Aula 9 Dimensionamento de vigas submetidas à força cortante (1)

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1
Dimensionamento de vigas de 
concreto submetidas à força 
cortante
Disciplina: Concreto Estrutural I
Prof. Daniel de Lima Araújo
Escola de Engenharia Civil - UFG
1. Introdução
� Flexão pura e flexão simples
2
1. Introdução
� Flexão pura e flexão simples
3
2. Vigas de material homogêneo
� Por que as fissuras na flexão simples são 
inclinadas?
4
D. E. C.
D. M. F.
 q
 L
 q L / 2
 - q L / 2
 q L2 / 8
 
Viga biapoiada com carregamento uniformemente distribuído – esforços 
internos. 
2. Vigas de material homogêneo
5
 y
Tensões normais
 q
 L
 σσσσ
Ib
mV e
=τ
 b
 h
 L.N.
 E 1
 E 2
Tensões tangenciais
 ττττ
I
yM
=σ
 
Viga biapoiada com carregamento uniformemente distribuído – tensões atuantes. 
Seção retangular: 
zb
V
hb
V5,1
ww
max ==τ 
2. Vigas de material homogêneo
6
 
 q 
 Rc 
 V 
 L.N. 
E 1 
 Rt 
 q 
 V 
 L.N. 
 E 2 
 Rt 
 ττττ 
 σσσσx 
 ττττ 
 Rc 
 σσσσ 
 σσσσ 
 ττττ 
 ττττ 
 ( 0, -ττττ ) 
 ( 0, ττττ ) 
 σσσσ2 σσσσ 1 
 2 αααα = 90o 
 ( 0, ττττ ) 
 σσσσ2 σσσσ 1 
 2 αααα < 90o 
 ττττmáx 
 αααα=45o 
 σσσσ2 
 σσσσ2 
 σσσσ1 
 σσσσ1 
 αααα<45<45<45<45οοοο 
 σσσσc2 
 σσσσ2 
 σσσσ1 
 σσσσ 1 
 A 
 B 
 A 
 A 
 A(σσσσx,ττττ) 
 B 
 B 
 B(0,-ττττ) 
 σσσσy=0 
 
Viga biapoiada com carregamento uniformemente distribuído – tensões atuantes nos 
elementos infinitesimais E1 e E2. 
2. Vigas de material homogêneo
7
Para um elemento infinitesimal situado abaixo da LN: 
2
2
tt
1 22
τ+




 σ
+
σ
=σ e 2
2
tt
2 22
τ+




 σ
−
σ
=σ 
t
22tg
σ
τ=
α 
Para um elemento infinitesimal situado acima da LN: 
2
2
cc
1 22
τ+




 σ
+
σ
−=σ e 2
2
cc
2 22
τ+




 σ
−
σ
−=σ 
( )
c
22tg
σ−
τ
=α 
2. Vigas de material homogêneo
8
Trajetórias de σσσσ1 (tração) Trajetórias σσσσ2 (compressão)
 σσσσ1
 σσσσ1
 σσσσ2
 σσσσ2
 
Trajetórias de tensões. 
3. Vigas de concreto armado
� Tipos de ruptura para vigas sem armadura 
transversal
9
3. Vigas de concreto armado
� Tipos de ruptura para vigas sem armadura 
transversal
10
a) Ruptura por flexão
b) Ruptura por tração diagonal
3. Vigas de concreto armado
� Tipos de ruptura para vigas sem armadura 
transversal
11
c) Ruptura por tração diagonal e 
compressão no topo
d) Ruptura por deficiência de 
ancoragem na armadura de flexão
3. Vigas de concreto armado
� Tipos de ruptura para vigas sem armadura 
transversal
12 
Influência da relação a/d sobre a resistência da viga 
4. Tipos de armadura transversal
13
Estribos inclinados Estribos verticais
Barras dobradas
5. Modelo de cálculo 
� Formação de fissuras de cisalhamento em uma 
viga com armadura transversal
14
5. Modelo de cálculo 
� Formação de fissuras de cisalhamento em uma 
viga contínua
15
5. Modelo de cálculo 
� Detalhe das bielas diagonais de compressão
16
5. Modelo de cálculo 
� Ruptura da viga por esmagamento da biela de 
compressão
17
5. Modelo de cálculo 
� Modelo de treliça (clássico)
18
45o
Diagonal comprimida Diagonal tracionada
αααα
Z
Z Z cotg αααα
 
