03 Aspectos de dimensionamento

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Professora: Edilene Muniz de Oliveira
munizedi@gmail.com
 Estados Limites
Situações que determinam o comprometimento da estrutura em parte ou 
no todo;
 Estado Limite Último (ELU)
2Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Estado Limite Último (ELU)
 Estado Limite relacionado ao colapso ou a qualquer outra forma de ruína 
que determine a paralisação do uso da estrutura (item 10.3, NBR 6118);
 Estados Limites de Serviço (ELS)
Estados relacionados à durabilidade, à aparência, ao conforto do usuário e 
à boa utilização funcional da estrutura (item 10.3, NBR 6118);
 ELS-F (formação de fissuras): estado em que se inicia a formação de 
3Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 ELS-F (formação de fissuras): estado em que se inicia a formação de 
fissuras. Estado é atingido quando a tensão máxima de tração for igual a 
fctk,f;
 ELS-D (descompressão): estado no qual em um ou mais pontos da seção 
a tensão normal é nula, não havendo tração no restante da seção;
 Estados Limites de Serviço (ELS)
ELS-DP (descompressão parcial): estado no qual se garante a compressão 
na região onde há armaduras ativas;
 ELS-CE (compressão excessiva): estado no qual as tensões de 
4Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 ELS-CE (compressão excessiva): estado no qual as tensões de 
compressão atingem o limite convencional estabelecido;
 ELS-W (abertura de fissuras): estado em que as fissuras possuem 
abertura menor que máximos especificados (0,2 mm para protensão
parcial);
 Estados Limites de Serviço (ELS)
 ELS-DEF (deformação excessiva): estado no qual as deformações 
atingem os limites estabelecidos para utilização normal;
 ELS-VE (vibração excessiva): estado no qual as vibrações atingem os 
5Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 ELS-VE (vibração excessiva): estado no qual as vibrações atingem os 
limites estabelecidos para utilização normal;
 Ações permanentes (g ou G)
 Atuam com valores praticamente constantes ao longo de toda a vida da 
estrutura;
 Diretas: peso próprio da estrutura, de elementos construtivos fixos e de 
6Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Diretas: peso próprio da estrutura, de elementos construtivos fixos e de 
instalações permanentes, empuxos de terra admitidos como não 
removíveis.
 Indiretas: retração e fluência do concreto, recalques de apoio, 
imperfeições geométricas e protensão.
 Ações variáveis (q ou Q)
 Atuam com valores variáveis ao longo do tempo;
 Diretas: cargas acidentais previstas para o uso da construção (verticais, 
móveis, longitudinais, frenagem, vento, água e ações variáveis durante a 
7Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
móveis, longitudinais, frenagem, vento, água e ações variáveis durante a 
construção);
 Indiretas: variações uniformes ou não uniformes de temperatura e ações 
dinâmicas causadas por choques e vibrações;
 Ações excepcionais (E)
 Situações excepcionais de carregamento com valores definidos em cada 
caso particular e baixa probabilidade de ocorrência, como explosões e 
colisões;
8Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
Concreto:
 Módulo de elasticidade, resistência à compressão, resistência à tração;
 Aço:
9Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Módulo de elasticidade, tensão de escoamento, coeficiente de fluência, 
coeficiente de relaxação, etc.;
 Aço:
 Limites de tensão por ocasião da protensão:
 Armadura pré-tracionada:
77,077,0 ff   
10Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Armadura pós-tracionada:
)(
85,0
77,0
)(
90,0
77,0
RB
f
f
RN
f
f
pyk
ptk
pi
pyk
ptk
pi











 
)(
82,0
74,0
)(
87,0
74,0
RB
f
f
RN
f
f
pyk
ptk
pi
pyk
ptk
pi











 
 Vão
 Para qualquer seção transversal:
 Área;
11Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Momento de inércia;
 Posição do centro de gravidade;
 Módulos de resistência da seção (Winf e Wsup);
 Posição do cabo representante (excentricidade);
 Classe de agressividade ambiental:
 Diz respeito à probabilidade de a estrutura ter sua durabilidade reduzida 
em função das condições climáticas e ambientais do local da construção. 
Quanto maior a agressividade, maior a chance de redução da durabilidade 
12Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
da estrutura;
 Classes I (fraca), II (moderada), III (forte) e IV (muito forte);
 Classe de agressividade ambiental:
13Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Cobrimento
14Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Níveis de protensão
15Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Tensão normal associada à flexão:
Flexo-compressão excêntrica:
sup
2
sup
inf
1
inf W
M
I
yM
W
M
I
yM
xx
 
16Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Flexo-compressão excêntrica:
supsup
sup
infinf
inf
W
M
W
eP
A
P
W
M
W
eP
A
P
p
c
p
c










 Combinação frequente de ações:
 Combinação quase-permanente de ações:
  kqjjkqkgid FFFF ,2,11,
17Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Combinação rara de ações:
  kqjjkgid FFF ,2,
  kqjjkqkgid FFFF ,1,1,
18Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Força de protensão estimada:
Área de aço da armadura protendida:
 iesti P
PP

 
1,
19Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Área de aço da armadura protendida:
pi
esti
p
P
A

,
 Definir classe de agressividade ambiental (CAA);
 Determinar cobrimento mínimo e nível de protensão;
 Determinar a força de protensão que satisfaz às combinações de ações 
20Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
exigidas pelo nível de protensão;
 Determinar área de aço da armadura ativa;
Obter valores representativos da força de protensão;
 Verificar estado em vazio;
 Verificar seções para as combinações de ações;
 Verificar necessidade de armadura passiva. Caso ela seja necessária, 
dimensioná-la;
21Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Verificar segurança contra o colapso (ELU).
 Definir classe de agressividade ambiental;
 Determinar cobrimento mínimo de concreto e nível de protensão;
 Obter os esforços de dimensionamento;
22Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
 Dimensionar armadura ativa;
 Verificar necessidade de armadura passiva e, se ela for necessária, 
dimensioná-la;
 Verificar estado em vazio;
 Verificar ELS conforme combinações determinadas pelo nível de protensão;
23Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
DADOS
cmconsoloPilarL
cmaFoPilarL
vigateor
viga
560152202630
2
1630
58812202630lg630
, 

24Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
2
Classe de agressividade II
fck, pré = 45 MPa
fcj, despr = 21 MPa
fck, in loco = 30 MPa
γc, pré = 1,3
ψ1 = 0,7
ψ2 = 0,6
DADOS
Ação Carga (kN/m) M (kNm) V (kN)
Peso Próprio 5,94 23,3 16,63
PP Laje 26,74 104,8 74,87
25Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
PP Laje 26,74 104,8 74,87
Capa 17,36 68,1 48,61
Permanente 0,00 0,00 0,00
Acidental 30,00 117,6 84,00
Total 95,04 313,8 224,11
Propriedades da Seção Transversal
Seção Simples
h = 50 cmAc = 0,2377 m²
26Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
Ac = 0,2377 m²
I = 5,23 E-03 m⁴ 
y = 27,8 cm
Wi = 1,88 E-02 m³
Ws = 2,35 E-02 m³
Propriedades da Seção Transversal
Seção Composta
h = 76 cm
Ac = 0,3843 m²
I = 2,00 E-02 m⁴ 
27Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
I = 2,00 E-02 m⁴ 
y = 43,5 cm
Wi = 4,60 E-02 m³
Ws = 6,14 E-02 m³
cm
E
E
b
cm
E
E
b
préc
inlococ
préc
inlococ
3645
37566
3067245
142174
37566
30672174
,
,
int
,
,
sup


Armadura
Para o exemplo, adotando a posição dos cabos conforme a figura a seguir, 
com cordoalhas de 12.7 mm CP190 RB, σi = 1453 MPa, perdas iniciais de 
10% e perdas totais de 25%, as tensões no meio do vão para o ELS-D, ELS-F 
28Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
e ELU Ato de Protensão são apresentadas a seguir. 
Verificações de tensões
Ato de Protensão:
MPaMPa
MPaMPa
s
i
74,277,0
70,1452,14




29Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELS-D:
ELS-F:
MPaMPa
MPaMPa
s
i
3128,8
004,0




