Funções vetoriais, curvas planas e espaciais

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Universidade Federal Rural de Pernambuco
Unidade Acadeˆmica do Cabo de Santo Agostinho
Ca´lculo Diferencial e Integral III
Professor: Serginei Jose´ do Carmo Liberato
Primeiro Semestre 2018
Lista 1: Func¸o˜es Vetoriais, Curvas Planas e Espaciais
1. Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` trajeto´ria da func¸a˜o dada, no ponto dado:
a) r(t) = (cos(t), sin(t), t) e r
(
pi
3
)
;
b) r(t) = (t2, t) e r(1);
c) r(t) = (1 + 2 ln(1 + t), 1 + (1 + t)2) e r(0);
d) r(t) =
(
1
t
,
1
t
, t2
)
e r(2).
2. Determine r(t) se r′(t) = 2t i + 3t2 j +
√
t k e r(1) = i + j.
3. Determine as equac¸o˜es parame´tricas para a reta tangente a` curva dada pelas equac¸o˜es parame´tricas x = e−t cos t, y =
e−t sin t, z = e−t no ponto (1, 0, 1). Ale´m disso, esboce esta curva.
4. A involuta de uma circunfereˆncia e´ a curva trac¸ada pelo ponto de extremidade de um fio quendo este, mantido
tenso, e´ desenrolado de um carretel fixo. Suponha que o centro do carretel esta deslocado da origem do plano xy
e seu raio e´ a, e que o fio comec¸a a se desenrolar no ponto A = (a, 0). Mostre que as equac¸o˜es parame´tricas da
involuta, ao desenrolar uma volta do fio no carretel sa˜o:
x(θ) = a(cos θ + θ sin θ) e y(θ) = a(sin θ − θ cos θ), 0 ≤ θ ≤ 2pi,
ale´m disso esboce a involuta do c´ırculo.
5. Esboce o trac¸o e determine o comprimento da catena´ria α(t) = (t, cosh t), t ∈ I = [a, b] ⊂ R.
6. Determine uma reparametrizac¸a˜o da ciclo´ide
σ(θ) = (a(θ − sin θ), a(1− cos θ)), 0 ≤ θ ≤ 2pi
pelo comprimento de arco.
7. Reparametrize a he´lice circular r(t) = cos t
−→
i + sin t
−→
j + t
−→
k utilizando o comprimento de arco medido a partir de
(1, 0, 0) na direc¸a˜o de crescimento de t.
8. Considere o conjunto C = {(x, y) ∈ R2 : x3 + y3 = 3axy}, denominado o fo´lio de Descartes. Obtenha uma curva
parametrizada diferencia´vel cujo trac¸o e´ C, de tal forma que o paraˆmetro t seja a tangente do aˆngulo compreendido
entre o eixo y = 0 e o vetor posic¸a˜o (x, y). (Dica: experimente y = tx.)
9. Dois carros se movem segundo as seguintes vetores posic¸a˜o:
α(t) = (1 + t, 2 + 3t) e β(t) = (1− t, 3 + t2), t ≥ 0.
a) Mostre que eles nunca se chocara˜o.
b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.
c) Em que pontos eles se cruzam?
d) Em que ponto a velocidade escalar do segundo carro e´ mı´nima e qual e´ essa velocidade?
10. Calcule a velocidade das curvas parametrizadas abaixo:
a) r(t) = (cos t, sin t, t);
b) σ(t) = (et cos t, et sin t);
c) α(t) = (t− sin t, 1− cos t, 0);
d) s(t) = (cos t+ t sin t, sin t− t cos t).
11. Mostre que a curva com equac¸o˜es parame´tricas x = t cos t, y = t sin t, z = t esta´ no cone z2 = x2 + y2 e use esse
fato para esboc¸ar a curva.
12. Sejam duas func¸o˜es vetorias u(t) e v(t), demonstre que
d
dt
[u(t)× v(t)] = u′(t)× v(t) + u(t)× v′(t).
Agora sendo u(t) = (sin t, cos t, t) e v(t) = (t, t cos t, sin t) determine ddt [u(t)× v(t)].
13. Esboce o gra´fico da curva cuja equac¸a˜o vetorial e´ dada e indique com setas a direc¸a˜o na qual o paraˆmetro cresce
1
a) s(t) = (t, cos 2t, sin 2t);
b) r(t) = (1 + t, 3t,−t);
c) σ(t) = (−1 + t2, 2− t2);
d) r(t) = (cos2 t, sin2 t);
e) σ(t) = (3 cos t, 2 sin t), t ∈ [0, 2pi];
f) σ(t) = (sec t, tan t), t ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
.
14. Uma part´ıcula se move ao longo de uma curva definida por
γ(t) = (t− sin t, 1− cos t), 0 ≤ t ≤ 2pi.
a) Determine os instantes t1, t2 ∈ [0, 2pi] onde v(t) = 1.
b) Calcule o espac¸o percorrido pela part´ıcula no intervalo de tempo [t1, t2].
15. Reparametrize as curvas pelo comprimento de arco
a) r(t) = (2t, 1− 3t, 5 + 4t);
b) γ(t) = (et cos t, et sin t), t ≥ 0;
c) σ(t) = (2t+ 1, 3t− 1), t ≥ 0.
RESPOSTAS
1. a) Tpi
3
(λ) =
(
1
2
,
√
3
2
)
+ λ
(
−
√
3
2
,
1
2
)
.
b) T1(λ) = (1, 1) + λ(2, 1).
c) T0(λ) = (1, 2) + λ(2, 2).
d) T2(λ) =
(
1
2
,
1
2
, 4
)
+ λ
(
−1
4
,−1
4
, 4
)
.
2. r(t) = t2
−→
i + t3
−→
j + 2
3
(t3/2 − 1)−→k .
3. x = 1− λ, y = λ e z = 1− λ, λ ∈ R.
4. .
5. sinh b− sinh a.
6. x(s) = a
(
2 arccos
(
4a cos
(
t0
2
)− s
4a
)
− sin
(
2 arccos
(
4a cos
(
t0
2
)− s
4a
)))
e
y(s) = a
(
1− 2 arccos
(
4a cos
(
t0
2
)− s
4a
)
cos
(
2 arccos
(
4a cos
(
t0
2
)− s
4a
)))
7. r(t(s)) = cos
(
s√
2
)−→
i + sin
(
s√
2
)−→
j +
(
s√
2
)−→
k .
8. σ(t) =
(
3at2
1 + t3
,
3at3
1 + t3
)
.
9. a)
b)
c) P1 =
(
5 +
√
5
2
,
13 + 3
√
5
2
)
e P2 =
(
5−√5
2
,
13− 3√5
2
)
;
d) (1, 3) e a velocidade mı´nima e´ 1.
10. a) r′(t) = (− sin t, cos t, 1);
b) σ′(t) = et(cos t− sin t, cos t+ sin t);
c) α′(t) = (1− cos t, sin t, 0);
d) s′(t) = t(cos t, sin t).
11. .
12. .
13. .
14. a) t1 =
pi
3
e t2 =
5pi
3
; b) 4
√
3.
15. a) β(s) =
(
2s√
29
, 1− 3s√
29
, 5 +
4s√
29
)
;
b) β(s) =
(
1 +
2s√
13
,
3s√
13
− 1
)
;
c) β(s) =
√
2 + s√
2
(
cos
(
ln
(√
2 + s√
2
))
, sin
(
ln
(√
2 + s√
2
)))
.
2