Solucionário Lista 1 Seção 1.1 Teorema de Norton

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Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Esse teorema é usado para reduzir uma rede a um circuito simples 
em paralelo com uma fonte de corrente. Esse circuito simplificado 
será composto por uma fonte de corrente, citada anteriormente, com 
valor de corrente com um o Resistor de Norton , em paralelo à 
fonte. Acoplado a este circuito equivalente, nos pontos “a” e “b”, ter-
se-á a rede externa que poderá ser composta por um ou mais 
componentes. 
Abaixo, apresenta-se o circuito equivalente com a rede externa. 
Teorema de Norton 
NI
a
b
Onde, na rede externa, deve-se ter o componente sobre o 
qual deseja-se conhecer as informações (tensão, corrente 
ou potência). 
NR
NI NR
Externa
 Rede
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Lista 1 
Seção 1.1 
Produzido por: Rayel Carvalho e Thiago Leite 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Agora transformando em um curto toda a parte que foi destacada, encontraremos algumas 
informações a partir desse curto, primeiro o valor de , que é a corrente que vai de para 
 no curto criado: 
A) 
No Teorema de Norton, retiramos o resistor desejado do circuito, e em seu lugar é formado um 
curto circuito, então encontramos uma corrente que passa por ele. O procedimento para 
encontrar pelo método de Norton é o seguinte: 
NI
0i
a
b
NI
a
b
a
b
NI
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
e 
7
12
NI
a
b
Então, é a corrente que passa pelo resistor de 4Ω, em paralelo com o de 3Ω. 
Vamos encontrar a tensão no equivalente aos resistores de 3Ω e 4Ω em paralelo, que servirá para 
calcularmos a corrente no resistor desejado: 
Aplicando divisor de tensão: 
Ve
19
36
1
7
12
7
12
3




NI
*é a queda de tensão no resistor equivalente, 
e, logo, a queda de tensão tanto no resistor 
de 4Ω quanto no de 3Ω . 

7
12
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Agora encontrando a resistência de Norton, que é encontrada colocando todas as fontes em 
repouso, e imaginando um caminho de e indo para : 
Conhecendo, então, o valor da tensão no resistor podemos obter a corrente que passa pelo ramo: 
NI
a b
AII NN
19
9
4
19
36








a
b
a
b

4
3

4
19
4
4
3
NN RR
Através da lei de Ohm: 
e
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
O circuito equivalente é formado por uma fonte de corrente, com a corrente de saída igual ao valor 
de calculado, A ; o resistor de Norton também calculado, ; e o resistor retirado 
anteriormente no circuito original, no qual deseja-se encontrar a corrente , que é o de ; 
tanto as fontes quanto os resistores, estão organizados em paralelo no circuito equivalente, como 
mostrado abaixo: 
NI 
4
19
2
2
4
19
4
19
19
9
0








i
A
19
9

4
19 20
i
Ai
3
1
0 
Uma vez que os resistores estão em paralelo, para sabermos a corrente em algum deles, 
aplicamos o divisor de corrente. Então, a corrente que passa pelo resistor de 2Ω é: 
19
9
0i
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
 é a corrente que passa pelo resistor de 2Ω, então, precisamos conhecer a queda de tensão 
sobre ele, como ele está em paralelo com o de 3Ω, calculamos a queda de tensão na resistência 
equivalente, esta será a tensão em ambos: 
Agora, para obter a queda de tensão , prosseguimos da mesma maneira, isolamos o resistor 
de 4Ω e em seu lugar criamos um curto-circuito: 
0e
a
b
a
b
NI
5
6
NI
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Aplicando o divisor de tensão ao circuito reduzido abaixo, conhecemos a queda de tensão no 
resistor equivalente: 
e 
5
6
Ve
11
18
1
5
6
5
6
3




a
b
NI
AII NN
11
9
2
11
18








Aplicando a Lei de Ohm, utilizando a tensão no resistor equivalente, calculada acima, e o resistor 
de 2Ω: 
*essa é a queda de tensão no resistor 
de 3Ω e no de 2Ω. 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Encontrando a resistência de Norton: 

