APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA

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UFPB / CCEN / DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
2a LISTA DE CÁLCULO II — PERÍODO 2013.1
APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
1. Calcule a área da região R (do plano) dada:
a) Interior do círculo de raio R.
b) Interior da elipse de equação (x²/a²) +( y²/b²) = 1
c) Situada entre o eixo Ox e o gráfico de y = x² − x, com 0 ≤ x ≤ 2.
d) O conjunto R = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 1, √x ≤ y ≤ 3}.
e) Limitada pelas retas x = 0, x = π/2 , y = 0 e pelos gráficos de y = sin x
e y = cos x.
f) Todos os pontos (x, y) tais que x² + 1 ≤ y ≤ x + 1.
2. Determine o comprimento da curva dada:
a) x² + y² = R²
 b) y = x², 0 ≤ x ≤ 1
c) y = x ³/², 1 ≤ x ≤ 3
 d) y = ex, 0 ≤ x ≤ 1
e) y = x² + 2x − 1, 0 ≤ x ≤ 1 
f) y = 1 − log (cos x), π/6 ≤ x ≤ π/4
3. Calcule o comprimento de arco das curvas parametrizadas dadas a seguir:
a)	x (t) = t³
y (t) = t²
1 ≤ t ≤ 3
b)	x (t) = et cost
y (t) = et sin t
0 ≤ t ≤ 1
c)	x (t) = 2 (1 − sin t)
y (t) = 2 (1 – cos t)
0 ≤ t ≤ π
d)	x (t) = t cos t
y (t) = t sin t
0 ≤ t ≤ π
e)	x (t) = cos 2t
y (t) = sin² t
0 ≤ t ≤ π
f)	x (t) = 1/2t² + t
y (t) = 1/2t² − t
0 ≤ t ≤ 2
4. Em cada caso abaixo, esboce a região limitada pelas curvas dadas e calcule
o volume do sólido gerado pela rotação da região obtida em torno do eixo
indicado:
a) xy = 1, x = 1, x = 2, y = 0; eixo de rotação: y = 0 (eixo Ox).
b) y = x² − 4x, y = 0; eixo de rotação: y = 0 (eixo Ox).
c) y = x², y = 4 – x²; eixo de rotação: y = 0 (eixo Ox).
d) y = √x, y = 0, x = 4; eixo de rotação: reta x = 4.
e) x² + y² = 1; eixo de rotação: reta x = 2.
f) y = √x, y = 0, x = 4; eixo de rotação: reta y = 2.
g) x = y, y = 0, x = 2; eixo de rotação: x = 0 (eixo Oy).
h) y = 0, y = x², y = 2x − 1; eixo de rotação: y = 0 (eixo Ox).
i) y = x², x = 0, y = 4; eixo de rotação: x = 0 (eixo Oy).
5. Uma região D do plano xy é delimitada pelo triângulo de vértices (0, 0),
(h, 0) e (h, r), onde h e r são números positivos. Calcule o volume do sólido
resultante da rotação da região D em torno do eixo Ox.
6. Faz-se um orifício de raio 2√3 pelo diâmetro de um sólido esférico de raio
R = 4. Calcule o volume da porção retirada do sólido.
7. Calcule o volume de um tronco de cone circular reto de altura h , raio da
base inferior R , e raio da base superior r.
8. Calcule o volume da calota de uma esfera de raio r, determinada por um
plano cuja distância ao centro da esfera é h<r.