Viga Balcão

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J-1/9AGO.2001Prof. Alfonso Pappalardo Junior
ESTRUTURAS DE CONCRETO II
EXEMPLO VIGA-BALCÃO
PROJETO DE VIGAS
AULA J – EXEMPLO VIGA-BALCÃO
INTRODUÇÃO
O Projeto de Revisão da Norma NBR-6118 sugere que a descrição do comportamento estrutural seja
feita de maneira mais rigorosa possível, utilizando-se programas computacionais baseados no
Método dos Elementos Finitos, além de novas filosofias de dimensionamento à força cortante.
O presente modelo didático leva em conta as prescrições da referida norma e apresenta uma
comparação de resultados entre os modelos rigoroso e aproximado de uma viga-balcão.
EXEMPLO DE CÁLCULO: VIGA-BALCÃO VB1(12/40)
Pretende-se a partir deste exemplo de cálculo realizar um estudo comparativo entre as respostas dos
modelos estruturais (a) aproximado, obtido a partir de uma viga-balcão bi-engastada e (b) rigoroso,
considerando-se a viga-balcão pertencente a um pórtico espacial enrijecido por elementos
bidimensionais em cada lance (diagragmas rígidos). A partir do modelo rigoroso pode-se verificar que
os vínculos reativos não são simétricos, um vez que a rigidez axial do pilar P3(20/60) é muito maior
do que a rigidez à flexão da viga contínua V1(15/50), conforme indicado na Figura J.1.
L1 
h=10
V
2(
1
5
/5
0
)
V
3(
1
5
/5
0
)
V
4(
1
5
/5
0
)
V
5(
1
5
/5
0
)
V1(15/50)
VB1(12/40) VB2(12/40)
L3 
h=10
L4 
h=10
L2 
h=10
L5 
h=10
P3 
(20/60)
P4 
(20/60)
A B C D
4,50 5,00 5,20
4,05
0
,9
0
1,001,001,601,001,254,35
0,15 0,15 0,15
0
,1
5
0
,1
5
0,15
P1 
(20/60)
P2 
(20/60)
Figura J.1 Detalhe da planta de fôrmas na região das vigas-balcão
 
 
 
Figura J.2 Modelo de elementos finitos das vigas contínuas, vigas-balcão e pilares
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ESTRUTURAS DE CONCRETO II
EXEMPLO VIGA-BALCÃO
PROJETO DE VIGAS
 
 
Figura J.3 Configurações deformada e indeformada dos
modelos matemáticos (a) rigoroso e (b) aproximado
Comparando-se as Figuras J.3(a) e J.3(b), pode-se afirmar que a solução aproximada corresponde,
hipoteticamente, a se considerar nos dois encontros da viga balcão com a superestrutura, a presença
de pilares com a mesma dimensão e disposição, garantindo assim a simetria das condições de
contorno. Segundo o modelo teórico rigoroso, o apoio mais rígido, correspondente ao pilar P3,
sustentará a maior parte do carregamento, refletindo-se assim, em maiores esforços internos
solicitantes. A título de ilustração pode-se citar o comportamento à flexão de uma viga engastada-
apoiada uniformemente carregada, indicada na Figura J.4. Pode-se observar que a reação de apoio
junto à extremidade engastada é quase igual ao dobro da reação junto à extremidade apoiada.
p
! 3p!
− p!5
8
8
V=
V=
Figura J.4 Viga engastada-apoiada e diagramas de forças cortantes
Por outro lado, a solução correspondente ao modelo matemático aproximado, apresentada na Figura
J.3(b), apresenta esforços inferiores e simetricamente distribuídos em relação ao plano de simetria do
problema. As diferenças são apreciáveis, neste caso particular, e devem ser levadas em cosideração
na fase de análise estrutural. As mesmas considerações podem ser estendidas aos diagramas de
momentos torçores.
Para os momentos fletores as diferenças são ainda mais significativas, não somente em termos
quantitativos, como também, em relação ao sinal do esforço. Como o posicionamento da armadura
longitudinal, em relação às faces inferior e superior da viga, depende do sinal do momento fletor as
diferenças entre os modelos matemáticos rigoroso e aproximado são apreciáveis. Por exemplo, o
trecho menos rígido da viga-balcão será armado à momentos negativos, enquanto que para a
solução rigoroso o mesmo trecho será armado à momentos positivos. Didaticamente, pode-se ilustrar
este comportamento analisando-se a distribuição dos momentos fletores em vigas sujeitas a
recalques diferenciais isentas de carregamento.
+
+
+
+
+
+M>0
M<0
Figura J.5 Viga simplesmente apoiada sujeita a recalque diferencial
(a) (b)
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EXEMPLO VIGA-BALCÃO
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Pode-se considerar que os trechos da viga-balcão não paralelos oferecem uma resistência ao
movimento de rotação das extremidades do trecho central, garantida pela rigidez à torção deste
trecho. Por esta razão, como pode-se confirmar na Figura J.6 os momentos fletores junto ao apoio
flexível são positivos (tração na fibra inferior) e, por outro lado, junto ao apoio rígidos, negativos
(tração na fibra superior). Os diagramas apresentados nas Figuras J.6 e J.7 correspondem,
respectivamente, aos esforços de flexão obtidos pelos modelos rigoroso e aproximado.
DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS DE FLEXÃO
Para o cálculo das armaduras positivas e negativas serão considerados os dois modelos matemáticos
para uma comparação entre os resultados. A partir das Figuras J.6 e J.7 pode-se obter os esforços de
flexão mais desfavoráveis, que conduzirão o dimensionamento à flexão normal simples no Estado
Limite Último para seção retangular, com coeficiente de majoração para as ações permanentes e
variáveis γg= γq=1,4 e coeficientes de minoração das resistência do aço γa=1,15 e do concreto γc=1,4.
A armadura mínima de flexão, prescrita pela NBR-6118/78, é dada por:
2
wmín,s cm72,0hb%15,0A =⋅⋅= .
mm82A mín,s φ=
 
