Matemática - Caderno 3

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Caderno Florestan Fernandes
CADERNO III
Matemática
ÍÍÍÍÍNDICENDICENDICENDICENDICE
MATEMÁTICA I
Função Exponencial........................................................................................3
Introdução ao Logaritmo................................................................................5
Propriedades dos Logaritmos....... ................................................................7
Equação Logarítmica.......................................................................................8
Função e Inequação Logarítmica..................................................................9
Seqüências e Progressão Aritmética...........................................................11
Soma da P.A....................................................................................................13
Progressões Geométricas.............................................................................14
MATEMÁTICA II
Introdução a Geometria Espacial...............................................................16
Poliedros .........................................................................................................19
Prismas ............................................................................................................21
Pirâmides.........................................................................................................25
Cilindro............................................................................................................28
Cone Circular..................................................................................................30
Troncos............................................................................................................32
Esfera...............................................................................................................34
MATEMÁTICA III
Permutações e Arranjos................................................................................36
Combinações Simples...................................................................................38
Número binomial e Triângulo de Pascal...................................................40
Binômio de Newton......................................................................................43
Probabilidade (1)............................................................................................45
Probabilidade (2)............................................................................................48
Experimentos Binomiais...............................................................................50
Conjunto dos Números Complexos...........................................................51
Impresso na Gráfica do Ponto de Cultura Mocambo Herbert de Souza
2�
2° Edição - agosto de 2010
"Pensamentos sem conteúdos são vazios; in-
tuições sem conceitos são cegas."
Immanuel Kant (1724 - 1804), filósofo alemão. Seu realismo transcendental, ou
crítico, é um marco importante da filosofia ocidental.
Relativity, Julho de 1953, Lithograph, 277 x 292 mm (10 7/8 x 11 1/2'')
Maurits Cornelis Escher ((1898-1972), desenhista holandês. Autor de obras caracterizadas
pelo uso de elementos realistas para a obtenção de efeitos ópticos e geométricos bizarros.
Caderno Florestan Fernandes
Colaboradores:
PROJETO GRÁFICO
Aristóteles de Almeida Silva
Moacir Mendes
Silas Eduardo de Souza
DIAGRAMAÇÃO:
Aristóteles de Almeida Silva
Moacir Mendes
Gabriel Ramires Veleiro
Andrey do Carmo
MONTAGEM E ILUSTRAÇÃO DA CAPA:
Andrey do Carmo
Aristóteles de Almeida Silva
REVISÃO/ELABORAÇÃO:
Isadora (Literatura)
Alexsandra (Gramática)
Eduardo Rosa (Física I)
Larissa (Física II)
Ivan (Física III)
Ricardo (Química I)
Gabriela (Química II)
Tânia (Química III)
Jakson (Matemática I)
Jonas (Matemática II)
C. Gil (Matemática III)
Jarbas (Biologia I)
Vanessas (Biologia II)
Dida (Biologia III)
Luciana (História)
Irene (História)
Will (História)
Neucler (Redação)
Neucler (Inglês)
Clayton (Geografia II)
Alex (Geografia I)
IMPRESSORES OFF-SET
Silas Eduardo de Souza
CORTE
Moacir Mendes
ACABAMENTO
Aristóteles de Almeida Silva
Moacir Mendes
Silas Eduardo de Souza
Andrey do Carmo
CAPTAÇÃO DE RECURSOS
Silas Eduardo de Souza
APOIO ACADÊMICO
Prof. Vicente Rodrigues (FE-Unicamp)
“Criar uma nova cultura não significa apenas fazer individualmente descobertas ‘originais’; significa, sobretudo, difundir também criticamente verdades já descobertas,
‘socializá-las’, por assim dizer; transformá-las, portanto, em base de ações vitais, em elemento de coordenação e de ordem intelectual e moral. Conduzir uma massa de homens
a pensar com coerência e de modo unitário o presente é um fato ‘filosófico’ muito mais importante e ‘original’ que a descoberta por um ‘gênio’ filosófico de uma nova verdade
que se converte em patrimônio único de um pequeno grupo de intelectuais”.
Antonio Gramsci
Ponto de Cultura
Herbert de Souza
End.: R. Maria Pink Luis, n° 100
Vila União - Campinas/SP
CEP: 13060-764
E-mail: malocalivre@gmail.com
Fone: (19) 3396-6606
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MOVIMENTO DOS CURSINHOS POPULARES
“É preciso quebrar o gelo diante dos problemas graves que de tão comuns teimam em
parecer normais.
O Brasil não precisa de doutores mas de transformadores.”
Herbert de Souza, o Betinho
CAPA:
Imagem da Capa: de Andrey do Carmo - Graduando em Artes
Visuais - ex-aluno do Cursinho Herbert de Souza - Nome da Arte: Florestan
Fernandes.
Imagem da Contracapa: de Joseph Amedokpo - Nome da arte: The Devil`s
Cooking Pot.
Imagem do meio da Capa: de Kobina Nyarko - Nome da Arte: Prayers
Texto da Contra Capa: extraido na integra de http://www.rea.net.br
Texto Homenagem: Arsitóteles de Almeida Silva - ex-aluno do Cursinho
Herbert de Souza.
Homenagem da Capa: Florestan Fernandes (1920 - 1995).
Florestan Fernandes foi um influente intelectual brasileiro. No Brasil pode ser
considerado como um dos inauguradores da tradição dos intelectuais de origem
popular que conseguiram ingressar na universidade e dar uma contribuição impar
para o pensamento científico. Como intelectual se manteve conectado com sua
origem popular, jamais esqueceu seu passado pobre e as duras experiências da
vida. Ao criticar a sociedade burguesa fez sem cair num mero ressentimento
vingativo, soube realizar a crítica no mais alto nível científico.
Florestan, filho de uma lavadeira portuguesa analfabeta, teve uma infân-
cia difícil e trabalhosa. Frequentou apenas três anos regulares do ensino primá-
rio em São Paulo, trabalhando paralelamente aos estudos como engraxate,
biscateiro, auxiliar de garçom, entregador de remédios a domicílio, entre outras
atividades. Por diversas teve de interromper os estudos. Aos 17 anos decidiu
retomar seus estudos fez o curso de madureza (ginásio e colégio), e, em 1941,
deu início aos seus estudos em ciências sociais (antropologia e sociologia) na
Universidade de São Paulo (USP). Dessa universidade se tornou professor, onde
exerceu atividade docente até ser aposentado de forma compulsória pela ditadu-
ra militar que se instalou no Brasil a partir de 1964. Foi professor de universida-
des estrangeiras e da Puc-SP. Seus estudos versaram sobre diversos assuntos:
questão racial, teoria sociológica, formação do Brasil, etc. Com a redemocratização
do Brasil se elegeu deputado federal pelo PT, partido do qual foi um dos funda-
dores, e cumpriu um papel essencial no desenvolvimento da Constituinte de
1988. Faleceu em 1995 tendo escrito mais de 50 livros.
Em suas palavras sobre sua origem Florestan nos diz: “Eu nunca teria sido
o sociólogo em que me converti sem o meu passado e sem a socialização pré e extra-escolar que
recebi através das duras lições da vida. Para o bem e para o mal — sem invocar-se a questão
do ressentimento, que a crítica conservadora lançou contra mim — a minha formação acadê-
mica superpôs-se a uma formação humana que ela não conseguiu distorcer nem esterilizar.
Portanto, ainda que isso pareça pouco ortodoxo e antiintelectualista, afirmo que iniciei a
minha aprendizagem sociológica aos seisanos, quando precisei ganhar a vida como se fosse um
adulto e penetrei, pelas vias da experiência concreta, no conhecimento do que é a convivência
humana e a sociedade em uma cidade na qual não prevalecia a ordem das bicadas, mas a
relação de presa, pela qual o homem se alimentava do homem, do mesmo modo que o tubarão
come a sardinha ou o gavião devora os animais de pequeno porte. A criança estava perdida
nesse mundo hostil e tinha de voltar-se para dentro de si mesma para procurar nas técnicas do
corpo e nos ardis dos fracos os meios de autodefesa para a sobrevivência. Eu não estava
sozinho. Havia a minha mãe. Porém a soma de duas fraquezas não compõe uma força.
Éramos varridos pela tempestade da vida e o que nos salvou foi o nosso orgulho selvagem, que
deitava raízes na concepção agreste do mundo rústico, imperante nas pequenas aldeias do norte
de Portugal, onde as pessoas se mediam com o lobo e se defendiam a pau do animal ou de outro
ser humano”.
3www.maloca.org.br
XVII
FFFFFUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃO E E E E EXPONENCIALXPONENCIALXPONENCIALXPONENCIALXPONENCIAL.....
Denominamos função exponencial toda função f: R →→→→→ R*
+
 , tal
que f(x) = ax, onde a é uma constante real positiva e diferente de 1.
Propriedades:
I) Sendo a > 0 e a ≠ 1, tem-se que:
ax = ay ⇔ x = y
II) A função exponencial f(x) = ax é crescente em todo seu domínio se, e
somente se, a > 1.
Tem-se então:
ax1 > ax2 ⇔ x1 > x2 , a ∈ R e a > 1
III) A função exponencial f(x) = ax é decrescente em todo seu domínio se,
e somente se, 0 < a < 1.
Tem-se então:
ax1 > ax2 ⇔ x1 < x2 , a ∈ R e 0 < a < 1
Você sabe por que a função exponencial só é definida para a > 0 e a ≠ 1?
Vejamos o que acontece se estas restrições não forem respeitadas:
a < 0 → No exemplo a = -2, x = 1/2, teríamos (-2)1/2 = , que não
é numero real.
a = 0 → 0x = 0 x ∈ R.
a = 1 → 1x = 1 x ∈ R
Ao longo da história da matemática, desde Arquimedes na Grécia antiga, encon-
tramos muitos pensadores sendo desafiados pelos expoentes. Chegar as funções
exponenciais só foi possível, porém, após o desenvolvimento do conceito de função,
no que foram importantes os trabalhos de matemáticos do século XVII como
Euler, D’ Alembert, Lagrange e Fourier. Atualmente, a função exponencial esta
presente em áreas do conhecimento como biologia, matemática financeira e econo-
mia, entre outras. A previsão do crescimento populacional de bactérias que se
multiplicam rapidamente (exponencialmente), de aplicações e investimentos a mé-
dio e longo prazo, depreciação de bens duráveis de consumo, etc., são algumas das
aplicações onde à função exponencial aparece. Por exemplo:
Um capital c, aplicado a uma taxa i ao mês, terá montante final (capital +
rendimentos) após x meses, de: c.(1 + i/100)x.
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL:
Inequação exponencial é toda inequação cuja incógnita se apresenta no
expoente de uma ou mais potências de bases positivas e diferentes de 1.
