4ª Lista de Exercícios Diferenciabilidade Prof CARLOS ANTONIO SILVA VIEIRA

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UEMA/DEMATI CA´LCULO II - ENG MECAˆNICA Prof. Carlos Vieira
3ª lista de exerc´ıcios
Diferenciabilidade; Plano Tangente e Reta Normal; Diferencial; Regra da Cadeia.
1. Mostre que a func¸a˜o dada e´ diferencia´vel (use a definic¸a˜o).
(a) f(x, y) = xy
(b) f(x, y) = x2y2
(c) f(x, y) = 1
xy
(d) f(x, y) = 1
x+ y
2. Verifique se f e´ diferencia´vel em (0, 0).
(a) f(x, y) = x
2y
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0
(b) f(x, y) = x
4
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0) e f(0, 0) = 0
3. Verifique que a func¸a˜o dada e´ diferencia´vel.
(a) f(x, y) = x4 + y3
(b) f(x, y) = ex2−y2
(c) f(x, y) = ln(1 + x2 + y2)
(d) f(x, y) = x · cos(x2 + y2)
4. Seja f(x, y) =
 (x2 + y2) · sin
(
1
x2 + y2
)
se (x, y) 6= (0, 0)
0 se (x, y) = (0, 0)
(a) Determine fx e fy
(b) Mostre que fx e fy na˜o sa˜o cont´ınuas em (0, 0)
(c) Mostre que f e´ diferencia´vel em (0, 0)
(d) Mostre que f e´ uma func¸a˜o diferencia´vel
5. Determine a equac¸a˜o do plano e da reta normal ao gra´fico da func¸a˜o dada, no ponto dado.
(a) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1))
(b) f(x, y) = xy em (1
2
, 1
2
, f(1
2
, 1
2
))
(c) f(x, y) = xex2−y2 em (2, 2, f(2, 2))
(d) f(x, y) = arctan(x− 2y) em (2, 1
2
, f(2, 1
2
))
6. Determine o plano que passa pelos pontos (1, 1, 2) e (−1, 1, 1) e que e´ tangente ao gra´fico de f(x, y) = xy
7. Determine o plano paralelo ao plano z = 2x+ y e tangente ao gra´fico de f(x, y) = x2 + y2
8. Determine os planos tangentes ao gra´fico de f(x, y) = 2 + x2 + y2 e que contenham o eixo x.
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9. Seja z =
√
x+ 3
√
y
(a) Calcule a diferencial de z no ponto (1, 8)
(b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1, 01 e y = 7, 9
(c) Calcule um valor aproximado para a variac¸a˜o ∆z em z quando se passa de x = 1 e y = 8 para
x = 0, 9 e y = 8, 01
10. Uma caixa cil´ındrica e´ feita com material de espessura 0, 003mm. As medidas internas sa˜o: altura 2m e
raio da base 1m. A caixa e´ sem tampa. Calcule um valor aproximado para o volume do material utilizado
na caixa.
11. Calcule aproximadamente
√
(0, 01)2 + (3, 02)2 + (3, 97)2
12. Calcule dz/dt, em cada caso.
(a) z = sinxy; x = 3t, y = t2
(b) z = ln(1 + x2 + y2); x = sin(3t), y = cos(3t)
(c) z = e1−xy; x = t1/3, y = t3
(d) z =
√
1 + x− 2xy4; x = ln t, y = t
13. Calcule ∂z/∂u e ∂z/∂v em cada caso.
(a) z = 8x2y − 2x+ 3y; x = uv, y = u− v
(b) z = x/y; x = 2 cosu, y = 3 sin v
(c) z = ex2y; x =
√
uv, y = 1/v
(d) z = cosx sin y; x = u, y = u 2 + v2
14. Dois lados de um triaˆngulo tem comprimentos a = 4cm e b = 2cm, mas esta˜o crescendo a uma taxa de
1cm/s. Se a a´rea do triaˆngulo permanece constante, a que taxa esta´ variando o aˆngulo θ entre a e b quando
θ = pi/6?
15. Suponha que a parte de uma a´rvore que e´ utilizada como madeira seja um cilindro circular reto. Se a altura
utiliza´vel da a´rvore cresce a uma taxa de 2 pe´s por ano e o diaˆmetro utiliza´vel cresce a 3 pol por ano, com
que velocidade cresce o volume da madeira utiliza´vel quando a altura utiliza´vvel da a´rvore for de 20 pe´s e
o diaˆmetro utiliza´vel for de 30 pol? [1 pe´ = 12 pol]
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Respostas
2) (a) f na˜o e´ diferencia´vel (b) f e´ diferencia´vel
5) (a) z = 4x+ 2y − 4 ; x = 1 + 4t, y = 1 + 2t, z = 2− t
(b) 4z = 2x+ 2y − 1 ; x = 1
2
+ t
2
, y = 1
2
+ t
2
, z = 1
4
− t
(c) z = 9x− 8y ; x = 2 + 9t, y = 2− 8t, z = 2− t
(d) 4z = 2x− 4y + (pi − 2) ; x = 2 + t
2
, y = 1
2
− t, z = pi
4
− t
6) x+ 6y − 2z = 3
7) z = 2x+ y − 5
4
8) z = 2
√
2y e z = −2√2y
9) (a) dz = 1
2
dx+ 1
12
dy (b) 2, 9966 (c) ∆z ∼= −0, 049166
10) ∆V ∼= 0, 15pi
11) ∼= 4, 988
12) (a) 9t2 cos(3t3)
(b) 0
(c) 1−2t4−8t4 ln t
2t
√
1+ln t−2t4 ln t
(d) −10
3
t7/3e1−t
10/3
13) (a) ∂z/∂u = 24u2v2 − 16uv3 − 2v + 3, ∂z/∂v = 16u3v − 24u2v2 − 2u− 3
(b) ∂z/∂u = −2 sinu
3 cos v
, ∂z/∂v = −2 cosu cos v
3 sin2 v
(c) ∂z/∂u = eu, ∂z/∂v = 0
(d) ∂z/∂u = − sin(u− v) · sin(u2 + v2) + 2u cos(u− v) · cos(u2 + v2)
∂z/∂u = sin(u− v) · sin(u2 + v2) + 2v cos(u− v) · cos(u2 + v2)
14) − 7
36
√
3 rad/s
15) 16.200pi pol3/ano
3