4
3

4
11
2
4
3
NN RR
a
b
A
11
9

4
11 40
e
De posse dos dados encontrados, o circuito equivalente já pode ser montado: 
Primeiro descobrimos a corrente que passa no resistor de 4Ω, vamos chamá-la de : 
AII
3
1
4
4
11
4
11
11
9




I
I
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Conhecendo a corrente sobre o resistor de 2Ω, encontramos a sua queda de tensão através da Lei 
de Ohm: 
3
1
40 e
Ve
3
4
0 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
B) 
Iniciando o método de Norton para conhecermos a corrente no resistor de 2Ω, que será 
retirado e se tornará um curto: 
0i
a
b
NI
a
b
Feito isso, ficamos com uma incógnita : 
NI
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
NI
a
b
Observando o circuito vemos que os resistores de 3Ω e 1Ω estão em paralelo, e o seu equivalente 
em série com o de 4Ω: 

4
3

4
3
e
Para calcular , antes precisamos conhecer a tensão que está retida no resistor equivalente, 
essa tensão será chamada de : 
e
NI
Através do divisor de tensão: 
Vee
19
15
4
3
4
4
3
5




Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Como os resistores estão em paralelo, a tensão calculada se aplica a ambos, conhecendo a 
tensão no resistor, podemos calcular a corrente que passa por ele através da lei de Ohm: 
AII NN
19
15
1
19
15

O próximo passo é calcular a resistência de Norton, colocando a fonte de tensão em repouso e 
imaginando um caminho de para : 
a
a
b

7
12
a b

7
19
7
12
1 NN RR

7
12
b
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Já temos todos os dados necessários para montar o circuito equivalente: 
2
7
19
7
19
19
15
0








i
a
b
A
19
15
 
7
19 20
i
Ai
11
5
0 
Uma vez que os resistores estão em paralelo, para sabermos a corrente em algum deles, 
aplicamos o divisor de corrente. Então, a corrente que passa pelo resistor de 2Ω é: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Agora vamos calcular a queda de tensão no resistor de 1Ω: 
0e
a
b
a
b
NI
Da mesma maneira, precisamos conhecer a tensão no resistor de 2Ω, que é a mesma do resistor 
de 3Ω, em paralelo. Então vamos calculando a tensão no equivalente estaremos conhecendo a 
tensão nos dois: 

5
6

5
6
e
5
6
4
5
6
5


e
Ve
13
15

Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
NI
A corrente é calculada através da lei de Ohm: 
NI
AII NN
26
15
2
13
15








a
b
Encontrando a resistência de Norton: 

7
12
Teremos os resistores de 4Ω e 3Ω em paralelo, e seu equivalente em série com o seu equivalente, 
o resistor de 2Ω. 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 

7
12
a
b
Somando os resistores em série: 

7
26
2
7
12
NN RR
a
b
A
26
15
 
7
26 10
e
Primeiro descobrimos a corrente que passa no resistor de 1Ω, vamos chamá-la de : 
AII
11
5
1
7
26
7
26
26
15




I
IMontando o circuito equivalente: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
A tensão no resistor desejado é dada, agora, pela lei de Ohm, com a corrente dada: 
Ve
11
5
0 







11
5
10e
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
C) 
a
b
a
b
NI
Calculando primeiramente : 
0i

5
6
Faremos a associação em paralelo dos resistores de 2Ω e de 3Ω, para depois encontrar a tensão 
retida nele, através do divisor de tensão com o resistor de 1Ω, que está em série com o 
equivalente. 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 

5
6
Então: 
e Vee
11
12
1
5
6
5
6
2




Voltando ao circuito, calculamos a corrente pela lei de Ohm, usando a tensão calculada 
acima: 
a
b
NI
NI
AII NN
11
4
3
11
12








Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Encontrando agora a resistência : 
NR
Então, a resistência desejada será: 

3
2
*em paralelo entre 
si... 
...em série com 
este. 

