Aula 3 As bases do dimensionamento estados limites ações segurança

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As bases do 
dimensionamento: Estados 
limites, ações e critérios de 
segurança
1
Disciplina: Concreto Estrutural I
Prof. Daniel de Lima Araújo
Escola de Engenharia Civil - UFG
ESTADOS LIMITES
2
Estados Limites
� Qual o objetivo do dimensionamento de uma 
estrutura em concreto armado ?
� Garantir uma adequada segurança contra ruptura 
provocada pelas solicitações, limitar as 
deformações de forma a não se comprometer o deformações de forma a não se comprometer o 
uso a que a construção de destina e garantir a 
durabilidade da mesma adotando-se providências 
necessárias para se evitar corrosão da armadura. 
� Que informações são necessárias para o 
dimensionamento?
3
ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
� São estados relacionados ao colapso da 
estrutura ou a qualquer outra forma de ruína 
estrutural (local ou global):
� perda do equilíbrio da estrutura, admitida como 
corpo rígido: tombamento; ruptura de fundação...corpo rígido: tombamento; ruptura de fundação...
� transformação da estrutura, no todo ou em parte, 
em sistema hipostático por plastificação; 
exemplos
� ruptura de seções da estrutura por solicitação 
normal ou tangencial (real ou convencional)
4
ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
� São estados relacionados ao colapso da 
estrutura ou a qualquer outra forma de ruína 
estrutural (local ou global):
� esgotamento da capacidade resistente da 
estrutura como um todo ou de parte, estrutura como um todo ou de parte, 
considerando-se os efeitos de segunda ordem 
(instabilidade por deformação ou flambagem); 
exemplo
� estado limite último provocado por solicitações 
dinâmicas (fadiga);
5
ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS
� Nas verificações relativas ao estado limite de 
esgotamento da capacidade resistente, pode-se 
admitir redistribuição de esforços internos, desde 
que seja respeitada a capacidade de adaptação 
plástica da estrutura.plástica da estrutura.
6
ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO
� Os estados limites de serviço ou de utilização 
caracterizam a impossibilidade de utilização da 
estrutura, mesmo que não tenha sido esgotada a 
capacidade resistente da mesma, tanto em relação 
aos usuários quanto em relação às máquinas e aos aos usuários quanto em relação às máquinas e aos 
equipamentos utilizados.
� aparecimento de deformações excessivas para uma 
utilização normal da estrutura (ELS-DEF);
� fissuração excessiva nas mesmas condições (ELS-F 
e ELS-W);
� existência de danos indesejáveis como corrosão etc.;
� vibração excessiva (ELS-VE); 7
AÇÕES
8
1. DEFINIÇÃO
� As ações F que determinam as solicitações S 
podem ser classificadas em:
� Diretas
� Indiretas
Permanente� Permanente
� Variável
� Excepcional
9
1.1 AÇÕES DIRETAS
� CARGAS PERMANENTES
� peso próprio da estrutura
� sobrecargas fixas
� empuxos permanentes de terra e de outros 
materiais granulososmateriais granulosos
� massa específica do concreto normal: 2.000 kg/m3
a 2.800 kg/m3. NBR 6118: 2.400 kg/m3 para 
concreto simples e de 2.500 kg/m3 para concreto 
armado. 
� As massas específicas dos materiais de 
construção correntes podem ser avaliadas com 
base nos valores indicados na NBR 6120. 10
1.1 AÇÕES DIRETAS
� CARGAS PERMANENTES
11
1.1 AÇÕES DIRETAS
� CARGAS PERMANENTES
12
1.1 AÇÕES DIRETAS
� CARGAS PERMANENTES
� Os pesos de instalações permanentes devem são 
considerados com os valores nominais indicados 
pelos respectivos fornecedores
13
1.1 AÇÕES DIRETAS
� CARGAS ACIDENTAIS
� As cargas acidentais são prescritas pela NBR 
6120 no caso de edificações usuais e pelas NBR 
7188 e NBR 7189 no caso de estruturas sujeitas a 
carregamento móvel e devem ser dispostas nas carregamento móvel e devem ser dispostas nas 
posições mais desfavoráveis para o elemento 
estudado. São exemplos de cargas acidentais:
� as cargas verticais de uso da construção;
� as cargas móveis, com a consideração do 
impacto vertical;
