Resolução do Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle (cápitulo 2, PRODUTO ESCALAR) PARTE II

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26º) Seja o triângulo de vértices A (3, 4, 4), B (2, -3, 4) e C (6, 0, 4). Determinar o ângulo interno do 
vértice B. Qual o ângulo externo ao vértice B ? 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, 7, 0) → |𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √50 = 5√2 
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (4, 3, 0) → |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = 5 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 4 + 21 = 25 
Cos α = 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗
|𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| . | 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗|
 = 
25
25√2
 = 
1
√2
 = 
√2
2
 
arccos (
√2
2
) = 45º → ângulo interno ao vértice b 
Para o ângulo externo a B é dado por: 
Cos α = 
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . (−𝐵𝐶)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
|𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| . | −𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|
 = 
−25
25√2
 = 
−√2
2
 
arccos (
−√2
2
) = 135º 
27º) Calcular os ângulos internos do triângulo de vértices A (2, 1, 3), B (1, 0, -1) e C (-1, 2, 1). 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-3, 1, -2) → |𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √14 
𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-1, -1, -4) → |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √18 
RESOLUÇÃO DO LIVRO VETORES E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 3 – 1 + 8 = 10 
Cos α = 
10
√14 . √18
 = 
10
√252 
 =~0,6299 
 =~arcocos (0,6299) =~50º, 95’ 
 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (1, 1, 4) → |𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √18 
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-2, 2, 2) → |𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √12 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = -2 + 2 + 8 = 8 
Cos α = 
8
√12 . √18
 = 
8
√216
 =~0,5443 
^B =~ arc cos (0,5443) = 57º, 02’ 
 
𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (3, -1, 2) → |𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √14 
𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (2, -2, -2) → |𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √12 
𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 6 + 2 – 4 = 4 
Cos α = 
4
√14 . √12
 = 
4
√168
 =~ 0,3086 
^C = arc cos (0,3086) =~ 72º, 02’ 
28º) Calcular o valor de m de modo que seja 120º o ângulo entre os vetores �⃗⃗� = (1, -2, 1) e �⃗⃗� = (-2, 1, 
m + 1). 
|�⃗� | = √6 
|𝑣 | = √(𝑚 + 1)1 + 4 + 1 = √𝑚2 + 2𝑚 + 1 + 4 + 1 = √𝑚2 + 2𝑚 + 6 
�⃗� . 𝑣 = - 2 – 2 + m + 1 = m + 3 
Cos 120º = 
𝑚−3
√6 . √𝒎𝟐+𝟐𝒎+𝟔
 
(- 
1
 2
)2 = (
𝑚−3
√6 . √𝒎𝟐+𝟐𝒎+𝟔
)2 
1
 4
 = 
𝑚2−6𝑚+9
6𝑚2+12𝑚+36
 
6m2 + 12m + 36 = 4m2 – 24m + 36 
2m2 + 36m = 0 
 = 362 = 1296 
m = 
−36 
+
−
 36
4
 = m’ = 0 e m’’ = -18 
29º) Calcular n para que seja de 30º o ângulo entre os vetores �⃗⃗� = (-2, 1, n) e �⃗⃗� . 
�⃗� = (0, 0, 1) 
𝑣 . �⃗� = (-3, 1, n) . (0, 0, 1) = n 
Cos 30º = 
√3
2
 
|�⃗� | = √𝑛2 + 10 
Cos 30º = 
𝑛
√𝑛2+10
 
(
√3
2
)2 = (
𝑛
√𝑛2+10
)2 
3
4
 = 
𝑛2
𝑛2+10
 
3n2 + 30 = 4n2 
4n2 – 3n2 = 30 
n2 = 30 
n = √30 
30º) Se |�⃗⃗� | = 4, |�⃗⃗� | = 2 e 120º o ângulo entre os vetores �⃗⃗� e �⃗⃗� , determinar o ângulo entre �⃗⃗� + �⃗⃗� e �⃗⃗� 
- �⃗⃗� e construir uma figura correspondente a estes dados. 
Cos α = 
𝑢 . 𝑣 
|𝑢⃗⃗ | . |𝑣 |
 