Figura J.6 Diagrama de momentos fletores na viga-balcão
com ligação elástica – modelo matemático rigoroso
Figura J.7 Diagrama de momentos fletores na viga-balcão
com ligação rígida – solução aproximada
6,85
 kN.m
−33,22
 kN.m
11,86
 kN.m
−9,31
 kN.m
−9,31
 kN.m
2,00 kN.m
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EXEMPLO VIGA-BALCÃO
PROJETO DE VIGAS
MODELO RIGOROSO
• Armadura positiva
mín,s
2
s
2
6 Acm08,137
1186
0338,0A85,13
1186
3712
k >==⇒≅
×
=
mm102A adot,s φ=
• Armadura negativa
mín,s
2
s
2
6 Acm35,337
3322
0373,0A9,4
3322
3712
k >==⇒≅
×
=
mm161mm102A adot,s φ+φ=
MODELO SIMPLIFICADO
• Armadura positiva
mín,s
2
s
2
6 Acm17,037
200
0325,0A1,82
200
3712
k <==⇒≅
×
=
mm82A mín,s φ=
• Armadura negativa
mín,s
2
s
2
6 Acm84,037
931
0335,0A6,17
931
3712
k >==⇒≅
×
=
mm82A adot,s φ=
DIMENSIONAMENTO ARMADURA TRANSVERSAL (MODELO CÁLCULO I)
Particularizando-se para o caso prático de estribos verticais (α.=.90.o), tem-se segundo o Modelo de
Cálculo I, proposto no Projeto de Revisão da Norma NBR-6118, a expressão
dbf
dbf1,0V56,1
sb
A
wywd
w
3/2
cks
w
sw
sw
⋅⋅
⋅⋅⋅−⋅
=



⋅
=ρ
para o cálculo da taxa de armadura transversal. Tal modelo apresenta o cálculo mais econômico para
a armadura transversal, alem do fato das quantidades a serem levantadas são explícitamente
indicadas. A única ressalva é que deve-se entrar com o dado relativo à resistência característica à
compressão do concreto em MPa (1 Mega Pascal=1N/mm2). Assim, segundoas unidades impostas
nesta formulação, deve-se trabalhar, consistentemente, em milímetros (mm) e newtons (N).
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EXEMPLO VIGA-BALCÃO
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Figura J.8 Diagrama de forças cortantes na viga-balcão
com ligação elástica – solução rigorosa
Figura J.9 Diagrama de forças cortantes na viga-balcão
com ligação rígida – solução aproximada
MODELO RIGOROSO
%10,0
3701208,434
370120201,0350.3356,1
sb
A 3/2
w
sw
sw =
⋅⋅
⋅⋅⋅−⋅
=