De modo similar as equações podemos resolver as inequações, desta vez
utilizando a propriedade II descrita anteriormente. Vejamos um exemplo:
1) Resolver em R 253x-1 > 125x+2:
Fatorando os números 25 e 125 obtemos o seguinte:
253x-1 > 125x+2 → (52)3x-1 > (53)x + 2 → 56x-2 > 53x + 6
Pela propriedade II, 5 > 0, e podemos escrever a seguinte sentença para
os expoentes:
6x – 2 > 3x + 6 → 3x > 8 → x > 8/3 → S = {x ∈ R / x > 8/3}
2) Resolver em R (1/2)x+2 < (1/2)5:
Como as bases são iguais do dois lados, basta aplicarmos a propriedade
III acima, ou seja, montamos uma inequação com os expoentes inverten-
do o sinal da desigualdade.
x + 2 > 5 → x > 5 - 2 → x > 3 → S = {x ∈ R / x > 3}
1) Esboce o gráfico e identifique como crescente ou decrescente as funções
exponenciais:
a) f(x) = 3x
b) f(x) = 
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
1
3
x
c) f(x) = 2-x
2) No intervalo [-1, 8], o número de soluções inteiras da inequação 2x - 7 > 23 -
x é:
a) 2 b) 3 c) 4
d) 5 e) 6
3) (Ufrs) O conjunto solução da inequação 
2
1 1
2
x⎛ ⎞ >⎜ ⎟
⎝ ⎠
é
a) Ø b) (-1, 1) c) (0, +∝)
d) (-∝, 0) e) IR
4) (Ufes) O conjunto solução, em IR, da inequação 3x – 3 >(1/9)x + 3 é:
a) {x ∈ IR / x > - 3} b) {x ∈ IR / 0 < x < 1}
c) {x ∈ IR / x > 1} d) {x ∈ IR / x < 1}
e) {x ∈ IR / x > - 1}
5) (Ueg) A bula de certo medicamento informa que, a cada seis horas após sua
ingestão, metade dele é absorvida pelo organismo. Se uma pessoa tomar 200 mg
desse medicamento, quanto ainda restará a ser absorvido pelo organismo imedi-
atamente após 18 horas de sua ingestão? E após t horas?
6) (Unirio) Seja uma função f definida como mostra a função a seguir
( ) = + −22 5 3xf x x
Determine os valores de x tais que f(x) seja menor do que 8.
7) (Fatec) Na figura a seguir, os pontos A e B são as intersecções dos gráficos das
funções f e g.
4
Se ( ) ( )= 2 xg x , então f(10) é igual a
a) 3
b) 4
c) 6
d) 7
e) 9
8) (U.Amazonas) Em pesquisa realizada, constatou-se que a população (P) de
determinada bactéria cresce segundo a expressão P(t) = 25.2t, onde t representa
o tempo em horas. Para atingir uma população de 400 bactérias, será necessário
um tempo de:
a) 4 horas
b) 3 horas
c) 2 horas e 30 minutos
d) 2 horas
e) 1 hora
9) (VUNESP) Seja a, 0 < a < 1, um número real dado. Resolver a inequação
exponencial a2x+1 > (1/a)x-3
10)(VUNESP) Duas funções f(t) e g(t) fornecem o número de ratos e o número
de habitantes de uma certa cidade em função do tempo t (em anos), respectiva-
mente, num período de 0 a 5 anos. Suponha que no tempo inicial (t=0) existiam
nessa cidade 100.000 ratos e 70.000 habitantes, que o número de ratos dobra a
cada ano e que a população humana cresça 2000 habitantes por ano. Pede-se:
a) As expressões matemáticas das funções f(t) e g(t)
b) O número de ratos que haverá por habitante, após 5 anos.
11) (Fuvest)
a) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos de f(x) = 2x e g(x)
= 2x.
b) Baseados nos gráficos da parte a, resolva a inequação 2x ≤ 2x.
c) Qual é o maior: 22 ou 2 2 ? Justifique sua resposta.
12)(Unesp) Considere função dada por ( ) += + +2 13 3 1x xf x m .
a) Quando m = –4, determine os valores de x para os quais f(x) = 0.
b) Determine todos os valores reais de m para os quais a equação f(x) = m + 1
não tem solução real x.
1)
2) d
3) a
4) e
5) Após 18 horas restará 25 mg no organismo. A função é f(t) = 200.2-t/6
6) -6 < x < 1
7) c
8) a
9) ]-∝,2/3[
10) a) f(t)=100.000 . 2t ; g(t)=70.000 + 2.000t; b) 40.
11) a)
b) S = {x ∈ R /1< x < 2} c) < 2
12) a) 0 e -1
b) -12 < m ≤ 0
5www.maloca.org.br
XVIII
IIIIINTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃO AOAOAOAOAO L L L L LOGARITMOOGARITMOOGARITMOOGARITMOOGARITMO
Considere as expressões:
31245 + 6231
31245 – 6231
31245 x 6231
 31245 : 6231
Quais delas você resolveria mais rapidamente?
De modo geral é mais simples somar ou subtrair dois números do que multiplicá-
los ou dividi-los. Com base nessas idéias, o escocês John Napier (1550 – 1617)
formalizou a teoria dos logaritmos, cuja finalidade é simplificar cálculos numéri-
cos.
Os princípios básicos dos logaritmos – transformar uma multiplicação
em adição ou uma divisão em subtração-já haviam sido vislumbrados por
outros matemáticos antes de Napier. No entanto, credita-se a ele a criação dos
logaritmos, devido a vinte anos de trabalho que culminaram com a publicação das
obras Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrição das normas dos
logaritmos maravilhosos, em 1614) e Mirifici logarithmorum canonis constructio
(Cálculo das normas dos logaritmos maravilhosos, em 1619).
Definição: Sejam a e b números reais positivos e b ≠≠≠≠≠ 1. Chama-se
logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a. Em símbolos:
log
b
 a = x ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ bx = a
Na sentença, logb a = x, temos que:
 a é chamado de logaritmando
 b é chamado de base do logaritmo
 x é chamado de logaritmo de a na base b
Então, se por definição, log
2
 16 = x ⇔ 2x = 16, concluímos que 16 é o
logaritmando, 2 é a base do logaritmo e, x = 4 é o logaritmo de 16 na base
2.
Por convenção, escrevemos simplesmente log a quando a base é 10
(decimal). A base 10 fica subentendida.
Exemplo:
log (1/1000)= ?
Temos:
10x = 1/1000 ⇔ 10x = 10-3 ⇔ x = -3.
Logo
log (1/1000) = -3.
Um conjunto de propriedades facilita muito as operações com
logaritmos, sendo útil você conhecê-las e se familiarizar com elas vejamos
quais são:
1) Decorre imediatamente da definição que para números reais positivos a
e b, com b ≠ 1:
log
b
 b = 1
De fato, pela definição temos logb a = x ⇔ b
x = b → x = 1.
2)
log
b
 1 = 0
De fato, pela definição temos logb 1 = x ⇔ b
x = 1 → x = 0.
3)
log
b
 bx = x
De fato, pelas propriedades 3 e 1, temos
logb b
x = x . logb b = x .1→ b
x = b → logb b
x = x
4)
b log
b
 a = a
De fato, fazendo logb a = x, tem –se bx =a. substituindo, nessa última
igualdade, x por logb a, tem-se: b log
b
 a = a
5)
log
b
 a = log
b
 c ⇔⇔⇔⇔⇔ b = c
De fato, pela definição temos logb a = logb c ⇔ b 
log
b
 c = a, que pela
propriedade 4 acima implica b = a.
CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA DE UM LOGARITMO
Exemplo:
Para quais valores de x existe o logaritmo log (x + 4)?
Como o logaritmando tem que ser maior que zero temos x + 4 > 0 →
x > -4. Logo log (x + 4) só existe para x > -4.
1) Calcule o valor numérico dos seguintes logaritmos:
a) log2 32
b) log25 √ 25
c) log 0,0001
d) log16 32
e) log5 0,000064
f) log9 3 √27
g) log20,25
2) Calcule o valor da soma S em cada caso:
a) S = log100 0,1+log25 −3 25 log 2
b) S = 2log 8 -log10 0,01+log2√8
3) Calcular x em cada caso:
a) log2 x = 1/3
b) logx 81= 4
c) logx 1/9 = 2
d) logx 1/343 = 3
e) log5 x = 0
4) Usando as propriedades decorrentes da definição de logaritmo preencha os
quadrados abaixo sem fazer contas.
a) log7 1 =
b) log17,5 1 =
c) =3 3log 7
d) log55 =
e) log6 6
3 =
f) =2 2
1log
3
5) Determine as condições de existência dos seguintes logaritmos:
a) log2 (x+3)
b) logx+1 (2-x)
c) logx+1 (x
2 + 3x -18)
d) logx (3x – 1)
6) (UFAM) O logaritmo de √8 na base 2 é:
a) 3/2
b) 3
c) 2/3
d) 1/2
e) 1/3
6
7) (UFSC) O valor da expressão, 3 loga a
5 + loga 1 – 4 loga √a, onde a > 0 e a ≠
1 é:
8) (IME-RJ) Calcule o logaritmo de 625 na base 35 5 .
9) (Ufscar) Em notação científica, um número é escrito na forma p ·10q, sendo
p um número real tal que 1 £ p < 10, e q um número inteiro. Considerando log2
= 0,3, o número 2255, escrito em notação científica, terá p igual a:
a) √10
b) √3
c) √2
d) 1,2
e) 1,1
10) (Unesp) O valor de x na equação =3 3
1log
3
x é
a) 
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
3 31
3
b) 
3 3
3
c) 
3
3
d) 3 3
e) 3
11) (UFMG) Seja f uma função real de variável real dada por f(x) = x +
−2 210logx x . Então, f(-10):
a) é igual a -22
b) é igual a -18
c) é igual a -2
d) é igual a 2
e) não está definido
12) (UFMG) Seja ( )= +2log 74 7 8y Nesse caso, o valor de y é
a) 35
b) 56
c) 49
d) 70
e) 80
1) a) 5
b) 1/4
c) -4
d) 5/4
e) -6
f) 5/4
g) -2
2) a) S =- 14/6
b) 19/2
3) a) 
b) 3
c) 1/3
d) 1/7
e) 1
4) a) 0
b) 0
c) 7
d) 1
e) 3
f) 1/3
5) a) S = {x ∈R/ x >-3}
b) S = {x ∈ R /-1 < x < 2 e x ≠ 0}
c) S = {x ∈ R/ x >3}
d) S = {x ∈ R/ x > 1/3 e x ≠ 1}
6) a
7) 13
8) 3
9) a
10) e
11) c
12) d
7www.maloca.org.br
XIX
PPPPPROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADESROPRIEDADES DOSDOSDOSDOSDOS L L L L LOGARITMOSOGARITMOSOGARITMOSOGARITMOSOGARITMOS
Nessa aula destacaremos as propriedades operatórias dos logaritmos:
1) = +log log logb b bac a c
2) 
⎛ ⎞ = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
log log logb b b
a a c
c
3) =log . logcb ba c a
4) =
1log . logc bb a ac
5) =
log
log
log
k
b
k
aa
b
Exemplo:
Seja log 7 = p e log 2 = q, calcule em função de p e q.
a) log14 = log (2.7) = log 2 + log 7 = p + q
b) log 98 = log (2.7.7) = log 2 + log 7 + log 7 = q + p + p = q + 2p
c) log 70 = log (7.10) = log 7 + log 10 = p + 1
d) log(3,5) = log (7/2) = log 7 – log 2 = p – q
e) log(72.23) = log 72 + log 23 = 2log 7 + 3log 2 = 2p + 3q
f) = = =31000 10
1log 7 log 7 . log 7
3 3
p
g) 
⎛ ⎞
⎜ ⎟ − −⎝ ⎠= = = =2
10log
log 5 log10 log 2 12log 5
log 2
q
q q q
1) Considerando log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 calcule:
a) log 6 b) log 12 c) log 5 d) log 15 e) log 200
2) Considerando log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477 calcule:
a) log6 4 b) log √ 6 c) log 
3√12 d) log2 3 e) log2 30
3) Determine A:
a) A = log 3 • log27 10 b) A = log3 8 • log4 3 • log5 4 • log2 5
c) log2 A =
1
3 log2 x – log2 y -3log2 t
3
4) (UFSC) Determinar o valor do quociente a/b, com a >0 e b > 0, na equação:
log3 b – log3 a = -4
5) (PUC-SP) O valor de log0,04 125 é igual a:
a) -2/3 b) -4/3 c) -3/2 d) 2/3 e) 4/3
6) (Fuvest) Se x = log4 7 e y = log16 49, então x-y é igual a:
a) log4 7 b) log16 7 c) 1 d) 2 e) 0
7) (Fuvest) Se log 8 = a, então log 5 vale:
a) a3 b) 5a – 1 c) 2a/3 d) 1 + a/3 e) 1 – a/3
8) (Fuvest) Sabendo-se que 5p = 2, podemos concluir que log2 100 é igual a:
a) 2/p b) 2p c) 2p + p2 d) 2 + 2p e) 
+2 2 p
p
9) (ITA) Calcule o valor de log2 16 – log4 32
10) (Mack) Se A = 25log 25 , então A3 é igual a:
a) √2 b) 2√2 c) 8 d) 25 e) 125
11) (Fuvest) Sendo a2 + b2 = 70ab, calcular 
( )+ 2
log
a b
ab
 em função de m = log5
2 e n = log5 3.