Cos 120º = 
𝑢 . 𝑣 
8
 
- 
1
2
 = 
𝑢 . 𝑣 
8
 
2 . �⃗� . 𝑣 = - 8 
�⃗� . 𝑣 = - 
8
2
 
�⃗� . 𝑣 = 4 
 
(�⃗� + 𝑣 ) . (�⃗� − 𝑣 ) = |�⃗� |2 - |𝑣 |2 = 16 – 4 = 12 
|�⃗� + 𝑣 |2 = |�⃗� |2 + 2 �⃗� . 𝑣 + |𝑣 |2 = 16 + 2 (-4) + 4 = 20 – 8 = 12 
|�⃗� + 𝑣 |2 = √12 
|�⃗� − 𝑣 |2 = |�⃗� |2 - 2 �⃗� . 𝑣 + |𝑣 |2 = 16 + 8 + 4 = 28 
|�⃗� − 𝑣 |2 = √28 
 
Cos α = 
(�⃗⃗� + �⃗� ) . (�⃗⃗� − �⃗� ) 
|(�⃗⃗� + �⃗� )| . |(�⃗⃗� − �⃗� )|
 
Cos α = 
12 
√12 . √28
 = 
12 
2√3 . 2√7
 = 
12 
4√21
 = 
3 
√21
 
arc cos (
3 
√21
) =~49º,10’ 
31º) Seja o cubo de aresta “a” representado na figura 2.17. Determinar: 
a) 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑶𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = |𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| . |𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗| . cos 90º = (√𝑎2) . (√𝑎2) . 0 = 0 
b) 𝑶𝑨⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑶𝑫⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = a + a = 2a 
 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = |𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| . |𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | . cos 90º = (√𝑎2) . (a√2) . 0 = 0 
c) 𝑶𝑬⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑶𝑩⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ 
𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 2a 
 𝑂𝐸⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = |𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗| . |𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| . cos 90º = (√𝑎2) . (a√2) . 0 = 0 
d) |𝑶𝑩⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ | . |𝑶𝑮⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 
(𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)2 = (𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗)2 + (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗)2 = a2 + a2 = 2a2 → |𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = √2𝑎2 
|𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗| = √(√2𝑎2)2 = √2𝑎2 = a√2 
(𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗)2 = (𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)2 + (𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗)2 = (√2𝑎2)2 + a2 = 2a2 + a2 = 3a2 
|𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √3𝑎2 = a√3 
e) 𝑬𝑮⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝑪𝑮⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
(𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗)2 = (𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗)2 + (𝐷𝐺⃗⃗ ⃗⃗ ⃗)2 = a2 + a2 = 2a2 
𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √2𝑎2 
𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = √2𝑎2 
 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = |𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗| . |𝐶𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗| . cos 60º = (√2𝑎2) . (√2𝑎2) . 
1
2
 = 
2𝑎2
2
 = a2 
f) (𝑬𝑫⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝑶𝑮⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (x, y, z) 
𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝐵𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (a, a, 0) . (0, 0, a) = (a, a, a) 
 (𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗) 𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = a2 (a, a, a) = (a3, a3, a3) 
g) O ângulo agudo entre a diagonal do cubo e uma aresta. 
𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (a, 0, 0) – (0, 0, 0) = (a, 0, 0) 
𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = (a, a, a) . (a, 0, 0) = (a, 0 , 0) = a2 
|𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗| = a√3 
|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗| = √𝑎2 
Cos α = 
𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
|𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | . |𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |
 = 
𝑎2
a√3 .√𝑎2 
 = 
𝑎2
𝑎2√3 
 = 
1
√3 
 = 
√3
3 
 
arc cos (
√3
3 
) =~54º, 44’ 
h) O ângulo agudo formado por duas diagonais do cubo. 
𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (a, a, a) → |𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗| = a√3 
𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝐵𝑂⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ + 𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ 
𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (0 – B) + (E – 0) = ((0, 0, 0) – (a, a, a)) + ((0, 0, a) – (0, 0, 0)) = (-a, -a, 0) + (0, 0, a) = (-a, -a, 
a) → |𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗| = a√3 
𝑂𝐺⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗ ⃗ = - a2 – a2 + a2 = -a2 
Cos α = 
− 𝑎2
3𝑎2
 = 
−1
3
 