� as forças resultantes de impacto lateral;
� a força longitudinal devida à frenagem ou à 
aceleração; 14
1.1 AÇÕES DIRETAS
� CARGAS ACIDENTAIS - NBR 6120
15
1.1 AÇÕES DIRETAS
� CARGAS ACIDENTAIS - NBR 6120
16
1.1 AÇÕES DIRETAS
� CARGAS ACIDENTAIS - NBR 6120
17
1.1 AÇÕES DIRETAS
� AÇÃO DO VENTO
� A NBR 6118:2003 determina a obrigatoriedade de 
se considerar a ação do vento. Os esforços 
devidos a essa ação devem ser determinados de 
acordo com o prescrito pela NBR 6123, sendo acordo com o prescrito pela NBR 6123, sendo 
permitido o emprego de regras simplificadoras 
previstas em normas brasileiras específicas.
18
1.1 AÇÕES DIRETAS
� AÇÃO DA ÁGUA
� A ação da água deve ser considerada no 
dimensionamento de estruturas como 
reservatórios, tanques ou decantadores, ou ainda 
em estruturas em que a água da chuva possa em estruturas em que a água da chuva possa 
ficar retida devido a deficiências de caimento ou 
de deformações da própria estrutura. 
19
1.1 AÇÕES DIRETAS
� AÇÕES VARIÁVEIS DURANTE A 
CONSTRUÇÃO
� Em algumas estruturas, a verificação da 
segurança da estrutura para a etapa relativa à 
obra acabada não garante a segurança durante a obra acabada não garante a segurança durante a 
execução da mesma. 
20
1.2 AÇÕES INDIRETAS
� São ações que redundam em deformações 
impostas à estrutura e são oriundas de efeitos de 
variação de temperatura, retração do concreto, 
fluência do concreto, recalques de apoio, 
imperfeições geométricas ou protensão. imperfeições geométricas ou protensão. 
21
1.3 AÇÕES EXCEPCIONAIS
� São ações decorrentes de catástrofes como 
terremotos, incêndios, explosões etc., e por isso 
mesmo de ocorrência muito pouco provável. 
22
AÇÕES NO MÉTODO DOS 
ESTADOS LIMITES
23
Introdução
� Permanentes: diretas e indiretas
� Variáveis: normais (grande probabilidade de 
ocorrência) e especiais (pequena probabilidade 
de ocorrência)
Excepcionais� Excepcionais
24
1. Valores representativos para estados 
limites últimos
� Valores característicos 
� no caso de ação variável, probabilidade de 25% a 
35% de serem ultrapassadas no sentido 
desfavorável durante um período de 50 anos 
exemplo: vento.exemplo: vento.
� Ações permanentes: desfavorável usar valor 
característico superior; favorável usar valor 
característico inferior.
� Valores característicos nominais: são aqueles 
que não possuem função de distribuição de 
probabilidade. Ex: sobrecarga em edifícios, 
carga móvel em ponte 25
1. Valores representativos para estados 
limites últimos
� Valores reduzidos de combinação: leva em conta 
que é muito baixa a probabilidade de ocorrência 
simultânea dos valores característicos de duas 
ou mais ações variáveis.
� Valores convencionais excepcionais: arbitrados � Valores convencionais excepcionais: arbitrados 
por consenso entre proprietário e autoridades 
governamentais
26
2. Valores representativos para estados 
limites de serviço
� Valores reduzidos de utilização: ações que se 
repetem muitas vezes e ações de longa duração
� Valores raros de utilização: ações que podem 
acarretar estados limites de serviço mesmo que 
atuem com duração muito curtaatuem com duração muito curta
27
3. Valores de cálculo
� Obtidos pela multiplicação dos valores 
representativos pelos coeficientes de 
ponderação
28
4. Coeficientes de ponderação
� γf 1, :variabilidade das ações; 
� γf 2, probabilidade de ocorrência simultânea das 
321 ffff γγγγ =
� γf 2, probabilidade de ocorrência simultânea das 
ações; 
� γf 3, desvios gerados nas construções e as 
aproximações feitas em projeto do ponto de vista 
das solicitações.
29
4. Coeficientes de ponderação
� Para combinações relativas aos estados limites 
de utilização, adota-se γf 1 γf 3 = 1
� Estado limiteúltimo:
� ação principal: γf 2 = 1
γ ψ� cargas secundárias γf 2 = ψ0
� Estado limite de serviço:
� γf 2 = 1, para as combinações raras;
� γf 2 = ψ1, para as combinações frequentes;
� γf 2 = ψ2, para as combinações quase 
permanentes.
30
4. Coeficientes de ponderação
Parcela ( γf 1 γf 3 ) do coeficiente γf para combinações no estado limite último. 
 
