Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Lista de Exercícios ÁLGEBRA VETORIAL 1. Determine o vetor unitário ao longo da linha que une o ponto (2,4,4) ao ponto (-3,2,2). 2. Se → A = 5âx + 3ây + 2âz , → B = âx + 4ây + 6âz → e C = 8âx + 2ây , determine os → → → valores de � e β, tais que � A+ β B+ C seja paralelo ao eixo y. 3. Dados os vetores → T = 2âx 6ây + 3âz → e S = âx + 2ây + âz , determine: a. A projeção escalar de → → T sobre S . b. O vetor projeção de → → S sobre T . → → c. O menor ângulo entre T e S . 4. Calcule os ângulos que o vetor eixos x, y e z. → H = 3âx + 5ây 8âz faz com os 5. Os pontos P, Q e R estão localizados em (-1,4,8), (2,-1,3) e (-1,2,3), respectivamente. Determine: a. A distância entre P e Q. b. O vetor distância de P até R. c. O ângulo entre QP e QR. d. A área do triângulo PQR. e. O perímetro do triângulo PQR. 2 6. Dado → A = x 2 yâx yzây + yz âz , determine: a. A magnitude de → A no ponto T(2,-1,3). b. O vetor distância de T até S, caso S esteja a 5,6 unidades de distância afastado de T e com a mesma orientação de → A em T. c. O vetor posição de S. 2 SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS 1. Se a. b. V = xz xy + yz , expresse V em coordenadas cilíndricas. U = x 2 + 2 y 2 + 3z 2 , expresse U em coordenadas esféricas. 2. Converta os seguintes vetores para os sistemas cilíndrico e esférico → a. F = 1 x 2 + y 2 + z 2 (xâx + yây + 4âz ). → b. G = x 2 + y 2 x 2 + y 2 + z 2 (xâx + yây + zâz ). 3. Seja → A = ρ cosθâ ρ + ρz senφâz , a. Transforme → A para coordenadas retangulares e determine sua magnitude no ponto (3,-4,0). b. Transforme → A para coordenadas esféricas e determine sua magnitude no ponto (3,-4,0). 4. Dados os vetores determine: → A = 2âx + 4ây + 10âz → e B = 5â ρ + â φ 3âz , → → a. A+ B em P(0,2,-5). → 2 b. O ângulo entre → → A e B em P. c. A componente escalar de → A ao longo de → B em P. 5. Seja A = ρ( z 2 1)â ρ ρz cosφâφ + �� z âz e → B = r 2 cosφâr + 2rsenθâφ , calcule em T(-3,4,-1): → → a. A e B . b. A componente vetorial de coordenadas cilíndricas. → A ao longo de → B em T, em c. O vetor unitário perpendicular tanto a em T, em coordenadas esféricas. → → A quanto a B 6. Um campo vetorial em um “misto” de variáveis coordenadas é dado por �� � �. � Ф� � � � 2�� �� � � � �1 � �� ���� � Expresse �� de maneira completa em um sistema esférico → 2 2 2 2 1 2 2 CÁLCULO VETORIAL → → → 1. Dado que H = x âx + y ây , calcule ∫ H ⋅ d l , considere L ao longo da curva L y = x 2 , de (0,0) a (1,1). 2. A temperatura em um auditório é dada por T = x 2 + y 2 z . Um mosquito localizado em (1,1,2), dentro do auditório, deseja voar em uma orientação tal que ele se aqueça o mais rápido possível. Em qual orientação ele deve voar? → → 3. Se U = xz x 2 y 2 + y 2 z 2 , calcule ∇⋅ ∇U . → → → 4. Se F = x 2 âx + y ây + (z 1)âz , encontre ∫ F ⋅ d S , onde S é definido Por 0 ≤ � ≤ 1, 0 ≤ � ≤ 1 0 ≤ � ≤ 2 5. Encontre o fluxo do rotacional do campo → T = cosθâ + rsenθ cosφâ + cosθâ r 2 r θ φ através do hemisfério r = 4 e z ≤ 0 . 6. Se o campo vetorial T = (αxy + βz 3 )âx + (3x γz )ây + (3xz y )âz é → → irrotacional, determine α, β e γ. Encontre ∇⋅T em (2,-1,0). + z z RESPOSTAS • ÁLGEBRA VETORIAL 1. ± (-0,87; -0,35; -0,35). 2. α=-3/2 e β=1/2. 3. -2,86; (-0,29; 0,86; -0,43); 114,09o. 4. 72,36 o; 59,66o; 143,91o. 5. 7,68; (0, -2, -5); 42,57 o; 11,03; 17,30. 6. 10,30; (-2,17; 1,63; -4,89); (-0,17; 0,63; -1,89). • SISTEMAS E TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS 1. V = ρz cosφ − ρ 2 senφ cosφ + ρzsenφ ; U = r 2 [sen 2θ (cos 2 φ + 2sen 2φ )+ 3 cos 2 θ ]. 2 4 4 2. ρ 2 + z 2 ,0, ρ 2 2 ; sen θ + cosθ , senθ cosθ − senθ r ,0 ; r 3 2 ,0, ; (r 2 sen 2θ ,0,0). ρ 2 + z 2 ρ 2 + z 2 3. xz x 2 + y 2 , + z 2 yz x 2 + y 2 , yz + z 2 2 ; 0; [rsenθ cosθ (senθ + r 2 cos 2 θsenφ ), rsenθ cosθ (cosθ − r 2 senθ cosθsenφ ),0]; 0. 4. (1, -1, 7); 143,36o; -8,79. 5. (0, 3, 25); (15,61; 0; -10); (5,58; -3,65; 2,46); ± (-0,53; 0,21; -0,82). senθ cos 3 φ + cosθ (1 + sen 2φ − cos 2 φ ), cosθ cos3 φ + 6. 2 cos 2 θsen 2φ senθ − senθ (1 − cos 2 φ ), − senφ cos 2 φ + 2 cosφsenφ cosθ senθ • CÁLCULO VETORIAL 1. 0,67. 2. (0,67; 0,67; -0,33). 3. − 2(x 2 − z 2 ). 4. 8. 5. 0. 6. 6; 1; 1; -6.
Compartilhar