32º) Calcular os ângulos diretores do vetor �⃗⃗� = (6, -2, 3). 
|𝑣 | = √62 + (−2)2 + 32 = √36 + 4 + 9 = √49 = 7 
Cos α = 
𝑥
|𝑣 | 
 = 
6
7 
 
arc cos (
6
7 
) = 
 
Cos  = 
𝑦
|𝑣 | 
 = 
−2
7 
 
arc cos (
−2
7 
) = 
Cos  = 
𝑧
|𝑣 | 
 = 
3
7 
 
arc cos (
3
7 
) = 
 
33º) Os ângulos diretores de um vetor �⃗⃗� são 45º, 60º e 120º e |�⃗⃗� | = 2. Determinar �⃗⃗� . 
Cos 45º = 
𝑥
2 
 
√2
2 
 = 
𝑥
2 
 
2x = 2√2 
x = √2 
 
Cos 60º = 
𝑦
2 
 
1
2 
 = 
𝑦
2 
 
y = 1 
 
Cos 120º = 
𝑧
2 
 
−1
2 
 = 
𝑧
2 
 
z = -1 
Logo 𝑎 = (√2, 1, -1) 
34º) Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45º, 60º e 90º? Justificar. 
Cos2 45º + Cos2 60º + Cos2 90º  1 
(
√2
2 
)2 + (
1
2 
)2  1 
2
4 
 + 
1
4 
  1 
3
4 
  1 
Então, os ângulos não podem ser diretores. 
35º) Mostrar que existe um vetor cujos ângulos diretores são 30º, 90º e 60º, respectivamente, e 
determinar aquele que tem módulo 10. 
Cos2 30º + Cos2 90º + Cos2 60º = 1 
(
√2
2 
)2 + (
1
2 
)2 = 1 → 
3
4 
 + 
1
4 
 = 1 → 1 = 1 
Logo existe um vetor nessas condições, aquele que tem módulo 10 é dado por: 
Cos 30º = 
𝑥
10 
 
√3
2 
 = 
𝑥
10 
 
2x = 10√3 
x = 5√3 
 
Cos 90º = 
𝑦
10 
 
0 = 
𝑦
10 
 
y = 0 
 
Cos 60º = 
𝑧
10 
 
1
2 
 = 
𝑧
10 
 
2z = 10 
z = 5 
Logo, �⃗� = (5√3, 0, 5) 
 
36º) Determinar um valor unitário ortogonal ao eixo Oz e que forme 60º com o vetor 𝒊 . 
Vamos denominar esse vetor por �⃗� = (x, y, z) 
�⃗� . Oz = (x, y, z) . (0, 0, z) = 0 
z2 = 0 
z = 0 
 
Cos 60º = 
𝑥
1 
 
1
2 
 = 
𝑥
1 
 
2x = 1 
x = 
1
2 
 
 
|�⃗� | = 1 
√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 1 
√(
1
2 
 )
2
+ 𝑦2 + 02 = 1 
√1
4 
 + 𝑦2 = (1)2 
y2 = 1 - 
1
4 
 = 
3
4 
 
y = √
3
4 
 
y = +/- 
√3
2
 
Logo �⃗� = (
1
2
, - 
√3
2
, 0) ou �⃗� = (
1
2
, 
√3
2
, 0) 
37º) Determinar o vetor �⃗⃗� de módulo 5, sabendo que é ortogonal ao eixo Oy e ao vetor �⃗⃗� = 𝒊 - 2�⃗⃗� , e 
forma ângulo obtuso com vetor 𝒊 . 
𝑎 = (x, y, z) 
|𝑎 | = 5 
𝑣 = (1, 0, -2) 
𝑎 . Oy = 0 
(x, y, z) . (0, y, 0) = 0 
y2 = 0 
y = 0 
 
|𝑎 | = 5 
(√𝑥2 + 𝑧2)2 = (5)2 
x2 + z2 = 25 
(2z)2 + z2 = 25 
4z2 + z2 = 25 
5z2 = 25 
z2 = 5 
z = +/- √5 → mas o z pode ser considerado apenas negativo, pois é única forma de termos o valor 
de x negativo. 
 