Permanentes (g) Variáveis (q) Protensão (p) 
Recalque de 
apoio e retração 
Desf. Fav. Geral Tempo Desf. Fav. Desf. Fav. 
31
Desf. Fav. Geral Tempo
rária 
Desf. Fav. Desf. Fav. 
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0,9 1,2 0,0 
Especiais ou de construção 1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0,9 1,2 0,0 
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0,0 1,2 0,9 0,0 0,0 
 
4. Coeficientes de ponderação
Coeficiente γf 2 para ponderação das ações variáveis. 
Ações ψ0 ψ1(1) ψ2 
Cargas acidentais de edifícios 
Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos que 
permaneçam fixos por longos períodos de tempo, nem de elevadas 
concentrações de pessoas 
0,5 0,4 0,3 
32
Locais em que há predominância de pesos de equipamentos que 
permaneçam fixos por longos períodos de tempo, ou de elevadas 
concentrações de pessoas 
0,7 0,6 0,4 
Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6 
Vento 
 
Pressão dinâmica do vento nas estruturas em geral 0,6 0,3 0,0 
Temperatura 
 
Variações uniformes de temperatura em relação à média anual local 0,6 0,5 0,3 
(1)
 Nos casos de pontes e principalmente de problemas de fadiga, consultar o capítulo 23 da NBR6118:2003 
 
4. Coeficientes de ponderação
a) combinação última normal 
∑ ∑
= =





 Ψ+γ+γ=
m
1i
n
2j
k,qj0k,1qqk,gigid FFFF 
- edifício residencial ( ) gkk2qk1qgkgkd F6,02,1F5,0F4,1F2,1F4,1F εε ++++=
 
combinação 1: Fgk – cargas permanentes 
33
combinação 1: Fgk – cargas permanentes 
 Fεgk – recalque de apoio 
 Fq1k – vento 
 Fq2k – carga acidental 
 Fεqk – efeito da temperatura 
combinação 2: Fgk – cargas permanentes 
 Fεgk – recalque de apoio 
 Fq1k – carga acidental 
 Fq2k – vento 
 Fεqk – efeito da temperatura 
4. Coeficientes de ponderação
a) combinação última normal 
∑ ∑
= =





 Ψ+γ+γ=
m
1i
n
2j
k,qj0k,1qqk,gigid FFFF 
- bibliotecas, arquivos, oficinas e estacionamentos: 
combinação 1 
34
combinação 1 
( ) qkk2qk1qgkgkd F6,02,1F8,0F4,1F2,1F4,1F εε ++++= 
Fq1k – vento 
Fq2k – carga acidental 
combinação 2 
( ) qkk2qk1qgkgkd F6,02,1F6,0F4,1F2,1F4,1F εε ++++=
 
Fq1k – carga acidental 
Fq2k – vento 
4. Coeficientes de ponderação
b) combinação quase permanente: ELS deformação 
excessiva 
∑ ∑
= =
Ψ+=
m
1i
n
1j
k,qjj2k,gid FFF 
- edifício residencial 
35
- edifício residencial 
qkk1qgkgkd F3,0F3,0FFF εε +++= 
c) combinação frequente: ELS abertura de fissuras 
∑ ∑
= =
Ψ+Ψ+=
m
1i
n
2j
k,qjj2k,1qj1k,gid FFFF 
- edifício residencial 
acidental carga F ,F3,0F4,0FFF q1qkk1qgkgkd =+++= εε 
 vento F , F3,0F3,0F3,0FFF q1qkk1qk2qgkgkd =++++= εε 
5. Resistência
m
k
d
ff
γ
= 
Valores dos coeficientes de minoração de resistência previstos pela NBR 6118:2003 
Combinações 
Concreto Aço 
� Nas verificações relativas aos estados limites de 
serviço não é necessário minorar a resistência 
dos materiais, ou seja, γm = 1 36
Combinações ( γγγγc ) ( γγγγs ) 
Normais 1,4 1,15 
Especiais ou de construção 1,2 1,15 
Excepcionais 1,2 1,00 
 