Treliça de Mörsch. 
σ1
σ1 σ2
σ2
(a) (b)
fissura
esmagamento
 
Planos de ruptura por cisalhamento. 
MODELOS DE TRELIÇA:
MODELO CLÁSSICO
19
1. Cálculo da armadura
20
45o αααα
Z
Z Z cotg αααα
Fat
Rc
Rs
E
F
G
 
Forças na treliça. 
a) Equilíbrio vertical: 
α= senFV atsw
 
(I) 
a) Força na diagonal tracionada FG: 
( ) ywdswat fgcotzz
s
AF α+=
 
(II) 
fywd < fyd no caso de estribos e fywd < 0,7fyd no caso de barras dobradas. 
fywd < 435 MPa. 
1. Cálculo da armadura
21
Substituindo-se (II) em (I) pode-se calcular a armadura total de 
cisalhamento distribuída por metro, 
( ) ywd
swsw
fcossenz
V
s
A
α+α
= (III) 
Para o cálculo da armadura transversal, pode-se admitir que o braço de 
alavanca z seja aproximadamente 0,9 d. Assim: 
( ) ywd
swsw
fcossend9,0
V
s
A
α+α
= (IV) 
1. Cálculo da armadura
� O que usar? Estribos a 90º ou a 45º?
22
estribos a 90o estribos a 45º 
ywd
swsw
fd9,0
V
s
A
=
 
ywd
swsw
fd9,0
V
2
2
s
A
= 
α
=
α
===ρ
sen sb
A
sen sb
A
dsb
A
concreto de Volume
aço de eVolum
w
sw
w
sw
w
sw
sw
l
ll
 
αα+α
=ρ
senb
1
f)cossen(d9,0
V
wyd
sw
sw
 
db
V
 com ,)cossen(senf9,0 w
sw
sw
yd
sw
sw =τα+αα
τ
=ρ
 
yd
sw
o45,swyd
sw
o90,sw f9,0
 e 
f9,0
τ
=ρτ=ρ 
1. Cálculo da armadura
� O que usar? Estribos a 90º ou a 45º?
23
• Caso geral (estribos a 90o e barras dobradas) 
swswsw 2V1VV += 
( ) ( ) ywdddsbdywdee
se
sw f7,0d9,0cossen
s
Afd9,0cossen
s
AV
α+α+α+α=
 
Para estribos a 90o e ferros dobrados a 45o, 
27,0
s
A
s
A
fd9,0
V
s
A sbdse
ywd
swsw +==
 
Pela NBR 6118, %40
A
A
sbd
se ≥
 
2. Verificação da biela comprimida
24
45o αααα
Z
Z Z cotg αααα
Fbc
Rc
Rs
E
F
G
 
Forças na treliça. 
 
Por equilíbrio de forças, pode-se calcular a força de compressão 
Fbc na diagonal comprimida, 
o
bcsw 45senFV = 
2. Verificação da biela comprimida
25
Área da diagonal comprimida 
( ) owwc 45sengcot1zbabA α+== 
 
45o αααα 
Z 
Z Z cotg αααα 
a 
Z ( 1 + cotg αααα ) 
 
Tensão de compressão na diagonal comprimida 
( ) II) (Estádio 0,9dz com ,45sengcot1db9,0
V
A
F
o2
w
sw
c
bc
cd =
α+
==σ
 
