
neutro.
• Esse comportamento dos condutores é razoável, já que cargas do mesmo 
sinal se repelem. A ideia é que, ao se acumularem na superfície, as cargas 
em excesso se mantêm afastadas o máximo possível umas das outras. 
Podemos usar a lei de Gauss para demonstrar matematicamente essa 
afirmação.
• A Fig. 23-11a mostra uma vista em corte de um pedaço de 
cobre, pendurado por um fio isolante, com uma carga em 
excesso q. Colocamos uma superfície gaussiana logo abaixo da 
superfície do condutor.
• O campo elétrico no interior do condutor deve ser nulo; se não 
fosse assim, o campo exerceria uma força sobre os elétrons de 
condução (elétrons livres), que estão sempre presentes em um 
condutor, e isso produziria uma corrente elétrica. 
• (Um campo elétrico interno existe durante certo tempo, 
enquanto o condutor está sendo carregado. Entretanto, a carga 
adicional logo se distribui de tal forma que o campo elétrico 
interno se anula e as cargas param de se mover. Quando isso 
acontece, dizemos que as cargas estão em equilíbrio 
eletrostático.)
• Se 𝐸 é zero em todos os pontos do interior do pedaço de 
cobre, deve ser zero em todos os pontos da superfície 
gaussiana, já que a superfície escolhida, embora esteja próxima 
da superfície, fica no interior do pedaço de cobre. Isso significa 
que o fluxo que atravessa a superfície gaussiana também é 
zero. De acordo com a lei de Gauss, portanto, a carga total 
envolvida pela superfície de Gauss deve ser nula. Como o 
excesso de carga não está no interior da superfície de Gauss, só 
pode estar na superfície do condutor.
O Campo Elétrico Externo
• Vimos que as cargas em excesso de um condutor 
isolado se concentram na superfície do condutor. A 
menos que o condutor seja esférico, porém, essas 
cargas não se distribuem de modo uniforme. Em 
outras palavras, no caso de condutores não 
esféricos, a densidade superficial de carga σ (carga 
por unidade de área) varia ao longo da superfície. 
Em geral, essa variação torna muito difícil 
determinar o campo elétrico criado por cargas 
superficiais, a não ser nas proximidades da 
superfície, pois, nesse caso, o campo elétrico pode 
ser determinado com facilidade usando a lei de 
Gauss. Para isso, consideramos uma região da 
superfície suficientemente pequena para que 
possamos desprezar a curvatura e usamos um plano 
para representar a região. Em seguida, imaginamos 
um pequeno cilindro gaussiano engastado na 
superfície, como na Fig. 23-12: Uma das bases está 
do lado de dentro do condutor, a outra base está do 
lado de fora, e o eixo do cilindro é perpendicular à 
superfície do condutor.
• A carga qenv envolvida pela superfície gaussiana está na superfície do 
condutor e ocupa uma área A. Se σ é a carga por unidade de área, qenv
é igual a σA. Quando substituímos qenv por σA e Φ por EA, a lei de 
Gauss (Eq. 23-6) se torna, portanto:
• Problema 17: Uma esfera condutora uniformemente carregada com 
1,2 m de diâmetro possui uma densidade superficial de carga 8,1 
μC/m2. Determine (a) a carga da esfera e (b) o fluxo elétrico através 
da superfície da esfera.
• Problema 21: Um condutor possui uma carga de +10 × 10–6 C. No 
interior do condutor existe uma cavidade; no interior da cavidade está 
uma carga pontual q = +3,0 × 10–6 C. Determine a carga (a) da 
superfície da cavidade e (b) da superfície externa do condutor.
APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS: SIMETRIA CILÍNDRICA
• A Fig. 23-14 mostra uma parte de uma barra de plástico 
cilíndrica, de comprimento infinito, com uma densidade 
linear uniforme de carga positiva λ. Vamos obter uma 
expressão para o módulo do campo elétrico 𝐸 a uma 
distância r do eixo da barra, utilizando a lei de Gauss. 
• A distribuição de carga e a configuração do campo elétrico 
têm simetria cilíndrica. Para calcular o campo a uma 
distância r, envolvemos um trecho da barra com um 
cilindro gaussiano concêntrico, de raio r e altura h. (Para 
determinar o campo elétrico em um ponto, devemos fazer 
a superfície gaussiana passar por esse ponto.) Em seguida, 
usamos a lei de Gauss para relacionar a carga envolvida 
pelo cilindro ao fluxo total do campo elétrico através da 
superfície do cilindro
A mulher da Fig. 23-15 estava em uma plataforma de observação do Sequoia National Park quando uma 
grande nuvem de tempestade passou no céu. Muitos elétrons de condução do corpo da mulher foram 
repelidos para a terra pela base da nuvem, negativamente carregada, o que deixou o corpo da mulher 
positivamente carregado
Pergunta 7
• A Fig. 23-26 mostra as seções retas 
de quatro conjuntos de barras finas 
e muito compridas, 
perpendiculares ao plano da figura. 
O valor abaixo de cada barra indica 
a densidade linear uniforme de 
carga da barra, em microcoulombs
por metro. As barras estão 
separadas por distâncias d ou 2d, e 
um ponto central é mostrado a 
meio caminho entre as barras 
internas. Coloque os conjuntos em 
ordem decrescente do módulo do 
campo elétrico no ponto central.
Problema 31
• Duas cascas cilíndricas longas, carregadas, coaxiais, de paredes finas, 
têm 3,0 e 6,0 m de raio. A carga por unidade de comprimento é 5,0 ×
10–6 C/m na casca interna e –7,0 × 10–6 C/m na casca externa. 