⋅
=ρ
Para um trecho de comprimento s.=.100.cm, tem-se:
2
sw cm2,1A =
Adotando-se barras de diâmetro nominal φ = 5 mm (Asw,1φ = 0,20 cm2), a armadura transversal será:
cm20d6,0scm30
2,1
20,02100
s máx ≈⋅=>≈
⋅⋅
= → )ramos2(cm20/cmm5φ
• Verificação da força cortante correspondente à armadura transversal mínima
Segundo o Item 17.3.1.1 que prescreve a taxa de armadura transversal mínima para elementos
sujeitos à força cortante no ELU, tem-se:
%10,0%088,0
f
f
06,0
ywk
3/2
ck
mín,sw <=⋅=ρ .
( )
56,1
dbf1,0
56,1
dbf
V w
3/2
ckwywd
mínswmín
⋅⋅⋅
+
⋅⋅
⋅ρ=
N912.31
56,1
370120201,0
56,1
3701208,434
%088,0V
3/2
mín =
⋅⋅⋅
+
⋅⋅
⋅=
−33,35 kN14,81 kN
−11,94 kN
9,71 kN
−9,71 kN
3,90 kN
−3,90 kN
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EXEMPLO VIGA-BALCÃO
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MODELO APROXIMADO
Devido ao valor da força cortante correspondente a armadura transversal mínima ser superior ao
maior valor indicado no diagrama da Figura E.14, deve-se adotar a armadura transversal mínima
dada por
%088,0
f
f
06,0
ywk
3/2
ck
mín,sw =⋅=ρ
Para um trecho de comprimento s.=.100.cm, tem-se:
2
sw cm06,1A = → )ramos2(cm20/cmm5φ
DETALHAMENTO DAS ARMADURAS
Ao longo de todo o comprimento da viga deve-se garantir a presença de duas barras superiores e
outras duas inferiores, locadas nos quatros cantos da seção transversal retangular, de modo a
conferir estabilidade lateral aos estribos verticais na fase de execução. Estas barras, conhecidas por
porta-estribos, são indispensáveis na montagem das armaduras em vigas de concreto armado.
Valendo-se deste princípio, pode-se utilizar a armadura de flexão para cumprir este papel, e com isto,
dispensa-se a decalagem do diagrama de momentos fletores para a revelação dos comprimentos das
barras tracionadas, uma vez que foram utilizadas duas barras para combater os momentos fletores
positivos e negativos. Sendo assim, as barras longitudinais devem se estender por toda a extensão
da viga. Para o trecho tipicamente representado pelo Corte CC, segundo o método rigoroso para a
obtenção dos esforços surge a necessidade de uma terceira barra para complementar a área de aço
exigida no cálculo. Na realidade, o comprimento da barra negativa N4, indicada na Figura J.11, deve
ser obtido segundo o esquema de cobertura do diagrama de momentos fletores deslocado,
observando-se os comprimentos de ancoragem exigidos em região de má aderência.
VB1(12/40)
V1 (12/50)
P3 
(20/60)
B
A
C
B
A
C
Figura J.10 Planta de Fôrmas referente à viga-balcão VB1(12/40)
corte AA corte BB corte CC
N2 2 10φ N2 2 10φ N2 2 10φ N4 1 16φ
N1 2 10φ N1 2 10φ N1 2 10φ
N3φ5c/20 N3φ5c/20 N3φ5c/20
Figura J.11 Detalhe típico das armaduras nos trechos correspondentes aos
cortes AA, BB e CC da viga-balcão VB1(12/40) obtidas pelo Método Rigoroso
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EXEMPLO VIGA-BALCÃO
PROJETO DE VIGAS
corte AA corte BB corte CC
N2 2 8φ N2 2 8φ N2 2 8φ
N1 2 8φ N1 2 8φ N1 2 8φ
N3φ5c/20 N3φ5c/20 N3φ5c/20
Figura J.12 Detalhe típico das armaduras nos trechos correspondentes aos
cortes AA, BB e CC da viga-balcão VB1(12/40) obtidas pelo Método Aproximado
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Os comprimentos das armaduras detalhadas foram adotados, simplificadamente, para facilitar a
montagem e conferência na fase de execução da viga-balcão.