2. Verificação da biela comprimida
� Qual o efeito da inclinação da armadura na biela?
26
( ) o2w
sw
cd 45sengcot1db9,0
V
α+
=σ
 
( ) II) (Estádio db9,0
V
 com ,
45sengcot1 w
sw
maxo2
max
cd =τ
α+
τ
=σ
 
maxcd
o
maxcd
o
45 Para
290 Para
τ=σ⇒=α
τ=σ⇒=α
 
2. Verificação da biela comprimida
� Qual a máxima tensão de compressão na biela?
27
( )
( )
dbf27,0V
:que se- tem,90 Para
250
f1 com
45sengcot1dbf54,0V
250
f1f6,0
45sengcot1db9,0
V
: ÚltimoLimite Estado No
250
f1f6,0
wcdvsd
o
ck
v
o2
wcdvsd
ck
cdo2
w
sd
max,cdcd
ck
cdmax,cd
α=
=α




−=α
α+α=




−=
α+
σ=σ




−=σ
3. Dimensionamento pelo modelo I da 
NBR 6118
28
3. Dimensionamento pelo modelo I da 
NBR 6118
29
4. Exemplo
� Exemplo 4 (p.280) do livro do CARVALHO, R.C.; 
FIGUEIREDO FILHO, J.R. Cálculo e 
detalhamento de estruturas usuais de concreto 
armado. 2ª. edição. São Carlos: Editora da 
UFSCAR, 2004
30
Verificação do exemplo
(http://www.lmc.ep.usp.br/pesqui
sas/TecEdu/java/cis/Cisalhamen
to.htm)
MODELOS DE TRELIÇA:
TRELIÇA DE MÖRSCH 
GENERALIZADA
31
1. Características
� Os nós da treliça não podem ser considerados como articulações 
perfeitas e, portanto, a treliça é hiperestática;
� A inclinação das fissuras nas regiões mais solicitadas pela força 
cortante é menor que 45o;
� Devido à flexão, parte do esforço cortante é absorvido na zona de 
concreto comprimido;
� O banzo superior da treliça é inclinado e não paralelo ao banzo 
tracionado;
� As bielas de concreto estão parcialmente engastadas na ligação 
com o banzo comprimido e, assim, são submetidas à flexo-
compressão, o que alivia as diagonais tracionadas;
� As bielas são maisrígidas que as diagonais tracionadas e 
absorvem uma parcela maior de esforço cortante do que a 
determinada pela hipótese da treliça clássica;
� A taxa de armadura longitudinal influi no esforço da armadura 
transversal.
32
2. Cálculo da armadura
33
θθθθ
Diagonal comprimida Diagonal tracionada
αααα
Z
Z cotg ααααZ cotg θθθθ
 
( ) ywd
swsw
fcotcotsend9,0
V
s
A
α+θα
= 
( )
( ) α+θ
α+
==η θ
cotcot
cot1
A
A
o45sw
sw
 
θ pode ser arbitrado livremente entre 30o e 45o. 
3. Verificação da biela comprimida
34
 
θθθθ αααα 
Z 
Z cotg θθθθ Z cotg αααα 
Fbc 
Rc 
Rs 
E 
F 
G 
 
Forças na treliça. 
 
Por equilíbrio de forças, pode-se calcular a força de compressão 
Fbc na diagonal comprimida, 
θ= senFV bcsw 
3. Verificação da biela comprimida
35
Área da diagonal comprimida 
( ) θα+θ== sengcotgcotzbabA wwc 
 
θθθθ αααα 
Z 
Z cotgθθθθ Z cotg αααα 
a 
Z ( cotgθθθθ + cotg αααα) 
 
Tensão de compressão na diagonal comprimida 
( ) II) (Estádio 0,9dz com ,sengcotgcotdb9,0
V
A
F
2
w
sw
c
bc
cd =θα+θ
==σ
 
