Cálculo 3- prova willames-1unidade Gabarito

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G A B A R I T O 
 
(1º Exercício Escolar – 2ª Parcial ) 
 
1º) Seja 𝑧𝑧 = 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢), 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 e 𝑣𝑣 = 𝑥𝑥 − 𝑣𝑣. Então, podemos afirmar que 𝑑𝑑𝑧𝑧/𝑑𝑑𝑥𝑥 é: 
𝑑𝑑𝑧𝑧
𝑑𝑑𝑥𝑥
= 𝑑𝑑𝑧𝑧
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑥𝑥
+ 𝑑𝑑𝑧𝑧
𝑑𝑑𝑣𝑣
𝑑𝑑𝑣𝑣
𝑑𝑑𝑥𝑥
= (1 − 𝑣𝑣2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑢𝑢))(2𝑥𝑥) + �2𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢)�(1) = 2𝑥𝑥(1 − (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)) + 2(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2) 
Letra c) 
2º) Determine a derivada direcional de 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥, no ponto (1,−1), na direção do vetor 𝑣𝑣 =2𝑖𝑖 + 4𝑗𝑗. 
𝐷𝐷𝑢𝑢𝑓𝑓(1,−1) = (2𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 4 , 2𝑥𝑥2𝑦𝑦) ∙ � 1
√5 , 2√5� = (−2,−2) ∙ � 1√5 , 2√5� = − 6√5 
Letra b) 
3º) Dada a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 4𝑥𝑥𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦4, e as afirmativas: 
I - Os pontos (1,1) e (-1,-1) são os únicos pontos críticos Falso, pois (0,0) também é ponto crítico! 
II - O ponto (1,1) é ponto de máximo local e que (-1,-1) é ponto de mínimo local Falso, pois (-1,-1) é máximo local. 
III - O ponto (1,1) é ponto de mínimo local e que (-1,-1) é ponto de máximo local Falso, pois (1,1) é máximo local. 
IV - Os pontos (1,1) e (-1,-1) são ambos mínimos locais Falso, pois ambos são máximo local. 
𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 4𝑦𝑦 − 4𝑥𝑥 = 0
𝑓𝑓𝑦𝑦(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 4𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦3 = 0 ⇒ (0,0); (1,1) 𝑠𝑠 (−1,−1) ; 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −4 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦𝑦(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −4𝑓𝑓𝑦𝑦𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 4 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −12𝑦𝑦2 ; ∆= 48𝑦𝑦2 − 16 
Para (0,0) ∆< 0, logo, (0,0) é ponto de sela. 
Para(1,1) ∆> 0 e 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑦𝑦 < 0, logo é máximo local. Para (-1,-1) ∆> 0 e 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑦𝑦 < 0, logo é máximo local 
Letra b) Todas estão erradas. 
4º) Se 𝑥𝑥 = 2𝑟𝑟 − 𝑐𝑐 e 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 + 2𝑐𝑐, então o valor da 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥
 em termos de derivadas, com respeito a 𝑟𝑟 e 𝑐𝑐, 
assumindo que 𝑈𝑈 tem derivadas parciais segundas contínuas, é: 
Como 𝑥𝑥 = 2𝑟𝑟 − 𝑐𝑐 e 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 + 2𝑐𝑐, temos 𝑟𝑟 = (2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)/5 e 𝑐𝑐 = (2𝑦𝑦 − 𝑥𝑥)/5. Logo 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
= 2/5, 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
= −1/5, 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 1/5, 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 2/5. 
Daí, 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑥𝑥
= 𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
+ 𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
= 2
5
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
−
1
5
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
 
Logo, 
𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥
= 𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
�
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑥𝑥
� = 𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
�
2
5
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
−
1
5
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
�
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
+ 𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
�
2
5
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
−
1
5
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
�
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
 = �2
5
𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕2
−
1
5
𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
�
1
5
+ �2
5
𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
−
1
5
𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕2
�
2
5
= 1
25
�2 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕2
+ 3 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
− 2 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕2
�. 
Letra c) 1
25
�2 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕2
+ 3 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
− 2 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕2
� 
5º) Chama-se de diferencial total a soma das derivadas parciais de uma função, ou seja, 𝑑𝑑𝑧𝑧 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑦𝑦. 
Desta forma, podemos dizer que a derivada total da função 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦 é: 
 
𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑥𝑥
= 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦 ∴ 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑦𝑦
= 𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦 ⇒ 𝑑𝑑𝑧𝑧 = (𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + (𝑥𝑥2𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 
Letra b) 
 
GABARITO 
 
1º 2º 3º 4º 5º 
A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E 
 
 
♣Marque APENAS UMA alternativa no gabarito. No caso de rasuras ou mais de uma alternativa marcada 
a questão será anulada. 
G A B A R I T O 
 
(1º Exercício Escolar – 2ª Parcial ) 
 
1º) Seja 𝑧𝑧 = 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣2𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢), 𝑢𝑢 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 e 𝑣𝑣 = 𝑥𝑥 − 𝑣𝑣. Então, podemos afirmar que 𝑑𝑑𝑧𝑧/𝑑𝑑𝑦𝑦 é: 
𝑑𝑑𝑧𝑧
𝑑𝑑𝑥𝑥
= 𝑑𝑑𝑧𝑧
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑢𝑢
𝑑𝑑𝑦𝑦
+ 𝑑𝑑𝑧𝑧
𝑑𝑑𝑣𝑣
𝑑𝑑𝑣𝑣
𝑑𝑑𝑦𝑦
= (1 − 𝑣𝑣2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑢𝑢))(2𝑦𝑦) + �2𝑣𝑣𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑢𝑢)�(−1) = 2𝑦𝑦�1 − (𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)2𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2)� − 2(𝑥𝑥 − 𝑦𝑦)𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2) 
Letra e) 
2º) Determine a derivada direcional de 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑥𝑥2𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥, no ponto (1,−1), na direção do vetor 𝑣𝑣 = 𝑖𝑖 +
𝑗𝑗. 
𝐷𝐷𝑢𝑢𝑓𝑓(1,−1) = (2𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 4 , 2𝑥𝑥2𝑦𝑦) ∙ � 1
√2 , 1√2� = (−2,−2) ∙ � 1√2 , 1√2� = − 4√2 
Letra e) 
3º) Dada a função 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 4𝑥𝑥𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥2 − 𝑦𝑦4, e as afirmativas: 
I - Os pontos (1,1) e (-1,-1) são pontos críticos Verdadeira. 
II - O ponto (1,1) é ponto de máximo local e que (-1,-1) é ponto de mínimo local Falso, pois (-1,-1) é máximo local. 
III - O ponto (1,1) é ponto de mínimo local e que (-1,-1) é ponto de máximo local Falso, pois (1,1) é máximo local. 
 IV - Os pontos (1,1) e (-1,-1) são ambos mínimos locais Falso, pois ambos são máximo local. 
𝑓𝑓𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 4𝑦𝑦 − 4𝑥𝑥 = 0
𝑓𝑓𝑦𝑦(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 4𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦3 = 0 ⇒ (0,0); (1,1) 𝑠𝑠 (−1,−1) ; 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −4 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑦𝑦(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −4𝑓𝑓𝑦𝑦𝑥𝑥(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 4 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑦𝑦(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = −12𝑦𝑦2 ; ∆= 48𝑦𝑦2 − 16 
Para (0,0) ∆< 0, logo, (0,0) é ponto de sela. 
Para(1,1) ∆> 0 e 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑦𝑦 < 0, logo é máximo local. Para (-1,-1) ∆> 0 e 𝑓𝑓𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑓𝑓𝑦𝑦𝑦𝑦 < 0, logo é máximo local 
Letra e) Apenas I estão certas 
4º) Se 𝑥𝑥 = 2𝑟𝑟 − 𝑐𝑐 e 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 + 2𝑐𝑐, então o valor da 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥
 em termos de derivadas, com respeito a 𝑟𝑟 e 𝑐𝑐, 
assumindo que 𝑈𝑈 tem derivadas parciais segundas contínuas, é: 
Como 𝑥𝑥 = 2𝑟𝑟 − 𝑐𝑐 e 𝑦𝑦 = 𝑟𝑟 + 2𝑐𝑐, temos 𝑟𝑟 = (2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)/5 e 𝑐𝑐 = (2𝑦𝑦 − 𝑥𝑥)/5. Logo 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
= 2/5, 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
= −1/5, 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 1/5, 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 2/5. 
Daí, 
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑥𝑥
= 𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
+ 𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
= 2
5
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
−
1
5
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
 
