Movimento no Plano

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Hidembergue Ordozgoith da Frota
Departamento De Física
Instituto de ciências Exatas
Universidade Federal do Amazonas
Movimento em duas Dimensões
MOVIMENTO EM DUAS DIMENSÕES
Trajetória 
da 
partícula
f i
f i
 
t t t
r r r
Vetor Deslocamento
Trajetória 
da 
partícula
t
r
v
Vetor Velocidade Média
f i
f i
 
t t t
r r r
0
lim
t
d
t dt
r r
v
f i
f i
 
t t t
r r r
Direção de v em 
Vetor Velocidade Instantânea
Vetor Aceleração Média
f i
f it t t
v v v
a
f i
f i
 
t t t
v v v
Vetor Aceleração Instantânea
0
lim
t
d
t dt
v v
a
Movimento Bidimensional 
com Aceleração Constante
r
x
y
0
Trajetória da 
partícula
r = x i + y j
v = vx i + vy j
a = ax i + ay j
vf = vxf i + vyf j
Como a é constante
vf = (vxi + axt) i + (vyi + ayt) j
= (vxi i+ vyi j) + (ax i+ ay j) t
vf = vi + a t
2
2
1
2
1
2
f i xi x
f i yi y
x x v t a t
y y v t a t
2 2
2
2
1 1
 
2 2
1
 
 
2
1
 
2
f i xi x i yi y
f i i xi yi x y
f i i
x v t a t y v t a t
x y v v t a a t
t t
 r i j
r i j i j i j
 r r v a
ri
rf
x
y
0
Trajetória da 
partícula
xi xf
yi
yf
2 21 1 
2
 
2
f i xi x f i yi yx x v t a t y y v t a t
21 
2
f i it t r r v a
 f xi x yi yv a t v a tv i j 
 f xf yfv vv i j 
 f f fx x r i j
2 21 1 
2 2
f i xi x i yi yx v t a t y v t a tr i j
f i tv v a
 xf xi x yf yi yv v a t v v a t 
Em resumo
MOVIMENTO DE UM PROJÉTIL
Ambas as bolas têm o mesmo movimento 
na vertical. Percorrem a mesma distância 
no mesmo intervalo de tempo.
No vácuo, a velocidade na horizontal é 
constante.
A aceleração na vertical é igual 
à aceleração da gravidade.
0x xi x
y y
v v a
v a g
Condições do Movimento no Plano 
 constante, 
 variável 
 
Como y varia em função de x ?
xx
y
Equação da trajetória
cosxi i i
xi
v v
x v t
 
Movimento horizontal
21
2
yi i i
yi
v v
y v t gt
sen
Movimento vertical
cosxi i i
yi i i
v v
v v
 
sen
21
2
xi
yi
x v t
y v t gt
2
cos
1
2
i i
i i
x v t
y v t gt
 
sen 
cosi i
x
t
v
2
1
cos 2 cos
i i
i i i i
v x
y x g
v v
sen
 
2
2 2
tan
2 cos
i
i i
g
y x x
v
Que é a equação de 
uma parábola
Alcance máximo
0
2
0
cos 
1
sen 
2
o
o
x v t
y v t gt
0
2
0
cos (1)
1
0 sen (2)
2
o
o
R v t
v t gt
Da segunda equação:
02 sen0; o
v
t t
g
Substituindo o resultado acima na primeira equação, encontramos:
2
0 0
2
sen coso
v
R
g
2
0sen2
ovR
g
cos
sen
ox o o
oy o o
v v
v v
Exercício
Um avião de resgate voa a 198km/h (=55m/s) 
a uma altura constante de 500m na direção de 
um ponto diretamente sobre uma vítima de 
um barco acidentado flutuando na superfície 
da água. O piloto deseja soltar a cápsula de 
salvamento de maneira que ela atinja a água 
muito próximo da vítima.
a) Qual deve ser o ângulo da linha de 
visada do piloto quando ele solta a cápsula?
b) Qual a velocidade da cápsula quando ela 
atinge a água em notação vetorial, bem como 
o seu módulo e ângulo ?
x
Resposta
Dados: 2
55m/s
500m
a 9,8m/s
0
ox
y
o
v
h
g
x
a) 1tan
x
h
0
2
0
cos 
1
sen 
2
ox
ox
x v t
y v t gt
2
0
55m/s
500m
a 9,8m/s
0
ox
y
v
h
g
21500 55sen0 9,8
2
10,1s
t t
t
55cos0 10
555,5m
,1x
x
1 555,5mtan 48,0
500m
b)
cos cos0 55m/s
sen sen0°
9,8 10,1 99,0m/s
x ox o o o
y o o o
y
v v v v
v v gt v gt gt
v
55,0m/s 99,0m/sv i j
 
2 2(55,0) (99,0) 113m/sv
1 1 99tan tan 60,9
55
y
x
v
v
Exercício
Um navio pirata encontra-se a 500m 
de um forte de defesa da entrada do 
porto de uma ilha. Um canhão de 
defesa, localizado no nível do mar, 
lança balas com velocidade inicial 
0 82v m/s.
a) A que ângulo em relação a horizontal deve a bala ser 
lançada para atingir o navio?
b) A que distância deve ficar o navio pirata para ficar fora 
do alcance das balas do canhão?
Resposta
Dados:
0
560m
82 m/s .
R
v
a)
2
0
1
2
0
1
0 2
sen 2
9,8 560
2 sen sen 54,7
27
82
º
o
o
v
R
g
gR
v
b) O alcance é máximo quando 
45o
2 2 2 2
0
82
sen 2 sen 2
68
45
9,
6m
8
o o ov v vR
g g g
R
Movimento circular uniforme
sen ; v cos
( sen ) ( cos )
x y
x y
v v i v j
v v v
v v i v j
 
 
cos
sen
p
p
x
r
y
r
p pdy dxdv v v
a i j
dt r dt r dt
  
; 
p p
y x
dy dx
v v
dt dt
2 2
cos seny x
dv v v v v
a v i v j i j
dt r r r r
    
2 2
2 2 2 2
2
(cos ) (sen ) 1x y
v v
a a
r
a
rr
v
2
2
( / )sen
(
tan t
/
an
)cos
y
x
a v r
a v r
a = aceleração centrípeta