6. Condições de segurança nos Estados 
Limites
� Rd – são os valores de cálculo dos esforços 
resistentes
dd SR ≥
� Sd – são os valores de cálculo dos esforços 
solicitantes
37
CRITÉRIOS DE SEGURANÇA
38
1. Definição
� É a capacidade da estrutura de suportar as 
diversas ações que vierem a solicitá-la durante 
sua vida útil sem apresentar falhas que 
prejudiquem a sua utilização ou sem atingir o 
colapso.colapso.
39
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
� Método das tensões admissíveis: 
� coeficiente de segurança interno γi:
e
γ
σ
σ ≤max
40
iγ
max
P=?
l = 600 cm
σe=18 kN/cm2
γi = 2
b = 20 cm
h = 60 cm
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
� Método das tensões admissíveis: 
� Resolução:
bh
P
2
3
2
h
bh
1
4
Py
I
M
23max ===σ
ll
kN 720
2
18
600
60 20
3
2bh
3
2P
bh22
12
bh4I
2
i
e
2
23max
==
γ
σ
=
l
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
� Método do coeficiente de segurança externo (γe)
e
rupturaqq
γ
≤
42
P=?
l = 600 cm
σe=18 kN/cm2
γi = 2
b = 20 cm
h = 60 cm
eγ
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
� Método do coeficiente de segurança externo (γe)
� Resolução:
2
etc
bhhbhhRM
2
hbRR
σ=σ==
σ==Rc
Rt
σe
h/4
0,3
720
2160
kN 216018
600
60 20bhP
4
bhM
4
PM
e
2
e
2
e
2
plast
==γ
==σ=
σ===
l
l
eecplast 4
bh
2
h
2
bh
2
hRM σ=σ==
σe
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
� Métodos Probabilísticos: 
� os parâmetros mecânicos e geométricos são 
aleatórios. Ex: duas estruturas projetadas com o 
mesmo γe , mas com σe apresentando dispersões 
diferentes, são diferentes, sendo menor a diferentes, são diferentes, sendo menor a 
segurança da estrutura que tiver σe com maior 
dispersão (Ex: estruturas de madeira e de aço)
� O comportamento estrutural é 
determinístico?
44
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
� Métodos Probabilísticos
� A medida de segurança é tomada como a 
probabilidade de ruína:
Pruína = P { R ≤ S}
� Não existe segurança absoluta, logo as estruturas 
devem possuir baixa probabilidade de ruína, por 
exemplo, entre 10-3 e 10–6.
� Morrer em acidente de estrada = 0,7% ; 
� morrer quem voa 10 horas por ano ou quem faz 
300 viagens de trem por ano = 0,2%; 
� morrer no fim do dia uma pessoa sadia = 10-5 45
Pruína = P { R ≤ S}
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
� Métodos Probabilísticos
� Aspecto ético: o engenheiro deve definir as 
probabilidades de ruína aceitáveis em cada 
situação, levando em conta não só os riscos 
humanos e materiais envolvidos, mas levando em humanos e materiais envolvidos, mas levando em 
conta o fato que o riso é inevitável. Distinguir no 
caso de acidentes, aqueles devidos a erros de 
projeto ou de execução, daqueles devidos à 
aleatoriedade inevitável dos fatores de que a 
segurança depende.
46
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
� Métodos Probabilísticos
� Aspecto econômico: fixar a probabilidade de ruína 
levando em conta os custos da construção e o 
montante dos danos decorrentes de uma eventual 
ruína da mesma.ruína da mesma.
� Dificuldade: imperfeito conhecimento estatístico 
dos fatores que influem na segurança das 
estruturas (ações, solicitações, resistências, 
geometria da estrutura). São pesquisas recentes 
e ainda não podem determinar com precisão a 
probabilidade de ruína.
47
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
� Métodos Probabilísticos
Probabilidades de falha implicitamente aceitas (CEB/78) 
Número de pessoas 
atingidas 
Consequências 
econômicas 
pequenas 
Consequências 
econômicas graves 
Consequências 
econômicas muito 
graves 
48
pequenas graves 
Pequeno 10-3 10-4 10-5 
Médio 10-4 10-5 10-6 
Grande 10-5 10-6 10-7 
 