3
11
3
3
2
NN RR
a
b
A
11
4

3
11 40
i
Montando o circuito equivalente, teremos: 
Onde calculamos pelo divisor de corrente, então: 
0i
4
3
11
3
11
11
4
0








i Ai
23
4
0 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Encontrando agora : 
0e
a
b
NI
Note que, com a formação do curto, os resistores de 3Ω e de 4Ω não recebem corrente e ,portanto, 
não participam dos cálculos. O único resistor que recebe corrente é o de 1Ω, então a corrente 
desejada é dada pela lei de Ohm: 
AII NN 2
1
2

Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Calculando a resistência de Norton: 
7
Que será o equivalente dos resistores de 1Ω com o de 7Ω (3Ω + 4Ω) em paralelo: 




8
7
17
17
NN RR
Montando o circuito equivalente: 
a
b
A2

8
7 20e
i
A tensão é dada pela lei de Ohm, usando a corrente que passa no resistor de 2Ω e é 
dada pelo divisor de corrente: 
i
0e















2
8
7
2
8
7
20e Ve
23
28
0 
*divisor de 
corrente! 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
D) 
a
b
a
b
NI
Encontrando a corrente : 
0i
Observe que a fonte está em paralelo com os dois ramos, então a tensão para ambos é a mesma, 
a corrente será calculada através da lei de Ohm com a tensão igual a 1V: 
NI
AIN
3
1

*negativo pois é 
contrária à corrente 
da fonte!! 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Encontrando a resistência : 
NR
 3NR
Montando o circuito equivalente: 
a
b
A
3
1
 3 40i
43
3
3
1
0








i
Ai
7
1
0 
*desconsiderados 
devido ao curto!!! 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Encontrando agora a queda de tensão no resistor de 1Ω: 
0e
a
b
NI
Da mesma forma que no caso anterior, a fonte está em paralelo com os ramos, logo a tensão em 
cada um deles será a mesma, a corrente será calculada pela lei de Ohm: 
NI
AIN
2
1

Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
A resistência será composta somente pelo resistor de 2Ω, pois os outros são 
desconsiderados por estarem em paralelo com o curto criado pela fonte em repouso. 
NR
 2NR
Montando o circuito equivalente: 
a
b
A
2
1
 2 10e





















12
2
1
2
10e
Ve
3
1
0 
i
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
E) 
É possível aplicar o Teorema de Norton a mais de um resistor, como as incógnitas e 
estão em resistores em série podemos proceder isolando os dois simultaneamente: 
0e
0i
a
b
a
b
NI
O curto impede que o resistor de 1Ω receba corrente, e como a fonte está em paralelo com os dois 
ramos, a tensão é a mesma para cada lado, então, calculamos pela lei de Newton: 
NI
AIN
3
2

Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Encontrando a resistência : 
NR
A resistência desejada será a associação do resistor de 3Ω e de 1Ω em paralelo: 
*em paralelo!!! 




4
3
13
13
NN RR
Montamos o circuito equivalente da mesma forma, usando os dois resistores retirados do circuito 
original: 
a
b
A
3
2


4
3 4
0e
3
0i
Vamos calcular a corrente que é comum para o resistor de 3Ω e 4Ω, então, pelo divisor de 
corrente: 
0i
 43
4
3
4
3
3
2
0


i
Ai
31
2
0 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Já que temos a corrente que passa pelo ramo, encontramos a queda de tensão no resistor de 3Ω 
através da lei de Ohm: 







31
2
30e
Ve
31
6
0 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Aplicaremos agora o método de Norton para encontrar : 
1i
a
b
a b
NI
A corrente será dada através da lei de Ohm, lembrando que a tensão da fonte é a mesma 
para os dois ramos: 
NI

8
7







8
7
2
NI
AIN
7
16

Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a b
Encontrando agora : 
NR
A resistência procurada é dada pelo equivalente dos resistores de 7Ω (3Ω + 4Ω) em paralelo com 
o de 1Ω: 




8
7
17
17
NN RR
Montando o circuito equivalente: 
a
b
A
7
16


8
7 31i
3
8
7
8
7
7
16
1


i
Ai
31
16
1 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Encontrando agora : 
1e
a b
NI
A corrente é facilmente calculada pela lei de Ohm, pois a tensão aplicada é a total da fonte, 
novamente, por ela está em paralelo com os ramos do circuito: 
NI
AII NN 2
1
2

a b
Encontrando agora : 
NR
1NR
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Montando o circuito equivalente: 
a
b
A2
1 2
1e