12) (UFRJ) Considere a = 
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1
log e log 1x b x
x x com x > 1.
Determine 
⎛ ⎞− + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2
1 1log x x
x x .
1) a) 0,778
b) 1,079
c) 0,699
d) 1,176
e) 2,301
2) a) 0,773
b) 0,389
c) 0,359
d) 1,585
e) 4,907
3) a) 1/3
b) 3
c) 
3
3
x
yt
4) 81
5) c
6) e
7) e
8) e
9) 3/2
10) b
11) 
+
+
3 2
1
m n
m
12) a + b
8
XX
EEEEEQUAÇÃOQUAÇÃOQUAÇÃOQUAÇÃOQUAÇÃO L L L L LOGARÍTMICAOGARÍTMICAOGARÍTMICAOGARÍTMICAOGARÍTMICA
Chama-se equação logarítmica aquela que apresenta a incógnita no
logaritmando ou na base de um logaritmo.
A resolução de uma equação logarítmica baseia-se na propriedade: log
b
x = log
b
 y ⇔ x = y ou na definição log
b
 a = x ⇔ bx = a .
Observe o exemplo:
Resolver a equação log2 (4x + 24) = 5
Primeiro precisamos impor a condição de existência do logaritmo, ou
seja, 4x + 24 > 0. Então x > -6.
Em seguida, precisamos transformar os dois membros da equação em
logaritmos de mesma base. O número 5 pode ser escrito como logaritmo
de base 2, da seguinte forma:
5 = 5 log2 2 = log2 2
5 Obtemos:
log2 (4x + 24) = 5 ⇔ log2 (4x + 24) = log2 2
5 ⇔ log2 (4x + 24) = log2 32
Agora fica fácil resolver a equação. Temos: 4x + 24 = 32 ⇔ 4x = 32 -24
= 8 ⇔ x = 2
Observando que x = 2 satisfaz a condição de existência, x > -6, temos S
= {2}
Exemplo 2
log 3 (x – 9) = 4 
Condição de existência: 
x – 9 > 0 
x > 9 
Para que a solução seja correta o valor da incógnita x deverá ser maior que
9. 
log 3 (x – 9) = 4 ⇔ 3
4 = x – 9 ⇔ 81 = x - 9 ⇔ 81 + 9 = x ⇔ 90 = x 
Como o valor encontrado para x satisfaz a condição de existência, pois
90 é maior que 9, então o conjunto verdade dessa equação logarítmica é V
= {90}. 
1) Dê o conjunto solução das seguintes equações:
a) log6 2x = 2
b) log3 (x-1) = 3
c) logx (x + 20)
d) log2[ logx (x + 2)]=1
e) log2 (x-1) + log2 (x + 1) = 3
2) Resolva as seguintes equações:
a) log3 √x + log9x = 3
b) logx 25 + log5 x = 3
c) 22x -10•2x + 21 = 0
d) log2 (2x – 1) – log2 (x + 2) = log2 (4x + 1) – log2 (x + 10)
3) (UFSC) O valor de x compatível para a equação log (x2 – 1) – log (x-1) = 2, é:
4) (Fuvest) Resolva log10 x + 2 logx 10 = 3.
5) (AFA-SP) A raiz da equação ( ) ( )
−
− − =
log 1
log 1 log 2
2
x
x é:
a) -9 b) -3 c) 3 d) 9 e) n.d.a.
6) (Fuvest) Se x é um número real, x > 2 e log2(x – 2) – log4x = 1, então o valor
de x é:
a) 4- 2√3 b) 4- √3 c) 2+ 2√3 d) 4+ 2√3 e) 2+ 4√3
7)(Unesp)Considere as funções f(x) = log3(9x
2) e g(x) = log3(1/x), definidas para
todo X > 0.
a) Resolva as duas equações: f(x) = 1 e g(x) = -3.
b) Mostre que 1+ f(x) +g(x) = 3+ log3x.
8) (Unicamp) Resolva o sistema 
+ =⎧
⎨ =⎩
2 4log log 4
8
x y
xy
9) A soma das raízes das equações
log5 (4x - 3) + log5(4x - 7) = 1 e 7
x + 1- 7x = 294 vale:
a) 2 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
10) (Ufscar) Um paciente de um hospital está recebendo soro por via intravenosa.
O equipamento foi regulado para gotejar x gotas a cada 30 segundos. Sabendo-se
que este número x é solução da equação log4 x = log2 3, e que cada gota tem
volume de 0,3 mL, pode-se afirmar que o volume de soro que este paciente
recebe em uma hora é de
a) 800 mL b) 750 mL c) 724 mL d) 500 mLe) 324 mL
11) (Unicamp) Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%,
com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas
aplicações ou retiradas, encontre:
a) O capital acumulado após 2 anos.
b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado
seja maior que o dobro do capital inicial.
[Se necessário, use log10 2 = 0,301 e log10 3 = 0,477]
12) (Unicamp)
A concentração de CO2 na atmosfera vem sendo medida, desde 1958, pelo
observatório de Mauna Loa, no Havaí. Os dados coletados mostram que, nos
últimos anos, essa concentração aumentou em média, 0,5% por ano. É razoável
supor que essa taxa anual de crescimento da concentração de CO2 irá se manter
constante nos próximos anos.
a) Escreva uma função C(t) que represente a concentração de CO2 na atmosfera
em relação ao tempo t, dado em anos. Considere como instante inicial — ou seja,
aquele em que t = 0 — o ano de 2004, no qual foi observada uma concentração
de 377,4ppm de CO2 na atmosfera.
b) Determine aproximadamente em que ano a concentração de CO2 na atmos-
fera será 50% superior àquela observada em 2004. Se necessário, use log10 2 =
0,3010, log10 2,01 = 0,3032 e log10 3 = 0,4771.
1) a) S = {18}
b) S = {28}
c) S = {5}
d) S = {2}
e) S = {3}
2) a) S = {27}
b) S = {5, 25)
c) S = {log2 3, log2 7}
d) S = {2,3}
3) S = {99}
4) S = {10, 100}
5) d
6) d
7) a)
3 e 27
3
8) x = 32 e y = 1/4
9) d
10) e
11) a) R$13996,80
b) 10
12) a) C(t) = 377,4.(1,005)t
b) 2084
9www.maloca.org.br
XXI
FFFFFUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃOUNÇÃO EEEEE I I I I INEQUAÇÃONEQUAÇÃONEQUAÇÃONEQUAÇÃONEQUAÇÃO L L L L LOGARÍTMICAOGARÍTMICAOGARÍTMICAOGARÍTMICAOGARÍTMICA
FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Chama – se função logarítmica toda função f: R*+ → R tal que f(x) =
logb x com b ∈ R*+ e b ≠ 1.
Dada definição e das características da função logarítmica, escrevemos as
propriedades:
I) log
b
 x = log
b
 y ⇔ x = y ⇔ x,y,b ∈∈∈∈∈ R*
+
 e b ≠ 1
II) A função logarítmica f(x) = logb x é crescente em todo seu domínio se,
e somente se, b > 1. Neste caso, temos o gráfico abaixo:
a>1
D(f) = R*+, Im (f) = R
f(x) é crescente em todo o seu domínio e, tem-se então:
logb x2 > logb x1 ⇔ x2 > x1, {x, y, b} ⊂ R*+ e b > 1
III) A função logarítmica f(x) = logb x é decrescente em todo seu domínio
se, somente se, 0 < b < 1. E o gráfico será:
0 < a < 1
D(f) = R*+, Im (f) = R
f(x) é decrescente em todo o seu domínio e, tem-se então:
logb x2 < logb x1 ⇔ x2 > x1 , {x, y, b} ⊂ R*+ e b < 1
INEQUAÇÃO LOGARÍTMICA:
Chama-se inequação logarítmica aquela que apresenta a incógnita no
logaritmando ou na base de um logaritmo.
A resolução de uma inequação logarítmica é semelhante à resolução de
equações.
Exemplo:
Resolver a inequação log2 (3x-1) > 3
Primeiro precisamos impor a condição de existência do logaritmo, ou
seja, 3x – 1 > 3. Então x > 1/3.
Em seguida, escrevemos o número 3 como logaritmo de base 2, ou seja,
3 = 3 log2 2 = log2 2
3 Obtemos: log2 (3x-1) > log2 2
3
E resolvendo a inequação, temos: 3x -1 > 8 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3
Observando a intersecção entre o conjunto dos valores que satisfazem a
condição de existência do logaritmo e o conjunto dos valores que satisfa-
zem a equação, temos que:
S = {x ∈ / x > 3}.
1) Classificar as funções em crescente ou decrescente:
a) log2 x
b) log1/2 x
c) ln x
2) Determine o domínio das seguintes funções:
a) f(x) = log (x – 4)
b) f(x) = log2 (x-3) + log2 (x-8)
c) y = log(x-9) (x
2 -16) d) y = log3 |x-3|
3) Resolva as inequações:
a) log2 4x < 3
b) log2 (x + 2) < 3
c) log1/2 (2x +5) e<log1/2 (1-x)
d) log3 (x-1) – log9 (x-1) d>1
4) (Mack) O preço de um imóvel é dado, em função do tempo t, em anos, por
P(t) = A . (1,28)t , sendo A o preço atual. Adotando-se log 2 = 0,3, esse imóvel
terá o seu preço duplicado em:
a) 1 ano.
b) 2 anos.
c) 3 anos.
d) 3,5 anos.
e) 2,5 anos.
5) (Unicamp) A função L(x) = aebx fornece o nível de iluminação, em luxes, de
um objeto situado a x metros de uma lâmpada.
a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1
metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de
distância recebe 30 luxes.
b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a
lâmpada e esse objeto.
6) (Unesp) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado em
milhares de reais pela função L(x) = log10 (100 + x) + k, com k constante real.
a) Sabendo que não havendo produção não há lucro, determine k.
b) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja
igual a mil reais.
10
7) (Fuvest) A curva da figura que se segue representa o gráfico da função
y = log10 x, para x > 0. Assim sendo, a área da região hachurada, formada pelos
dois retângulos, é:
a) log10 2
b) log10 3
c) log10 4
d) log10 5
e) log10 6
8) (UFMG) Observe a figura.
Nessa figura, está representado o gráfico de f(x)=logn x.
O valor de f(128) é:
a) 5/2
b) 3
c) 7/2
d) 7
9) (Unicamp) Dada a função f(x) = log10 (2x + 4)/3x, encontre:
a) O valor de x para o qual f(x) = 1.
b) Os valores de x ∈ R para os quais f(x) é um número real menor que 1.
10) (Ufscar) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina
à produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o seguinte modelo
matemático:
h(t) = 1,5 + log3 (t + 1),
com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu
tronco atingiu 3,5m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da
plantação até o do corte foi de:
a) 9.
b) 8.
c) 5.
d) 4.
e) 2.
