Medidas de separatrizes e medidas de dispersão

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Medidas de Separatrizes
e medidas de dispersão
Medidas de Separatrizes
 Assim como a mediana divide os dados em
duas partes iguais, podemos utilizar outras
medidas para dividir os dados em partes
aproximadamente iguais – fractis.
 As separatrizes são valores que dividem a
distribuição em um certo número de partes
iguais: a mediana divide em 2 partes iguais, os
quartis dividem em 4 partes iguais, os decis
em 10 partes iguais e os percentis em 100
partes iguais.
Medidas de Separatrizes
 O objetivo das separatrizes é
proporcionar uma melhor ideia da
dispersão do conjunto, principalmente
da simetria ou assimetria da
distribuição.
Quartis,Quintis, Decis e Percentis
Os quartis, denotados por Q1, Q2, Q3, são valores
que dividem as observações ordenadas em quatro
partes de modo que Q1 separa as 25% inferiores das
outras 75%, Q2 é a mediana, e Q3 separa as 75%
inferiores das 25% superiores.
Analogamente há 4 quintis Q1, Q2, Q3 , Q4, que
dividem os dados em 5 grupos,9 decis, D1, D2, ..., D9,
que dividem os dados em 10 grupos e 99 percentis,
P1, P2, ..., P99, que dividem os dados em 100 grupos.
Quartis,Quintis, Decis e Percentis
• Cálculo dos quartis para séries simples (dados não 
agrupados)
.1. Ordene as observações em ordem crescente e posicione a
mediana Md na lista de observações ordenadas.
2. Calcular a posição
𝐾𝑖=
𝑖
4
( n+1), se n for ímpar
𝐾𝑖=
𝑖
4
( n) se for par
Obs.: Se o valor não for um número inteiro a convenção que
vamos usar é arredondar para a posição do número inteiro
acima deste e tomar o valor correspondente.
Exemplo 1
 O número de faltas de 19 estudantes 
em um período foi:
0, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 10
 A mediana (Q2) é o (19+1) / 2 = 10º 
valor, ou seja, 3 faltas.
 O 1º Quartil é o 5º valor que é 2 faltas
 O 3º Quartil é 15º valor que é 6 faltas
Exemplo 2
 Amostra 15, 39, 36,40, 41,7
Rol
7, 15, 36, 39, 40, 41
 Q1 = 15
 Q2 = (39+36)/2 = 37.5 ( Mediana)
 Q3 = 40
Cálculo de separatrizes para 
dados agrupados sem intervalo 
de classe
 Quando temos dados agrupados, os
quartis, decis e percentis podem ser
calculados por um raciocínio idêntico ao
que foi usado para o cálculo da
mediana.
Cálculo dos quartis para dados agrupados 
sem intervalo de classe
 Inicialmente, calcular a posição do quartil
Qk para estabelecer em que classe se
localiza o quartil considerado.
 Obtido o resultado para a posição do Qk,
localize esse valor na coluna da frequência
acumulada, para conhecer qual é a classe
que corresponde a essa posição.
 Verificar na coluna da variável em estudo
qual o valor da variável localizada na
classe do quartil Qk considerado.
Exemplo 3
Tabela 1- Distribuição da idade do time masculino de futebol
Posição Q1= 1*25/4= 6,25 -> Posicionado na 2ª classe, logo Q1=12
Medidas de separatrizes para dados 
agrupados em intervalos de classe
.
 Utiliza-se a fórmula, mesma que usamos para
mediana, na qual  é o número de partes em que a
distribuição está sendo dividida.
=
2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎
4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑟𝑡𝑖𝑠
5 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑖𝑛𝑡𝑖𝑠
10 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑠
100 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑖𝑠
Onde:
 Lsk é o limite inferior da classe que contém a separatriz de
ordem k; n é o tamanho da amostra;
 FacAnt é a soma das frequências anteriores à classe que
contém a separatriz; (frequência acumulada anterior)
 h é a amplitude da classe que contém a separatriz;
 Fsk é a frequência absoluta da classe que contém a separatriz.
Sk= Lsk +
𝑘𝑛

−𝐹𝑎𝑐𝐴𝑛𝑡
𝐹𝑠𝑘
. ℎ
Exemplo 4 : Calcule os quartis da distribuição
Classes
Frequência 
absoluta ( Fi )
Frequência absoluta 
acumulada (FAC) 
50 |--------54 4 4
54 |-------- 58 9 13
58 |-------- 62 11 24
62 |-------- 66 8 32
66 |---------70 5 37
70 |---------74 3 40
Total 40
O quartil 3 : 
𝑘𝑛

= 3*40/4 = 30
Q3 = 62 + [ (30 -24) x 4] / 8 = 62 + 3 Q3= 65
O quartil 2 = Md , então:
Q2= Md : 
𝑘𝑛