𝑎 . 𝑣 = 0 
(x, y, z) . (1, 0, -2) = 0 
x – 2z = 0 
x = 2z 
x = +/- 2√5 
Como 𝑎 é obtuso com 𝑖 → x = - 2√5 
Logo 𝑎 = (- 2√5, 0, √5) 
38º) Determinar o vetor �⃗⃗� nos casos: 
a) �⃗⃗� é ortogonal ao eixo Oz, |�⃗⃗� | = 8, forma ângulo de 30º com o vetor 𝒊 e ângulo obtuso com 𝒋 . 
𝑣 = (x, y, z) 
𝑣 . 0z = 0 
(x, y, z) . (0, 0, z) = 0 
z2 = 0 
z = 0 
 
Cos 30º = 
𝑥
|�⃗⃗�| 
 
√3
2 
 = 
𝑥
8 
 
 2x = 8√3 
 x = 4√3 
 
 |𝑣 | = 8 
 √(4√3)2 + 𝑦2 = 8 
 (√48 + 𝑦2)2 = (8)2 
 48 + y2 = 64 
 y2 = 16 
 y = +/- 4 
Como forma um ângulo obtuso com 𝑗 , y = -4. 
Logo 𝑣 = (4√3, -4, 0) 
b) �⃗⃗� é ortogonal ao eixo Ox, |�⃗⃗� | = 2, forma ângulo de 60º com o vetor 𝒋 e ângulo agudo com �⃗⃗� . 
�⃗⃗� . Ox = 0 
x = 0 
 