Determine (a) o módulo E e (b) o sentido (para dentro ou para fora) 
do campo elétrico a uma distância radial r = 4,0 cm. Determine (c) o 
módulo E e (d) o sentido do campo elétrico para r = 8,0 cm.
Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Planar
Placa Isolante: A Fig. 23-17 mostra uma parte de uma placa fina, infinita, isolante, com 
uma densidade superficial de carga positiva σ. Uma folha de plástico, com uma das 
superfícies uniformemente carregada, pode ser um bom modelo. Vamos calcular o campo 
elétrico a uma distância r da placa.
• Duas Placas Condutoras: A Fig. 23-18a mostra uma vista de perfil de uma placa 
condutora fina, infinita, com um excesso de carga positiva. Como vimos no 
Módulo 23-3, a carga em excesso está na superfície da placa. Como a placa é fina 
e muito extensa, podemos supor que praticamente toda a carga em excesso está 
nas duas faces maiores da placa.
Problema 33
• Na Fig. 23-44, duas placas finas, 
condutoras, de grande extensão, são 
mantidas paralelas a uma pequena 
distância uma da outra. Nas faces 
internas, as placas têm densidades 
superficiais de carga de sinais opostos 
e valor absoluto 7,00 × 10–22 C/m2. 
Determineo campo elétrico, na 
notação dos vetores unitários, (a) à 
esquerda das placas, (b) à direita das 
placas e (c) entre as placas
Problema 39
• Na Fig. 23-49, uma pequena esfera 
isolante, de massa m = 1,0 mg e carga q = 
2,0 × 10–8 C (distribuída uniformemente 
em todo o volume), está pendurada em 
um fio isolante que faz um ângulo θ = 
30o com uma placa vertical, isolante, 
uniformemente carregada (vista em 
seção reta). Considerando a força 
gravitacional a que a esfera está 
submetida e supondo que a placa possui 
uma grande extensão, calcule a 
densidade superficial de carga σ da 
placa.
Aplicações da Lei de Gauss: Simetria Esférica
• A Fig. 23-20 mostra uma casca esférica 
carregada, de raio R, com uma carga total q e 
duas superfícies gaussianas concêntricas, S1 e 
S2. Quando usamos o método do Módulo 23-2 
e aplicamos a lei de Gauss à superfície S2, para 
a qual r ≥ R, o resultado é o seguinte:
• Uma partícula carregada situada do lado de 
fora de uma casca esférica com uma 
distribuição uniforme de carga é atraída ou 
repelida como se toda a carga estivesse 
situada no centro da casca.
• Aplicando a lei de Gauss à superfície S1, para a qual r < R, obtemos:
já que a superfície S1 não envolve nenhuma carga. Assim, se existe uma 
partícula carregada no interior da casca, a casca não exerce nenhuma 
força sobre a partícula. Fica assim demonstrado o segundo teorema 
das cascas:
• Uma partícula carregada situada no interior de uma casca esférica 
com uma distribuição uniforme de carga não é atraída nem repelida 
pela casca.
• Toda distribuição de carga esfericamente 
simétrica, como a distribuição de raio R e 
densidade volumétrica de carga ρ da Fig. 23-
21, pode ser substituída por um conjunto de 
cascas esféricas concêntricas. Para fins de 
aplicação dos dois teoremas das cascas, a 
densidade volumétrica de carga ρ deve ter um 
valor único para cada casca, mas não precisa 
ser a mesma para todas as cascas. Assim, para 
a distribuição de carga como um todo, ρ pode 
variar, mas apenas em função de r, a distância 
radial a partir do centro de curvatura. 
Podemos, portanto, caso seja necessário, 
examinar o efeito da distribuição de carga 
“camada por camada”.
Teste 4
• A figura mostra duas placas de grande extensão, paralelas, isolantes, 
com densidades superficiais de carga iguais, uniformes e positivas, e 
uma esfera com uma densidade volumétrica de carga uniforme e 
positiva. Coloque em ordem decrescente os quatro pontos 
numerados, de acordo com o módulo do campo elétrico existente no 
local.
Pergunta 9
• Uma pequena esfera carregada está no interior de uma casca esférica 
metálica, de raio R. Para três situações, as cargas da esfera e da casca, 
respectivamente, são (1) +4q, 0; (2) –6q, +10q; (3) +16q, –12q. 
Coloque as situações em ordem decrescente, de acordo com a carga 
(a) da superfície interna da casca e (b) da superfície externa da casca.
Problema 49
• Na Fig. 23-54, uma esfera maciça, 
de raio a = 2,00 cm, é concêntrica 
com uma casca esférica condutora 
de raio interno b = 2,00a e raio 
externo c = 2,40a. A esfera possui 
carga uniforme q1 = +5,00 fC, e a 
casca, uma carga q2 = –q1. 
Determine o módulo do campo 
elétrico (a) em r = 0, (b) em r = 
a/2,00, (c) em r = a, (d) em r = 
1,50a, (e) em r = 2,30a e (f) em r = 
3,50a. Determine a carga (g) na 
superfície interna e (h) na 
superfície externa da casca.
Problema 81
• Uma esfera isolante tem uma densidade de carga uniforme. 
Determine, em termos do raio R da esfera, a que distância do centro 
o módulo do campo elétrico é igual a 1/4 do valor máximo (a) do lado 
de dentro da esfera e (b) do lado de fora da esfera.