MPaMPa
MPaMPa
s
i
3147,8
19,322,0




30Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
ELU – Flexão
0)(68,0)(272,0 2
2
KMDKXKX
fcdbd
MKMD d


31Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
)(4,01
)(
0)(68,0)(272,0
KXKZ
dKXx
KMDKXKX



pd
d
p dKZ
MA
)(

ELU – Flexão
9880,0
08,2
0301,0
0202,0




KZ
mesanaLNx
KX
KMD
1509
%56,1
%56,0
1090
MPa
MPa
t
p
p








32Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
De acordo com os resultados acima, a armadura de protensão existente é 
suficiente para o ELU, sendo necessária, portanto, apenas armadura mínima 
passiva de 8,2 cm² (2φ25).
%1
9880,0


s
KZ
 ²9,7²3,4
1509
, cmAcmA
MPa
existpp
pd


ELU - Cisalhamento
kNAnP
kNdbffV
i
wcd
ck
Rd
66,860987,080,109
21181,6940
3,1
5,4
250
45127,0
250
127,02





 



 

33Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
kNmePM
kNAnP
kNmePM
kNAnP
inicpp
p
is
pcordp
s
inicp
ii
pcordp
i
12,35)05,0278,050,0(68,200
68,200987,027,101
88,179)069,0278,0(66,860
66,860987,080,109
,
,














ELU - Cisalhamento
Para o cálculo da armadura de cisalhamento, a armadura ativa atua de forma 
favorável, logo γp = 0,9:
   WPPMMM isipsip0  
34Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
 
    kNmM
A
MMM p pp
83,205
2377,0
1088,168,20066,8609,012,3588,1799,0
2
0
0





ELU – Cisalhamento
283,497
32,439
83,205133921
3391,6940
3,1
10/4521,06,06,0
00
0
0
)3/2(
0
VVV
M
MVV
kNdbfV
ccccc
wctdc




 


 

35Estruturas Pré-Moldadas I - Profa. Edilene Muniz
15/8/²07,6100
500
453,0402,02,0/
59,3167,54011,224
32,439
)3/2(
000
cmcm
f
fbsA
mínimaarmaduraapenasNecessáriokNVVV
M
ywk
ctm
wsw
csdsw
ccc
d
cc



 Viga de ponte rolante industrial com capacidade para 60 kN, instalada em 
laboratório de engenharia;
Vão simplesmente apoiado em consolos de concreto, sobre almofadas de 
neoprene, com fixação por chumbadores de aço inox;
36Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
neoprene, com fixação por chumbadores de aço inox;
Ações: peso próprio, peso dos trilhos e carga móvel da ponte. Esforços 
horizontais desprezíveis;
Pré-tração em pista de protensão de 200 m;
 Pré-tração com macaco hidráulico monocordoalha;
Ancoragem por meio de cunhas tripardidas e porta cunhas;
Concreto usinado lançado com tremonha e adensado com vibrador de 
37Estruturas de Concreto Protendido - Profª. Edilene Muniz
imersão e motovibradores auxiliares fixados nas paredes da fôrma metálica;
Cura à vapor;
 Propriedades do concreto aos 28 dias:
Módulo de elasticidade: Eci = 33,13 GPa;
Módulo de elasticidade secante: Ecs = 28,16 GPa;
Resistência à compressão: f = 35,00 MPa;Resistência à compressão: fck = 35,00 MPa;
Resistência à tração: fctk ,inf= 2,25 MPa;
 Propriedades do concreto no dia da protensão:
Resistência à compressão: fcjk = 24 MPa;
Resistência à tração: fctjk = 1,75 MPa;
 Armadura ativa:
Cordoalhas de 7 fios CP 190 RB;
Resistência à tração: fptk = 1900 MPa;
Tensão de escoamento: fpyk = 1710 MPa;
Módulo de elasticidade: Epk = 200 GPa;
Armadura passiva (Barras de aço CA-50);
Tensão de escoamento: fyk = 500 MPa;
Módulo de elasticidade: Epk = 210 Gpa;
Perdas de protensão:
Acomodação da ancoragem: 0,41%;
Retração inicial do concreto: 0,00% (cura úmida);
Relaxação inicial do aço: 2,00%;
Perdas progressivas: 22,59%
Geometria da seção transversal: unidades em mm
Propriedades geométricas da seção transversal:
Propriedade Pelos chumbadores Fora dos chumbadores
Ac (m2) 0,2778 0,3072Ac (m ) 0,2778 0,3072
Y1 (m) 0,446 0,483
Y2 (m) -0,504 -0,467
Ix (m4) 2,240 . 10-2 2,677 . 10-2
Winf (m3) 5,022 . 10-2 5,536 . 10-2
Wsup (m3) -4,444 . 10-2 -5,738 . 10-2
Carregamento permanente:
Peso próprio:
mkNgAg cc /68,7253072,0  
Momento fletor:
Tensão normal:
2
1
sup,1
1
1
inf,1 W
M
W
M g
g
g
g  
8
2
1
LgM g