= 40 / 2 =.20. Logo a classe mediana 
será 58 |-- 62
- Substituindo esses valores na fórmula, obtemos: 
Md = 58 + [ (20 - 13) x 4] / 11 = 58 + 28/11 
Q2= 60,54 
- O quartil 1 : 
𝑘𝑛

= 40/4= 10
Q1 = 54 + [ (10 - 4) x 4] / 9 = 54 + 2,67
Q1= 56,67
O Gráfico de Caixa- Boxplot
• O resumo de cinco números de uma distribuição
conduz a um novo gráfico chamado gráfico de caixa ou
BoxPlot.
• O objetivo deste gráfico é fornecer informações
sobre a variabilidade dos dados e valores atípicos que
podem influenciar o cálculo de medidas como a média
aritmética, por exemplo.
• Boxplot utiliza cinco medidas estatísticas: mínimo,
máximo, mediana, primeiro quartil , terceiro quartil.
• Uma caixa central delimitada pelos quartis Q1 e Q3.
• Uma reta horizontal na caixa marca a mediana.
• Retas que se estendem da caixa para as observações
maior e menor, que não sejam observações
discrepantes. (Entre Q1-1,5IIQ e Q3+1,5IIQ).
O Gráfico de Caixa
• Quaisquer observações que estejam fora do intervalo 
entre Q1-1,5IIQ e Q3+1,5IIQ são denominadas valores 
externos e devem ser rotuladas para investigação 
futura ou verificação.
O Gráfico de Caixa
• É uma forma mais prática de comparação entre dois ou
mais grupos. Podemos representar vários BoxPlots
numa mesma figura, enquanto isso não é possível
quando utilizamos histogramas, por exemplo.
O Gráfico de Caixa
O Gráfico de Caixa
• Pode ser feito para um número reduzido de dados, 
enquanto histogramas não são recomendados quando o 
conjunto de dados é pequeno.
• Não deve ser usado quando a distribuição de 
frequências dos dados tiver mais de uma classe modal, 
ou seja, mais de um pico. O uso do BoxPlot esconderá 
essa característica da distribuição.
Medidas de Dispersão
• O resumo de um conjunto de dados por uma única
medida representativa de posição central esconde toda a
informação sobre a variabilidade do conjunto de
observações.
Por exemplo, suponhamos que cinco grupos de
alunos submeteram –se a um teste, obtendo-se as
seguintes notas:
Grupo A (variável X) = 3, 4, 5, 6, 7. Média = 5
Grupo B (variável Y) = 1, 3, 5, 7, 9. Média = 5
Grupo C (variável Z) = 5, 5, 5, 5, 5. Média = 5
Grupo D (variável W) =3, 5, 5, 7. Média = 5
Grupo E (variável V) = 3, 5, 5, 6, 5. Média = 5
• Todas as séries apresentam média igual a 5, portanto
identificação de cada uma destas séries por sua
média nada informa sobre suas diferentes
variabilidades.
• Então, nota-se a conveniência de se criar uma medida
que sintetize a variabilidade de uma série de valores e
que nos permita comparar conjuntos diferentes de
valores, como os acima, segundo algum critério
estabelecido.
• O critério frequentemente usado para resumir a
variabilidade de uma série de valores é o que mede a
concentração dos dados em torno de sua média e a
medida mais usada é a variância.
Medidas de dispersão
A seguir apresentaremos alguns seguintes 
conceitos:
• amplitude
• desvio médio absoluto
• variância
• desvio padrão
•coeficiente de variação
Medidas de dispersão
AT= Maior Medida – Menor Medida = 65 – 18 = 47
Amplitude:
• A amplitude de um conjunto de dados é a distância 
entre o maior valor e o menor valor.
∆total = Vmax − Vmin.
• A limitação da amplitude acontece pelo fato de ela se 
basear em apenas duas observações, 
independentemente do número total de observações.
Medidas de dispersão
Desvio médio absoluto:
• Uma maneira de se medir a dispersão dos dados é 
considerar os tamanhos dos desvios xi − x ̅ de cada 
observação em relação à média.
• O desvio médio absoluto de um conjuntode dados 
x1, x2, . . . , xn é definido por:
Exemplo: Dado o peso das seguintes pessoas:
Ari 30 Aderbal 15 Carina 55
Renato 52 Guilherme 60 Bruno 53 
Beto 75 Alexandre 20 Fábio 40
.
Variância:
A variância de um conjunto de dados x1, x2, . . . , xn é
definida por:
• Variância populacional 𝜎 ²:
n
xx
XVar
n
i
i


 1
2
2
)(
)( 
onde i= 1, 2,..., n
• Variância amostral s²:
1
)(
1
2
2





n
xx
S
n
i
i
Desvio padrão 
É definido como a raiz quadrada positiva da variância, ou 
seja:
-𝜎 S
Populacional Amostral
Note que a unidade de medida do desvio padrão será a 
mesma dos dados originais.
n
)xx(
)X(DP
n
1i
2
i



