Lista 1 Cálculo 1 USP ICMC

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Lista A de Exerc´ıcios de SMA301 e SMA353
marc¸o de 2018
Exerc´ıcio 1 Em cada um dos itens abaixo responda se a a�rma�c~ao �e verdadeira (V)
ou falsa (F). Justi�que sua resposta, isto �e, no caso de ser verdadeira esboce as id�eias
de uma demonstra�c~ao e se for falsa de^ um contra-exemplo:
( ) Cada ponto da reta R pode ser representado por uma d��zima peri�odica.
( ) Se x ≥ 0 e x ≤ 0, ent~ao x = 0.
( ) Se z ∈ N e x < y, ent~ao x z < y z.
( ) Se z ∈ R e x ≤ y, ent~ao x z ≤ y z.
( )
√
x2 = x para todo x ∈ R.
( ) Se x > y, ent~ao |x− y| = x− y.
( ) Para quaisquer x, y ∈ R, temos que |x+ y| = |x| + |y|.
( ) Se a e b s~ao n�umeros irracionais ent~ao a+b tamb�em ser�a um n�umero irracional.
( ) Se a e b s~ao n�umeros irracionais ent~ao a · b tamb�em ser�a um n�umero irracional.
( ) Se a e b s~ao n�umeros racionais ent~ao a+ b tamb�em ser�a um n�umero racional.
( ) Se a e b s~ao n�umeros racionais ent~ao a · b tamb�em ser�a um n�umero racional.
( ) Se a �e um n�umero racional e b �e um n�umero irracional ent~ao a+b �e um n�umero
irracional.
( ) Se a �e um n�umero racional e b �e um n�umero irracional ent~ao a · b �e um n�umero
racional.
( ) Se a �e um n�umero racional e b �e um n�umero irracional ent~ao a · b �e um n�umero
irracional.
( ) Se (a , b) s~ao as coordenadas cartesianas de um ponto que pertence a uma reta
que tem coe�ciente angular
3
2
, ent~ao o ponto (a + 2 , b + 3) tamb�em pertencer�a a esta
reta.
( ) Se duas retas s~ao perpendiculares e nenhuma delas �e paralela ao eixo Oy, ent~ao
o produto de seus coe�cientes angulares �e −1.
( ) A reta que cont�em os pontos (1 ,−1) e (2 , 2) �e paralela �a reta de equa�c~ao x−3 y = 7.
( ) A representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co da fun�c~ao y = x2+1 �e sim�etrico em rela�c~ao
ao eixo dos Ox.
( ) A representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co da equa�c~ao x2 − y2 = 1 �e sim�etrico em
rela�c~ao �a reta y = x.
( ) A representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co da fun�c~ao y = x2 + 1 �e uma par�abola.
( ) O maior dia^metro da elipse 2 x2 + y2 = 2 ocorre na dire�c~ao horizontal.
( ) O v�ertice da par�abola y = 2− x2 �e ponto (0 , 2).
( ) O dom��nio da fun�c~ao f, cuja lei de associa�c~ao �e f(x) =
√
x
2− x
, �e o intervalo
[0 , 2).
( ) A imagem da fun�c~ao f : R → R, dada por f(x) = 4 − x2, para x ∈ R, �e o intervalo
(−∞ , 4].
( ) O subconjunto do plano
{
(x , y) ∈ R2 ; , x2 + y2 = 1 , com y ≥ 0} �e a representa�c~ao
1
geom�etrica do gr�a�co de uma fun�c~ao da vari�avel x.
( ) A imagem da fun�c~ao f :
(
−pi
2
,
pi
2
)→ R, dada por f(x) = sen(x)
cos(x)
, para x ∈
(
−pi
2
,
pi
2
)
�e toda a reta R.
( ) A equa�c~ao sen(2 x) = 2, para x ∈ R, �e satisfeita para in�nitos valores distintos de
x.
( ) A equa�c~ao [ sen(x) + cos(x)]2 − 1 = sen(2 x) �e v�alida para todo x ∈ R.