11) (Fuvest) Seja f(x) = log3 (3x + 4) – log3 (2x-1). Os valores de x, para os quais
f está definida e satisfaz f(x) > 1, são:
a) x < 7/3
b) x> 1/2
c) 1/2 < x < 7/3
d) -4/3 < x
e) -4/3 < x < 1/2
12) (Fuvest) O conjunto dos números reais x que satisfazem a inequação
log2 (2x + 5) – log2 (3x – 1) > 1 é o intervalo:
a) ]-∞, -5/2[
b) ]7/4,∞[
c) ]-5/2,0[
d) ]1/3,7/4[
e) ]0,1/3[
1) a) crescente
b) decrescente
c) crescente
2) a) Df ={x ∈ R/ x > 4}
b) Df = {x ∈ R/ x > 8}
c) Df = {x ∈ R/ x > 9 e x ≠ 10}
d) Df = {x ∈ R/ x ≠ 3}
3) a) S = { x ∈ R/ 0 < x < 2}
b) S = { x ∈ R/ x > 3/2}
c) S = { x ∈ R/ -5/2 < x < -4/3}
d) S = { x ∈ R/ 1 < x ≤ 10}
4) c
5) a) a = 120 e b = -ln 2
b) 3 m
6) a) -2
b) 900 peças
7) a
8) c
9) a) x = 1/7 b) x < -2 ou x > 1/7
10) b
11) c
12) d
11www.maloca.org.br
XXII
SSSSSEQÜÊNCIASEQÜÊNCIASEQÜÊNCIASEQÜÊNCIASEQÜÊNCIAS EEEEE P P P P PROGRESSÃOROGRESSÃOROGRESSÃOROGRESSÃOROGRESSÃO A A A A ARITMÉTICARITMÉTICARITMÉTICARITMÉTICARITMÉTICA
São varias as oportunidades em nossas vidas em que organizamos listas
de objetos e ou pessoas de forma ordenada obedecendo a algum critério
prévio.
A lista de chamada dos alunos de uma classe (em ordem alfabética), a
lista de produtos de uma fábrica (na ordem dos mais vendidos), a lista de
jogadores de um time ( na ordem de posição que ocupam) e dos números
naturais pares (em ordem crescente)...Em uma rua ou avenida, os imóveis
são numerados, por exemplo, na ordem crescente, sendo pares de um
lado e ímpares do outro...e assim por diante.
Esses foram apenas alguns exemplos das muitas possibilidades de ob-
servar organizações onde fica claro quem é o primeiro e o segundo e o
terceiro e o n-ésimo elemento de um determinado conjunto.
Na Matemática, todo conjunto cujos elementos obedecem a uma deter-
minada ordem, regra/fórmula de recorrência ou lei de formação, é uma
seqüência.
Uma seqüência pode ser finita – ter uma quantidade definida de ele-
mentos – ou infinita – não sendo possível identificar o último elemento
do conjunto. Nos exemplos citados acima temos que, a lista de chamada
dos alunos de uma classe possui número determinado de elementos, ou
seja, o conjunto de alunos é uma seqüência finita, enquanto que o conjun-
to de números naturais pares é uma seqüência dita infinita.
Cada elemento de uma seqüência também pode ser denominado ter-
mo da seqüência, e ainda, o termo de uma seqüência que ocupa a posição
n é indicado pelo símbolo a
n
, isto é:
a1 indica o primeiro termo da seqüência
a2 indica o segundo termo da seqüênciaa3 indica o terceiro termo da seqüência
.
.
.
an indica o n-ésimo termo da seqüência
Daí, uma seqüência (a1, a2, a3,...an) pode ser representada abreviadamente
por (an) n ∈ N*
Fórmula de recorrência ou lei de formação da seqüência são ex-
pressões que denominam um conjunto de informações que per-
mite determinar todos os termos de uma seqüência.
No exemplo da seqüência de números naturais pares temos que (an) n ∈
N* ={2,4,6,...} tal que o n-ésimo termo pode ser determinado pela se-
guinte fórmula de recorrência ou lei de formação: a
n
 = 2n, n ∈ N*
A resolução de exercícios e problemas que envolvem seqüências é facil-
mente obtida quando utilizamos algumas características que apresentare-
mos a seguir:
 Dada uma seqüência finita de n termos, temos que a1 e an são os extre-
mos da seqüência.
Seja a seqüência finita (a1, a2, a3,...a40). Então a1 e a40 são os extremos da
seqüência.
 Se dois termos ai e aj quaisquer são termos eqüidistantes dos extremos,
então o número de termos que antecedem ai é igual ao numero de termos
que sucedem aj.
Seja a seqüência finita (a1, a2, a3,...a40). Então a12 e a29 são termos eqüidistantes
dos extremos da seqüência.
 O termo médio de uma seqüência finita de número ímpar de elemen-
tos, será a, tal que o número de termos que antecedem o termo a é igual ao
número de termos que o sucedem.
Seja a seqüência finita (a1, a2, a3,...a25). Então a13 é o termo médio da
seqüência.
 A soma S
n
 dos n primeiros termos de uma seqüência fornece, além da
soma de n termos quaisquer a1 + a2 + a3 + ...+ an, a possibilidade de
determinar a lei de formação da seqüência.
A soma Sn dos n primeiros termos da seqüência (a1, a2, a3,...a25) é Sn = n
2 +
4n.
Exemplo:
Calcule a soma dos dez primeiros termos da seqüência, determine o pri-
meiro e o sexto termo da mesma e, por último, determine sua lei de
formação.
S10 = 10
2 + 4.10 = 100 + 40 = 140
S1 = 1
2 + 4.1 = 1+ 4 = 5 → a1 = 5
Para obtermos o sexto termo, calculamos as somas S5 e S6 e, então a
diferença S6 – S5 será o termo a6. Neste caso, S5 = 45 e S6 = 60. Logo, a6 =15.
Por fim, pelo mesmo método da diferença acima entre as somas Sn e Sn
– 1 podemos obter três ou quatro termos da seqüência possibilitando
verificar a regularidade entre eles e assim determinar a lei de formação da
seqüência.
S4 = 32 → S5 – S4 = 45 -32 → a5 = 13
S3 = 21 → S4 – S3 = 32 -21 = a4 = 11
Observe que 11, 13, 15 são três termos consecutivos da seqüência e
diferem de duas unidades um do outro. Logo, podemos definir a seqüên-
cia (an)n ∈ N* tal que:
a1 = 5
an + 1 = 2 + an
Desafio:
Você é capaz de encontrar a lei de formação da seqüência (2, 10, 12, 16, 17,
18, 19, 200, 201, ...) ??? Pense! Resista e não vá para o final desta aula onde
está a resposta. A não ser que você não seja capaz de resolver esse desafio.
No parágrafo anterior pudemos verificar a regularidade entre os termos
de uma seqüência (an)n ∈ N* de tal forma que dado qualquer termo, seu
valor é a soma do termo anterior com 2.
Regularidades como essa e outras que veremos adiante permitem
classificar tipos especiais de seqüências que são chamadas de Progres-
são Aritmética e Progressão Geométrica.
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A)
Progressão aritmética é toda seqüência numérica em que cada termo, a
partir do segundo, é igual à soma do termo precedente (anterior) com uma
constante r. O número r é chamado de “razão da progressão aritmética”.
Uma P.A é crescente quando cada termo, a partir do segundo, é maior
que o termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente
que sua razão seja positiva.
(3, 7, 11, 15, 19,...) é uma P.A. infinita e crescente de razão positiva r = 4.
Por outro lado, a P. A. é decrescente quando cada termo, a partir do
segundo, é menor que o termo que o antecede. Para isso, basta que sua
razão seja negativa.
(40, 35, 30, 25, 20, 15, 10, 5, 0) é uma P.A. finita decrescente de razão
negativa r = -5.
E se a seqüência for do tipo (1/2, 1/2, 1/2, 1/2, ....)? Nesse caso temos
uma P.A. constante, pois todos os seus termos são iguais, logo, sua
razão é igual a zero.
Uma seqüência é P.A. se, somente se, dados três termos consecutivos
12
quaisquer a, b e c o termo médio é igual à média aritmética entre os outros
dois, isto é:
(......,a, b, c, ....) é P.A ⇔ b = (a + c)/2
Consideremos agora uma P.A. qualquer: (a1, a2, a3,...an,.....) de razão r. Por
definição, podemos obter os termos, um a um, a partir do primeiro, da
seguinte forma:
a1 = a1
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.... e assim por diante.
O n-ésimo termo será então: a
n
 = a
1
 + (n-1)r
Logo, temos que a formula do termo geral da P.A. (a1, a2, a3,...an) de
razão r é definida pela sentença: a
n
 = a
1
 + (n-1)r, n, n ∈∈∈∈∈ N*
Pode ser que o termo conhecido não seja exatamente a1, e sim outro
qualquer que denominaremos ak. Então, reescrevemos a formula do temo
geral substituindo a1 por ak:
an = ak + (n-k)r
Exemplo:
Determine o 61º termo da P.A. (9, 13, 17, 21, ...)
Temos a1 = 9, a2 = 13 → r = 13 -9 = 4
Então pela formula do termo geral teremos:
a61 = 9 +(61-1)r → 9 + 60r → 9 + 60.4→ 9 +240 → a61 = 249
Interpolar (inserir) k meios aritméticos entre x e y, nessa ordem,
significa determinar a P.A. de primeiro termo igual a x e ultimo termo igual
a y, havendo entre eles k outros termos. Façamos a interpolação de cinco
meios aritméticos entre 1 e 2 nessa ordem:
(1,....,....,.....,.....,2) a1 =1 e a7 = 2
Pela fórmula do termo geral, temos que a7 = a1 + 6r, então: 2 = 1 + 6r →
r = 1/6
Logo, temos que:
a2 = 1 +1/6 = 7/6
a3 = 7/6 + 1/6 = 8/6 e assim por diante.
E a P.A é (1,7/6,8/6,9/6,10/6,11/6,2)
A REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA P.A.
 P.A de três termos: (x, x + r, x + 2r) ou (x – r, x , x + r), em que
a razão é r.
 P.A de quatro termos: (x, x + r, x + 2r, x + 3r) ou (x-3r, x – r, x
+ r, x + 3r) em que a razão é 2r
é de grande utilidade para a resolução de certos problemas.
Tomemos o exemplo seguinte:
Determinar a P.A. crescente de três termos, sabendo que a soma desses
termos é 3 e que o produto deles é -8.
Quando se conhece a soma dos termos a representação mais cômoda é (x-
r, x, x + r). Pelo enunciado temos: x – r + x + x + r = 3 → 3x = 3 → x =
1.
(x-r).x.(x+r)=-8 → (1-r).1.(1+r) = 12 – r2 = -8 → r2 = 9 → r
= ±3
Como devemos ter uma P.A. crescente só nos interessa a razão positiva,
ou seja, r =3. E a P.A. que procuramos, para x = 1 e r = 3 é : (-2, 1, 4).
Como devemos ter uma P.A. crescente só nos interessa a razão positiva,
ou seja, r = 3. E a P.A. que procuramos, para x = 1 e r = 3 é: (-2, 1, 4).
1) Considerando a PA (m-7,m,2m+1) , determine m.
2) Escreva os quatro primeiros termos da PA, onde a1 = -2 e r = 1/5.
3) Três números estão em PA, sendo 9 a soma dos três e o produto –21 determi-
ne a PA sabendo que é crescente.
4) Determinar o que se pede em cada PA.
a) a15, sendo a1 = 3 e r = 1/2.
b) a30, sendo a1 = -10 e r = 7.
c) a18, sendo a1 = 5 e r = 4.
d) a1, sendo a15 = 105 e r = 3.