1
)(
)( 1
2





n
xx
XDP
n
i
i
•Então, se no exemplo do item anterior a variância 
encontrada foi 345,57, temos que o desvio-
padrão será: 
345,57= 18,58
 



  )2(
1
)(
)( 221
2
xxxx
nn
xx
XVar ii
n
i
i
   ,x)n/x()xnxn2x(
n
1 22
i
222
i
xnx
n
i
i 
1
Também podemos representar a variância da seguinte forma:
Onde:
𝑽𝒂𝒓 𝑿 =
 
𝒊=𝟏
𝒏 𝒙𝒊
𝟐
𝒏
- 𝒙 ²
Exemplo: Considere as idades dos funcionários do 
Departamento de Recursos Humanos.
24; 25; 26; 26; 29; 29 ;31 ;35 ;36 ;37; 38; 42 ;45; 51; 53
A média dos dados é 527/15= 35,13
Vamos calcular a variância das idades dos 
funcionários de RH usando a fórmula alternativa:
Na comparação dos resultados obtidos pelas duas 
fórmulas, pode haver alguma diferença por causa dos 
arredondamentos, uma vez que a média é uma
dízima.
Coeficiente de variação (CV)
• O desvio padrão, apesar de sua utilidade como
medida de variabilidade, deve ser usado com cuidado,
quando se compara variabilidades de diferentes
conjuntos de dados.
• A variância e o desvio padrão são medidas de
dispersão absolutas, desse modo, apenas podem ser
utilizados para comparar a variabilidade de dois ou
mais conjuntos de dados quando estes apresentarem
mesma média; mesmo número de observações e
estiverem expressos nas mesmas unidades.
Coeficiente de variação
• Então, para você comparar qualquer conjunto de
dados quanto à sua variabilidade quando, pelo
menos, uma dessas condições não é satisfeita, é
necessário lançar mão de uma medida de
dispersão relativa como o coeficiente de variação
(CV), que expressa a variabilidade dos dados em
relação a sua média de forma percentual. Sua
expressão será dada por:
Considerando as séries de dados apresentadas pelos
gastos com transportes em relação ao total gasto em
várias prefeituras, conforme descrição a seguir, faça
o seguinte: imagine que você precise efetuar uma
estimativa com base nesses dados. Sobre qual série
é mais fácil fazer estimativas precisas? Por quê?
• Série A: {3,96; 3,17; 3,55; 3,61; 4,11; 4,57; 4,97;
5,91; 5,99; 5,74}
• Série B: {1,46; 2,09; 3,04; 5,12; 7,80; 8,25; 9,95;
15,24; 17,40; 21,74}
Obs: Foi utilizada a variância amostral.
Exemplo: 
Observe que na série A é mais fácil fazermos estimativas 
precisas, pois ela apresenta menor dispersão.
para os dados que estiverem organizados em distribuição de 
frequência será:
Desvio padrão para dados agrupados
sem intervalos de classe
𝜎 =
 𝑥𝑖 − 𝑥 ² 𝐹𝑖
 𝐹𝑖
S=
 𝑥𝑖− 𝑥 ²𝐹𝑖
 𝐹𝑖−1
O desvio padrão amostral
N° de faltas / mês Fi xiFi (xi- média)Fi 
0 4 0 ( 0 - 2,47 )2. ( 4 ) = 24,40 
1 3 3 ( 1 - 2,47 )2. ( 3 ) = 6,48 
2 2 4 ( 2 - 2,47 )2. ( 2 ) = 0,44 
3 1 3 ( 3 - 2,47 )2. ( 1 ) = 0,28 
4 1 4 ( 4 - 2,47 )2. ( 1 ) = 2,34 
5 2 10 ( 5 - 2,47 )2.( 2 ) = 12,80 
6 1 6 ( 6 - 2,47 )2.( 1 ) = 12,46 
7 1 7 ( 7 - 2,47 )2.( 1 ) = 20,52 
* pesquisa populacional 
 15f
 
 37ii fx
 
79,72 
 
Média = 37/15= 2,47
Desvio padrão 
Exemplo
Desvio padrão de Dados agrupados com 
Intervalo de Classes
 Exemplo
i
x
 
Consumo 
Número de 
usuários Fi 
i
x
 xiFi 
)5,79( 
i
x
 
2)5,79( 
i
x
 
 (
i
x
- 79,5)Fi 
 
5 ├ 25 4 15 60 - 64,5 4160,25 16641,0 
25├ 45 6 35 210 - 44,5 1980,25 11881,5 
45├ 65 14 55 770 - 24,5 600,25 8403,5 
65├ 85 26 75 1950 - 4,5 20,25 526,5 
 85├ 105 14 95 1330 15,5 240,25 3363,5 
105├ 125 8 115 920 35,5 1260,25 10082,0 
125├ 145 6 135 810 55,5 3080,25 18481,5 
145├ 165 2 155 310 75,5 5700,25 11400,5 

 
 
 6360 80780 
 
S=
 𝑥𝑖− 𝑥 ²𝐹𝑖
𝑛−1