12
12
21e
Ve
3
4
1 
i
i
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
F) 
a
b
Encontrando primeiramente : 
a b
NI
0i
Para encontrar a corrente desejada, devemos fazer a relação em paralelo entre o resistor de 3Ω 
(2Ω + 1Ω) e o de 1Ω: 

4
3

4
3
e
a b
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Para saber a corrente no ramo desejado, precisamos conhecer a tensão retida nele. Chamando de 
tal tensão, a calculamos pelo divisor de tensão: 
e
Vee
5
1
12
4
3
4
3
1




Agora que conhecemos a tensão no resistor equivalente e ,logo, a tensão no resistor de 3Ω (2Ω + 
1Ω), já podemos encontrar pela lei de Ohm: 
NI
AII NN
15
1
3
5
1








a b
Calculando agora a resistência : 
NR
*em série! 
Fazendo a associação dos dois resistores em série mostrados acima, em paralelo com o de 1Ω, o 
circuito fica da seguinte forma: 
a b

4
3
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
A resistência desejada então, será a soma dos resistores em série: 

4
15
4
3
12 NN RR
Montando o circuito equivalente com os dados obtidos: 
a
b
A
15
1
 
4
15 1
0i
1
4
15
4
1515
1
0








i
Ai
19
1
0 
Através do divisor de corrente: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
NI
a b
Encontrando agora : 
0e
Para encontrar devemos fazer a associação de todos os resistores que estão à esquerda da 
fonte. 
NI
a
b
NI

5
4

5
4
A corrente já pode ser encontrada através da lei de Ohm: 
NI
AII NN
14
5
2
5
4
1









Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Encontrando : 
NR
a
b

5
4

5
14
2
5
4
NN RR
a
b
4
Somando os resistores de 1Ω , 2Ω e 1Ω, que estão em série: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Montando o circuito equivalente: 
a
b
A
14
5

5
14 1
0e
14
5
1
5
14
1
5
14
0 














e
Ve
19
5
0 
eqR
Vamos fazer um pouco diferente, sabemos que a tensão em ramos paralelos é sempre igual, 
então, ao invés de encontrarmos a corrente que vai para o resistor de 1Ω, vamos fazer a 
associação dos dois resistores em paralelo, e aplicar a lei de Ohm no resistor equivalente, a 
tensão obtida será : 
0e
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
G) 
Descobrindo primeiramente : 
0i
a
b
a
b
NI
1
1
(em paralelo!) 
e
e
Encontrando a tensão que está no resistor de 2Ω: 
e
Vee
5
2
113
12




Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
NI
Usamos a tensão obtida para calcular pela lei de Ohm: 
e
NI
AII NN
5
1
2
5
2








a
b
Encontrando : 
NR
a
b

3
4

3
4

3
10




19
30
3
3
10
3
3
10
NN RR
e
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Montando o circuito equivalente: 
a
b
A
5
1

19
30 1
0i















1
19
30
19
30
5
1
0i
Ai
49
6
0 
Aplicando o divisor de corrente: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Prosseguindo agora na obtenção de : 
a b
NI
a b
Vamos encontrar a tensão retida nos três resistores em paralelo: 
e

11
6

11
6
e
Vee
25
6
11
6
13
11
6
2




0e
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a b
NI
Agora que já conhecemos a tensão nos resistores em paralelo, podemos calcular . Mas 
antes temos que fazer a associação dos resistores de 1Ω e de 3Ω em paralelo pois queremos 
saber a corrente antes dela se dividir entre esses dois ramos: 
NI

4
3
a b
NI

4
3
Finalmente: 
AII NN
25
8
4
3
25
6














e
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Encontrando agora : 
NR
a b

4
3
3
4
Fazendo-se a associação dos resistores, conforme mostrado acima, teremos dois resistores 
equivalentes em série: 
a b

4
3

3
4
4
3
3
4
NR

12
25
NR
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
O circuito equivalente: 
a
b
A
25
8

