Exercícios Cálculo 3

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Exercícios 9.1
l. Desenhe a imagem da superfície 
parametrizada dada.
2
= (u, v, u + v ),(u,v) E R .
c) c (u, v) = (u, v, 1 —u — v), u 0, v O eu + l.
= (v cos u, v sen u, v), 0 < u < 27, 0 < v h, onde h > 0 é um real dado.
v cos u, v sen u, 2
, 27, v > 0.
2. Seja A = {(0,y,z) e R 3 Iz2 + (y — = 1) e seja B o conjunto do espaço obtido pela rotação
em torno do eixo z do conjunto A. Determine uma parametrização para B.
(Sugestão: Parametrize B utilizando os parâmetros u e v confprme figura seguinte.)
u
Exercícios 9.2
l. tktermine o plano tangente à superfície dada, no ponto dado.
a) c (u, v) = (u. v, u + v ), no ponto T (l, l).
h) c(u. = (cos u, sen u, v), no ponto —,1.
2
c) c(u, v) = (2u + v, u — v, 3u + 2v), no ponto (0, O).
d) cr(u, v) = (u —v, u + v ,uv), no ponto o (1, l).
e) c (u, v) = (arctg uv, eu , u — v), no ponto c (1
2 Seja c: —9 R3, C) aberto em R , uma superfície de classe C e seja y: 0 uma curvade
classe Cl , com (t) = (u (t), v (t)). (Observe que (t) é um ponto de O, para todo t E I.) Seja
r: lm ca curva dada por r (t) = c (7 (t)). Prove que (Y A (7 (t)) é ortogonal
a r ' (t). Interprete.
3. Seja o: C) C R2 --* R3, 0 aberto, uma superfície de classe C dada por
cr(u, v) = (x (u, v), y (u, v), z (u, v)). Verifique que
(Sugerimos ao leitor desenhar a imagem da superfície dada.)
(10,1 -u 1.
— v ), (u, v) K, onde K é o conjunto no plano uv limitado pelo eixo
uepela curva 
(em coordenadas polares) p = e— , 0 0 m
1
e) (14 
u, v
2
(cos u, v, sen u), u +4v l.
$ejaA = y, 
z) E R31 z2 + (y 
— 11; ache a área da superfície gerada pela rotação em
torno do eixo Oz do 
conjunto A.
sejaf: K —i R de classe C no compacto K com fronteira de conteúdo nulo e interior não-vazio.
ostre que a área da superfície z = f (x, y) (isto é, da superfície dada por
u, y = v e z = f (u, v)) é dada pela fórmula
2
JJK
dx dy.
214 Vm Curso de 
Cálculo Vol. 3
4. Calcule a árca da parle 
da superfície cilíndrica z + x 
= 4 que se encontra dentro do cilindr
+ y 4e acima do plano 
AT'.
2
5. Calcule a área da parte da 
superfície esférica x + y + z
.2
6. Calcule a área da superfície z
2
7. Calcule a área da arte da superfície esféricax 2 
+ y2 +
lóidc z x2 + y .
1 que se encontra dentro docorR
2 que se encontra dentro do
8. Calcule a áreada parte do conez = x + 
y que se encontra dentro do cilindrox + y
do cilindro? + y2 < 1 e acima do plano xy.
3/2 3/2
9. Calcule a área da superfície z = x + y < x < — e 0 
< y
IO. Calcule a área de z = x2 + y2 , x2 +y < 1 e y 0.
9
2x
16
11. Calcule a área da parte da superfície z = x2 + y2 compreendida entre os planosx+y= l,
x + y = 2, x = Oey = 0.
12, Calcule a área da parte da superfície z = xy que se encontra dentro do cilindrox + y <4efoa
do cilindro? + y2 1.
mícios 
9.4
f(x,y,z) dS sendo
I Calcule
= (u — v, u + v, 2u + v + l), 
u.
+ y e ďa superfíciex + y + z = 4, z > l. (Fica entendido aqui que Cé a
parametrizacäo mais ”natural” do conjunto dado.)
f) z) xye ff é a intersecäo do parabolóide z = x + y com o conjuntox2 +
2
g) f(x, y, z) 
= xe ff é a parte da superfície z x + situada entre os planosz= 1 ez = 3.
h) ze (Té a parte da superfíciez = x + y que se encontra acima do parabolóide
fix, y, z) =
do 
1 — x2 e 
x 2 + y
2
z
J) f(x,y,z)=
a parte da superfície cilíndricaz + x = I que se encontra dentro
e (Té a parte do parabolóidez = I — x — y que se encontra
1 + 4x2 + 4y2
dentro do cilindrox + y < 2y.
2. Calcule o centro de massa da superfície homogônea (densidade 
constante) dada.
= lez = 2.
b) Cé a parte da superfície cônica z2 = .ľ2 + y 
compreendida entre os planos 
z