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
� Exemplo de aplicação dos Métodos Probabilísticos
Seja um pilar, de seção transversal constante, submetido auma força P = 3000 kN. 
Admitindo σe = 30 kN/cm2 e E = 2 x 104 kN/cm2, calcular: 
 
49
 
 
 
 
a) coeficiente de segurança interno (γi) 
b) coeficiente de segurança externo (γe) 
c) probabilidade de ruína admitindo que apenas E seja uma variável aleatória com 
coeficiente de variação de 15% (adotar curva de distribuição normal) 
40 cm 
10 cm 
l = 2 m 
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
a) coeficiente de segurança interno (γi) 
2
max cm/kN5,74010
3000
A
P
=
×
==σ 
4
5,7
30
max
e
i ==
σ
σ
=γ
 
50
5,7maxσ
 
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
b) coeficiente de segurança externo (γe) 
Se a estrutura mantivesse resposta linear até a ruptura, γe = γi = 4. 
No entanto, ao atingir a carga de flambagem, as tensões internas 
crescem muito mais que o carregamento, sendo a ruptura atingida 
51
crescem muito mais que o carregamento, sendo a ruptura atingida 
pouco superior à carga de flambagem (Pf) 
kN4112
200412
1040102
4
EIP 2
342
2
2
f =
××
××××pi
=
pi
=
l
 
37,1
3000
4112
P
Pf
e ===γ 
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
c) probabilidade de ruína admitindo que apenas E seja uma variável aleatória 
A probabilidade de ruína será a probabilidade de se Ter P = P{ Pf < P}, 
uma vez que como σe é determinado, e como já foi verificado no item b, a 
ruptura deverá ocorrer por flambagem. 
52
P = Pf ⇒ 242
2
2
2
cm/kN1046,13000
I
4E
4
EI3000 ×=
pi
=⇒
pi
=
l
l
 
Logo, basta P{ E < 1,46x104 kN/cm2} 
 
 
 
 
ξ ξ1 
f(ξ) 
1-F(ξ) 
Curva normal reduzida: 
s
F)x(F m−
=ξ 
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
244
m
mm
cm/kN103,010215,0Es
E
s
x
s
×=××=δ=⇒==δ 
O valor de ξ correspondente a E = 1,46x104 é: 
8,11021046,1EE 4
44
m
1 −=
×
×−×
=
−
=ξ
 
53
8,1
103,0s 41
−=
×
==ξ
 
De uma tabela de áreas da distribuição normal retira-se: 
1-F(ξ1) = 1 - 0,9641 = 0,0359 
que é a probabilidade de E tornar-se menor ou igual a 1,46x104 kN/cm2, o 
que faria Pf = 3000 kN. 
∴ Probabilidade de ruína do pilar = 3,59% 
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
d) Qual o valor da força que pode ser aplicada ao pilar admitindo-se uma 
probabilidade de ruína de 10-3 (0,1%)? 
 