Exerc´ıcio 2 (a) Se x ≥ 0 e x ≤ y, mostre que x2 ≤ y2.
(b) Mostre que a a�rma�c~ao anterior �e falsa se considerarmos x, y quaisquer n�umeros reais.
Exerc´ıcio 3 Mostre que quaisquer que sejam os n�umeros reais x e y, temos que
x3 < y3 se e somente se x < y.
Exerc´ıcio 4 Seja a ∈ (0, 1). Determine r > 0 de modo que (a− r, a+ r) ⊂ (0, 1).
Exerc´ıcio 5 Sabemos que para todo a, b real tem-se |a+ b| ≤ |a| + |b|. Como conseque^ncia
deste fato mostre que ||a| − |b|| ≤ |a− b| e que | |a| − |b| | ≥ |a| − |b|.
Exerc´ıcio 6 De^ exemplo de n�umeros reais a e b tais que |a + b| < |a| + |b|. O que se pode
dizer a respeito dos sinais desses n�umeros?
Exerc´ıcio 7 O n�umero x =
1+
√
2
1−
√
2
+ 2
√
2 �e racional ou irracional? Justi�que sua resposta.
Exerc´ıcio 8 A divis~ao �aurea de um segmento de comprimento l �e a divis~ao deste em duas
partes na qual a menor est�a para a maior assim como a maior est�a para o todo. Se l �e racional,
deduza que as partes (da divis~ao �aurea) s~ao irracionais. Se l �e irracional, �e poss��vel deduzir
algo? Sugesta˜o: F�ormula de B�askara.
Exerc´ıcio 9 Encontre o conjunto solu�c~ao das seguintes desigualdades:
a) |1− 3 x| < 5 b)
∣∣x2 + 3∣∣ > 3 c) x2 < 9
d) x2 > −1 5) x2 < 6x− 5 e) x3 > 27
f)
x− 6
x+ 2
≥ 0 g) (x+ 2) (x− 3)
x
(
x2 + 1
) < 0 h) 8
x
< x− 2
i)
3
x− 2
<
1
2 x+ 1
j)
x2
x− 2
− 1 ≥ x
2 + 3
x2 − 4
k) x2 + 2 x+ 2 > 0
Exerc´ıcio 10 Determine a equa�c~ao geral das retas do plano xOy:
a) que possua coe�ciente angular −2 e que cont�em o ponto (3 ,−1).
b) perpendicular �a reta do plano xOy, que tem equa�c~ao geral dada por 5 x − 2 y = 2 e
que cont�em o ponto (−2 , 3).
c) tangente a circunfere^ncia que tem centro no ponto (0 , 0) e raio 1, no ponto
(√
2
2
,
√
2
2
)
.
2
Exerc´ıcio 11
a) Encontre a dista^ncia do ponto (1 ,−2) �a reta do plano xOy, que tem equa�c~ao geral
dada por 3 x− 2 y = 0.
b) Mostre que o segmento de reta ligando os pontos m�edios de dois lados de um tria^ngulo
qualquer �e paralelo ao terceiro lado e tem a metade do comprimento deste.
Exerc´ıcio 12 Encontre a representa�c~ao geom�etrica do gr�a�co de cada um dos conjuntos
solu�c~oes das seguintes equa�c~oes ou inequa�c~oes:
a) x2 + y2 − 6 x+ 8 y = 0 b) x2 + y2 − 10 y+ 25 = 0 c) x2 + y2 < 1
d) x2 + y2 ≥ 1 e) x = −
√
1− y2 f) x2 + y2 < −1
Exerc´ıcio 13 Um canh~ao �e colocado na origem de um sistema de coordenadas xOy.
Suponha que as coordenadas de um proj�etil atirado pelo canh~ao satisfaz as seguintes
equa�c~oes x = 50 t metros e y = 50 t − t2 metros, depois de t segundos do lan�camento.
Mostre que a trajet�oria do proj�etil �e uma par�abola. A que dista^ncia do canh~ao o proj�etil
vai atingir o ch~ao? Qual a altura m�axima que o proj�etil atingir�a ap�os o disparo do
canh~ao?
3