Logo, 
𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑦𝑦𝜕𝜕𝑥𝑥
= 𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
�
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝑥𝑥
� = 𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
�
2
5
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
−
1
5
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
�
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
+ 𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕
�
2
5
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
−
1
5
𝜕𝜕𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕
�
𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
 = �2
5
𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕2
−
1
5
𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
�
1
5
+ �2
5
𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
−
1
5
𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕2
�
2
5
= 1
25
�2 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕2
+ 3 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
− 2 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕2
�. 
Letra b) 1
25
�2 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕2
+ 3 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕
− 2 𝜕𝜕2𝑈𝑈
𝜕𝜕𝜕𝜕2
� 
5º) Chama-se de diferencial total a soma das derivadas parciais de uma função, ou seja, 𝑑𝑑𝑧𝑧 = 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑦𝑦
𝑑𝑑𝑦𝑦. 
Desta forma, podemos dizer que a derivada total da função 𝑧𝑧 = 𝑦𝑦𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦 é: 
𝑦𝑦𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑥𝑥
= 𝑦𝑦2𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦 ∴ 𝑦𝑦𝑒𝑒𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑑𝑑𝑦𝑦
= 𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦 ⇒ 𝑑𝑑𝑧𝑧 = (𝑦𝑦2𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + (𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑠𝑠𝑥𝑥𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 
Letra a) 
GABARITO 
 
1º 2º 3º 4º 5º 
A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E 
 
 
♣Marque APENAS UMA alternativa no gabarito. No caso de rasuras ou mais de uma alternativa marcada 
a questão será anulada. 
G A B A R I T O 
(1º Exercício Escolar) 
1º) Seja 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥2 + 𝑥𝑥𝑦𝑦, com 𝑥𝑥 = 3𝑡𝑡2 + 1 e 𝑦𝑦 = 2𝑡𝑡 − 𝑡𝑡2. Então, podemos afirmar que 𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑
 é: 
𝑑𝑑𝑧𝑧
𝑑𝑑𝑡𝑡
= 𝜕𝜕𝑧𝑧
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑥𝑥
𝜕𝜕𝑡𝑡
+ 𝜕𝜕𝑧𝑧
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑦𝑦
𝜕𝜕𝑡𝑡
= (2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦)(6𝑡𝑡) + (𝑥𝑥)(2 − 2𝑡𝑡) = �2(3𝑡𝑡2+ 1) + (2𝑡𝑡 − 𝑡𝑡2)�(6𝑡𝑡) + (3𝑡𝑡2 + 1)(2 − 2𝑡𝑡)= 2 + 10𝑡𝑡 + 18𝑡𝑡2 + 24𝑡𝑡3 
Letra d) 
2º) A menor e maior distância do ponto (3,−1, 1) a esfera 𝑥𝑥² + 𝑦𝑦² + 𝑧𝑧² = 4 são , aproximadamente: 
Como 𝑑𝑑2 = (𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 + 1)2 + (𝑧𝑧 − 1)2 temos: 
 𝑤𝑤 = (𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 + 1)2 + (𝑧𝑧 − 1)2 + 𝜆𝜆(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 − 4). Logo, 
 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
= 2𝑥𝑥 + 2𝜆𝜆𝑥𝑥 − 6; 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 2𝑦𝑦 + 2𝜆𝜆𝑦𝑦 + 2; 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
= 2𝑧𝑧 + 2𝜆𝜆𝑧𝑧 − 2; 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
= 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 − 4. Daí: 2𝑥𝑥 + 2𝜆𝜆𝑥𝑥 − 6 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 6
2+2𝜆𝜆
; 2𝑦𝑦 + 2𝜆𝜆𝑦𝑦 + 2 = 0 ⇒ 𝑦𝑦 = −2
2+2𝜆𝜆
; 2𝑧𝑧 + 2𝜆𝜆𝑧𝑧 − 2 = 0 ⇒ 𝑧𝑧 = 2
2+2𝜆𝜆
 
𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 − 4 = 0 ⇒ � 62 + 2𝜆𝜆�2 + � −22 + 2𝜆𝜆�2 + � 22 + 2𝜆𝜆�2 = 4 ⇒ � 𝜆𝜆 = 0.658𝜆𝜆 = −2.658 
𝑥𝑥 = 1,809 𝑐𝑐𝑢𝑢 − 1,809 ∴ 𝑦𝑦 = −0,603 𝑐𝑐𝑢𝑢 0,603 ∴ 𝑧𝑧 = 0,603 𝑐𝑐𝑢𝑢 − 0,603 ⇒ 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 2,56 𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 4,84 
Letra b) 
3º) Se 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦𝑧𝑧), então a derivada direcional no ponto (1,3,1) na direção do vetor 
𝑣𝑣 = 𝑖𝑖 + 2𝑗𝑗 − 𝑘𝑘 vale: 
∇𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = �d𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)dx , d𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)dy , d𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)dz � = (𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦𝑧𝑧), 𝑧𝑧𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑦𝑦𝑧𝑧),𝑦𝑦𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑦𝑦𝑧𝑧)) 
𝑣𝑣 = 𝑖𝑖 + 2𝑗𝑗 − 𝑘𝑘 ⇒ 𝑢𝑢 = (0,408; 0,816; −0,408) 
𝐷𝐷𝑢𝑢𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = ∇𝑓𝑓(1,3,1) ∙ 𝑢𝑢 = (0,141; −0,99;−2,97) ⋅ (0,408; 0,816; −0,408) = 0,462 
Letra b) 
4º) A resistência total R produzida por três condutores com resistência 𝑅𝑅1, 𝑅𝑅2 e 𝑅𝑅3 conectados em paralelo 
em um circuito elétrico é dada ela fórmula 1
𝑅𝑅
= 1
𝑅𝑅1
+ 1
𝑅𝑅2
+ 1
𝑅𝑅3
 
Então, a expressão para 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝜕𝜕1
. é: 
𝜕𝜕𝑅𝑅−1
𝜕𝜕𝑅𝑅1
= 𝜕𝜕𝑅𝑅−1
𝜕𝜕𝑅𝑅
𝜕𝜕𝑅𝑅
𝜕𝜕𝑅𝑅1
∴ −𝑅𝑅−2
𝜕𝜕𝑅𝑅
𝜕𝜕𝑅𝑅1
= −𝑅𝑅1−2 ∴ 𝜕𝜕𝑅𝑅𝜕𝜕𝑅𝑅1 = 𝑅𝑅2𝑅𝑅12 Letra a) 
5º) O plano 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = 2 intercepta o paraboloide 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 em uma elipse. Desta forma, os pontos 
dessa elipse que estão o mais próximo e o mais longe possível da origem são, respectivamente: 
Encontrar os valores extremo de 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 
Sujeito as condições 𝑔𝑔(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = 2 e ℎ(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 – 𝑧𝑧 = 0. ∴ 
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
2𝑥𝑥 − 𝜆𝜆 − 2𝜇𝜇𝑥𝑥 = 02𝑦𝑦 − 𝜆𝜆 − 2𝜇𝜇𝑦𝑦 = 02𝑧𝑧 − 2𝜆𝜆 + 𝜇𝜇 = 0
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = 2
𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 − 𝑧𝑧 = 0 Resolvendo o sistema, temos 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥, 𝑧𝑧 = 1 − 𝑥𝑥 ou 𝑧𝑧 = 2𝑥𝑥
2, 𝑥𝑥 = 1/2 ou 𝑥𝑥 = −1 , 
Substituindo os pontos e verificando os pontos, temos o ponto (1
2
, 1
2
, 1
2
) como ponto mais perto e (−1,−1, 2) como o 
ponto mais longe da origem. 
Letra a) 
GABARITO 
 