Cos 60º = 
𝑦
𝟐 
 
1
2 
 = 
𝑦
2
 
2y = 2 
y = 1 
 
|𝑣 | = 2 
 √(4)2 + 𝑧2 = 2 
 (√1 + 𝑧2)2 = (2)2 
 1 + z2 = 4 
 z2 = 3 
 z = +/- √3 
 Como 𝑣 forma um ângulo agudo com �⃗� , z = √3 
 Logo, 𝑣 = (0, 1, √3) 
39º) O vetor �⃗⃗� é ortogonal aos vetores �⃗⃗� = (1, 2, 0) e �⃗⃗⃗� = (2, 0, 1) e forma ângulo agudo om o vetor 𝒋 . 
Determinar �⃗⃗� , sabendo que |�⃗⃗� | = √𝟐𝟏. 
𝑣 = (x, y, z) 
|𝑣 | = √21 
𝑣 . �⃗� = (x, y, z) . (1, 2, 0) → x + 2y = 0 
𝑣 . �⃗⃗� = (x, y, z) . (2, 1, 0) → 2x + z = 0 
x + 2y = 0 → 2y = -x → y = -x/2 → y = 1 
2x + z = 0 → z = -2x → z = 4 
|𝑣 | = √21 
√𝑥2 + 
𝑥2
4
+ 4𝑥2 = √21 
√4𝑥
4
2
+ 
𝑥2
4
+
16𝑥2
4
 = √21 → ( √ 
21𝑥2
4
 )2 = (√21)2 
21𝑥2
4
 = 21 
21x2 = 84 
x = +/- √4 
x = +/- 2 
Logo temos que 𝑣 = (-2, 1, 4) 
40º) Dados os vetores �⃗⃗� = (3, 0, 1) e �⃗⃗� = (-2, 1, 2), determinar proj v → �⃗⃗� e proj u → �⃗⃗� . 
proj v → �⃗� = (
�⃗⃗� . �⃗� 
�⃗� . �⃗� 
) . 𝑣 → 𝑣 = (
−6+2
9
) . 𝑣 → 𝑣 = (
−4
9
) (-2, 1, 2) = (
8
9
, 
−4
9
, 
−8
9
) 
proj u → 𝑣 = (
�⃗� . �⃗⃗� 
�⃗⃗� . �⃗⃗� 
) . �⃗� → (
−4
10
) (3, 0, 1) = (
−6
5
, 0, 
−2
5
) 
41º) Determinar os vetores projeção de �⃗⃗� = 4 𝒊 – 3 𝒋 + 2 �⃗⃗� sobre os eixos cartesianos x, y e z. 
0𝑥⃗⃗⃗⃗ = (1, 0, 0) 
0𝑦⃗⃗⃗⃗ = (0, 1, 0) 
0𝑧⃗⃗⃗⃗ = (0, 0, 1) 
𝑣 = (4, -3, 2) 
proj 0x → 𝑣 = (
�⃗� . 0𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗
0𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 0𝑥⃗⃗⃗⃗ ⃗
) . 0𝑥⃗⃗⃗⃗ = (
4
1
) (1, 0, 0) = (4, 0, 0) = 4 𝑖 
proj 0y → 𝑣 = (
�⃗� . 0𝑦⃗⃗⃗⃗ ⃗
0𝑦⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 0𝑦⃗⃗⃗⃗ ⃗
) . 0𝑦⃗⃗⃗⃗ = (
−3
1
) (0, 1, 0) = (0, -3, 0) = -3 𝑗 
proj 0z → 𝑣 = (
�⃗� . 0𝑧⃗⃗⃗⃗ 
0𝑧⃗⃗⃗⃗ . 0𝑧⃗⃗⃗⃗ 
) . 0𝑧⃗⃗⃗⃗ = (
2
1
) (0, 0, 1) = (0, 0, 2) = 2 �⃗� 
42º) Para cada um dos pares de vetores �⃗⃗� e �⃗⃗� , encontrar a projeção ortogonal de �⃗⃗� sobre �⃗⃗� e 
decompor �⃗⃗� como soma de �⃗⃗� 1 com �⃗⃗� 2, sendo �⃗⃗� 1 // �⃗⃗� 2 e �⃗⃗� 2 ⊥ �⃗⃗� . 
a) �⃗⃗� = (1, 2, -2) e �⃗⃗� = (3, -2, 1) 
�⃗� . 𝑣 = (1, 2, -2) . (3, -2, 1) = 3 – 4 – 2 = 3 
|�⃗� |2 = 9 
𝑣 1 = proj u → 𝑣 = (
�⃗� . �⃗⃗� 
�⃗⃗� . �⃗⃗� 
) . �⃗� = (
−3
9
) . �⃗� = (
−1
3
) (1, 2, -2) = (
−1
3
, 
−2
3
, 
2
3
) 
𝑣 2 = 𝑣 - 𝑣 1 = (3, -2, 1) – (
−1
3
, 
−2
3
, 
2
3
) = (
10
3
, 
−4
3
, 
1
3
) 
b) �⃗⃗� = (1, 1, 1) e �⃗⃗� = (3, 1, -1) 
𝑣 . �⃗� = (3, 1, -1) . (1, 1, 1) = 3 + 1 – 1 = 3 
𝑣 1 = proj u → 𝑣 = (
�⃗� . �⃗⃗� 
�⃗⃗� . �⃗⃗� 
) . �⃗� = 1�⃗� = (1, 1, 1) 
|�⃗� |2 = �⃗� . �⃗� = 3 
𝑣 2 = (3, 1, -1) – (1, 1, 1) = (2, 0, -2) 
c) �⃗⃗� = (2, 0, 0) e �⃗⃗� = (3, 5, 4) 
𝑣 1 = proj u → 𝑣 = (
�⃗� . �⃗⃗� 
�⃗⃗� . �⃗⃗� 
) . �⃗� = (
6
4
) . �⃗� = (3, 0, 0) 
𝑣 . �⃗� = 6 
|�⃗� |2 = 4 
𝑣 2 = (3, 5, 4) – (3, 0, 0) = (0, 5, 4) 
d) �⃗⃗� = (3, 1, -3) e �⃗⃗� = (2, -3, 1) 
𝑣 1 = proj u → 𝑣 = (0, 0, 0) 
𝑣 . �⃗� = (3, 1, -3) . (2, -3, 1) = 6 – 3 – 3 = 0 
𝑣 2 = (2, -3, 1) 
43º) Sejam A (2, 1, 3), B (m, 3, 5) e C (0, 4, 1) vértices de um triângulo (Figura 2.18). 
a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A? 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = A – B → (2, 1, 3) – (m, 3, 5) = (2 – m, -2, -2) 
𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – A → (0, 4, 1) – (2, 1, 3) = (-2, 3, -2) 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 
(2− m, -2, -2) . (-2, 3, -2) = 0 
−4 + 2m – 6 + 4 = 0 
2m = 6 
m = 3 
b) Calcular a medida de projeção do cateto AB sobre a hipotenusa BC. 
proj BC → 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (
𝐵𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗
) . 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (
−9
26
) . (-3, 1, -4) = (
−27
26
, 
9
26
, 
−36
26
) 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ = A – B → (2, 1, 3) – (3, 3, 5) = (-1, -2, -2) 
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = C – B → (0, 4, 1) – (3, 3, 5) = (-3, 1, -4) 
𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (-1, -2, -2) . (-3, 1, -4) = 3 – 2 + 8 = 9 
|projBC → 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ | = √(
27
26
)2 + (
−9
26
)2 + (
36
26
)2 = √
729
676
+
8
676
+
1296
676
 = √
2106
676
 = 
√
81
676
 . 26 = 
9
26
√26 
c) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A. 
H = B + 𝐵𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
H = B + projBC → 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ → H = (3, 3, 5) + (
−27
26
, 
9
26
, 
−36
26
) = (
51
26
, 
87
26
, 
94
26
) 
d) Mostrar que 𝑨𝑯⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = H – A →(
51
26
, 
87
26
, 
94
26
) – (2, 1, 3) = (
−1
26
, 
61
26
, 
16
26
) 
𝐴𝐻⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 0 
(
−1
26
, 
61
26
, 
16
26
) . (-3, 1, -4) = 0 
3
26
+ 
61
26
 - 
64
26
 = 0 
44º) Determinar o valor de k para que os vetores �⃗⃗� = (-2, 3) e �⃗⃗� = (k, -4) sejam: 
a) Paralelos 
�⃗� = α . 𝑣 
α = �⃗� / 𝑣 
α = -2 / k = 3 / -4 
3k = 8 
k = 8 / 3 
Para que o vetor seja paralelo suas coordenadas devem ser proporcionais. 
b) Ortogonais 
�⃗� . 𝑣 = 0 
(−2, 3) . (k, -4) = 0 
−2k – 12 = 0 
-2k = 12 
k = -6 
45º) Obter os dois vetores unitários ortogonais a cada um dos vetores: 
a) 4 𝒊 + 3 𝒋 
�⃗� = (4, 3) 
𝑣 = (x, y) 
Como 𝑣 é unitário... 
|𝑣 | = 1 
(√𝑥2 + 𝑦2)2 = (1)2 
x2 + y2 = 1 
x2 = 1 – y2 
x = √1 − 𝑦2 
(√1 − 𝑦2)2 = (
−3𝑦
4
)2 
(1 – y2) = 
9𝑦2
16
 