5) (UFMG) Em um triângulo retângulo, de perímetro 36, os lados estão em
progressão aritmética e os lados do triângulo:
6) (Fuvest-95) Em uma progressão aritmética de termos positivos, os três pri-
meiros termos são 1-a, -a, ( )11 a− . O quarto termo desta P.A. é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
7) (ITA) O valor de n que torna a seqüência 2 + 3n, - 5n, 1 - 4n uma progressão
aritmética pertence ao intervalo
a) [-2, -1]. b) [-1, 0]. c) [0, 1]. d) [1, 2]. e) [2, 3].
8) (UFPI) Se em uma Progressão Aritmética de razão positiva o produto dos
três primeiros termos é 384 e a soma é 24, então o quarto termo é:
a) 0 b) 4 c) 8 d) 12 e) 16
9) (UFSCar-2002) Uma função f é definida recursivamente como f(n + 1) =
(5f(n) + 2)/5. Sendo f(1) = 5, o valor de f(101) é
a) 45. b) 50. c) 55. d) 60. e) 65.
10) (UFSCar) A soma dos cinco primeiros termos de uma PA vale 15 e o
produto desses termos é zero. Sendo a razão da PA um número inteiro e positivo,
o segundo termo dessa seqüência vale
a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) 4.
11) (UFMG) Considere o conjuntoM = { n ∈ N : 1 ≤ n ≤ 500 }.
O número de elementos de M que não são múltiplos de 3 e nem de 5 é:
a) 234 b) 266 c) 267 d) 467 e) 566
12) (Unicamp) A ANATEL determina que as emissoras de rádio FM utilizem as
freqüências de 87,9 a 107,9 MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz entre
emissoras com freqüências vizinhas. A cada emissora, identificada por sua fre-
qüência, é associado um canal, que é um número natural que começa em 200.
Desta forma, à emissora cuja freqüência é de 87,9 MHz corresponde o canal
200; à seguinte, cuja freqüência é de 88,1 MHz, corresponde o canal 201, e
assim por diante. Pergunta-se:
a) Quantas emissoras FM podem funcionar [na mesma região], respeitando-se o
intervalo de freqüências permitido pela ANATEL? Qual o número do canal
com maior freqüência?
b) Os canais 200 e 285 são reservados para uso exclusivo das rádios comunitá-
rias. Qual a freqüência do canal 285, supondo que todas as freqüências possíveis
são utilizadas?
1) m = 6
2) (-2,-9/5,-8/5,-7/5)
3) (-1, 3,7)
4) a) 10
b) 193
c) 73
d) 63
5) r = 3 e lados = 9, 12 e 15
6) b
7) b
8) e
9) a
10) a
11) c
12) a) 101 emissoras, e o número do canal com maior freqüência é 300.
b) 104,9Mhz
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XXIII
SSSSSOMAOMAOMAOMAOMA DADADADADA P P P P P.A.A.A.A.A
Em uma pequena escola do principado de Braunscheweing, Alemanha, em 1785,
o professor Buttner propôs a seus alunos que somassem os números naturais de 1 a
100. Apenas três minutos depois, um gurizote de oito anos de idade aproximou-se
da mesa do senhor Buttner e, mostrando-lhe sua prancheta proclamou “Tai”. O
professor, assombrado, constatou que o resultado estava correto. Aquele gurizote
viria a ser um dos maiores matemáticos de todos os tempos: Karl Friedrich Gauss
(1777-1855). O cálculo efetuado por ele foi simples e elegante: o menino percebeu
que a soma do primeiro numero, 1, com o ultimo, 100, é igual a 101; também a
soma do terceiro número, 3, com o antepenúltimo, 98, é igual a 101; e assim por
diante, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual a soma dos
extremos. Como são possíveis cinqüenta somas iguais a 101, Gauss concluiu que :
1 + 2 + 3.....+98 + 99 + 100 = 50 x 101 = 5050
Estendendo o raciocínio de Gauss para o cálculo da soma dos n
primeiros termos de uma P.A. temos que essa soma é dada por:
( )1 .
2
n
n
a a n
S
+
= .
Propriedades:
 Seja a P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16) vamos somar os extremos e depois os
termos eqüidistantes dos extremos.
2 + 16 = 18
4 + 14 = 18
6 + 12 = 18
8 + 10 = 18
Portanto em qualquer P.A. a soma dos termos eqüidistantes dos extre-
mos é igual à soma dos extremos.
 Seja a P.A. (3,6,9,12,15), temos que o termo central é 9, que pode ser
obtido fazendo- se a média aritmética dos extremos: (3+15)/2 = 9.
Portanto em qualquer P.A de número de termos impar , o termo central
é igual a média aritmética dos extremos.
1) Calcule:
a) A soma dos 12 primeiros termos da PA ( -7, -4, -1,....)
b) A soma dos 25 primeiros termos da PA (19, 14, 9,4).
2) Determinar o número de elementos de uma PA, finita que tem soma 72,
sendo que o primeiro termo é 18 e o último –9.
3) A soma dos n primeiros termos de uma PA é 2n2 + 1. Determine a PA.
4) (FUVEST) Sabendo que a soma dos 9 primeiros termos de uma PA é 17874
, calcule seu 5º termo .
5) (Fuvest) Do conjunto de todos os números naturais n,
n < 200, retiram-se os múltiplos de 5 e, em seguida, os múltiplos de 6. Calcule
a soma dos números que permanecem no conjunto.
6) (Unesp 2001) Numa cerimônia de formatura de uma faculdade, os formandos
foram dispostos em 20 filas de modo a formar um triângulo, com 1 formando na
primeira fila, 3 formandos na segunda, 5 na terceira e assim por diante, consti-
tuindo uma progressão aritmética. O número de formandos na cerimônia é
a) 400. b) 410. c) 420. d) 800. e) 840
7) (Fatec) Dois viajantes partem juntos, a pé, de uma cidade A para uma cidade
B, por uma mesma estrada. O primeiro anda 12 quilômetros por dia. O segundo
anda 10 quilômetros no primeiro dia e daí acelera o passo, em meio quilômetro
a cada dia que segue.
Nessas condições, é verdade que o segundo.
a) alcançará o primeiro no 9º dia. b) alcançará o primeiro no 5º dia.
c) nunca alcançará o primeiro. d) alcançará o primeiro antes de 8 dias.
e) alcançará o primeiro no 11º dia.
8) (UERJ) Dois corredores vão se preparar para participar de uma maratona.
Um deles começará correndo 8 km no primeiro dia e aumentará, a cada dia, essa
distância em 2 km; o outro correrá 17 km no primeiro dia e aumentará, a cada
dia, essa distância em 1 km. A preparação será encerrada no dia em que eles
percorrerem, em quilômetros, a mesma distância.
Calcule a soma, em quilômetros, das distâncias que serão percorridas pelos dois
corredores durante todos os dias do período de preparação.
9) (UFRS) Considere a disposição de números abaixo.
O primeiro elemento da quadragésima linha é
a) 777. b) 778. c) 779. d) 780. e) 781.
10) (UERJ) Leia com atenção a história em quadrinhos.
Considere que o leão da história acima tenha repetido o convite por várias
semanas. Na primeira, convidou a Lana para sair 19 vezes; na segunda semana,
convidou 23 vezes; na terceira, 27 vezes e assim sucessivamente, sempre aumen-
tando em 4 unidades o número de convites feitos na semana anterior.
Imediatamente após ter sido feito o último dos 492 convites, o número de
semanas já decorridas desde o primeiro convite era igual a:
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16
11) Numa seqüência aritmética de 17 termos, sabe-se que A5=3 e A13=7. Então
a soma de todos os termos é:
a) 102 b) 85 c) 68 d) 78 e) 90
12) (Mack-2001) Numa progressão aritmética de 100 termos, a3=10 e a 98=90.
A soma de todos os termos é:
a) 10.000 b) 9.000 c) 4.500 d) 5.000 e) 7.500
1) a) 114 b) –1025
2) 16
3) ( 3, 6, 9,.....)
4) 1.986
5) 13264
6) a
7) a
8) 385 km
9) e
10) b
11) b
12) d
14
XXIV
PPPPPROGRESSÕESROGRESSÕESROGRESSÕESROGRESSÕESROGRESSÕES G G G G GEOMÉTRICASEOMÉTRICASEOMÉTRICASEOMÉTRICASEOMÉTRICAS
Como já mencionado na aula anterior, seguimos com o estudo de tipos
especiais de seqüências, tratando agora as Progressões Geométricas.
Progressões Geométricas (P.G.) é toda seqüência numérica em
que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo
precedente (anterior) por uma constante q, chamada de razão da
progressão geométrica.
Classificamos uma P.G. como:
 Crescente, quando cada termo, a partir do segundo, é maior que o
termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que:
a1 > 0 e q > 1, ou a1 < 0 e 0 < q < 1.
(4, 8, 16, 32,...) é uma P.G. crescente de razão q = 2.
(-4, -2, -1, -1/2,...) é uma P.G. crescente de razão q = 1/2.
 Decrescente, quando cada termo, a partir do segundo, é menor que o
termo que o antecede. Para que isso aconteça é necessário e suficiente que:
a1 > 0 e 0 < q < 1, ou a1 < 0 e q > 1.
(8, 4, 2, 1,...) é uma P.G. decrescente de razão q = 1/2.
(-1, -2, -4, -8,...) é uma P.G. decrescente de razão q = 2.
 Constante, quando todos os termos, são iguais. Para que isso aconteça
basta, que sua razão seja 1 ou que todos os termos sejam nulos.
(3, 3, 3, 3,...) é uma P.G. constante de razão q = 1.
(0, 0, 0, 0,...) é uma P.G. constante de razão indeterminada.
 Oscilante, quando todos os seus termos são diferentes de zero e dois
termos consecutivos quaisquer tem sinais opostos. Para que isso aconteça
é necessário e suficiente que:
a1 ≠ 0 e q < 0.
(3, -6, 12, -24, 48, -96...) é uma P.G. oscilante de razão q = -2.
(-1, 1/2, -1/4, 1/8,...) é uma P.G. oscilante de razão q = - 1/2.
 Quase Nula, quando o primeiro termo é diferente de zero e todos os
demais são iguais à zero. Para que isso aconteça é necessário e suficiente
que:
a1 ≠ 0 e q = 0
(4, 0, 0, 0,...) é uma P.G. quase nula.
Uma seqüência de três termos, em que o primeiro é diferente de zero, é
P.G. se e somente se, o quadrado do termo médio é igual ao produto dos
outros dois, isto é, sendo a1 ≠ 0 temos que: (a, b, c) é P.G ⇔ b
2 = ac
Exemplo:
Determine x, x ∈ R, de modo que a seqüência (4, 4x, 10x + 6) seja P.G.
Usandoa propriedade anunciada acima temos:
(4x)2 = 4(10x + 6) → 16x2 = 40x + 24 → 16x2 – 40x – 24
= 0 ∴ 2x2 -5x -3 = 0
Calculando as raízes, obtemos x = 3 ou x = -1/2.
FÓRMULA DO TERMO GERAL DA P.G.
Consideremos agora uma P.G. qualquer: (a1, a2, a3, a4, a5,...,an,...) de razão
q. Por definição, podemos obter os termos, um a um, a partir do primeiro,
da seguinte forma:
a1 = a1
a2 = a1q
a3 = a2q = (a1q)q = a1q
2
a4 = a3q = (a1q
2)q = a1q
3
.....e assim por diante.
O n-ésimo termo será então: a
n
 = a
1
.qn-1,∀ n, n ∈∈∈∈∈ N*
Logo, temos que a formula do termo geral da P.G. (a1, a2, a3, a4,
a5,...,an) de razão q é definida pela sentença: an = a1.q
n-1, n, n ∈∈∈∈∈ N*
Pode ser que o termo conhecido não seja exatamente a1, e sim outro
qualquer que denominaremos ak. Então, reescreveremos a formula do
termo geral substituindo a1 por ak:
a
n
 = a
k
.qn-k, n, n ∈∈∈∈∈ N*
Exemplo:
Determine o 15º termo da P.G. (256, 128, 64,...).