 Carregamento permanente:
Peso próprio:
mkNg /68,71 
Momento fletor:
Tensão normal:
MPaMPa gg 86,430,4 sup,1inf,1  
mkNM g  2161
Carregamento permanente:
Peso próprio do trilho + argamassa:
mkNg /37,02 
Momento fletor:
Tensão normal:
MPaMPa gg 23,021,0 sup,2inf,2  
mkNM g  41,102
Carregamento acidental (carga móvel):
Momento fletor:
mkNM q  30,393
Tensão normal:
Momento obtido da análise da linha de influência
MPaMPa qq 85,883,7 sup,inf,  
Excentricidade da força de protensão:
Local da obra: zona urbana, laboratório, ambiente seco;
Classe de agressividade ambiental: II (moderada);
Cobrimento: 35 mm;
Protensão: nível 2 (protensão limitada)
Excentricidade da força de protensão:
mee pp 405,0041,0446,0 
 ELS-D: Combinação quase permanente:
MPapp 43,8083,75,021,03,4 ,1,1   
Borda inferior:
kNP
PP
CQP
CQP
est
CQP
est
72,722
10022,5
405,0
2778,0
100043,8 2
,,



 

Borda superior:
A força estimada de 722,72 kN atende ao estado limite de
descompressão na borda superior.
kNPCQPest 72,722,  
 ELS-F: Combinação frequente:
MPapp 85,725,2.3,183,78,021,03,4 ,1,1   
Borda inferior:
kNP
PP
CF
CF
est
CF
est
00,673
10022,5
405,0
2778,0
100085,7 2
,,



 

Borda superior:
A força estimada de +673,0 kN atende ao estado limite de
descompressão na borda superior.
 Usar: kNPPPP est
CF
est
CQP
estest 72,742,max ,,,,  
kNPCFest 00,673,  
 Admitindo que 25% da força de protensão é perdida:
 Limites de tensão na armadura ativa:
  kNPP
P
P esti
i
CF
est
esti 96,96225,01
22,722
1 ,
,
, 


 
 Limites de tensão na armadura ativa:
24, 63,610
10001453
96,962
1453171085,085,0
1463190077,077,0
cm
P
A
MPaf
MPaf
pi
esti
p
pyk
ptk
pi











Assim adotam-se 5 cordoalhas de 7 fios de 12,7 mm;
2
,, 91,6987,07 cmAAefpefp 
 ELU – Ato de Protensão
kNmePM
kNAnP
MPa
kNmM
pp
pcordp
p
pp
77,396405,068,979
68,979987,078,141
141814539759,0
216
00
0 0
0






 ELU – Ato de Protensão (γp = 1,1 e γf = 1,0) 






MPaf
MPaf
cjc
jctt
8,16247,07,0
10,22421,02,12,1
lim,
3
2
,lim,


8,1610,2 00 
W
M
W
M
A
P ppfpp
c
p  
 ELU – Ato de Protensão (γp = 1,1 e γf = 1,0) 
Fibra Inferior Fibra Superior
MPa
A
P
c
p 88,30 
 MPa
A
P
c
p 88,30 

MPa
MPa
W
M
MPa
W
M
A
i
i
ppf
i
pp
c
29,83,471,888,3
30,4
71,80






MPa
MPa
W
M
MPa
W
M
A
s
s
ppf
s
pp
c
11,186,447,814,6
86,4
85,90