16 – 16y2 = 9y2 
-16y2 – 9y2 = -16 
y2 = 
16
25
 
y = +/- √
16
25
 
y = +/- 
4
5
 
 
Como 𝑣 é ortogonal a �⃗� 
𝑣 . �⃗� = 0 
(x, y) . (4, 3) = 0 
4x + 3y = 0 
4x = -3y 
x = 
−3𝑦
4
 
x = 
−3
4
 . −
4
5
 = 
−12
5
 . 
1
4
 = 
−3
5
 ou 
3
5
 
Logo 𝑣 = (
−3
5
, 
4
5
) e 𝑣 = (
3
5
, 
−4
5
) 
b) (-2, 3) 
x = √1 − 𝑦2 
�⃗� . 𝑣 = 0 
(-2, 3) . (x, y) = 0 
-2x + 3y = 0 
-2x = -3y 
x = 
3𝑦
2
 
 
(√1 − 𝑦2)2 = (
3𝑦
2
)2 
y – y2 = 
9𝑦2
4
 
-4y2 – 9y2 = -4 
-13y2 = -4 
y =+/- 
2
√13
 
 
x = 
3𝑦
2
 → x = x = 
3
2
 . 
2
√13
 = 
3
√13
 
x = 
3𝑦
2
 → x = x = 
3
2
 . 
−2
√13
 = 
−3
√13
 
Logo 𝑣 = (
3
√13
,
2
√13
) e 𝑣 = (
−3
√13
,
−2
√13
) 
c) (-1, -1) 
x = (√1 − 𝑦2) 
�⃗� . 𝑣 = 0 
(−1, -1) . (x, y) = 0 
−x – y = 0 (-1) 
x = - y 
(-y)2 = (√1 − 𝑦2)2 
1 – y2 = y2 
1 – y2 – y2 = 0 
-2y2 = -1 
y2 = ½ 
y = +/- 
1
√2
 