Por outro lado, pode-se notar uma diferença nas armaduras calculadas, comparativamente, segundo
os métodos de cálculo rigoroso e aproximado apresentados. Pode-se afirmar que nos dois casos tem-
se um dimensionamento seguro, apesar de que, particularmente, para a viga calculada segundo o
método aproximado, deve-se notar uma plastificação (fissuração) da mesma no encontro com o pilar
P3, levando a uma redistribuição de esforços e passando a “chamar” a armadura positiva, que a
solução elástica, obtida pelo modelo aproximado, exigiu. Segundo o modelo de cálculo aproximado
instalar-se-ão fissuras na região do encontro da viga-balcão com o pilar P3 e caso, a superfície
externa da viga-balcão não receber tratamento adequado, tal fato poderá se reverter, futuramente,
num problema patológico.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[1] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (NBR-6118/78). Projeto e Execução de
Obras de Concreto Armado. Rio de Janeiro, ABNT, 1978.
[2] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto e Execução de Obras de
Concreto Armado. Projeto de Revisão da NBR 6118 – Texto de Discussão. No prelo.
[3].SÁNCHEZ, E. organizador. Nova Normalização Brasileira para o Concreto Estrutural. Rio de
Janeiro, Editora Interciência, 1999.
[4].SANTOS, L. M. Edifícios de Concreto Armado. São Paulo, FDTE – EPUSP, 1984.
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EXEMPLO VIGA-BALCÃO
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ANEXO J – SOLUÇÃO ANALÍTICA
4,87 kN/m
4,11 kN/m
4,11 kN/m
1,00 m
1,05 m 1,05 m1,60 m 1,60 m
M=1
1,05 m 1,05 m
Figura J.13 (a) Geometria, dimensões, vinculações e carregamentos
 do modelo matemático aproximado (b) solução isostática fundamental
M0 M
1,56
1,00
0,71
10,72
1,10
2 GO
2 GO
Figura J.14 Diagramas de momentos fletores fundamental e esforço unitário
T0 T
0,71
1,10
Figura J.15 Diagramas de momentos torçores fundamental e esforço unitário
Sendo X a única incógnita hiperestática do problema, considerando-se as condições de simetria,
pode-se obter o seu valor por meio da aplicação do Teorema de Menabrea, levando-se em conta
apenas as energias de deformação por flexão e torção (preponderantes), dado por:
∫∫
∫∫
⋅+
⋅+
−=
dsT
GJ
EI
dsM
dsTT
GJ
EI
dsMM
X
22
00
que resulta nos esforços finais
MXMM 0 ⋅+=
TXTT 0 ⋅+=
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Tabela J.1 Propriedades físicas e geométricas da viga-balcão
PARÂMETROS FÍSICOS E GEOMÉTRICOS VALORES DE CÁLCULO
Módulo de elasticidade longitudinal GPa24E =
Módulo de elasticidade transversal
para coeficiente de poisson ν=0,2
GPa10
)2,01(2
24
)1(2
E
G =
+
=
ν+
=
Momento de inércia da seção (12/40) 44
33
m104,6
12
40,012,0
12
hb
I −×=
⋅
=
⋅
=
Momento de inércia à torção (12/40) 443 m108,140,012,026,0J −×=⋅⋅=
Relação inércia à torção / flexão 55,8
108,110
104,624
GJ
EI
4
4
=
××
××
=
−
−
Calculando-se as integrais pela Regra de Vereschaquine, tem-se
00,1)3/80,056,1(71,0)3/41,111,4(71,0)2/41,151,5(71,0)41,110,1(dsMM0××−××−××−××−=⋅∫
64,5dsMM0 −=⋅∫
71,0)41,171,0(00,1)00,180,0(dsM2 ××+××=∫
51,1dsM2 +=∫
10,171,0)41,110,1(dsTT0 −=××−=⋅∫ 71,071,0)41,171,0(dsT2 +=××=∫
2
)71,055,8(51,1
)10,155,8(72,4
dsT
GJ
EI
dsM
dsTT
GJ
EI
dsMM
X
22
00
+=
⋅+
⋅+
=
⋅+
⋅+
−=
∫∫
∫∫
Chegando-se assim, aos diagramas apresentados nas Figuras J.7 e J.9.