Temos a1 = 256, a2 128 → q = 128/256 = 1/2 então, pela formula do
termo geral teremos:
a15 = 256.q
(15-1) → 256.(1/2)14 → 28 / 214 = 2-6 = 1/26= 1/
64 → a15 = 1/64
A interpolação de meios geométricos é similar a interpolação de
meios aritméticos, ou seja, substituindo os valores dos extremos na for-
mula do termo geral para encontrarmos a razão q. Daí, é só calcular os
elementos e obter a P.G. vamos ver um exemplo?
Interpolar quatro meios geométricos entre 1 e 243, nessa ordem.
(1,..., ...., ...., ..., 243) 4 meios geométricos, 1 = a1, 243 = a6
Pela fórmula do termo geral, temos que:
a6 = a1q
5 → 243 = 1.q5 ∴ q = ∴ q = 3 logo temos que:
a2 = 1.3 = 3, a3 = 3.3 = 9, e assim por diante.
E a P.G. é: (1, 3, 9, 27, 81, 243).
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA P.G.:
 P.G. de três termos:
(x, xq, xq2) ou (x/q, x, xq), em que a razão é q, q ≠ ≠ ≠ ≠ ≠ 0.
 P.A. de quatro termos:
(x, xq, xq2, xq3) ou (x/q3, x/q, xq, xq3), em que a razão é q2, se q ≠≠≠≠≠ 0
Exemplo:
Determinar a P.G. de três termos, sabendo que o produto desses termos
é 8 e que a soma do segundo com o terceiro termo é 10.
Usando a representação mais cômoda (x/q, x, x.q). Pelo enunciado te-
mos:
x/q.x. xq = 8 → x3 = 8 ∴ x = 2 (I)
x + xq = 10 (II)
Substituindo (I) em (II), 2 + 2q = 10 → q = 4
Assim, para x = 2 e q = 4, temos que a P.G. é igual a (1/2, 2, 8).
1) Determinar a PG (k-1, 2k, 4k+5), com k diferente de zero.
2) Três números estão em PG. de tal modo que a soma dos três é 7/8 e o produto
é 1/64. Determine os números.
3) ( PUC) Se a seqüência ( 4x, 2x+1, x-1) é uma PG, então o valor de x é:
a) -1/8
b) -8
c) -1
d) 8
e) 1/8
15www.maloca.org.br
4) Determine o primeiro termo de uma PG , sabendo que o sétimo é 8√2 e a
razão é √2.
5) Inserir 4 meios geométricos entre os números 1 e .
6) (UNESP-SP) São inseridos 5 meios geométricos entre 4 e 2916 , nesta ordem
, de modo a formar uma seqüência crescente . Assinale a alternativa que indica
seu quarto termo.
a) 324
b) 729
c) 1428
d) 108
e) 36
7) (UFMG) A população de uma colônia da bactéria E. coli dobra a cada 20
minutos.
Em um experimento, colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio, uma
amostra com 1.000 bactérias por mililitro. No final do experimento, obteve-se
um total de 4,096 x 106 bactérias por mililitro. Assim sendo, o tempo do expe-
rimento foi de:
a) 3 horas e 40 minutos.
b) 3 horas.
c) 3 horas e 20 minutos.
d) 4 horas.
e) 5 horas.
8) (UERJ) Numa reserva florestal foram computados 3.645 coelhos. Uma
determinada infecção alastra-se de modo que, ao final do primeiro dia, há cinco
coelhos infectados e, a cada cinco dias, o número total de coelhos infectados
triplica.
a) Determine a quantidade de coelhos infectados ao final do 21° dia.
b) Calcule o número mínimo de dias necessário para que toda a população de
coelhos esteja infectada.
9) (Unesp) No dia 1º de dezembro, uma pessoa enviou pela internet uma men-
sagem para x pessoas. No dia 2, cada uma das x pessoas que recebeu a mensagem
no dia 1º enviou a mesma para outras duas novas pessoas. No dia 3, cada pessoa
que recebeu a mensagem no dia 2 também enviou a mesma para outras duas
novas pessoas. E, assim, sucessivamente. Se, do dia 1º até o final do dia 6 de
dezembro, 756 pessoas haviam recebido a mensagem, o valor de x é:
a) 12.
b) 24.
c) 52.
d) 63.
e) 126.
10) (Fatec) Se o lado, a altura e a área de um triângulo eqüilátero formam, nessa
ordem, uma progressão geométrica, então a medida do lado desse triângulo é um
número
a) irracional.
b) racional.
c) inteiro.
d) real e maior que √3.
e) real e compreendido entre √2 e √3.
11) (Cesgranrio) Considere uma progressão geométrica de 5 termos e razão
positiva, onde a soma do primeiro com o terceiro termo é 9/2 e o produto de
seus termos é 1024. O produto dos três termos iniciais dessa progressão é igual
a:
a) 1/2
b) 1
c) 2 √2
d) 4 √2
e) 8 √2
12) (Unicamp) Considere uma progressão geométrica de termos não-nulos, na
qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediata-
mente anteriores.
a) Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão.
b) Supondo que o primeiro termo seja (1- √5)/2 e q>0, calcule a soma dos três
primeiros termos dessa progressão.
1) ( 4, 10, 25 )
2) 
3) a
4) √2
5) 
6) d
7) d
8) a) 405 coelhos
b) 31 dias
9) a
10) a
11) c
12) a) q = (1+ √5)/2 ou q = (1 - √5)/2
b) - 1 - √5
16
XVII
IIIIINTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃONTRODUÇÃO AAAAA G G G G GEOMETRIAEOMETRIAEOMETRIAEOMETRIAEOMETRIA E E E E ESPSPSPSPSPACIALACIALACIALACIALACIAL
Até agora trabalhamos a geometria com figuras em duas dimensões
(geometria plana). Agora vamos iniciar o estudo da geometria em três
dimensões, a chamada geometria espacial.
A geometria espacial estuda os sólidos geométricos no espaço
tridimensional, mas conhecido como 3D. Vamos iniciar nosso estudo
através da posição que as retas e planos ocupam no espaço.
RETAS E PLANOS NO ESPAÇO
Já vimos na geometria plana os conceitos de retas e planos e vimos
também como determinar uma reta. Vejamos como determinar um pla-
no:
1) Três pontos distintos, não alinhados, determinam um plano.
2) Uma reta e um ponto fora dela determinam um plano.
3) Duas retas concorrentes determinam um plano.
4) Duas retas paralelas determinam um plano.
POSIÇÃO RELATIVA DE RETA E RETA:
Duas retas distintas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas:
 Concorrentes: Duas retas são concorrentes se, e somente se, tiverem
um único ponto em comum.
Notem que as retas r e s só possuem o ponto P em comum, logo elas
são concorrentes.
 Paralelas: Duas retas são paralelas se, e somente se, forem coinciden-
tes ou coplanares (pertencentes ao mesmo plano) e não tiverem ponto em
comum.
Notem que as retas r e s pertencem ao mesmo plano e não possuem
ponto em comum.
 Reversas: Duas retas são reversas se, e somente se, não existir plano
que as contenham.
Notem que as retas r e s são reversas e não estão contidas no mesmo
plano.
Com isso podemos concluir que duas retas podem ser:
 Coplanares {concorrentes e paralelas}.
 Não coplanares {reversas}
Duas retas que formam um ângulo reto podem ser perpendiculares ou
ortogonais:
 São perpendiculares quando forem coplanares e ângulo entre elas for
reto.
As retas r e s são coplanares e o ângulo entre elas é reto.
 São ortogonais se forem reversas e ângulo entre elas for reto.
As retas r e t não são coplanares e ângulo entre elas é reto, logo elas são
ortogonais.
POSIÇÃO RELATIVA DE RETA E PLANO
 Reta concorrente com um plano: Uma reta é concorrente com um
plano se, e somente se, a reta e o plano tiverem um único ponto em
comum.
17www.maloca.org.br
Veja a figura acima, é como se a reta r “furasse” o plano ααααα no ponto P.
 Reta contida num plano: Uma reta está contida num plano se, e
somente se, tiver dois pontos distintos nesse plano.
Veja que os pontos A e B pertencentes à r estão contidas no plano ααααα,
logo r está contida no plano ααααα.
 Reta paralela a um plano: Uma reta é paralela a um plano se, e
somente se, a reta e o plano não tiverem ponto em comum.
Veja que r e ααααα não têm pontos em comum, logo sãoparalelos.
 Reta perpendicular ao plano: Uma reta é perpendicular a um plano
se, e somente se, for perpendicular a todas as retas do plano que passam
por seu traço.
Note na figura acima que a reta r é perpendicular a todas as retas do plano
ααααα, logo ela é perpendicular ao plano ααααα.
Obs.:
Se uma reta é perpendicular a um plano então ela forma ângulo reto com
qualquer reta do plano, como na figura abaixo:
POSIÇÃO RELATIVA DE PLANO E PLANO:
 Concorrentes: Dois planos são concorrentes (ou secantes) se, e so-
mente se, tiverem uma única reta em comum.
Veja na figura acima que os plano ααααα e βββββ são concorrentes, pois tem
apenas a reta r em comum.
 Paralelos: Dois planos são paralelos se, e somente se, não possuírem
ponto em comum.
Os planos ααααα e βββββ são paralelos, pois não possuem ponto em comum.
 Perpendiculares: Dois planos são perpendiculares se, e somente se
um deles contiver uma reta perpendicular ao outro.
Os planos ααααα e βββββ são perpendiculares, pois contêm as retas t e s respecti-
vamente, que são perpendiculares.
Obs.:
1) Por uma reta não perpendicular a um plano passa um único plano
perpendicular ao plano dado;
2) Se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então ele é perpen-
dicular à intersecção desses planos.
1) (Ufpe) Em quantas regiões quatro retas distintas dividem o plano, sabendo-
se que não há duas retas paralelas nem três concorrentes no mesmo ponto?
2) (Unesp) No espaço tridimensional consideram-se duas retas r e s e os conjun-
tos: A, de todos os planos por r, B, de todos os planos por s. Descrever o
conjunto A ∩ B, nos seguintes casos:
a) r e s são paralelas;
b) r e s são reversas.
3) (Unicamp) É comum encontrarmos mesas com 4 pernas que, mesmo apoia-
das em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das
pernas se a quisermos firme. Explique usando argumentos de geometria, por que
isso não acontece com uma mesa de 3 pernas.
4) (Cesgranrio) A é um ponto não-pertencente a um plano P. O número de retas
que contêm A e fazem um ângulo de 45° com P é igual a:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 4.
e) infinito.
5) (Faap) Duas retas são reversas quando:
a) não existe plano que contém ambas
b) existe um único plano que as contém
c) não se interceptam
d) não são paralelas
e) são paralelas, mas pertencem a planos distintos
6) (Fatec) Na figura a seguir tem-se: o plano α definido pelas retas c e d,
18
perpendiculares entre si; a reta b, perpendicular a α em A, com A pertence a c;
o ponto B, intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X não pertence a á, então
a reta s, definida por X e B,
a) é paralela à reta c.
b) é paralela à reta b.
c) está contida no plano α.
d) é perpendicular à reta d.
e) é perpendicular à reta b.
7) (Fatec) A reta r é a intersecção dos planos α e β, perpendiculares entre si. A
reta s, contida em á, intercepta r no ponto P. A reta t, perpendicular a β, interc
epta-o no ponto Q, não pertencente a r.
Nessas condições, é verdade que as retas
a) r e s são perpendiculares entre si.
b) s e t são paralelas entre si.
c) r e t são concorrentes.
d) s e t são reversas.
e) r e t são ortogonais.
8) (Puccamp) Considere as afirmações a seguir.
