Cap III - O Cálculo com Geometria Analítica - Vol I - 3ª Edição - Ex 3.4

Prévia do material em texto

O Cálculo com Geometria Analítica - Vol I - 3ª Edição
Louis Leithold 
Capítulo III
A derivada e a derivação
Exercícios 3.4
Movimento retilíneo e a derivada como taxa de variação
Resolvido por Nelson Poerschke
De 1 a 8, uma partícula move-se ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto em s. Ache a velocidade instantânea cm/s em s e então ache o valor de para o valor de dado.
01. 
 
 
02. 
 
 
03. 
 
 
04. 
 
 
05. 
 
 
06. 
 
 
07. 
 
 
08. 
 
 
De 9 a 14, o movimento de uma partícula é ao longo de uma reta horizontal, de acordo com a equação dada, onde cm é a distância orientada da partícula a partir do ponto , em s. A direção positiva é à direita. Determine os intervalos de tempo em que a partícula move-se para a direita e para a esquerda. Determine também quando a partícula reverte o sentido do movimento. Mostre o comportamento do movimento através de uma figura similar à figura dada como exemplo e escolha valores de t ao acaso, mas inclua os valores de t em que a partícula muda o sentido do movimento.
09. 
 
 
 
	
	
	
	
	Conclusão
	
	-
	-
	+
	 é positiva, a partícula move-se para a direita.
	
	0
	-
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	+
	-
	-
	 é negativa, a partícula move-se para a esquerda.
	
	+
	0
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	+
	+
	+
	 é positiva, a partícula move-se para a direita.
	
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
 
10. 
 
 
 
	
	
	
	
	Conclusão
	
	-
	-
	+
	 é positiva, a partícula move-se para a direita.
	
	-
	0
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	-
	+
	-
	 é negativa, a partícula move-se para a esquerda.
	
	0
	+
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	+
	+
	+
	 é positiva, a partícula move-se para a direita.
	
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
 
11. 
 
 
 
	
	
	
	
	Conclusão
	
	-
	-
	+
	 é positiva, a partícula move-se para a direita.
	
	0
	-
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	+
	-
	-
	 é negativa, a partícula move-se para a esquerda.
	
	+
	0
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	+
	+
	+
	 é positiva, a partícula move-se para a direita.
	
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 = 2,5
	 
 
12. 
 
 
 
	
	
	
	
	
	Conclusão
	
	+
	-
	+
	-
	 é negativa, a partícula move-se para a esquerda.
	
	+
	0
	+
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	+
	+
	+
	+
	 é positiva, a partícula move-se para a direita.
	
	0
	+
	+
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	-
	+
	+
	-
	 é negativa, a partícula move-se para a esquerda.
	
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
13. 
 
 
 
	
	
	
	
	
	Conclusão
	
	+
	-
	+
	-
	 é negativa, a partícula move-se para a esquerda.
	
	+
	0
	+
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	+
	+
	+
	+
	 é positiva, a partícula move-se para a direita.
	
	0
	+
	+
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	-
	+
	+
	-
	 é negativa, a partícula move-se para a esquerda.
	
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
 
14. 
 
 
 
	
	
	
	
	Conclusão
	
	-
	+
	-
	 é negativa, a partícula move-se para a esquerda.
	
	0
	+
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	+
	+
	+
	 é positiva, a partícula move-se para a direita.
	
	0
	+
	0
	 é nula, a partícula inverte a direção da direita para a esquerda.
	
	-
	+
	-
	 é negativa, a partícula move-se para a esquerda.
	
	
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
	 
 
15. Um objeto cai do repouso de acordo com a equação , onde cm é a distância do objeto ao ponto de partida em s e o sentido positivo é para cima. Se uma pedra cai de um edifício com 2560 cm de altura, ache:
a) a velocidade instantânea da pedra, 1s depois de iniciada a queda.
 
 
 
b) a velocidade instantânea da pedra, 2s depois de iniciada a queda.
 
 
 
c) quanto tempo a pedra leva para atingir o solo.
 
 
 
d) a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo.
 
 
16. Uma pedra cai de uma altura de 64 m. Se m for a altura da pedra s após ter iniciado a queda, então 
a) Quanto tempo a pedra leva para atingir o solo?
 
 
b) Ache a velocidade instantânea da pedra quando ela atinge o solo.
 
 
 
17. Uma bola de bilhar é atingida e movimenta-se em linha reta. Se cm for a distância da bola de sua posição inicial após s, então Com qual velocidade a bola atingirá a tabela que está a 39 cm da posição inicial da bola?
 
 
 
 
 
 
18. Se uma pedra for atirada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 32 cm/s então onde cm é a distância da pedra ao ponto inicial, em s e o sentido positivo é para cima. Ache:
a) a velocidade média da pedra no intervalo de tempo 
 
 
 
 
b) a velocidade instantânea da pedra em 
 
 
 
c) a velocidade escalar da pedra em 
A pedra se desloca da posição 15 cm até a posição 16 cm e retorna para a posição 15 cm, perfazendo um deslocamento de 2 cm 
 
d) a velocidade média da pedra no intervalo de tempo de 
 
 
 
 
e) quantos segundos irão decorrer até que a pedra atinja o ponto mais alto.
 
 
f) qual a altura máxima atingida?
 
 
g) quantos segundos irão decorrer até que a pedra atinja o chão?
 
 
 
h) a velocidade instantânea da pedra quando ela atingir o solo.
 