Para P = 10-3 ⇒ A = 0,5 – 0,001 = 0,499 ⇒ ξ1 = -3,09 
54
Para P = 10 ⇒ A = 0,5 – 0,001 = 0,499 ⇒ ξ1 = -3,09 
Logo: 
E = Em + ξ1s = 2x104 – 3,09 x 0,3x104 = 1,07x104 kN/cm2 
kN2206
200412
10401007,1P 2
342
=
××
××××pi
= (γe= 1,86 e γi= 5,44) 
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
� Método semi-probabilístico: 
� É um método híbrido (valores empíricos 
associados a dados estatísticos e conceitos 
Probabilísticos)
� Princípios:� Princípios:
� Majoram-se as ações (probabilísticas) e as 
solicitações por γf;
� Reduzem-se os valores das resistências 
(probabilísticas) por γm;
� A situação de ruína é aquela onde a solicitação 
de cálculo é igual à resistência de cálculo 
(determinístico)
55
2. Métodos de quantificação da 
segurança quanto ao colapso
� Método semi-probabilístico: 
 
γf γm 
� Dificuldade: não é possível determinar um 
coeficiente global de segurança e nem conhecer 
a probabilidade de ruína 56
Sm Sk Rm Rk 
Sd=Rd 
3. Índice de Confiabilidade (β)
Leva em conta todas as variáveis aleatórias envolvidas e, principalmente, 
a maneira como a estrutura se comporta fente às ações. Está associado a 
uma determinada probabilidade de falha. 
Probabilidade de falha: pf = P(Ps > Pu), 
57
Onde Pu = Pu(Xi), i = 1,..., n é a capacidade de carga da estrutura e Ps são 
as ações impostas à estrutura, ambas variáveis aleatórias. 
Confiabilidade: c = P(Pu > Ps) = 1 – pf 
Margem de segurança: M = Pu – Ps . A falha existirirá se M < 0 
3. Índice de Confiabilidade (β)
Dessa forma, define-se prababilidade de falha por: ∫
∞−
=
0
M dm)m(ffp , 
onde fM(m) representa a distribuição de probabilidade de M. 
Pode-se escrever: ∫
β−
∞−
= dss)s(f MMfp , com s = (m – µM)/sM 
58
Pode-se escrever: ∫
∞−
= dss)s(f MMfp , com s = (m – µM)/sM 
µM: média da margem de segurança 
sM: desvio padrão da margem de segurança 
índice de confiabilidade (β) = µM / sM 
3. Índice de Confiabilidade (β)
Exemplo de cálculo do índice de confiabilidade 
Determinar o nível de segurança do item d) do exemplo anterior 
 
59
 
 
 
40 cm 
10 cm 
l = 2 m 
Em = 2 x 104 kN/cm2 
Pm = 2206 kN 
δE = 15% 
 
3. Índice de Confiabilidade (β)
Resolução: 
Segurança contra a flambagem admitindo todas as variáveis aleatórias 
(Pk e Ek) com função de distribuição de probabilidade normal. 
2 IEpi
60
Carga de flambagem (Pf): 2k
2
4
IE
l
pi
 
Margem de segurança (M): Pf – Pk = k2k
2
P
4
IE
−
pi
l
 
Admitindo EK e Pk independentes e com distribuição normal, então 
mm2
2
M PE4
I
−
pi
=µ
l
 
3. Índice de Confiabilidade (β)
O desvio padrão da margem de segurança pode ser escrito como: 
2
P
2
E2
2
M Ss4
I
s +






 pi
=
l
 
onde sE é o desvio padrão do módulo de elasticidade e sP é o desvio padrão 
61
onde sE é o desvio padrão do módulo de elasticidade e sP é o desvio padrão 
da força normal. 
Logo: 244mEE
m
E
E cm/kN103,010215,0EsE
s
×=××=δ=⇒=δ 
Admitindo que a força normal possua distribuição normal com coeficiente de 
variação de 10%, tem-se: 
kN6,22022061,0Ps
P
s
mPP
m
P
P =×=δ=⇒=δ 
3. Índice de Confiabilidade (β)
Logo, o índice de confiabilidade vale: 
kN 19062206102
200412
1040PE
4
I 4
2
32
mm2
2
M =−××
××
××pi
=−
pi
=µ
l
 
62
kN 6556,220103,0
200412
1040Ss
4
I
s 2
2
4
2
32
2
P
2
E2
2
M =+







××
××
××pi
=+






 pi
=
l
 
3. Índice de Confiabilidade (β)
Usando uma tábua de função de distribuição normal, têm-se a 
probabilidade de ruína: 
A=0,49819 P = 0,5 – 0,49819 = 0,00181
f(β)
63
ββ=2,91
?
A=0,49819 Pf = 0,5 – 0,49819 = 0,00181
Pf = 1,81 x 10-3
 