3. Verificação da biela comprimida
� Qual o efeito da inclinação da biela?
36
( ) II) (Estádio db9,0
V
 com ,
sengcotgcot w
sw
max2
max
cd =τθα+θ
τ
=σ
 
 
)gcot1(sen
45 Para
cos sen
90 Para
o90cdo45cd2
max
cd
o
max
cd
o
=α=α σ<σ⇒θ+θ
τ
=σ⇒=α
θθ
τ
=σ⇒=α
 
Influência do ângulo θ na tensão da biela comprimida (α=90º) 
 15,1 309,2
03cos 30sen
03
2
45cos 45sen
45 
o54cdo30cdmaxoo
max
cd
o
maxoo
max
cd
o
=θ=θ σ=σ⇒τ=
τ
=σ⇒=θ
τ=
τ
=σ⇒=θ
 
3. Verificação da biela comprimida
� Qual a máxima tensão de compressão na biela?
37
( )
( )
θθα=
=α




−=α
θα+θα=




−=
θα+θ
σ=σ




−=σ
cos sen dbf54,0V
:que se- tem,90 Para
250
f1 com
sengcotgcotdbf54,0V
250
f1f6,0
sengcotgcotdb9,0
V
: ÚltimoLimite Estado No
250
f1f6,0
wcdvsd
o
ck
v
2
wcdvsd
ck
cd2
w
sd
max,cdcd
ck
cdmax,cd
4. Dimensionamento pelo modelo II da 
NBR 6118
38
4. Dimensionamento pelo modelo II da 
NBR 6118
39
5. Exemplo
40
Verificação do exemplo
(http://www.lmc.ep.usp.br/pesqui
sas/TecEdu/java/cis/Cisalhamen
to.htm)
� Exemplo 5 (p.284) do livro do CARVALHO, R.C.; 
FIGUEIREDO FILHO, J.R. Cálculo e 
detalhamento de estruturas usuais de concreto 
armado. 2ª. edição. São Carlos: Editora da 
UFSCAR, 2004
Revisão
(http://www.lmc.ep.usp.br/pesqui
sas/TecEdu/flash/Cortante.html)
EFEITOS DO MODELO DE 
TRELIÇA: DECALAGEM
41
1. Deslocamento do diagrama de forças 
de tração (α > 45º)
42
θθθθ αααα
Z
Z cotg αααα
Fat
Rc
Rs
E
F
G
L
a
llll
Z cotg θθθθQd = F/2 0,5Z (cotg θθθθ + cotg α)α)α)α)
M
c
Z cotg θθθθ
 
∑ =+⇒= zR)ac(Q0M sdL l 
com )gcotg(cot
2
Z)gcotg(cot
2
Zgcotza α−θ=α+θ−θ=l 
Z
aQ
Z
cQR dds l+= , mas Qdc é o momento fletor na seção transversal em M, logo: 
Z
aQ
Z
MR ds l+= 
Para flexão simples: 
Z
MRs = 
1. Deslocamento do diagrama de forças 
de tração (α > 45º)
43
• Exemplo de viga com estribos verticais 
Z
Rs = Md/Z
Rt
al
 
Diagramas de forças de tração para carregamento distribuído (α = 900). 
1. Deslocamento do diagrama de forças 
de tração (α > 45º)
44
No caso de peças de altura constante, pode-se deslocar diretamente o 
diagrama de momentos fletores: 
al
al al
al
 
Deslocamento do diagrama de momentos fletores. 
 