 
19. Se uma bola for impulsionada de tal forma que ela adquira uma velocidade inicial de ao descer um certo plano inclinado, então , onde s cm é a distância da bola ao ponto inicial em s e o sentido positivo é o de descida do plano inclinado.
a) Qual será a velocidade instantânea da bola em ?
 
 
 
b) Quanto tempo levará para que a velocidade aumente para 48 cm/s?
 
 
20. Um foguete é lançado verticalmente para cima e após s ele está a m do solo, onde e o sentido positivo é para cima. Ache:
a) a velocidade do foguete 2 s após o lançamento.
 
 
 
b) quanto tempo levará para o foguete atingir sua altura máxima.
A altura máxima será atingida quando a velocidade for zero, então:
 
 
21. Se for a área de um quadrado e cm for o comprimento de cada lado, ache a taxa de variação média de em relação a , quando varia de:
a) 4,000 a 4,600;
 
b) 4,000 a 4,300;
 
c) 4,000 a 4,100;
 
d) 4,000 a 4,050;
 
e) Qual será a taxa instantânea de variação de com relação a quando for 4,000?;
 é o lado do quadrado.
A área do quadrado é 
A taxa de variação é a derivada da área.
 
 
23. A lei de Boyle para a expansão de um gás é , onde é a pressão em quilogramas força por unidade de área, é o número de unidades de volume do gás e é uma constante. Mostre que decresce a única taxa proporcional ao inverso do quadrado de .
Se , então , que pode ser escrito , logo .
Assim, se aumenta, então, decresce a uma taxa proporcional ao inverso do quadrado de .
24. Da lei de Boyle para a expansão de um gás, dada no exercício anterior, ache a taxa de variação instantânea de em relação a , quando e .
 
 
 
25. Uma frente fria aproxima-se de uma região. A temperatura é T graus em t horas após a meia-noite e 
a) Ache a taxa de variação média de T em relação a t entre 5h e 6h.
 
 
Portanto, entre 5 e 6 horas da manhã haverá um decréscimo de 2,9 graus por hora.
b) Ache a taxa de variação de T em relação a t às 5h.Portanto, exatamente às 5 horas, a taxa de variação da temperatura será de -3 graus por hora.
26. Estima-se que um empregado de uma firma que faz molduras para quadros possa pintar molduras em horas, após começar o trabalho às 8 horas da manhã e .
a) Ache a taxa segundo a qual o empregado estará pintando às 10h.
 
 
 
b) Ache o número de molduras que o empregado pinta entre 10 e 11 h.
 
 
27. Se a água estiver sendo drenada de uma piscina e litros for o volume de água na piscina min após começar o escoamento, onde .
a) a taxa média segundo a qual a água deixa a piscina durante os primeiros 5 min.
O volume d’água min após iniciar a escoar é litros
 
 
 
O número de litros, na taxa média que o volume d’água está variando durante os primeiros 5 minutos é:
 
Portanto, a taxa média em que a água escoa da piscina, nos primeiros 5 minutos, é de 18.750 L por minuto.
b) quão rápido a água está fluindo da piscina 5 min após o início do escoamento.
 
 
29. A importância no custo total da fabricação de relógios de uma certa fábrica é dada por .
a) Ache a função custo marginal.
 
 
b) o custo marginal quando .
 
c) o custo real de fabricação do 41° relógio.
 
 
30. Se for o custo total da fabricação de pesos de papel e , ache:
a) Ache a função custo marginal.
 
 
b) o custo marginal quando .
 
 
c) o custo real de fabricação do 11° relógio.
 
 
 
31. Se for o rendimento total recebido das vendas de aparelhos de televisão e , ache:
a) Ache a função rendimento marginal.
 
 
b) o rendimento marginal quando .
 
c) o rendimento real de fabricação do 21° relógio.
 
 
33. O rendimento anual bruto de uma empresa anos a partir de 1º de janeiro de 1988 é milhões e . Ache
a) a taxa em que o rendimento bruto estava crescendo em 1º de janeiro de 1990.
 
 
Em 1º de janeiro de 1990 se passaram dois anos desde 1988.
 
 milhões
b) a taxa de crescimento relativo do rendimento bruto em 1º de janeiro de 1990.
A taxa de crescimento relativo é dada por 
 
c) a taxa que o rendimento bruto deveria crescer em 1º de janeiro de 1994.
Decorreram 6 anos.
 
 milhões
d) A taxa antecipada de crescimento relativo em 1º de janeiro de 1994 até 0,1%.
 
 
34. Uma empresa inicia seus negócios em 1º de abril de 1987. Os rendimentos anuais brutos da firma após anos de operação são de , onde 
a) Ache a taxa segundo a qual os rendimentos brutos cresceram em 1º de abril de 1989.
 
 
De 1987 a 1989 decorreram 02 anos.
 
b) ache a taxa de crescimento relativo em 1º de abril de 1989, com aproximação de 0,1%.
 
c) ache a taxa em que o rendimento bruto deverá estar crescendo em 1º de abril de 1997.
 De 1987 a 1997 decorrem 10 anos.
 
d) a taxa prevista de crescimento relativo do rendimento bruto em 1º de abril de 1997 com aproximação de 0,1%.
 
36. Duas partículas de e movem-se para a direita numa reta horizontal e partem de um ponto . Seja a distância orientada do ponto em s. As equações de movimento são:
Se no começo, para que valores de t a velocidade da partícula supera a velocidade da partícula .
 
 
 
 
 
Se no começo, quando