1º 2º 3º 4º 5º 
A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E 
 
♣Marque APENAS UMA alternativa no gabarito. No caso de rasuras ou mais de uma alternativa marcada 
a questão será anulada. 
G A B A R I T O 
 
(1º Exercício Escolar) 
1º) Os valores máximos e mínimos de 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 sujeita às condições de restrição 
 𝑥𝑥
2
4
+ 𝑦𝑦2
5
+ 𝑑𝑑2
25
− 1 = 0 e 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 são respectivamente: 
𝜇𝜇 = 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 + 𝜆𝜆1 �𝑥𝑥24 + 𝑦𝑦25 + 𝑑𝑑225 − 1� + 𝜆𝜆2(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 ) 
𝜇𝜇𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 + 𝜆𝜆1𝑥𝑥2 + 𝜆𝜆2 = 0 ∴ 𝜇𝜇𝑦𝑦 = 2𝑦𝑦 + 2𝜆𝜆1𝑦𝑦5 + 𝜆𝜆2 = 0 ∴ 𝜇𝜇𝑑𝑑 = 2𝑧𝑧 + 2𝜆𝜆1𝑑𝑑25 − 𝜆𝜆2 = 0 
𝑥𝑥 = − 2𝜆𝜆2
𝜆𝜆1 + 4 ∴ 𝑦𝑦 = − 5𝜆𝜆22𝜆𝜆1 + 10 ∴ 𝑧𝑧 = 25𝜆𝜆22𝜆𝜆1 + 50 ⇒ 17𝜆𝜆12 + 245𝜆𝜆1 + 750 = 0 ⇒ 𝜆𝜆1 = −10 𝑐𝑐𝑢𝑢 𝜆𝜆1 = −7517 
 Os pontos críticos são 
�2� 519 , 3� 519 , 5� 519� ,�−2� 519 ,−3� 519 ,−5� 519� ,� 40√646 ,−35√646, 5�5/19� 𝑠𝑠 � −40√646 ,−35√646, −5�5/19� 
Então, os valores máximo e mínimo para 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 são, respectivamente, 10 e 75
17
. 
Letra a) 
2º) A menor e maior distância do ponto (3, 1, 1) a esfera 𝑥𝑥² + 𝑦𝑦² + 𝑧𝑧² = 4 são , aproximadamente: 
Como 𝑑𝑑2 = (𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 1)2 + (𝑧𝑧 − 1)2 temos: 
 𝑤𝑤 = (𝑥𝑥 − 3)2 + (𝑦𝑦 − 1)2 + (𝑧𝑧 − 1)2 + 𝜆𝜆(𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 − 4). Logo, 
 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
= 2𝑥𝑥 + 2𝜆𝜆𝑥𝑥 − 6; 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑦𝑦
= 2𝑦𝑦 + 2𝜆𝜆𝑦𝑦 − 2; 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑑𝑑
= 2𝑧𝑧 + 2𝜆𝜆𝑧𝑧 − 2; 𝜕𝜕𝜕𝜕
𝜕𝜕𝑥𝑥
= 𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 − 4. Daí: 2𝑥𝑥 + 2𝜆𝜆𝑥𝑥 − 6 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 6
2+2𝜆𝜆
; 2𝑦𝑦 + 2𝜆𝜆𝑦𝑦 − 2 = 0 ⇒ 𝑦𝑦 = 2
2+2𝜆𝜆
; 2𝑧𝑧 + 2𝜆𝜆𝑧𝑧 − 2 = 0 ⇒ 𝑧𝑧 = 2
2+2𝜆𝜆
 