I. Duas retas distintas determinam um plano.
II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano, então elas são paralelas entre
si.
III. Se dois planos são paralelos, então toda reta de um deles é paralela a alguma
reta do outro.
É correto afirmar que
a) apenas II é verdadeira.
b) apenas III é verdadeira.
c) apenas I e II são verdadeiras.
d) apenas I e III são verdadeiras.
e) I, II e III são verdadeiras.
9) (Uel) Considere uma reta s, contida em um plano α, e uma reta r perpendicu-
lar a s. Então, necessariamente:
a) r é perpendicular a α.
b) r e s são coplanares.
c) r é paralela a α.
d) r está contida em α.
e) Todas as retas paralelas a r interceptam s.
10) (Ufal) Analise as afirmativas abaixo.
( ) Duas retas que não têm pontos comuns sempre são paralelas.
( ) Duas retas distintas sempre determinam um plano.
( ) Uma reta pertence a infinitos planos distintos.
( ) Três pontos distintos sempre determinam um plano.
( ) Duas retas coplanares distintas são paralelas ou concorrentes.
11) (Ufsc) A ÚNICA proposição CORRETA, é:
01. Dois planos que possuem 3 pontos em comum são coincidentes.
02. Se duas retas r e s, no espaço, são ambas perpendiculares a uma reta t, então
r e s são paralelas.
04. Duas retas concorrentes determinam um único plano.
08. Se dois planos A e B são ambos perpendiculares a um outro plano C, então
A e B são planos paralelos.
16. Se duas retas r e s são a um plano A, então r e s são paralelas.
12) (Unesp) Sejam á e â planos perpendiculares, α ∩ β = r.
Em á considera-se uma reta s perpendicular a r, s ∩ r = {A}, e em β considera-
se t oblíqua a r, t ∩ r = {A}. Dentre as afirmações:
I. s é perpendicular a β.
II. t é perpendicular a s.
III. O plano determinado por s e t é perpendicular a β.
IIII. Todo plano perpendicular a s e que não contém A é paralelo a β.
pode-se garantir que:
a) somente I é falsa.
b) somente II é falsa.
c) somente III é falsa.
d) somente IV é falsa.
e) nenhuma é falsa.
1) 11
2) a) Se as retas r e s são paralelas distintas existe um único plano passando por r e s;
portanto A ∩ B é um conjunto unitário. Se as retas são paralelas coincidentes, então
A ∩ B = A = B.
b) Se r e s são retas reversas não existe um plano passando por r e s. Logo A ∩ B =
{ }
3) Mesas com três pernas não balançam pois três pontos não colineares determinam
um único plano (Postulado da Determinação de Plano).
4) [E]
5) [A]
6) [D]
7) [E]
8) [B]
9) [B]
10) F F V F V
11) 04
12) [E]
19www.maloca.org.br
XVIII
PPPPPOLIEDROSOLIEDROSOLIEDROSOLIEDROSOLIEDROS
Definição: Denominamos poliedro todo o sólido limitado por
polígonos planos, de modo que:
 dois desses polígonos não estão em um mesmo plano
 cada lado de um polígono deve ser comum a dois e somente
dois polígonos.
Os polígonos são denominados faces do poliedro
Os lados e os vértices dos polígonos denominam-se, respectivamente,
arestas e vértices do poliedro.
Veja alguns poliedros.
POLIEDROS CONVEXOS
Um poliedro se diz convexo se, em relação a qualquer de suas faces, está
todo situado num mesmo semi-espaço determinado pelo plano que con-
tém esta face. Caso contrário, o poliedro é dito não-convexo.
Um poliedro é denominado convexo se satisfazer as seguintes condi-
ções
 Duas de suas faces não poderão estar no mesmo plano.
 Cada um dos lados de um polígono, ou seja, faces devem
ser comuns a apenas e somente apenas dois polígonos.
 O plano que contém cada polígono deixa os demais polígonos num
mesmo semi-espaço
 Todas as suas faces são polígonos convexos, ou seja, estes
polígonos possuem todos os lados e ângulos internos iguais.
POLIEDROS REGULARES
Um poliedro convexo se diz regular quando suas faces são polígonos
regulares congruentes entre si, e seus ângulos poliédricos também são
congruentes.
Seja alguns exemplos:
Tetraedro Regular: 4 faces triangulares, 4 vértices e 6 arestas.
Hexaedro regular ou cubo: 6 faces quadrangulares, 8 vertices e 12 arestas
Octaedro Regular: 8 faces triangulares, 6 vertices e 12 arestas
Dodecaedro Regular: 12 faces pentagonais, 20 vertices e 30 arestas
Icosaedro Regular: 20 faces triangulares, 12 vertices e 30 arestas.
RELAÇÃO DE EULER
Em todos os poliedros convexo, podemos notar a seguinte relação
A + 2 = V + F; onde A = número de arestas, V = número de vértices e
F = número de faces.
Esta relação é denominado Relação de Euler em homenagem a Leonar-
do Euler (1707-1783), matemático suíço. Ela é valida para todo poliedro
convexo, por isso que dizemos que todo poliedro convexo é euleriano.
1) (Ufpe) Um poliedro convexo possui 10 faces com três lados, 10 faces com
quatro lados e 1 face com dez lados. Determine o número de vértices deste
poliedro.
2) (Cesgranrio) Um poliedro convexo é formado por 4 faces triangulares, 2 faces
quadrangulares e 1 face hexagonal. O número de vértices desse poliedro é de:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
3) (Cesgranrio) Umpoliedro convexo tem 14 vértices. Em 6 desses vértices
concorrem 4 arestas, em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nos demais
20
vértices, concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro é igual a:
a) 16
b) 18
c) 24
d) 30
e) 44
4) (Cesgranrio) Considere o poliedro regular, de faces triangulares, que não
possui diagonais. A soma dos ângulos das faces desse poliedro vale, em graus:
a) 180
b) 360
c) 540
d) 720
e) 900
5) (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se,
então, afirmar que esta pirâmide possui:
a) 33 vértices e 22 arestas.
b) 12 vértices e 11 arestas.
c) 22 vértices e 11 arestas.
d) 11 vértices e 22 arestas.
e) 12 vértices e 22 arestas.
6) (Ita) Um poliedro convexo de 10 vértices apresenta faces triangulares e
quadrangulares. O número de faces quadrangulares, o número de faces triangu-
lares e o número total de faces formam, nesta ordem, uma progressão aritmética.
O número de arestas é:
a) 10
b) 17
c) 20
d) 22
e) 23
7) (Puccamp) Sobre as sentenças:
I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.
II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.
III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.
é correto afirmar que APENAS
a) I é verdadeira.
b) II é verdadeira.
c) III é verdadeira.
d) I e II são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.
8) (Pucpr) Quantas arestas tem um poliedro convexo de faces triangulares em
que o número de vértices é 3/5 do número de faces?
a) 60
b) 30
c) 25
d) 20
e) 15
9) (Pucpr) Um poliedro convexo tem 7 faces. De um dos seus vértices partem
6 arestas e de cada um dos vértices restantes partem 3 arestas.
Quantas arestas tem esse poliedro?
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
10) (Ufrs 97) Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e
cinco faces quadrangulares. O número de arestas e de vértices do poliedro é,
respectivamente,
a) 34 e 10
b) 19 e 10
c) 34 e 20
d) 12 e 10
e) 19 e 12
11) (Ufsm) Um poliedro convexo tem 12 faces triangulares e as demais,
pentagonais. Sabendo que o número de arestas é o triplo do número de faces
pentagonais, então a soma dos ângulos de todas as faces pentagonais é, em
radianos, igual a
a) 3π
b) 12π
c) 36π
d) 64π
e) 108π
12) (Unirio) Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal de
rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces
triangulares. O número de vértices deste cristal é igual a:
a) 35
b) 34
c) 33
d) 32
e) 31
1) 21
2) [C]
3) [A]
4) [D]
5) [E]
6) [C]
7) [E]
8) [B]
9) [C]
10) [B]
11) [E]
12) [D]
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XIX
PPPPPRISMASRISMASRISMASRISMASRISMAS
Prisma: É todo sólido onde duas faces são polígonos convexos e
as demais, paralelogramos, tais que:
Os polígonos convexos são congruentes entre si e situados em
planos paralelos distintos.
Nos paralelogramos existem dois lados opostos que são lados dos
polígonos.
Veja alguns tipos de Prismas:
ELEMENTOS
a) Os segmentos AB, BC, CD e DE são arestas da base;
b) Os segmentos AA’, BB’, CC’, DD’, EE’ são arestas laterais;
c) As regiões poligonais ABCDE e A’B’C’D’E’ são as bases;
d) Os segmentos AE’, AD’, AC’... são diagonais do primas.
e) Os paralelogramos ABB’A’, BCC’B’... são faces laterais;
f) A distância h entre os planos α e β é a altura.
Na Figura abaixo é possível ter uma melhor visualização dos elementos
de um prisma:
CLASSIFICAÇÃO
Os primas podem ser:
Retos: É o prisma cujas arestas laterais são perpendiculares às bases. As
faces laterais são retângulos.
Obliquo: É o prisma cujas arestas laterais são obliquas às bases.
Obs.:
Chama-se prima regular ao prisma reto cujas bases são polígonos regula-
res.
Prisma regular triangular
Prisma regular hexagonal
SECÇÃO
Um plano que intercepte todas as arestas de um prisma determina nele
uma região chamada secção do prisma.
Secção transversal é uma região determinada pela intersecção do prisma
com um plano paralelo aos planos das bases (figura 1). Todas as secções
transversais são congruentes (figura 2).
22
ÁREAS
Área lateral: É a soma das áreas das faces laterais. Indica-se por A.
Área da Base: É a área da base do polígono.
Área Total: É a soma da área lateral com a soma da área da base. Indica-
se por At. Então At = A + 2Ab
Vejamos um exemplo.
Dado um prisma hexagonal regular de aresta da base a e aresta lateral h,
temos:
Neste caso temos:
AF = ah
AL = 6ah
AB = 3a²√3/2 (área do hexágono regular)
VOLUME
Para obter o volume de um prisma, vamos usar o princípio de Cavalieri
(matemático italiano, 1598 - 1697), que generaliza o conceito de volume
para sólidos diversos. Dados dois sólidos com mesma altura e um plano
α, se todo plano β, paralelo a α, intercepta os sólidos e determina secções
de mesma área, os sólidos têm volumes iguais:
ααααα || βββββ e A
1
 = A
2
 → → → → → V
1
 = V
2
Se 1 é um paralelepípedo retângulo, então V2 = ABh.
Assim, o volume de todo prisma e de todo paralelepípedo é o produto
da área da base pela medida da altura:
V
prisma
 = A
B
h.
PARALELEPÍPEDO
É todo prisma cujas faces são paralelogramos.
Paralelepípedo oblíquo
Paralelepípedo reto
Aqui temos uma forma fácil para determinarmos a diagonal do parale-
lepípedo:
db = diagonal da base
dp = diagonal do paralelepípedo
Na base ABFE, temos:
No triângulo AFD, temos:
2 2 2 2 2 2
2 2 2
p b
p
d d c a b c
d a b c
= + = + + →
= + +
Logo:
d² = a² + b² + c²
CUBO:
É todo prima cujas faces são quadrados.
23www.maloca.org.br
O volume do cubo é dado por:
V = a³
Prisma Triangular: É todo prisma cuja base é um triângulo. Se o triângu-
lo for eqüilátero dizemos que o prisma é triangular regular.
Prisma Hexagonal: É todo prisma cuja base é um hexágono. Se a base for um
hexágono regular, dizemos que o prisma é hexagonal regular.
1) (Unesp) Sendo ABCDA’B’C’D’ um cubo, calcular o seno do ângulo α.