 
y = +/- 
1
√2
 então x = +/- 
1
√2
 
Sendo assim temos: 
𝑣 = (- 
1
√2
, 
1
√2
) e 𝑣 = (
1
√2
, - 
1
√2
) 
46º) Determinar um par de vetores unitários e ortogonais entre si, em que um deles seja paralelo a �⃗⃗� 
= 6 𝒊 + 8 𝒋 . 
I) 
𝑣 = (6, 8) 
�⃗� = α . 𝑣 
α = �⃗� / 𝑣 
𝑥
6
 = 
𝑦
8
 = α 
8x = 6y 
x = 
6𝑦
8
 = 
3𝑦
4
 
 
|�⃗� | = 1 
(√𝑥2 + 𝑦2)2 = (1)2 
x2 + y2 = 1 
x2 = 1 – y2 
x = √1 − 𝑦2 
(
3𝑦2
4
)2 = (√1 − 𝑦2)2 
9𝑦2
16
 = 1 – y2 
16 – 16y2 = 9y2 
25y2 = -16 
y = +/- 
4
5
 
 
x = 
3 . 4
5
 . 
1
4
 = 
3
5
 ou x = 
3 .(−4)
5
 . 
1
4
 = 
− 3
5
 
II) 
(
3
5
, 
4
5
) . (x, y) = 0 
3
5
 x + 
4
5
 y = 0 
3
5
 x = - 
4
5
 y 
x = - 
4
5
 y . - 
5
3
 = - 
4
3
 y 
 
(
−4𝑦
3
)2 = (√1 − 𝑦2)2 
16𝑦2
9
 = 1 – y2 
9 – 9y2 = 16y2 
-25y2 = -9 
y2 = 
9
25
 
y = +/- √
9
25
 
y = +/- 
3
5
 
 
x = 
3 . (−4)
5
 . 
1
3
 = 
−4
5
 ou x = 
(−3) .(−4)
5
 . 
1
3
 = 
 4
5
 
Logo, por I e II: (
 3
5
, 
 4
5
) e (
−4
5
, 
 3
5
) ; (
 3
5
, 
 4
5
) e (
 4
5
, 
−3
5
) 
47º) Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de vetores: 
a) �⃗⃗� = (2, 1) e �⃗⃗� = (4, -2) 
�⃗� . 𝑣 = (2, 1) . (4, -2) = 8 – 2 = 6 
|�⃗� | = √5 
|𝑣 | = √20 = 2√5 
Cos α = 
 6
2√5 .√5 
 = 
 6
2 . 5
 = 
 6
10
 = 
 3
5
 
arccos (
 3
5
) = 53º 
b) �⃗⃗� = (1, -1) e �⃗⃗� = (-4, -2) 
�⃗� . 𝑣 = (1, -1) . (-4, -2) = - 4 + 2 = -2 
|�⃗� | = √2 
|𝑣 | = √20 
Cos α = 
−2
√2 .√20 
 = 
−2
 √40
 = 
−2
2 √10
 = 
−1
 √10
 
arccos (
−1
 √10
) = 95º 
c) �⃗⃗� = (1, 1) e �⃗⃗� = (-1, 1) 
�⃗� . 𝑣 = (1, 1) . (-1, 1) = - 1 + 1 = 0 
Cos α = 
0
√2 .√2 
 = 
0
 2
 = 0 
arccos (0) = 90º 
48º) Dados osvetores �⃗⃗� = 𝒊 - 𝒋 e �⃗⃗� = 2 𝒊 + 𝒋 , determinar o módulo e o ângulo que os seguintes vetores 
formam com o vetor 𝒊 : 
a) �⃗⃗� 
�⃗� = (1, -1) 
𝑣 = (2, 1) 
|�⃗� | = √2 
Cos α = 
1
√2 
 