1. Deslocamento do diagrama de forças 
de tração (α > 45º)
45
• NBR 6118 (modelo I): 
( ) ( ) 

=α
≥





α−α+
−
= o
cd
d
45comestribosparad2,0
geralcasonod5,0
gcotgcot1
VV2
Vdal 
onde, 
α - é o ângulo de inclinação da armadura transversal; 
Vd - é o esforço cortante de cálculo na seção mais solicitada; 
Vc - é a parcela da força cortante absorvida por mecanismos complementares 
ao de treliça. 
• NBR 6118 (modelo II): 
( )



=α
≥α−θ= o45comestribosparad2,0
geralcasonod5,0
gcotgcotd5,0al 
2. Armadura de tração nos apoios de 
extremidade
46
 
Ancoragem em apoio extremo 
 
laVM dd = 
dstd
d
st Vd
aR : fica d Zcom V
Z
a
Z
MR ll =≅== 
2. Armadura de tração nos apoios de 
extremidade – Critério da NBR 6118
47
a) para momentos positivos, as armaduras obtidas por meio de dimensionamento da 
seção; 
b) em apoios extremos: 
ddst NVd
aR += l 
Nd a força de tração eventualmente existente; 
c) em apoios extremos e intermediários, por prolongamento de uma parte da 
armadura de tração no vão (As,vão) correspondente ao máximo momento positivo 
no tramo (Mvão), de modo que, 
vão,sapoio,s A3
1A ≥ se 0Mapoio = ou 0Mapoio < e vãoapoio M5,0M ≤ 
vão,sapoio,s A4
1A ≥ se 0Mapoio < e vãoapoio M5,0M > 
3. Apoio indireto
48
 
E
A
P F
B
C
D
 
Exemplo de viga apoiada em outra viga. 
 
EA
PB
C
RB
RB
 
Treliça nas vigas AC e BE. 
 
 
yd
d
susp f
VA = 
3. Apoio indireto
49
Ensaios sugerem que deva se colocar 70% dessa armadura na viga que serve 
de apoio e 30% na viga apoiada 
 
Região da armadura de suspensão 
 
Distribuição dos estribos 
 
 
Viga pendurada em viga 
TÓPICOS SOBRE 
CISALHAMENTO
50
1. Cisalhamento nas proximidades dos 
apoios
51
 
 
 
 
• Força concentrada junto ao apoio (NBR 6118): redução de 
a/2d ≤ 1 ( não aplicar para verificação da compressão nas bielas). 
1. Cisalhamento nas proximidades dos 
apoios
52
 
 
 
• Carregamento distribuído (NBR 6118): esforço cortante máximo 
a d/2 do apoio ( não aplicar para verificação da compressão nas 
bielas). 
DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS
53
1. Estribos
54
1. Estribos
55
Armadura mínima 
 
α
=
α
==ρ
sensb
A
bhs
sen
hA
concreto de Volume
estribos de Volume
w
se
w
se
sw 
Taxa de armadura mínima segundo a NB1-2000: 
ywk
ctm
w
minse
mín,sw f
f2,0
sensb
)A(
=
α
=ρ
 , 
onde, 3 2ckctm f3,0f = 
1. Estribos
56
Largura bw em vigas muito largas 


≤
cm 60
d
bw 
 
Diâmetro dos estribos 
• mm 5 e 
10
b
t
w
t ≥φ≤φ 
• Barras lisas: mm 12 t ≤φ 
• Telas soldadas: mm 4,2 t ≥φ (proteger contra corrosão) 
1. Estribos
57
Espaçamento máximo para estribos 
• Espaçamento mínimo: suficiente para permitir a passagem do 
vibrador 
• Espaçamento máximo: 
smáx = 0,6 d ≤ 300 mm se Vd ≤ 0,67 VRd2 
smáx = 0,3 d ≤ 200 mm se Vd > 0,67 VRd2 
• Espaçamento transversal máximo entre ramos sucessivos de estribos: 
st,máx = d ≤ 800 mm se Vd ≤ 0,20 VRd2 
st,máx = 0,6 d ≤ 350 mm se Vd > 0,20 VRd2 
• Emendas por trespasse em ramos de estribos são permitidas apenas 
quando eles forem constituídos por telas ou por barras de alta 
aderência. 
2. Armadura de pele
58
3. Barras dobradas
59
• Espaçamento longitudinal máximo entre barras dobradas: 
( )α+= gcot1d6,0smáx 
EXEMPLO
60