𝑥𝑥2 + 𝑦𝑦2 + 𝑧𝑧2 − 4 = 0 ⇒ � 62 + 2𝜆𝜆�2 + � 22 + 2𝜆𝜆�2 + � 22 + 2𝜆𝜆�2 = 4 ⇒ � 𝜆𝜆 = 0.658𝜆𝜆 = −2.658 
𝑥𝑥 = 1,809 𝑐𝑐𝑢𝑢 − 1,809 ∴ 𝑦𝑦 = 0,603 𝑐𝑐𝑢𝑢 − 0,603 ∴ 𝑧𝑧 = 0,603 𝑐𝑐𝑢𝑢 − 0,603 ⇒ 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 2,04 𝑠𝑠 𝑑𝑑𝑚𝑚á𝑥𝑥 = 5,08 
Letra c) 
3º) Se 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦𝑧𝑧), então a derivada direcional no ponto (1,3,2) na direção do vetor 
𝑣𝑣 = 𝑖𝑖 + 2𝑗𝑗 − 𝑘𝑘 vale: 
∇𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = �d𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)dx , d𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧)dy , d𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧)dz � = (𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦𝑧𝑧), 𝑧𝑧𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑦𝑦𝑧𝑧),𝑦𝑦𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑦𝑦𝑧𝑧)) 
𝑣𝑣 = 𝑖𝑖 + 2𝑗𝑗 − 𝑘𝑘 ⇒ 𝑢𝑢 = (0,408; 0,816; −0,408) 
𝐷𝐷𝑢𝑢𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧) = ∇𝑓𝑓(1,3,2) ∙ 𝑢𝑢 = (−0,279; 1,92; 2,881) ⋅ (0,408; 0,816; −0,408) = 0,278 
Letra c) 
4º) O volume da maior caixa retangular com arestas paralelas aos eixos e que pode ser inscrita no elipsóide 9𝑥𝑥2 + 36𝑦𝑦2 + 4𝑧𝑧2 = 36 é 
𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦) = 𝑥𝑥𝑦𝑦�36−9𝑥𝑥2−36𝑦𝑦2�12
2
 no primeiro octante. 
𝑓𝑓𝑥𝑥 = �36𝑦𝑦−18𝑥𝑥2𝑦𝑦−36𝑦𝑦3�
2(36−9𝑥𝑥2−36𝑦𝑦2)12 e 𝑓𝑓𝑦𝑦 = 36𝑥𝑥−9𝑥𝑥3−72𝑥𝑥𝑦𝑦22(36−9𝑥𝑥2−36𝑦𝑦2)12 → 𝑥𝑥 = 2√3 ,𝑦𝑦 = 1√3 𝑠𝑠 𝑧𝑧 = √3 
𝑉𝑉 = 8 � 2
√3� � 1√3� �√3� = 16√3 
Letra d) 
5º) As derivadas parciais 𝑧𝑧𝑥𝑥𝑥𝑥, 𝑧𝑧𝑥𝑥𝑦𝑦, 𝑧𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥 e 𝑧𝑧𝑦𝑦𝑦𝑦 da função 𝑧𝑧 = 𝑦𝑦 𝑡𝑡𝑔𝑔2𝑥𝑥 são, respectivamente: 
𝑧𝑧 = 𝑦𝑦 𝑡𝑡𝑔𝑔2𝑥𝑥 → 𝑧𝑧𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐2(2𝑥𝑥)2 = 2𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐2(2𝑥𝑥), 𝑧𝑧𝑦𝑦 = 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑠𝑠(2𝑥𝑥) . Logo, 
𝑧𝑧𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦(2) sec(2𝑥𝑥) sec(2𝑥𝑥) tan(2𝑥𝑥) 2 = 8𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑐𝑐2(2𝑥𝑥)tan (2𝑥𝑥) 
𝑧𝑧𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑧𝑧𝑦𝑦𝑥𝑥 = 2 sec2(2𝑥𝑥) 
𝑧𝑧𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0 
Letra b) 
GABARITO 
1º 2º 3º 4º 5º 
A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E A B C D E