arccos (
1
√2 
) = 45º 
b) �⃗⃗� 
|𝑣 | = √5 
arccos (
2
√5 
) = 26º 
c) �⃗⃗� + �⃗⃗� 
�⃗� + 𝑣 = (1, -1) + (2, 1) = (3, 0) 
𝑖 . (�⃗� + 𝑣 ) = 3 
Cos α = 
3
3 
 = 1 
arccos (1) = 0º 
d) �⃗⃗� - �⃗⃗� 
�⃗� - 𝑣 = (1, -1) + (2, 1) = (-1, -2) 
 |�⃗� - 𝑣 | = √5 
Cos α = 
−1
√5 
 
arccos (
−1
√5 
) = 116º 
e) �⃗⃗� - �⃗⃗� 
𝑣 - �⃗� = (2, 1) – (1, -1) = (1, 2) 
 |𝑣 - �⃗� | = √5 
Cos α = 
1
√5 
 
arccos (
1
√5 
) = 63º 
49º) Determinar o valor de a para que seja 45º o ângulo entre os vetores �⃗⃗� = (2, 1) e �⃗⃗� = (1, a) 
�⃗⃗� . �⃗⃗� = (2, 1) . (1, a) = 2 + a 
|�⃗� | = √5 
|𝑣 | = √𝑎2 + 1 
Cos 45º = 
2+𝑎
√5 .√𝑎2+1 
 
(
√2 
2 
)2 = (
2+𝑎
√5 .√𝑎2+1 
)2 
2 
4 
 = 
𝑎2+4𝑎+4
5 (𝑎2+1) 
 
10a2 + 10 = 4a2 + 16a + 16 
10a2 - 4a2 – 16 + 10 – 16 
6a2 – 16 – 6 = 0 
3a2 – 8 – 3 = 0 
 = (-8)2 – 4 . 3 . (-3) = 64 + 36 = 100 
a = 
8 
+
−
 10
6
 = a’ = 3 e a’’ = -1/3 
50º) Para cada um dos pares de vetores �⃗⃗� e �⃗⃗� , encontrar o vetor projeção ortogonal de �⃗⃗� sobre �⃗⃗� e 
decompor �⃗⃗� como soma de �⃗⃗� 1 com �⃗⃗� 2, sendo �⃗⃗� 1 // �⃗⃗� e �⃗⃗� 2 ⊥ �⃗⃗� . 
a) �⃗⃗� = (1, 0) e �⃗⃗� = 4, 3) 
𝑣 1 = proj u → 𝑣 = (
 𝑣 .⃗⃗ 𝑢 
𝑢 . 𝑢 
) . �⃗� = (
4
1
) (1, 0) = (4, 0) 
 mas, 
𝑣 . �⃗� = (4, 3) . (1, 0) = 4 
|�⃗� |2 = 1 
𝑣 2 = 𝑣 - 𝑣 1 = (4, 3) – (4, 0) 
𝑣 2 = (0, 3) 
b) �⃗⃗� = (1, 1) e �⃗⃗� = (2, 5) 
𝑣 1 = proj u → 𝑣 = (
 𝑣 .⃗⃗ 𝑢 
𝑢 . 𝑢 
) . �⃗� = (
7
2
) (1, 1) = (
7
2
, 
7
2
) 
mas, 
𝑣 . �⃗� = (2, 5) . (1, 1) = 2 + 5 = 7 
|�⃗� |2 = 2 
𝑣 1 = (
7
2
, 
7
2
) e 𝑣 2 = (2, 5) – (
7
2
, 
7
2
) = (
−3
2
, 
3
2
) 
 
c) �⃗⃗� = (4, 3) e �⃗⃗� = (1, 2) 
𝑣 1 = proj u → 𝑣 = (
 𝑣 .⃗⃗ 𝑢 
𝑢 . 𝑢 
) . �⃗� = (
2
5
) (4, 3) = (
8
5
, 
6
5
) 
𝑣 . �⃗� = (1, 2) . (4, 3) = 4 + 6 = 10 
|�⃗� |2 = 25 
𝑣 1 = (
8
5
, 
6
5
) e 𝑣 2 = (1, 2) – (
8
5
, 
6
5
) = (
−3
5
, 
4
5
)