2) (Unesp) Uma piscina de forma retangular tem 8 m de largura, 15 m de
comprimento, 0,9 m de profundidade num de seus extremos e 2,7 m de profun-
didade no outro extremo, sendo seu fundo um plano inclinado. Calcule o volu-
me da água da piscina quando a altura do nível da água é de 0,6 m na extremi-
dade mais funda.
3) (Unesp) Em um camping, sobre uma área plana e horizontal, será montada
uma barraca com a forma e as dimensões dadas de acordo com a figura.
Em cada um dos quatro cantos do teto da barraca será amarrado um pedaço de
corda, que será esticado e preso a um gancho fixado no chão, como mostrado na
figura.
a) Calcule qual será o volume do interior da barraca.
b) Se cada corda formará um ângulo α de 30° com a lateral da barraca, determi-
ne, aproximadamente, quantos metros de corda serão necessários para fixar a
barraca, desprezando-se os nós. (Use, se necessário, a aproximação √3 = 1,73)
4) (Unicamp) Ao serem retirados 128 litros de água de uma caixa d’água de
forma cúbica, o nível da água baixa 20 centímetros.
a) Calcule o comprimento das arestas da referida caixa.
b) Calcule sua capacidade em litros (1 litro equivale a 1 decímetro cúbico).
5) (Unicamp) A figura abaixo apresenta um prisma reto cujas bases são hexágo-
nos regulares. Os lados dos hexágonos medem 5 cm cada um e a altura do prisma
mede 10 cm.
a) Calcule o volume do prisma.
b) Encontre a área da secção desse prisma pelo plano que passa pelos pontos A,
C e A’.
6) (Fgv) Antes que fosse reparado, um vazamento em uma piscina retangular,
com 20 m de comprimento e 10 m de largura, ocasionou uma perda de 20.000
litros de água, fazendo com que o nível de água baixasse em:
a) 1 m
b) 0,5 m
c) 0,1 m
d) 0,2 m
e) 0,01 m
7) (cftmg) Deseja-se construir um prédio para armazenamento de grãos em
forma de um prisma regular de base triangular, cuja aresta da base meça 8 m e
altura do prisma tenha 10 m. O volume interno desse armazém em m³ será:
a) 120√3
b) 130√3
c) 160√3
d) 180√3
e) 190√3
8) ( cftmg) Uma piscina com forma de um prisma reto, tem como base um
retângulo de dimensões 10 m e 12 m. A quantidade necessária de litros, para que
o nível de água da piscina suba 10 cm é de
a) 10.200
b) 10.800
c) 11.600
d) 12.000
e) 12.800
9) (Ita) Dado um prisma hexagonal regular, sabe-seque sua altura mede 3 cm e
que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume deste prisma, em
cm³, é:
a) 27√3
b) 13√2
c) 12
d) 54√3
e) 17√5
10) (Pucmg) Após utilizar 192 litros de água de uma caixa cúbica que estava
completamente cheia, o nível diminuiu 30 cm. Então a capacidade total dessa
caixa, em litros, é:
a) 216
b) 288
c) 343
d) 512
e) 658
11) (Ueg)
24
A figura acima representa um paralelepípedo retângulo. As medidas das arestas
são AB = 3 cm, BC = √7 cm e CD = 3 cm. O perímetro do triângulo ACD mede
a) 6√2 cm.
b) 12 cm.
c) 13 cm.
d) 14 cm.
e) 16 cm.
12) (Unirio)
Na fabricação da peça acima, feita de um único material que custa R$ 5,00 o
cm³, deve-se gastar a quantia de:
a) R$ 400,00
b) R$ 380,00
c) R$ 360,00
d) R$ 340,00
e) R$ 320,00
1) d = √6/3
2) 12 m³ ou 12000 litros
3) a) 36m³.
b) 9,23m.
4) a) a = 8 dm
b) V = 512 litros.
5) a) 375√3 cm³
b) 50√3 cm²
6) [C]
7) [C]
8) [D]
9) [D]
10) [D]
11) [B]
12) [B]
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XX
PPPPPIRÂMIDESIRÂMIDESIRÂMIDESIRÂMIDESIRÂMIDES
São todos os sólidos cujas bases são polígonos convexos e as faces
laterais são triângulos. Cada face tem como lado oposto ao vértice um lado
do polígono da base.
Uma pirâmide pentagonal, cuja base é um pentágono, aparece na Figura
abaixo:
Pirâmide formada por um pentágono.
Dada a pirâmide da figura a seguir, vamos nomear os seguintes elemen-
tos que caracterizam uma pirâmide:
ELEMENTOS DE UMA PIRÂMIDE.
Base: o polígono convexo R
Arestas da base: os lados AB, BC, CD, DE, EA do polígono.
Arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC, VD, VE.
Faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA.
Altura: distância h do ponto V ao plano
Na figura abaixo temos uma melhor visualização dos elementos da pirâmide:
Uma pirâmide é reta quando a projeção ortogonal do vértice coincide
com o centro do polígono da base. Se o polígono da base for regular,
então a pirâmide recebe o nome de pirâmide regular. Alguns exemplos
aparecem na figura abaixo:
Pirâmide regular quadrangular
Pirâmide regular hexagonal
A Apótema de uma pirâmide regular é a altura de uma face lateral relativa
a aresta da base.
MEDIDAS:
a) Altura: é a distância do vértice ao plano da base. Indica-se por H.
b) Área Lateral: é a soma das faces das áreas laterais.
c) Área Total: é a soma da área da base com a soma das áreas laterais.
d) Volume: é um terço do produto da área da base pela altura. Indica-se
por V.
SECÇÃO PARALELA A BASE DE UMA PIRÂMIDE:
Um plano paralelo à base que intercepte todas as arestas laterais determi-
na uma secção poligonal de modo que:
 As arestas laterais e a altura sejam divididas na mesma razão;
 A secção obtida e a base sejam polígonos semelhantes;
 As áreas desses polígonos estejam entre si, assim como os quadrados de
suas distâncias ao vértice.
Seções paralelas a uma pirâmide.
= = = = =
=
2
2
' ' ' ' '
' ' ' ' '
 
VA VB VC VD VE h
VB VB VC VD VE H
áreaA B C D E h
ÁREA ABCDE H
RELAÇÕES ENTRE OS ELEMENTOS DE UMA PIRÂMIDE
REGULAR:
Vamos considerar uma pirâmide regular hexagonal (como a da figura)
de aresta lateral l e aresta da base a:
Pirâmide regular
MC = a/2
h² = l² - a²
Assim, temos:
A base da pirâmide é um polígono regular inscritível em um círculo de
raio OB = R.
26
OM = a√3/2 (apótema da base)
A face lateral da pirâmide é um triângulo isósceles.
VM é o apótema da pirâmide (altura de uma face lateral).
Os triângulos VOB e VOM são retângulos.
ÁREAS
Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL): reunião das áreas das faces laterais
b) área da base (AB): área do polígono convexo (base da pirâmide)
c) área total (AT): união da área lateral com a área da base
AT = AL +AB
Para uma pirâmide regular, temos:
AL = n.bg/2 AB = pa
Em que:
b é a aresta
g é o apótema
n é o número de arestas laterais
p é o semiperímetro da base
a é o apótema do polígono da base
VOLUME
O volume de uma pirâmide é dado por:
= → =
1 1. .
3 3Piramide prisma piramide b
V V V A h
1) (Fuvest) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = 4
e BC = 3.
As áreas dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente, 4√10 e 2√37 . Calcule
o volume da pirâmide.
2) (Ufc) Sejam P1 e P2 dois pontos quaisquer interiores a um tetraedro regular.
Sejam d1, a soma das distâncias de P1 às faces do tetraedro regular, e d2 a soma
das distâncias de P2 às faces do tetraedro regular. Mostre que d1 = d2.
3) (Ufsc) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5 cm e a
altura mede 4 cm. O volume, em cm³, é:
4) (Unicamp) O sólido da figura a seguir é um cubo cuja aresta mede 2 cm.
a) Calcule o volume da pirâmide ABCD1.
b) Calcule a distância do vértice A ao plano que passa pelos pontos B, C e D1.
5) (Fuvest) A figura adiante representa uma pirâmide de base triangular ABC e
vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são triângulos eqüiláteros de lado l e que E é
o ponto médio do segmento AB. Se a medida do ângulo VÊC é 60°, então o
volume da pirâmide é:
a) (√3l³)/4
b) (√3l³)/8
c) (√3l³)/12
d) (√3l³)/16
e) (√3³)/18
6) (Fuvest) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide
regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As
telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m². Supondo
que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número
mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:
a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 130
7) (Fuvest) A pirâmide de base retangular ABCD e vértice E representada na
figura tem volume 4. Se M é o ponto médio da aresta AB e V é o ponto médio
da aresta EC, então o volume da pirâmide de base AMCD e vértice V é:
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 2,5
e) 3
27www.maloca.org.br
8) (Fuvest) A figura a seguir mostra uma pirâmide reta de base quadrangular
ABCD de lado 1 e altura EF = 1. Sendo G o ponto médio da altura EF e α a
medida do ângulo AGB, então cosα vale:
a) ½
b) 1/3
c) ¼
d) 1/5
e) 1/6
9) (Ufc) Um tetraedro regular tem arestas medindo √6 cm. Então a medida de
suas alturas é igual a:
a) 1/2 cm
b) 1 cm
c) 3/2 cm
d) 2 cm
e) 5/2 cm
10) (Uff) A grande pirâmide de Quéops, antiga construção localizada no Egito,
é uma pirâmide regular de base quadrada, com 137 m de altura. Cada face dessa
pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura relativa à base mede 179 m.
A área da base dessa pirâmide, em m², é:
a) 13.272
b) 26.544
c) 39.816
d) 53.088
e) 79.432
11) (Ufrs) Na figura, O é o centro do cubo.
Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmide de base ABCD e vértice O é
a) 1/2.
b) 1/3.
c) 1/4.
d) 1/6.
e) 1/8.
12) (Ufrs) Na figura abaixo, os vértices do quadrilátero ABCD são pontos
médios de quatro das seis arestas do tetraedro regular.
Se a aresta desse tetraedro mede 10, então a área do quadrilátero ABCD é
a) 25.
b) 25√3.
c) 75.
d) 50√3.
e) 100.
1) 24 u.v.
2) Demonstração
3) 24
4) a) 4/3 cm³
b) √2 cm
5) [D]
6) [A]
7) [B]
8) [B]
9) [D]
10) [D]
11) [D]
12) [A]
28
XXI
CCCCCILINDROILINDROILINDROILINDROILINDRO
É o sólido obtido pela rotação de 360° de um retângulo em torno de
um de seus lados.
Veja, na figura abaixo, como obtemos um cilindro:
CLASSIFICAÇÃO DO CILINDRO
Um cilindro pode ser:
 Oblíquo: Quando as geratrizes são oblíquas às bases.
 Reto: quando as geratrizes são perpendiculares às bases.
Veja:
ELEMENTOS
a) Geratriz: Qualquer segmento de extremidades nos pontos das circunfe-
rências das bases (por exemplo AA’) e paralelo a reta r.
b) Eixo: Reta que contém o segmento OO’;
c)Raio: Reta r;
d) Bases: círculos de centro O, O’ e raio r;
e) Superfície Lateral: Reunião das geratrizes;
f) Superfície Total: Reunião da superfície lateral e as duas bases;
g) Altura: A Distância h entre os planos.
SECÇÃO TRANSVERSAL
É a intersecção do cilindro com um plano paralelo às bases. As secções
transversais são congruentes às bases.
SECÇÃO MERIDIANA
É a intersecção do cilindro com um plano que contém o seu eixo.
ÁREAS
Num cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) Área Lateral (AL)
Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto, cuja altura é h e cujos