12
25 2
0e
25
8
12
25
2
12
25
2
0 














e
Ve
49
16
0 
Novamente vamos encontrar a resistência equivalente, e encontrar a tensão sobre ela, pois a 
tensão em ambos os resistores é a mesma: 
eqR
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
H) 
Vamos encontrar : 
0i
a
b
a
b
NI
A corrente já pode ser facilmente calculada através da lei de Ohm, pois os resistores de 1Ω 
e 2Ω à esquerda não recebem corrente devido ao curto, fazendo então a associação dos resistores 
de 1Ω em paralelo e aplicando a lei de Ohm temos: 
NI

2
1
AII NN 4
2
1
2








Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Prosseguindo agora na obtenção de : 
a
b
NI
NR

2
1
Fazendo a associação dos resistores temos: 




7
3
2
1
)31(
2
1
)31(
NN RR
Montando o circuito equivalente: 
a
b
A4

7
3 30i
7
3
3
7
3
4
0


i
Ai
2
1
0 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Encontrando agora : 
0e
a
b
a
b
NI

2
3
AII NN
3
4
2
3
2








a
b

2
3
Já conhecemos a resistência equivalente mostrada acima no circuito, ela está em paralelo com o 
resistor de 1Ω: 
Encontrando : 
NR




5
3
1
2
3
1
2
3
NN RR
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
O circuito equivalente: 
a
b
A
3
4

5
3 1
0e
3
4
1
5
3
1
5
3
0 














e
Ve
2
1
0 
Calculando a tensão em cima da resistência equivalente: 
eqR
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
I) 
Encontrando primeiramente : 
0i
a
b
a
b
NI
*não recebem 
corrente devido ao 
curto! 
*não recebe corrente devido 
ao curto gerado pela 
retirada do resistor! 
Com isso sobram somente os resistores de 1Ω e 3Ω, que estão em paralelo, logo a tensão neles é 
a tensão da fonte, a corrente desejada então será encontrada pela lei de Ohm: 
AIN
3
1

Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Agora, encontraremos : 
NR
*em paralelo!!! 
Então, a resistência desejada será: 




5
6
32
32
NN RR
Montando o circuito equivalente: 
a
b
A
3
1


5
6 10i
1
5
6
5
6
3
1
0


i
Ai
11
2
0 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
a
b
NI
Agora, encontraremos : 
0e
Observe que neste caso não há passagem de corrente pelo curto gerado de para , 
logo, concluímos que: 
a b
0NI
Sendo assim: 
SEM SOLUÇÃO pelo método de Norton. 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
J) 
Calculando inicialmente : 
0i
a
b
a
b
NI
Observe que a fonte está em paralelo com os resistores de 3kΩ e 1kΩ, logo a tensão neles é a 
tensão total da fonte, logo, é calculada pela lei de Ohm: 
NI
Em paralelo!! 
mAII NN 1
1
1

Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
a
b
Encontrando agora : 
NR
O curto gerado pela fonte de tensão em repouso não permite a passagem de corrente pelos 
resistores que foram riscados acima, logo: 
 kRN 1
O circuito equivalente: 
a
b
mA1 k1 k20
i
kk
km
i
21
11
0



mAi
3
1
0 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Encontrando agora : 
0e
a b
NI
a b
Fazendo a associação dos resistores de 1kΩ em paralelo temos: 
k
2
1
e
Ve
kk
k
e
7
1
3
2
1
2
1
1




Encontrando, agora, a tensão que está nos resistores de 1kΩ, através do seu equivalente: 
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
Conhecida a tensão no resistor, calculamos a corrente através da lei de Ohm: 
NI
mAI
k
I NN
7
1
1
7
1








e
Encontrando : 
NR
a b
*em paralelo!! 
ab
k
4
3
 kRkkR NN
4
7
4
3
1
Eletricidade Aplicada Teorema de Norton Lista 1 
O circuito equivalente: 
a
b
mA
7
1

k
4
7 k2
0e





















 m
kk
kk
e
7
1
2
4
7
2
4
7
0
Ve
15
2
0 
Calculando a tensão no resistor equivalente: 
eqR