Dificuldade: determinar a margem de segurança e as funções de distribuição. 
3. Índice de Confiabilidade (β)
Influência dos coeficientes de variação sobre o índice de confiabilidade
7
8
9
Í
n
d
i
c
e
 
d
e
 
c
o
n
f
i
a
b
i
l
i
d
a
d
e
Delta=0,05
Delta=0,1
Delta=0,2
64
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Coeficiente de variação do módulo de elasticidade
Í
n
d
i
c
e
 
d
e
 
c
o
n
f
i
a
b
i
l
i
d
a
d
e Delta=0,2
Delta=0,3
Pf = 0,00001
3. Índice de Confiabilidade (β)
Influência dos coeficientes de ponderação (γf e γm) na 
segurança da estrutura 
Admitindo combinação normal (γf = γm = 1,4) e trabalhando com valores 
característicos para o módulo de elasticidade e para a força normal, 
65
redimensionar a seção transversal do pilar do exemplo anterior e 
verificar o seu nível de segurança. 
 
 
 
40 cm 
b = ? 
l = 2 m 
Ek = 2 x 104 kN/cm2 
Pk = 2206 kN 
δE = 15% e δP = 10% 
 
3. Índice de Confiabilidade (β)
Resolução: 
Neste caso, a inércia para evitar a ruptura por flambagem vale: 
2
2
d E
4PI
pi
=
l
, com Pd = γfPk e Ed = Ek / γm 
66
d
2d Epi
4
42
2
d
2
2
d cm 3505
4,1
102
200422064,1
E
4PI =
××pi
×
××=
pi
=
l
⇒ b = 10,2 cm 
Margemde segurança (M): Pf – Pd = d2d
2
P
4
IE
−
pi
l
 
3. Índice de Confiabilidade (β)
A média µM vale: mm2
2
M PE4
I
−
pi
=µ
l
 
O desvio padrão vale: 2P
2
E2
2
M Ss4
I
s +






 pi
=
l
 
Admitindo variação normal para o módulo de elasticidade e para a força 
67
normal, têm-se: 
 
 
 
 
 
Pm Pk Em Ek 
Pd=Rd 
γf γm 
3. Índice de Confiabilidade (β)
Ek = Em – 1,645 sE (quantil de 5%) 
Ek = Em – 1,645 δE Em 
24
4
E
k
m cm/kN1065,215,0645,11
102
645,11
EE ×=
×−
×
=
δ−
= 
68
E 15,0645,11645,11 ×−δ−
Pk = Pm + 1,645 sP (quantil de 95%) 
Pk = Pm + 1,645 δP Pm 
kN 1894
1,0645,11
2206
645,11
PP
P
k
m =
×+
=
δ+
= 
3. Índice de Confiabilidade (β)
sE = δE Em = 0,15 x 2,65 x 104 = 0,4 x 104 kN/cm2 
sP = δP Pm = 0,1 x 1894 = 189,4 kN 
Logo, o índice de confiabilidade vale: 
69
kN 383518941065,2
2004
3505PE
4
I 4
2
2
mm2
2
M =−××
×
×pi
=−
pi
=µ
l
 
kN 8854,189104,0
2004
3505Ss
4
I
s 2
2
4
2
2
2
P
2
E2
2
M =+







××
×
×pi
=+






 pi
=
l
 
5
M
M 10233,4
885
3835
s
−×<⇒==
µ
=β fp 
3. Índice de Confiabilidade (β)
Influência dos coeficientes de ponderação sobre o índice de confiabilidade
8
9
10
Í
n
d
i
c
e
 
d
e
 
c
o
n
f
i
a
b
i
l
i
d
a
d
e
Gama=1,4
Gama=1,3
Gama=1,2
Gama=1,1
70
0
1
2
3
4
5
6
7
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6
Coeficiente de variação do módulo de elasticidade
Í
n
d
i
c
e
 
d
e
 
c
o
n
f
i
a
b
i
l
i
d
a
d
e
Gama=1,1
Pf = 0,00001
 
β = 4,5